江西省南昌市2024屆高三第一次模擬測試數學試題（解析版）

2024年HGT第一次模擬測試

數學

本試卷共4頁，22小題，滿分150分.考試時間120分鐘

一、單項選擇題：共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項

是符合題目要求的.

-,4.A=(xeR|%2-2%-4<0),1?=1%￡^|x<10),AR_

1.已知集合I>1+J,n則8—()

A.{1}B.{1,2}C.{1,2,3}D.{1,2,3,4}

【答案】C

【解析】

【分析】先求出集合A,3,再由交集的定義求解即可.

【詳解】因為/-2%-4<0,所以1一君<工<1+石，

所以A={xeR|l—逐<%<1+行},3={1,2,3,4,5,6,7,8,9},

所以A{1,2,3).

故選：C.

2.已知復數z滿足z—2i=zi+4,則忖=()

A.3B.屈C.4D.10

【答案】B

【解析】

【分析】先由復數的乘法和除法運算化簡復數，再由復數的模長公式求解即可.

【詳解】由z—2i=zi+4可得：z—zi=2i+4,

所以“卡=^>^=^^2+2+2y,

l-i(l-i)(l+i)2

所以|z|=A/32+12-A/10.

故選：B.

19

3.己知等差數列{4}的前〃項和為S”，若%=]3=§，則57=()

A.51B.34C.17D.1

【答案】c

【解析】

【分析】由題意列方程組可求出用,d,再由等差數列的前九項和公式求解即可.

【詳解】設等差數列｛%,｝的首項為生,公差為d,

C71

%+2a——

12

所以由〃3=]，。6=§可得：<

一2

a1+54=§

1

解得：\,

d=-

[9

bi°17x16117x161

所以S[7=17a,H------dJ=17x—i-------x-=]7.

2929

故選：C.

r21

4.已知p:ln(a-l)〉0,q:6;〉0,---+--<a,則，是4的()

x

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據充分條件和必要條件的定義，結合對數函數定義域和基本不等式求最值，利用集合包含關系可

得.

詳解】由ln(a—1)>0,得，，=a>2,

'[a-1>1

設p:A={dln(a_l)〉0}={4〃>2},

r24-1r24-1

由玉〉0,-----<a的否定為V%>0,----->a,

xx

令/(%)=二±1=*+工22,當且僅當彳=!時，又x>0,即x=l等號成立,

Y2+1

若V%>0,----->a，貝！J〃<2,

x

X+1

若m%>0,-------<a,則〃22,

x

設q:B={4N2},因為{422}3?>2},所以夕=4且q4p,

所以。是q的充分不必要條件

故選：A

5.已知拋物線C:Y=4y的焦點為”A是拋物線。在第一象限部分上一點，若|AF|=4,則拋物線。在

點A處的切線方程為（）

A.y（3x—y—3=0B.2x—y—1=0

C.x-y-1=0D.yflx—y—2=0

【答案】A

【解析】

【分析】設A（石根據拋物線的定義求得％=2j§，?=3,再根據導函數的幾何意義求出切線斜率，

由點斜式寫出方程即可

【詳解】設A（4X）,

由必=4>，得夕=2,所以拋物線的準線方程y=—1,

由拋物線的定義可得|4同=%+1=4,得乂=3代入d=4〉，得玉=±2若，

又A是拋物線C在第一象限部分上一點，所以%=26

由x?=4y,得y=—x2,所以/=—x,

42

所以拋物線C在點A處的切線方程斜率為y'\x=xi=2^=1x2V3=73,

所以拋物線C在點A處的切線方程為y—3=g（x—2相），即瓜—y—3=0,

故選：A

6.6知a=log25,：=log52,c=”，則（）

A.C<a<bB.a<c<b

C.a<b<cD.b<c<a

【答案】D

【解析】

【分析】由對數函數和指數函數的性質可得。>2力<1,l<c<2,即可得出答案.

［詳解】因為a=log25>log24=2,b=log52<log55=1,

l<c=e；=正<a=2,所以。<c<a—

故選：D.

