湖北武漢武昌區(qū)武漢大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

湖北武漢武昌區(qū)武漢大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若實(shí)數(shù)x，y滿足條件，則目標(biāo)函數(shù)z＝2x－y的最小值（）A． B．－1 C．0 D．22．如圖所示，它是由3個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，設(shè)，若在大等邊三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小等邊三角形的概率是（）A． B． C． D．3．如果圓上總存在點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A． B． C． D．4．已知200輛汽車通過(guò)某一段公路時(shí)的時(shí)速的頻率分布直方圖如圖所示，時(shí)速在的汽車輛數(shù)為()A．8 B．80 C．65 D．705．秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，在他所著的《數(shù)書(shū)九章》中提出的多項(xiàng)式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比較先進(jìn)的算法．如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法，求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，若輸入的值分別為4和2，則輸出的值為（）A．32 B．64 C．65 D．1306．如圖是某體育比賽現(xiàn)場(chǎng)上評(píng)委為某位選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是()A．5和1.6 B．85和1.6 C．85和0.4 D．5和0.47．一組數(shù)據(jù)0，1，2，3，4的方差是A． B． C．2 D．48．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和是（）A．290 B． C． D．9．下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的是（）A． B． C． D．10．如圖，向量，，，則向量可以表示為（）A．B．C．D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球面的表面積為_(kāi)_________.12．若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則等于__________．13．已知扇形的圓心角，扇形的面積為，則該扇形的弧長(zhǎng)的值是______.14．已知a，b為常數(shù)，若，則______；15．已知函數(shù)，該函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)____________16．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，等比數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前15項(xiàng)和.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．某專賣(mài)店為了對(duì)新產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按不同的單價(jià)試銷，調(diào)查統(tǒng)計(jì)如下表：售價(jià)（元）45678周銷量（件）9085837973（1）求周銷量y（件）關(guān)于售價(jià)x（元）的線性回歸方程；（2）按（1）中的線性關(guān)系，已知該產(chǎn)品的成本為2元/件，為了確保周利潤(rùn)大于598元，則該店應(yīng)該將產(chǎn)品的售價(jià)定為多少？參考公式：，.參考數(shù)據(jù)：，18．扇形AOB中心角為，所在圓半徑為，它按如圖(Ⅰ)(Ⅱ)兩種方式有內(nèi)接矩形CDEF．(1)矩形CDEF的頂點(diǎn)C、D在扇形的半徑OB上，頂點(diǎn)E在圓弧AB上，頂點(diǎn)F在半徑OA上，設(shè)；(2)點(diǎn)M是圓弧AB的中點(diǎn)，矩形CDEF的頂點(diǎn)D、E在圓弧AB上，且關(guān)于直線OM對(duì)稱，頂點(diǎn)C、F分別在半徑OB、OA上，設(shè)；試研究(1)(2)兩種方式下矩形面積的最大值，并說(shuō)明兩種方式下哪一種矩形面積最大？19．已知圓的圓心在軸的正半軸上，半徑為2，且被直線截得的弦長(zhǎng)為.（1）求圓的方程；（2）設(shè)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，證明：經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo).20．已知向量，，.（1）若、、三點(diǎn)共線，求；（2）求的面積.21．已知數(shù)列中，，.（1）求證：是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

線性規(guī)劃問(wèn)題，首先畫(huà)出可行域，再令z=0，畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)，上下平移得到z的最值。【詳解】可行域如圖所示，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)平移到A點(diǎn)時(shí)z取最小值，故選A【點(diǎn)睛】線性規(guī)劃中線性的目標(biāo)函數(shù)問(wèn)題，首先畫(huà)出可行域，再令z=0，畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)，上下平移得到z的最值。2、A【解析】

根據(jù)題意，分析可得，由三角形面積公式計(jì)算可得△DEF和△ACF的面積，進(jìn)而可得△ABC的面積，由幾何概型公式計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，為等邊三角形，則，則，中，，其面積，中，，，其面積，則的面積，故在大等邊三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小等邊三角形的概率，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何概型中的面積類型，基本方法是：分別求得構(gòu)成事件A的區(qū)域面積和試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域面積，兩者求比值，即為概率．3、B【解析】

將圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為圓心到原點(diǎn)的距離加減半徑得到答案.【詳解】，圓心為半徑為1圓心到原點(diǎn)的距離為：如果圓上總存在點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為即圓心到原點(diǎn)的距離即故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，轉(zhuǎn)化為圓心到原點(diǎn)的距離加減半徑是解題的關(guān)鍵.4、B【解析】

先計(jì)算時(shí)速在的汽車頻率，再乘200,?！驹斀狻坑蓤D知：時(shí)速在的汽車頻率為所以時(shí)速在的汽車輛數(shù)為，選B.【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖，屬于基礎(chǔ)題。5、C【解析】程序運(yùn)行循環(huán)時(shí)變量值為：；；；，退出循環(huán)，輸出，故選C．6、B【解析】

去掉最低分分，最高分分，利用平均數(shù)的計(jì)算公式求得，利用方差公式求得.【詳解】去掉最低分分，最高分分，得到數(shù)據(jù)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，.【點(diǎn)睛】本題考查從莖葉圖中提取信息，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行加工和處理，考查基本的運(yùn)算求解和讀圖的能力.7、C【解析】

先求得平均數(shù)，再根據(jù)方差公式計(jì)算。【詳解】數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：方差是＝2，選C?！军c(diǎn)睛】方差公式，代入計(jì)算即可。8、C【解析】

由得為等差數(shù)列，求得，得利用裂項(xiàng)相消求解即可【詳解】由得，當(dāng)時(shí)，，整理得，所以是公差為4的等差數(shù)列，又，所以，從而，所以，數(shù)列的前10項(xiàng)的和.故選.【點(diǎn)睛】本題考查遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式，裂項(xiàng)相消求和，熟記公式，準(zhǔn)確得是等差數(shù)列是本題關(guān)鍵，是中檔題9、D【解析】

利用奇函數(shù)偶函數(shù)的判定方法逐一判斷得解.【詳解】A.函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，,所以函數(shù)是偶函數(shù)；B.函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.,所以函數(shù)是奇函數(shù)；C.函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，,所以函數(shù)是偶函數(shù)；D.函數(shù)的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，，所以函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的判斷，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

利用平面向量加法和減法的運(yùn)算，求得的線性表示.【詳解】依題意，即，故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量加法和減法的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】正方體體積為8，可知其邊長(zhǎng)為2，正方體的體對(duì)角線為=2，即為球的直徑，所以半徑為，所以球的表面積為=12π．故答案為：12π．點(diǎn)睛：設(shè)幾何體底面外接圓半徑為,常見(jiàn)的圖形有正三角形,直角三角形,矩形,它們的外心可用其幾何性質(zhì)求;而其它不規(guī)則圖形的外心,可利用正弦定理來(lái)求.若長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高分別為則其體對(duì)角線長(zhǎng)為;長(zhǎng)方體的外接球球心是其體對(duì)角線中點(diǎn).找?guī)缀误w外接球球心的一般方法:過(guò)幾何體各個(gè)面的外心分別做這個(gè)面的垂線,交點(diǎn)即為球心.三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直,且棱長(zhǎng)分別為，則其外接球半徑公式為:.12、50【解析】由題意可得，=，填50.13、【解析】

先結(jié)合求出，再由求解即可【詳解】由，則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查扇形的弧長(zhǎng)和面積公式的使用，屬于基礎(chǔ)題14、2【解析】

根據(jù)極限存在首先判斷出的值，然后根據(jù)極限的值計(jì)算出的值，由此可計(jì)算出的值.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)極限的值求解參數(shù)，難度較易.15、3【解析】

令，可得或；當(dāng)時(shí)，可解得為函數(shù)一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，可知，根據(jù)的范圍可求得零點(diǎn)；綜合兩種情況可得零點(diǎn)總個(gè)數(shù).【詳解】令，可得：或當(dāng)時(shí)，或（舍）為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，，，為函數(shù)的零點(diǎn)綜上所述，該函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為：個(gè)本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的求解，關(guān)鍵是能夠?qū)?wèn)題轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)的求解，涉及到余弦函數(shù)零點(diǎn)的求解.16、（1），；（2）125.【解析】

