2024年新高考第二次模擬考試 數(shù)學（天津卷）（全解全析）

2024年高考高三第二次模擬考試(天津卷)

數(shù)學試卷

第I卷

注意事項：

1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號，

2,本卷共9小題，每小題5分，共45分

參考公式：

?如果事件A、5互斥，那么「(4。8)=P(4)+尸(6).

?如果事件A、5相互獨立，那么P(AB)=P(A)P(3).

?球的體積公式V萬代，其中R表示球的半徑.

?圓錐的體積公式丫=；助，其中S表示圓錐的底面面積，/?表示圓錐的高。

一、選擇題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合知={鄧11彳>1},N={x|(x-l)(x-4)>0},則Mc(\N)=()

A.{x|x>e}B.{小"}

C.{尤|lVx<e}D.{x|e<x44}

【答案】D

【解析】由題意可得：M={x|lnx>l}={小〉e},={x[(x-l)(x-4)W。}={x|l<x<4},

所以Me&N)={x|e<x<4}.

故選：D.

2.己知。>0且awl,則“a>2”是“函數(shù)y=("2)logaX是增函數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】當。>2時，a-2>0,又因為y=log/是增函數(shù)，所以y=(a-2)log.x是增函數(shù)；

當，=(°-2)108/是增函數(shù)時，。>2或

所以“。>2”是“函數(shù)y=(a-2)logaX是增函學發(fā)”的充分不必要條件，

故選：A.

3.函數(shù)〃x)=31+3sinx的大致圖象為(

)

e+e

斗斗

A.Q

B.

OXox

斗斗

D.

x

【答案】D

【解析】由于"%)的定義域為R,

又f(\3(-%)+3sin(-%)—3%3—3sinx

八町一e-x+e%—e-x+ex=-f(x)，

所以〃%)為奇函數(shù)，故可排除AB,

=對耳竺>0,故排除C,

由于當光￡(0,兀)時，sin丁>0,x3>0,/(x)二

e"+e"

故選：D

A

4.^a=l.]°,b=log020.3,c=log2,貝！J()

A.c<a<bB.c<b<a

C.b<c<aD.a<c<b

【答案】B

【解析】因為a=Ll°」>Ll°=l,

而log02l<log020.3<log020.2,即0<b<1,

c=log21<log2l=0,

所以cvbva.

故選：B.

5.已知〃x)=Asin3x+0)(A>0,>>0,冏<兀)的一段圖像如圖所示,則()

B.”尤）的圖像的一個對稱中心為

715幾

C.〃尤）的單調遞增區(qū)間是-+kK,—+kTt,keZ

|_OO_

5

D.f（x）的圖像向左平移97r個單位長度后得到的是一個奇函數(shù)的圖象

O

【答案】C

【解析】由圖可知4=1,1=2-1稱]=9,所以7=萬=@,解得0=2,

2o^oyZco

所以〃x）=sin（2x+0）,又函數(shù)過點,

即--2x[--—+=1,所以2x[---+（p=—+2kn,Z:eZ,

解得。因為冏＜兀，所以。=一手，所以/（x）=sin（2x-[],故A錯誤;

因為=sin^2x^-1^-^=sin[一等）/0,故B錯誤；

7T3冗7TJT5冗

令---F2E<2x------<—+2E,%￡Z,解得—+kn<x<---卜kn,keZ,

24288

jrSjr

故函數(shù)的單調遞增區(qū)間為-+K—+fat,kez,故c正確；

OO

5

7rsm2x+變3兀

將函數(shù)/（%）的圖象向左平移?個單位得＞==sin[2x+]=cos2x為偶函數(shù)，故D錯

OI84

誤；

故選：C

6.燈籠起源于中國的西漢時期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會掛起象征美好團圓意義的紅燈籠，營造

一種喜慶的氛圍?如圖1,某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個相同的圓柱的側面，中間是

球面的一部分（除去兩個球冠）.如圖2,球冠是由球面被一個平面截得的，垂直于截面的直徑被截得的部分

叫做球冠的高，若球冠所在球的半徑為R,球冠的高為心則球冠的面積5=2兀夫力.已知該燈籠的高為40cm,

圓柱的高為4cm,圓柱的底面圓直徑為24cm,則圍成該燈籠所需布料的面積為（）

圖1

A.1536兀cm?B.14727tcm2

C.182471cm2D.17607rcm2

【答案】B

【解析】由題意得圓柱的底面圓直徑為24cm,半徑為12cm,即球冠底面圓半徑為12cm.

