2024屆東北三省三校數(shù)學(xué)高一下期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆東北三省三校數(shù)學(xué)高一下期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．抽查10件產(chǎn)品，設(shè)“至少抽到2件次品”為事件，則的對(duì)立事件是（）A．至多抽到2件次品 B．至多抽到2件正品C．至少抽到2件正品 D．至多抽到一件次品2．一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（）A． B．C． D．3．某工廠對(duì)一批新產(chǎn)品的長(zhǎng)度(單位：)進(jìn)行檢測(cè)，如下圖是檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖，據(jù)此估計(jì)這批產(chǎn)品的中位數(shù)與平均數(shù)分別為()A．20，22.5 B．22.5，25 C．22.5，22.75 D．22.75，22.754．為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，．記，其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如，．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為（）A． B． C． D．5．已知是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則（）A． B．C． D．6．已知是第三象限的角，若，則A． B． C． D．7．已知圓，圓，分別為圓上的點(diǎn)，為軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為()A． B． C． D．8．在等差數(shù)列中，，則（）A． B． C． D．9．在中，若，則的形狀是()A．鈍角三角形 B．直角三角形C．銳角三角形 D．不能確定10．在直角中，，線段上有一點(diǎn)，線段上有一點(diǎn)，且，若，則（）A．1 B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若關(guān)于x的不等式的解集是，則_________.12．甲、乙兩人要到某地參加活動(dòng)，他們都隨機(jī)從火車(chē)、汽車(chē)、飛機(jī)三種交通工具中選擇一種，則他們選擇相同交通工具的概率為_(kāi)________.13．某公司當(dāng)月購(gòu)進(jìn)、、三種產(chǎn)品，數(shù)量分別為、、，現(xiàn)用分層抽樣的方法從、、三種產(chǎn)品中抽出樣本容量為的樣本，若樣本中型產(chǎn)品有件，則的值為_(kāi)______．14．已知函數(shù)在時(shí)取得最小值，則________．15．若向量，則與夾角的余弦值等于_____16．設(shè)扇形的半徑長(zhǎng)為，面積為，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．解關(guān)于不等式：18．某校從高一（1）班和（2）班的某次數(shù)學(xué)考試的成績(jī)中各隨機(jī)抽取了6份數(shù)學(xué)成績(jī)組成一個(gè)樣本，如莖葉圖所示（試卷滿(mǎn)分為100分）。（1）班（2）班7688672352859293（1）試計(jì)算這12份成績(jī)的中位數(shù)；（2）用各班的樣本方差比較兩個(gè)班的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平，哪個(gè)班更穩(wěn)定一些？19．已知向量，.（1若，求實(shí)數(shù)的值：（2）若，求實(shí)數(shù)的值.20．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和滿(mǎn)足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，且，求數(shù)列的前n項(xiàng).21．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

由對(duì)立事件的概念可知，直接寫(xiě)出其對(duì)立事件即可.【詳解】“至少抽到2件次品”的對(duì)立事件為“至多抽到1件次品”，故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)立事件的概念，熟記對(duì)立事件的概念即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.2、B【解析】

試題分析：由三視圖可知，該幾何體是如下圖所示的三棱錐，其中平面平面，,且，，所以，與均為正三角形，且邊長(zhǎng)為，所以，故該三棱錐的表面各為，故選B．考點(diǎn)：1．三視圖；2．多面體的表面積與體積．3、C【解析】

根據(jù)平均數(shù)的定義即可求出．根據(jù)頻率分布直方圖中，中位數(shù)的左右兩邊頻率相等，列出等式，求出中位數(shù)即可．【詳解】：根據(jù)頻率分布直方圖，得平均數(shù)為1（12.1×0.02+17.1×0.04+22.1×0.08+27.1×0.03+32.1×0.03）＝22.71，∵0.02×1+0.04×1＝0.3＜0.1，0.3+0.08×1＝0.7＞0.1；∴中位數(shù)應(yīng)在20～21內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則0.3+（x﹣20）×0.08＝0.1，解得x＝22.1；∴這批產(chǎn)品的中位數(shù)是22.1．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了利用頻率分布直方圖求數(shù)據(jù)的中位數(shù)平均數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．4、D【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式可得，再利用，可得，，．即可得出．【詳解】解：為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，．可得，則公差．，，則，，，．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為：．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、取整函數(shù)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．5、A【解析】

在同一直角坐標(biāo)系中作出與的圖象，設(shè)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，依題意可得，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合圖象即可得答案．【詳解】解：，在同一直角坐標(biāo)系中作出與的圖象，

設(shè)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)，

則，即，

又，

所以，，即，

所以①；

又，故，即②，由①②得：，

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，依題意可得是關(guān)鍵，考查作圖能力與運(yùn)算求解能力，屬于難題．6、D【解析】

根據(jù)是第三象限的角得，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得的值.【詳解】因?yàn)槭堑谌笙薜慕牵?，因?yàn)?，所以解得：，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查余弦函數(shù)在第三象限的符號(hào)及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，即已知值，求的值.7、D【解析】