7.已知函數〃x)=sin卜—,則下列結論中錯誤的是()

A./(九)是奇函數B./(%)_=1

C.“X)在［—2,-1］上遞增D.“X)在［1,2］上遞增

【答案】B

【解析】

【分析】根據奇函數的定義可判A；根據復合函數的單調性并求出最值判斷B、C、D

【詳解】因為尤e［—2,—所以定義域關于原點對稱，

且/(-%)=sin［-x+—^=sin［x-=-sin=-/(%),

所以/(x)是奇函數；故A對；

令”=x-，e［l,2］,所以妝x)在［1,2］單調遞增，

所以04無一工〈34工，即4巴，0,三單調遞增，

x2222L2J

所以/(x)=sin\在［1,2］單調遞增，故D對；

因為/(%)是奇函數，所以/(%)在［—2,—1］上遞增，故C對，

綜上，/(-1)=-/(1)=0,則/(x)max=/(2)=sin(2—；］=singwl,故B錯；

故選：B

8.木桶效應，也可稱為短板效應，是說一只水桶能裝多少水取決于它最短的那塊木板.如果一只桶的木板

中有一塊不齊或者某塊木板有破洞，這只桶就無法盛滿水，此時我們可以傾斜木桶，設法讓桶裝水更多.如

圖，棱長為2的正方體容器，在頂點G和棱A4的中點M處各有一個小洞(小洞面積忽略不計)，為了保

持平衡，以為軸轉動正方體，則用此容器裝水，最多能裝水的體積V=()

20

C.6D.

【答案】C

【解析】

【分析】作出輔助線，得到PMQG為菱形，從而得到多能裝入的體積為長方體"7KX-A5CD的體積

加上長方體MTRX-A4GA的體積的一半，結合正方體的體積求出答案.

【詳解】棱長為2的正方體的體積為23=8,

在BBy,上分別取P,Q,使得用。=RQ=；,

乂“為棱AA的中點，故由勾股定理得Gp="Q="P=GQ

故四邊形PMQC為菱形，故四點共面,

取BB^CCi,DR的中點T,R,X,連接MT,TR,RX,XM,

則平面PMQ3將長方體MTRX-44GA的體積平分，

故以6。為軸轉動正方體，則用此容器裝水，

則最多能裝入的體積為長方體MTRX-ABCD的體積加上長方體MTRX-44Gq的體積的一半,

33

故最多能裝水的體積V=Z匕向=4義8=6.

故選：C

二、多項選擇題：共4小題，每題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知空間中兩條不同直線m7?和兩個不同的平面。,萬，則下列說法正確的是（）

A.若加n,mua,則“a

B.若a分,m<=。，則m,夕

C.若mu/7,則m

D.若aL0,nu/3,則〃

【答案】BC

【解析】

【分析】根據線面平行的判定判斷選項A；根據面面平行的性質以及線面平行的定義判斷選項B；根據線面

垂直的定義判斷選項C；根據面面垂直性質判斷選項D

【詳解】若小凡mua,則“a或“ua,故A錯；

若aB，mua,則機與平面夕無公共點，故加.0,故B對；

若m：L0,nu0,則〃z垂直于夕內的任一條直線，所以m_1_〃，故C對；

若則〃與a可能平行或相交或在c內，故D錯；

故選：BC

10.已知圓。：必+丁2=4與直線/:%=%；+有交于A,3兩點，設Q鉆的面積為S（m）,則下列說法

正確的是（）

A.S（m）有最大值2

B.S（m）無最小值

C.若叫力/，則s（4）#s（叫）

D,若5（%）H5（㈣）,則叫片呵

【答案】ABD

【解析】

【分析】設出點線距離，求出面積取值范圍判斷AB,利用圓的對稱性判斷C,將D轉化為逆否命題再判斷

即可.