已知該燈籠的高為40cm,圓柱的高為4cm,所以該燈籠去掉圓柱部分的高為40-8=32cm,

40-8

所以=12）得R=20cm,//=20-16=4cm,

所以兩個球冠的表面積之和為2S=4欣〃=320?icm2,

燈籠中間球面的表面積為4兀玄-320兀=12807icm2.

因為上下兩個圓柱的側面積之和為2x247rx4=1927rcm2，

所以圍成該燈籠所需布料的面積為1280兀+19271=147271cm2.

故選：B.

7.某品牌手機商城統(tǒng)計了開業(yè)以來前5個月的手機銷量情況如下表所示:

時間X12345

銷售量y（千只）0.50.71.01.21.6

若y與x線性相關，且線性回歸方程為y=0.27x+a，則下列說法不正確的是（)

A.由題中數(shù)據(jù)可知，變量y與x正相關

B.線性回歸方程y=0.27x+a中，a=0.21

C.x=5時，殘差為0.06

D.可以預測x=6時，該商場手機銷量約為1.81千只

【答案】B

【解析】對A,由圖表可知，變量y與x正相關,

且Q27>0,即變量y與x正相關，A正確;

1+2+3+4+50.5+0.7+1.0+1.2+1.6

對B,由圖表數(shù)據(jù)可得,x=

55

因為樣本中心（3,1）滿足回歸直線，所以1=0.27x3+》，解得B=0.19,B錯誤;

對C,尤=5時，殘差為1.6-(0.27x5+0.19)=0.06,C正確；

對D,x=6時，該商場手機銷量約為《=0.27x6+0.19=1.81千只，D正確；

故選:B.

8.已知雙曲線。與橢圓E:目+片=1有公共焦點，且左、右焦點分別為匕，F(xiàn)2,這兩條曲線在第一象限的

2521

交點為△尸耳耳是以P耳為底邊的等腰三角形，則雙曲線。的標準方程為()

A,--/=1B.—-^=1

3-95

C.V-21=1D.=1

3-3

【答案】C

22

【解析】設雙曲線。的方程為。:三+*=1,

%b]

丫22

在橢圓5:二+上=1中/=25,62=21,/=/-62=4,

2521

則“=5,c=2,因為△P內耳是以尸耳為底邊的等腰三角形，

所以|「閶=|耳同=2=4,由橢圓的定義可知，|尸￡|+|尸閶=2°=10,

所以|P￡|=6,再由雙曲線的定義可得盧耳日尸國=2q=6-4=2,

22

所以4=1,因為雙曲線。與橢圓脫工+匕=1有公共焦點，

2521

所以q=2,b[=Jc；-a；=,4-1=石，

2

故雙曲線。的標準方程為/一匕=1.

3

故選：C.

/、f|3x+1-lLx＜0/、/、

9.已知函數(shù)/(%)=31，玉/2,工3,工4是函數(shù)g(x)=/(x)-m的4個零點，且玉＜工2＜工3＜兀4，給

|log3x|,x＞0

出以下結論：①相的取值范圍是(0,2)；②3%+3當=(；③W+4X4的最小值是4；④「^的最大值是土.

32兀3+工46

其中正確結論的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

|3i+1-l|,x<0

【解析】作出函數(shù)y（x）=<J的圖象如下圖所示:

|log3x|,x>0

因為占,々,三,匕是函數(shù)g（x）=/（尤）-加的4個零點，

所以直線丫=相與函數(shù)〃x）的圖象有四個交點，且占<%<%<%，

結合圖象可知：0<〃7<1,故①錯誤；

對于②，由圖可知，不<-1,則3為M-le（TO）,所以〃西）=|3”一1|=1一3支，

貝、3*1-1e（0,2）,所以/（%）=9+-13e_1,

2

所以1—3'+1=3個1—1,所以3為+3電=§,故②錯誤；

對于③，當|1。83乂=1時，x或x=3,

結合圖象可知，1<X,<1<X4<3,由〃電）=/（彳4）得|1083幻=|1。83%|，

即-logsW=1%苫4,所以網(wǎng)%4=1，所以？+4422jx,x47=4,

當且僅當無3=4%,即％=2,%=3時，等號成立，顯然不滿足;<尤3<1<%<3,

所以苫3+4七>4,故③錯誤；

對于④，因為2%+期t28xx&=2也,當且僅當2泡=%=3時，等號成立,

22，廠

所以3"+3*一耳士3_3,即甘Xi82的最大值是巫，故④正確.