求出圓關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)圓的圓心坐標(biāo)A，以及半徑，然后求解圓A與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑和，即可求得的最小值，得到答案．【詳解】如圖所示，圓關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)圓的圓心坐標(biāo)，半徑為1，圓的圓心坐標(biāo)為,，半徑為3，由圖象可知，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，且的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個(gè)圓的半徑之和，即，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的對(duì)稱(chēng)圓的方程的求解，以及兩個(gè)圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中合理利用兩個(gè)圓的位置關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合法，以及推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解析】

利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)得出關(guān)于的等式，可解出的值.【詳解】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，由于，即，即，解得，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等差中項(xiàng)性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)充分利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，可簡(jiǎn)化計(jì)算，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

由正弦定理得，再由余弦定理求得，得到，即可得到答案.【詳解】因?yàn)樵谥?，滿(mǎn)足，由正弦定理知，代入上式得，又由余弦定理可得，因?yàn)镃是三角形的內(nèi)角，所以，所以為鈍角三角形，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形狀，其中解答中合理利用正、余弦定理，求得角C的范圍是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

依照題意采用解析法，建系求出目標(biāo)向量坐標(biāo)，用數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求出結(jié)果．【詳解】如圖，以A為原點(diǎn)，AC，AB所在直線分別為軸建系，依題設(shè)A(0,0),B(0,2),C(3,0),M(1,0),，由得，，解得，，所以，，，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查解析法在向量中的應(yīng)用，意在考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、－14【解析】

由不等式的解集求出對(duì)應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出的值，從而可得結(jié)果.【詳解】不等式的解集是，所以對(duì)應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根為和，且，由根與系數(shù)的關(guān)系得，解得，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解集與一元二次不等式的根之間的關(guān)系，以及韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題.12、【解析】

利用古典概型的概率求解.【詳解】甲、乙兩人選擇交通工具總的選擇有種，他們選擇相同交通工具有3種情況，所以他們選擇相同交通工具的概率為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查古典概型，要用計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．13、.【解析】

利用分層抽樣每層抽樣比和總體的抽樣比相等，列等式求出的值.【詳解】在分層抽樣中，每層抽樣比和總體的抽樣比相等，則有，解得，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣中的相關(guān)計(jì)算，解題時(shí)要充分利用各層抽樣比與總體抽樣比相等這一條件列等式求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】試題分析：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即，由題意，解得考點(diǎn)：基本不等式15、【解析】

利用坐標(biāo)運(yùn)算求得；根據(jù)平面向量夾角公式可求得結(jié)果.【詳解】本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查向量夾角的求解，明確向量夾角的余弦值等于向量的數(shù)量積除以?xún)上蛄磕ｉL(zhǎng)的乘積.16、2【解析】試題分析：設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為α，則扇形面積為S=αr2=α×22=4解得：α=2考點(diǎn)：扇形面積公式．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【解析】試題分析：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，考點(diǎn)：解不等式點(diǎn)評(píng)：本題中的不等式帶有參數(shù)，在求解時(shí)需對(duì)參數(shù)做適當(dāng)?shù)姆智闆r討論，題目中主要討論的方向是：不等式為一次不等式或二次不等式，解二次不等式與二次方程的根有關(guān)，進(jìn)而討論二次方程的根的大小18、（1）80；（2）兩個(gè)班級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平相同，（1）班成績(jī)更穩(wěn)定一些．【解析】

（1）將成績(jī)按照從小到大順序排序，根據(jù)中位數(shù)定義可計(jì)算得到結(jié)果；（2）根據(jù)莖葉圖數(shù)據(jù)計(jì)算出兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)平均數(shù)，根據(jù)方差計(jì)算公式可求得樣本方差；由，可得到結(jié)論.【詳解】（1）這份成績(jī)按照從小到大的順序排列為：，，，，，，，，，，，中位數(shù)為：（2）計(jì)算（1）班平均數(shù)為：方差為：（2）班平均數(shù)為：方差為：由，知：兩個(gè)班級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平相同，（1）班成績(jī)更穩(wěn)定一些【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)莖葉圖計(jì)算數(shù)據(jù)的中位數(shù)、平均數(shù)及方差、利用方差比較數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性的知識(shí)；關(guān)鍵是能夠熟練掌握中位數(shù)、平均數(shù)及方差的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）【解析】

（1）首先求出，的坐標(biāo)，再利用向量共線定理即可得出．（2），根據(jù)，得到即可得出．【詳解】解：（1）因?yàn)椋?，，，，解得．（2）因?yàn)椋?，，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線定理、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．20、(1)見(jiàn)證明；(2)【解析】

（1）利用與的關(guān)系，即要注意對(duì)進(jìn)行討論，再根據(jù)等比數(shù)列的定義，證明為常數(shù)；（2）利用錯(cuò)位相減法對(duì)數(shù)列進(jìn)行求和.【詳解】解（1）當(dāng)時(shí)，，所以因?yàn)棰?，所以?dāng)時(shí)，②，①-②得，所以，所以，所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）知，，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)的公差為，則，所以所以，，所以，則，以上兩式相減得：，所以.【點(diǎn)睛