【詳解】

由題意得/:x=my+G必過尸(6,0),如圖，取A3中點為。，

故saw=S(m)=g>ABxCD=14—。。20D=JODYA-OD。),設0D為d,

故So"=小屋(4_儲)=小-d—2)2+4，易知ODWOP,即0<d<g,

故0<d2K3,令￡=/?0,3],而S。他=J—(52)2+4,

由二次函數性質得當/=2時，S°AB取得最大值，此時S（m）=S0鉆=2,故A正確,

由二次函數性質得，S（m）在（0,2］單調遞增，在（2,3］單調遞減,

易知當/=3時，S（m）=6，當r30時，S（m）f0,故S（m）?0,2］,則B正確

對于C,作A關于x軸的對稱點A',8關于x軸的對稱點8',連接。4',OB,

由圓的對稱性知S.AB=SOA?，故不論用取何值，必有S（g）=S。%）,故C錯誤，

易知D的逆否命題為若班=m2,則S（74）=S（〃A）,

故欲判斷D的真假性，判斷其逆否命題真假性即可，

顯然當班=加2時，則s（%）=se?2）,故D正確，

故選：ABD

11.某環(huán)保局對轄區(qū)內甲、乙兩個地區(qū)的環(huán)境治理情況進行檢查督導，若連續(xù)10天，每天空氣質量指數

（單位：pig/n?）不超過100,則認為該地區(qū)環(huán)境治理達標，否則認為該地區(qū)環(huán)境治理不達標.已知甲乙兩

地區(qū)連續(xù)10天檢查所得數據特征是：甲地區(qū)平均數為80,方差為40,乙地區(qū)平均數為70,方差為90.則

下列推斷一定正確的是（）

A,甲乙兩地區(qū)這10天檢查所得共20個數據的平均數是75

B,甲乙兩地區(qū)這10天檢查所得共20個數據的方差是65

C.甲地區(qū)環(huán)境治理達標

D.乙地區(qū)環(huán)境治理達標

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據條件分別求出平均數和方差判斷選項A、B；根據條件判斷甲乙地區(qū)的每天空氣質量指數判斷

選項C、D

【詳解】甲地區(qū)平均數為80,乙地區(qū)平均數為70,則甲乙兩地區(qū)這10天檢查所得共20個數據的平均數是

80x10+70x10

故A對;

20

設甲乙兩地區(qū)連續(xù)10天檢查所得數據分別為與7=1,2,3,?,10和%,1=1,2,3,,10,

11010

所以S：=京2（乙一80）2=40,得2（%-80）2=400,

1U/=11=1

11010

廢=高￡（%—70）2=90,得2（%-70）2=900,

1Ui=\z=i

]1011011]

由元=80,;.——Z[10（%—80）]=—義10^^——xl0x800=—xl0x800——xl0x800=0,

20j=]20j=]202020

110110111

由y=70,;.—Z[10（*-70）]=—xl0Z%——xl0x700=—xl0x700——xl0x700=0,

20j=i20j=i202020

甲乙兩地區(qū)這10天檢查所得共20個數據的方差是

1ioc1ioc

$部-75）2+號（…）2

=茄11￡0（乙一80+5）c+—[^10（y,-70-5）c-

ZUi=iZUj=i

=WZ[（七一80）2+1。（N-80）+251+點￡[（/_70）2一J。（/―70）+25]

1￡

11011101101

-7-80）-+萬￡口0（匕-80）]+萬xl0x25+京-70）--布￡口。（%-70）]+布xl0x25

,-iAJj=i

20ZU=ZUZZU{=iZU

=—x400+—x900+25=90,

2020

甲地區(qū)平均數為80,方差為40,如果這10天中有一天空氣質量指數大于100,那么它的方差就一定大于

19

px(100-80)=40,

所以能確定甲地區(qū)連續(xù)10天，每天空氣質量指數不超過100,所以甲地區(qū)環(huán)境治理達標，故c對;

乙地區(qū)平均數為70,方差為90,如果這10天中有一天空氣質量指數大于100,那么它的方差就一定大于

1

—X(100-70)9=90,

所以能確定乙地區(qū)連續(xù)10天，每天空氣質量指數不超過100,所以乙地區(qū)環(huán)境治理達標，

故選：ACD

12.已知直線是曲線/(%)=lav上任一點Aa,弘)處的切線，直線乙是曲線g(%)=e，上點35,xj處

的切線，則下列結論中正確的是()

A.當王+為=1時，412

B.存在X],使得/]

C.若4與4交于點。時，且三角形ABC為等邊三角形，則玉=2+6

D.若4與曲線g(x)相切，切點為C(%，%)，則%為=1

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據導數求出兩直線斜率可判斷選項A、B；根據斜率與傾斜角的關系及和差角公式求出玉=2+6,