2X3+x42X3+x42A/26x,+々6

綜上，正確結論為④，共1個.

故選：A.

第II卷

注意事項

1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.

故答案為：1.

14.在一個布袋中裝有除顏色外完全相同的3個白球和m個黑球，從中隨機摸取1個球，有放回地摸取3

次，記摸取白球的個數(shù)為X.若E（x）=。貝U〃z=,尸（X=2）=.

27

【答案】177

64

【解析】由題意知乂~8（3,；].

（m+3y

因為E（X）==,所以3X—^二=,解得根=1,

'74m+34

所以尸（X=2）=C；x[jx；*.

77

故答案為：m=l；P（X=2）=—.

15.在邊長為6的正方形ABCD中，￡>E=2EC,M是8C中點，則加曰應）=；若點尸在線段8。上運

動，則PE-PM的最小值是.

【答案】304?

【解析】

以A為坐標原點，建立如圖所示平面直角坐標系，

因為正方形的邊長為6,且DE=2EC,M是BC中點，

則3（6,0）,D（0,6）,M（6,3）,E（4,6）,

則3D=（-6,6）,ME=（-2,3）,

所以=（-6）*（-2）+6x3=30；

設DP=2DB,其中2e[0,l],

則DP=ADB=2（6,-6）=（62,-62）,則尸（62,6—64）,

所以PE=（4-62,64）,=（6-62,62-3）,

貝=（4—62）（6—6/1）+64（6/1-3）=6（122?-13X+4）,AG[0,1],

2

23

其中6（12彳2一13/1+4）=612|2-—I+—，[0,1],

2448

當4=193時，有最小值為23

24o

23

所以PEPM的最小值是丁.

o

23

故答案為：30；

8

二、解答題，本大題共5小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程成演算步驟。

16.在一ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2a,5csinB=6asinC.

⑴求cos5的值;

⑵求$叩8+總值；

(3)若A=25,求tanC.

【解析】（1）由題設及正弦定理知：5bc=6ac,貝|5Z?=6〃，又b+c=2a,故3c=2Z?,

/+cj2_H"+什廿]

又cosB=

lac2x-bx-b8

63

(2)由8為內角且cosB=x,則sinB=,故sin28=2sinBcosB=,cos2B=2cos2B—\=---)

883232

所以弓=sin28cos三+cos28sin3=地x且3113A/21-31

sin]23++(----)x—=

6632232264

tanA+tanB

(3)由tanC=tan[7i-(A+B)]=-tan(A+B)=-,而A=2B,

1-tanAtanB

2tan33A/7

所以tanA=tan2B=，由（2）知:tanB=3幣,貝UtanA=-

1-tan2B31

tanA+tanB3sM45s

綜上，

tanC=-

tanAtanB-r377x(_3^)_147

17.如圖，四邊形ABCD是正方形，尸4,平面438,￡?〃巳4,43=總=4,￡8=2,尸為尸/）的中點.

(1)求證：AFLPC■,

⑵求D到平面PEC的距離;

(3)求平面DPC與平面PEC的夾角.

依題意，P4_L平面ABCD,如圖，以4為原點，

分別以AZZABM尸的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系.

依題意,可得A(0,0,0),5(0,4,0),C(4,4,0),L>(4,0,0),P(0,0,4),E(0,4,2),尸(2,0,2),

A尸=(2,0,2),PC=(4,4,-4),A歹?PC=8+0+(-8)=0,.\AF1.PC.