（1）直接利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的公式得到答案.（2），前5項(xiàng)為正，后面為負(fù)，再計(jì)算數(shù)列的前15項(xiàng)和.【詳解】解：（1）聯(lián)立，解得，，故，，聯(lián)立，解得，故.（2）.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列，絕對(duì)值和，判斷數(shù)列的正負(fù)分界處是解題的關(guān)鍵.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）14元【解析】

（1）由表中數(shù)據(jù)求得,結(jié)合參考數(shù)據(jù)可得.再代入方程即可求得線性回歸方程.（2）設(shè)售價(jià)為元,代入（1）中的回歸方程,求得銷量.即可求得利潤(rùn)的表達(dá)式.由于周利潤(rùn)大于598元,得不等式后,解不等式即可求解.【詳解】（1）由表可得,因?yàn)?由參考數(shù)據(jù),,所以代入公式可得,則,所以線性回歸方程；（2）設(shè)售價(jià)為元,由（1）知周銷量為,所以利潤(rùn),解得,因?yàn)?則.所以為了確保周利潤(rùn)大于598元,則該店應(yīng)該將產(chǎn)品的售價(jià)定為14元.【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸方程的求法和簡(jiǎn)單應(yīng)用,一元二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.18、方式一最大值【解析】

試題分析：(1)運(yùn)用公式時(shí)要注意審查公式成立的條件，要注意和差、倍角的相對(duì)性，要注意升冪、降冪的靈活運(yùn)用；（2）重視三角函數(shù)的三變：三變指變角、變名、變式；變角：對(duì)角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角；變名：盡可能減少函數(shù)名稱；變式：對(duì)式子變形一般要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等，適當(dāng)選擇公式進(jìn)行變形；（3）把形如化為，可進(jìn)一步研究函數(shù)的周期、單調(diào)性、最值和對(duì)稱性.試題解析：解（1）在中，設(shè)，則又當(dāng)即時(shí)，（Ⅱ）令與的交點(diǎn)為，的交點(diǎn)為，則，于是，又當(dāng)即時(shí)，取得最大值.,（Ⅰ）（Ⅱ）兩種方式下矩形面積的最大值為方式一：考點(diǎn)：把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值問(wèn)題.19、(1)圓：.(2)證明見(jiàn)解析；，.【解析】

（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線距離公式以及圓的弦長(zhǎng)列方程，解方程求得圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求得圓的方程.（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)過(guò)圓的切線的幾何性質(zhì)，得到過(guò)，，三點(diǎn)的圓是以為直徑的圓.設(shè)出圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，利用，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到該圓對(duì)應(yīng)的方程，根據(jù)方程過(guò)的定點(diǎn)與無(wú)關(guān)列方程組，解方程組求得該圓所過(guò)定點(diǎn).【詳解】解：（1）設(shè)圓心，則圓心到直線的距離.因?yàn)閳A被直線截得的弦長(zhǎng)為∴.解得或（舍），∴圓：.（2）已知，設(shè)，∵為切線，∴，∴過(guò)，，三點(diǎn)的圓是以為直徑的圓.設(shè)圓上任一點(diǎn)為，則.∵，，∴即.若過(guò)定點(diǎn)，即定點(diǎn)與無(wú)關(guān)令解得或，所以定點(diǎn)為，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圓的幾何性質(zhì)，考查圓的弦長(zhǎng)有關(guān)計(jì)算，考查曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的求解策略，考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于中檔題.20、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)題意，若、、三點(diǎn)共線，則表達(dá)和，根據(jù)向量共線定理的坐標(biāo)表示，可求解參數(shù)值，即可求解模長(zhǎng).（2）根據(jù)題意，先求，，再求向量、的夾角，代入三角形面積公式，即可求解.【詳解】解：（1）已知向量，，∴，，由點(diǎn)、、三點(diǎn)共線，得.解得.，（3）因?yàn)?，，?/p>