判斷選項C；利用導數的幾何意義求出斜率判斷選項D

【詳解】由題意得％=In%，由占+%=1,

得西+111%=1,如圖，可知y=x+lnx與y=1交點是(1,1)

可得Xi=1,

X=In再=In1=0,

由=得/'(x)=L所以直線4的斜率為/'(%)=/⑴=1,

由g(x)=e",得g(x)=e1,所以直線4的斜率為g'(%)=g(O)=e°=1=/'(王),

即直線4的斜率等于直線的斜率，所以故A對;

因為勺人=/,(x)g'E)=：e，=(?”=：鵬=i一1,

所以不存在均，使得故B錯;

如圖，設44的傾斜角分別為a,/3,

IT

因為三角形ABC為等邊三角形，所以夕=。+1,

又tana=/'(玉)=',tan/?=g'(yJ=eM=elnX|二玉

xi

「L6

，

所以tan,=tan[a+])=tana+3x

-------------=-i-------=%

1-tan6T]_I.有

一百

整理得d—25—1=0,所以用=6±2,

因為A(X，K)在曲線/(x)=lnx上，所以網＞0,所以％=6+2,故C對;

若4與曲線g(x)相切，切點為。(孫％)，則勺=/'(%)=—=g'(x2)=e*,

x\

即上=弁，又C(%2，%)在g(%)=e"上，所以%=e*，所以‘=%，即%乂=1，故D對;

玉元1

故選：ACD

【點睛】關鍵點點睛:根據導數的幾何意義求出直線斜率，結合兩直線平行和垂直的斜率關系進行判斷各

項.

三、填空題：共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量滿足問=21=(1,20),且a.》=—i，則向量“力夾角的余弦值為

【答案】---

6

【解析】

【分析】由向量的夾角和模長公式求解即可.

【詳解】因為)所以W=JF不可=3，

a-b-11

所以向量。力夾角的余弦值為：c°sa0=隨“=5點=一^.

故答案為：一二.

14.(x-2y)6(l—x)的展開式中x4/的系數是.

【答案】160

【解析】

【分析】根據二項式展開(x-2y)6,然后在與(1-尤)相乘，找到/J?這一項即可.

【詳解】由于題目要求一丁3的系數，

所以對于(x-2y)6的展開項中，沒有力丁3這一項.

所以只需要求出(x—2y)6的Vy3項在與。一力相乘即可.

0^3(-2^)3.(-%)=160%4/,故系數為160.

故答案為：160.

15.“南昌之星”摩天輪半徑為80米，建成時為世界第一高摩天輪，成為南昌地標建筑之一.已知摩天輪轉一

圈的時間為30分鐘，甲乙兩人相差10分鐘坐上摩天輪，那么在摩天輪上，他們離地面高度差的絕對值的

取值范圍是.

【答案】[0,80君]

【解析】

【分析】由已知設甲乙兩人坐上摩天輪的時間分別為7,/+10,得到甲乙兩人坐上摩天輪轉過的角度，分

別列出甲乙離地面的高度％=80-80cos^!?,用=80—80cos[^1/+g],然后得到

1^-^1=8073sin[^|z+^|,由.的取值范圍即可求解.

【詳解】設甲乙兩人坐上摩天輪的時間分別為/,f+10,

2兀jr2冗JT2TE

則甲乙兩人坐上摩天輪轉過的角度分別為一f=—r,——(/+10)=—/+——,

301530v7153

jr

則甲距禺地面的IWJ度為％=80—80cost,

乙距離地面的高度為刈=80-80cos

則論一為二80-80COS—Z-80+80cos|—t+—\

15(153)

cc|兀2兀|71cc兀271.71.2兀71

—80cos—tH-----80cos—t—80cos—tcos-------sin—Zsin------cos—

(153)1515315315

一

=80-Jos23sin3=80向幅Y

=80V3Tcos^?+-sin^r

215215

jrjr77rI7171i

因為0<f<30,所以0<—/+—〈一，所以04sin—/+—<1,

1533U53)

即日_仇|e［o,80^/3J.

故答案為：［0,80通］.