(2)PE=(0,4,-2),PC=(4,4,-4)

設平面PEC的一個法向量為〃=(x,y,z),

n-PC=04x+4y-4z=0

則，即4y-2z=0,令廠T則x=T,Z7,

n-PE=0

故乃=(-

DC=(0,4,0),故。到平面PEC的距離即DC在法向量〃上的投影長度,

.DC'n.-42-\/6

則d=|--------|=|7|=+，

\n\V63

故D到平面PEC的距離為友.

3

(3)因為釬_1_尸￡),4尸_1尸。,尸￡)PC=P,

尸￡>,尸Cu平面PCD,所以AF_L平面PCD,

故AF=(2,0,2)為平面尸CD的一個法向量，

設平面PCD與平面PCE的夾角為6,則cos。=|cos〈A歹㈤|=心=旦,

2V2-A/62

JT

所以平面PCD與平面PCE的夾角為二.

6

22

18.已知橢圓C：J+2=1(°>6>0)的一個焦點為《(-1,0),上頂點到這個焦點的距離為2.

ab

(1)求橢圓C的標準方程

(2)若點T在圓/+丁=2上，點A為橢圓的右頂點，是否存在過點A的直線/交橢圓C于2(異于點A),

使得。7=呼(。4+0為成立？若存在，求出直線/的方程；若不存在，請說明理由.

【解析】解：(1)由橢圓的一個焦點為耳(-1,0)知:c=l,

因為上頂點到這個焦點的距離為2,故。=2,所以6=

22

所求橢圓C的標準方程為二+乙=1；

43

(2)假設存在過點A的直線/符合題意，直線/的斜率必存在，于是可設直線/的方程為y=Mx-2),

由I43一，得(3+442)/_164與+1642—12=0,(*)

y=k(x—2)

:點A是直線/與橢圓C的一個交點，則%=2,

161-12.8k2-6._12k

*%=3+41'../=彳記，??%=一森病，

8k2-612k

即點80A=(2,0),

3+4-'3+4左2

16312k

OA+OB=

3+4/2'-3+4^2

16/12k)

即OT=3+4左2'-3+4左2J

:點T在圓/+尸=2上.

"7^3+4^J[

2

化簡得48/-8左-21=0,解得左2=，??.，k=土立,

42

經(jīng)檢驗知，此時(*)對應的判別式A>0,滿足題意，

故存在滿足條件的直線/,其方程為〉=±#。-2).

19.己知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛4｝的前n項和滿足S">1,且6s“=(%+l)(a?+2),?eN,.

(1)求｛4｝的通項公式：

(2)設數(shù)列也“｝滿足=并記I為抄/的前〃項和，求證：37；i+l>log2(a?+3),He7V,.

【解析】(1)由q=S[=%(a]+l)(q+2),結合=因此。1=2

aSS+

由n+l=n+1~n=~(々“+1D(々“+1+2)-J(4+1)(?！?2)

oo

得(見+1+q)(q+1-3)=。,

又?！?gt;0,得?！?］=3

從而｛為｝是首項為2公差為3的等差數(shù)列,

故｛%｝的通項公式為%=3"1.

3r7

(2)由。“(2一)=1可得〃,=log2^~

3n-l

從而北=地另1六)

ATIce戶63n3

37；=1Og2(2-5，)

3n3〃+13及+2

---->----->-----

3n-l3n3〃+1

3n3n3n+l3〃+2

0)3>

3〃一13n—l3〃3n+l

3

3〃3456783n3n+l3〃+2

于是34=log?>log--------x---------x----------

3n-l22345673n-l3n3n+l

3〃+2

=log

22

37；,+1>log2(3w+2)=log2(o?+3).

20.已知函數(shù)〃x)=d+6+1,g(x)=e*(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).

⑴若。=1,求函數(shù)y=〃x>g(x)在區(qū)間［-2,0］上的最大值.

⑵若。=-1,關于x的方程/(%)=%?g(x)有且僅有一個根，求實數(shù)上的取值范圍.

⑶若對任意的4當句。,2］,占R%,不等式|/(石)-〃％)|<卜(王)-8(尤2)|均成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【解析】⑴解：當°=1時，y=(x2+x+l)e\y=(f+3x+2)e，=(x+2)(x+l)e”,

所以，當xe［-2,—1)時，/<0,xe［-l,0］