16.用平面截圓錐面，可以截出橢圓、雙曲線、拋物線，那它們是不是符合圓錐曲線的定義呢？比利時數學

家旦德林用一個雙球模型給出了證明.如圖1,在一個圓錐中放入兩個球，使得它們都與圓錐面相切，一個

平面過圓錐母線上的點P且與兩個球都相切，切點分別記為耳，鳥.這個平面截圓錐面得到交線CM是。

上任意一點，過點M的母線與兩個球分別相切于點G,H,因此有加￡+崢="6+必/=6〃，而

G”是圖中兩個圓錐母線長的差，是一個定值，因此曲線。是一個橢圓.如圖2,兩個對頂圓錐中，各有一

4

個球，這兩個球的半徑相等且與圓錐面相切，已知這兩個圓錐的母線與軸夾角的正切值為一，球的半徑為

3

4,平面e與圓錐的軸平行，且與這兩個球相切于A3兩點，記平面。與圓錐側面相交所得曲線為C,則

曲線C的離心率為.

o

【解析】

【分析】根據矩形的性質求出|O]Q|=|EE|,由題意求出|Qa|=io,根據旦德林雙球模型和雙曲線定義

可得儼耳日尸同=6,求出0、c即可

【詳解】如圖，是圓錐與球的切點，是球心，尸是截口上任一點，

連接002，O]AQB,則_LAB,QB，A3,所以"川TQB|=4,OXAO2B,

所以O.ABO,是矩形，10。21TA

連接OM，CN,則O[M±MN,O2N±MN,

44

因為圓錐的母線與軸夾角的正切值為一，即tanZMOQ=—,

313

\O.M\4^\OM\=3,

所以tanNA。。]=-：----r=------

1\OM\0M

根據對稱性得|QV|=3,

所以|MN|=6,故兩圓的公切線長為6

連接PB,PA,0P,設0尸與球。1的切線交于K,與球。2的切線交于人貝|J[?H|=|?S|,|PK|=|K4|

所以||PA|-|PB||=\HK\=|M^|=2a=6,得a=3,

在△OgA中，|。。1|=Jlad+32=J9+16=5,

所以la。卜閨&|=2c=l。，得c=5

c5

曲線c的離心率為一=—

a3

故答案為：—

3

四、解答題：共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.已知函數/(x)=(2+ln2)x-xlnx.

(1)求了(%)的單調遞減區(qū)間；

(2)求了(%)的最大值.

【答案】⑴(2e,+“)；

(2)2e.

【解析】

【分析】⑴求導得r(x)=ln—,令/'(力<0可求"％)的單調遞減區(qū)間；

(2)由⑴易判斷〃龍)龍e(0,2e)時單增，外力在xe(2e,+。)時單減，進而求出了(或麻.

【小問1詳解】

2e?e

/,(x)=l+ln2-lnx=ln一,令/得0<一<1,即x>2e,

xx

所以"%)的單調遞減區(qū)間為(2e,+”)；

【小問2詳解】

當xe(0,2e)時,/'(x)>0,/(x)單調遞增；

當;te(2e,+oo)時，單調遞減，

所以/(x)W〃2e)=(2+ln2)2e—2eln2e=2e,即的最大值為2e.

18.對于各項均不為零的數列｛%｝,我們定義：數列理｝為數列｛%｝的“左-比分數列”.已知數列

｛%｝,也｝滿足q=4=1,且｛4｝的“1—比分數歹！I”與也｝的“2-比分數歹小是同一個數列.

（1）若｛2｝是公比為2的等比數列，求數列｛4｝的前〃項和S“；

（2）若｛2｝是公差為2等差數列，求

H

【答案】（1）S,i=1x（4-l）；

⑵%=gx（4"2—1）.

【解析】

【分析】（1）利用已知求出通項公式，再求前九項和即可.

（2）利用累乘法求通項公式即可

【小問1詳解】

由題意知箕

因為4=1,且也,｝是公比為2的等比數列，所以巴包=4,

因為％=1,所以數列｛4｝首項為1,公比為4的等比數列，

所以S=1x0-4）=L（4“T；

"1-43I）

【小問2詳解】

因為偽=1,且也｝是公差為2的等差數列，所以2=2"-1,

4+1一%2—2〃+3

所以——~r~-n―r

anbn2〃—l

a2〃+1a,2〃一1a_5

所以七=五二？七=五三2

q1

所以4_（2〃+1）（2〃一1）因為i

%3x1

所以4=gx（4/-lj.

JTJT

19.如圖，兩塊直角三角形模具，斜邊靠在一起，其中公共斜邊AC=10,ZBAC=-,ZDAC=-,

34

交AC于點E.

（1）求BI）?；

（2）求AE.

【答案】（1）50+25/'；

（2）573-5.

【解析】

7171

【分析】（1）由銳角三角函數求出A3、A。，又=—+—,利用兩角和的余弦公式求出cosNR4D,

34

最后由余弦定理計算可得；

（2）解法1：首先求出sinZBAD,再由SABDSABE+SADE,利用面積公式計算可得；解法2：首先得

到七=9皿=立，再由人石+石。=1。計算可得.

ECSBCD3

【小問1詳解】

由已知，AB=AC-cos^BAC=lQx-=5,

2

AD=ACcos/ZMC=10x立=5后，

2

JTJT

因為NBAD=ZBAC+NZMC=NBAC=—+—,

34

jiJIJIJI

=cos—cos——sin—sin—

H3434

1V2V3V2V2-V6

=一義--------x-----=------------，

22224

所以在△ABD中由余弦定理可得BD2=AB2+AD2-2AB-ADcosABAD

=25+50—2x5x5^x0-"

4

=50+25石.

【小問2詳解】

解法1：因為sin/3AD=sin[二+B]=sinHcos工+cos工sin工

（34）34344

又因為SABD=SABE+SADE,

所以工?AB?AD?sin/BA。=工?AB?AE?sin/BAE+工?AE?AD?sin/E4D,

222

BP—x5x5A/2x"+點=—x5xAEx-+—xAE義50x，

242222

解得AE=56-5.

解法2：因為/BAD+/BCD=兀,所以sin/BAD=sin（兀一NBCD）=sin/BCD,

又AD=CD=5g，BC=5?，

-xAB-AD-sin^BAD—x5x5\flsm^BADr

所以A娃r=4c=^-----------------------------=f-----------------------------=2,

ECSBCD-xBC-CDsin^BCD；x5拒義5丑sinNBCD3

又因為AC=10,所以AE+EC=10,則AE+Ji4E=10，

所以AE=56-5.

20.甲公司現有資金200萬元，考慮一項投資計劃，假定影響投資收益的唯一因素是投資期間的經濟形

勢，若投資期間經濟形勢好，投資有25%的收益率，若投資期間經濟形勢不好，投資有10%的損益率；

如果不執(zhí)行該投資計劃，損失為1萬元.現有兩個方案，方案一：執(zhí)行投資計劃；方案二：聘請投資咨詢公

司乙分析投資期間的經濟形勢，聘請費用為5000元，若投資咨詢公司乙預測投資期間經濟形勢好，則執(zhí)

行投資計劃；若投資咨詢公司乙預測投資期間經濟形勢不好，則不執(zhí)行該計劃.根據以往的資料表明，投資

咨詢公司乙預測不一定正確，投資期間經濟形勢好，咨詢公司乙預測經濟形勢好的概率是0.8；投資期間

經濟形勢不好，咨詢公司乙預測經濟形勢不好的概率是07假設根據權威資料可以確定，投資期間經濟形

勢好的概率是40%,經濟形勢不好的概率是60%.

（1）求投資咨詢公司乙預測投資期間經濟形勢好的概率；

（2）根據獲得利潤的期望值的大小，甲公司應該執(zhí)行哪個方案？說明理由.

【答案】（1）0.5；

（2）甲公司應該選擇方案二，理由見解析

【解析】

【分析】（1）由全概率公式即可得解；

（2）方案一服從兩點分布，由此求出對應的概率可得期望；方案二有三種情況，分別算出相應的概率，結

合期望公式算出期望，比較兩個期望的大小即可得解.

【小問1詳解】

記投資期間經濟形勢好為事件投資期間經濟形勢不好為事件B2,

投資咨詢公司預測投資期間經濟形勢好為事件A,

則尸（4）=0.4,尸（男）=0.6,

因此P（A）=P（4A+B2A）=0.4X0.8+0.6x0.3=0.5；

【小問2詳解】

若采取方案一，則該公司獲得的利潤值X萬元的分布列是

X50-20

P0.40.6

￡（X）=50x0.4-20x0.6=8萬元；

若采取方案二：設該公司獲得的利潤值為y萬元，有以下情況，

投資期間經濟形勢好，咨詢公司乙預測經濟形勢為好，丫=49.5,

其發(fā)生的概率為：。（4人）=04x0.8=0.32,

投資期間經濟形勢好，咨詢公司乙預測經濟形勢為不好，Y=-1.5,

其發(fā)生的概率為：P（旦Z）=04x0.2=0.08,

投資期間經濟形勢不好，咨詢公司乙預測經濟形勢為好，7=-20.5,

其發(fā)生的概率為：P（B2A）=0.6x03=0.18,

投資期間經濟形勢不好，咨詢公司乙預測經濟形勢為不好，r=-i.5,

其發(fā)生的概率為：P（B2A）=0.6x0.7=0.42,

因此，隨機變量F的分布列為:

Y-20.5-1.549.5

P0.180.50.32

因此，￡（￥）=—20.5x0.18—1.5*0.5+49.5*0.32=—3.69—0.75+15.84=11.4萬元,

因為￡（x）＜￡（y）,所以甲公司應該選擇方案二.

7T

21.如圖，四棱錐P—ABCD中，底面A3CD是邊長為2的菱形，ZABC=~,已知E為棱A￡）的中

3

點,尸在底面的投影〃為線段EC的中點，/是棱尸C上一點.

（1）若CM=2MP,求證：PE//平面MBD；

⑵若PBLEM,PC=EC,確定點M的位置，并求二面角3—EM—C的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

（2）M為PC中點，亙.

19

【解析】

CDCN

【分析】（1）根據角平分線性質定理得一=—=2,由平行線分線段成比例定理得MNPE,再由線

DENE

面平行的判定可證；

（2）利用線面垂直可得進而得平面PEC,由線面垂直得EM,PC,然后根據等邊

三角形三線重合即得M為PC中點，以C為原點，分別以CB,CE為陽y軸，以過C點且與平面A3CD

垂直的直線為z軸建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，利用公式cos〃,C5=|?求解即可

\n\-\CB\

【小問1詳解】

設BDcCE=N,因為底面A3CD是邊長為2的菱形，

所以CD=A5,對角線2。平分NADC,

又E為棱A。的中點，所以CD=A3=2DE,

CNCD

在AM)。中，根據角平分線性質定理得—=J=2,

NEDE

CMg,CNCM

又CM=2MP,所以——=2,所以一==2，

MPNE~MP

:.MN//PE,PEU平面AffiD,且MNu平面加5。,，。￡7/平面又8￡).

【小問2詳解】

QPH上平面ABCD,且5Cu平面ABCD,.?.尸HLBC,

TT27r

因為NA3C=V,所以NBCD=」，

33

jr

在，ACD中，CD=AB,ZABC=-,所以ACD是等邊三角形，

3

又E為棱AD的中點，所以3CJ_CE,

QP7/，平面A3CD,PHu平面PCE,所以平面PCE，平面A3CD,

又平面PCEc平面ABCD=CE,3。匚平面428,，5。_1平面產￡。，

又上A/u平面PEC,:.BC±EM,

又、PBLEM，PBcBC=B,PB,BCu平面PBC,

;.EMJ_平面尸5C，且尸Cu平面尸5C,.,.EM_LPC.

因為P在底面的投影H為線段EC的中點，所以尸。=尸石，又PC=CE

所以PCE為等邊三角形，故M為尸C中點，

所以M在底面ABCD上的投影為C8的中點.

在CDE中,CE=JCZ^+CE?—2CDxDE><cos60。=,4+1—2義2義1義；=石，

CEVAD,PH=—CE

22

以C為原點，分別以CB,CE為羽y軸，

以過C點且與平面A3CD垂直的直線為z軸建立空間直角坐標系,

V3°、

所以0（0,0,0）,以2,0,0）,網0,百,0）,河0,彳司'

:.EB=(2,-6,0)

l44J

n-EB=0=>2x--J3y=0

設〃=（羽y,z）是平面EBM的一個法向量，貝卜

九*0=

令y=2,則X=G,Z=26,即〃=(6,2,2g),

5C_L平面