惠州、珠海等六校聯(lián)考2024屆高考數(shù)學(xué)試題全真模擬密押卷

惠州一中、珠海一中等六校聯(lián)考2024屆高考數(shù)學(xué)試題全真模擬密押卷

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色

字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。

2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.在平面直角坐標(biāo)系xQv中，銳角。頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸正半軸，終邊與單位圓交于點(diǎn),m,則

sin^2^+j=()

AA/2口Mr70n3面

10101010

2.設(shè)集合A={1,2,6},3={—2,2,4},C={xeR|—2<x<6},貝!](4B)「C=()

A.{2}B.{1,2,4)

C.{1,2,4,6}D.{xeR|-l<x<5}

22

3.存在點(diǎn)M（%,yo）在橢圓二+當(dāng)=1（?！?〉0）上，且點(diǎn)M在第一象限，使得過(guò)點(diǎn)M且與橢圓在此點(diǎn)的切線

ab

笄+岑=1垂直的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)[o,-21，則橢圓離心率的取值范圍是()

ab\L)

3喈_B.(制C-[°'T

4.在AABC中，。在邊AC上滿足=E為BD的中點(diǎn),則C￡=().

7-33-7377-3

A.-BA--BCB.-BA——BCC.-BA+-BCD.-BA+-BC

88888888

5.(1+2%)(1+%)5的展開(kāi)式中爐的系數(shù)為()

A.5B.10C.20D.30

6.若等差數(shù)列｛氏｝的前〃項(xiàng)和為且43=。，/+。4=21,則跖的值為（）.

A.21B.63C.13D.84

C/

2x,x<0

7.已知函數(shù)/(x)=<，則//31()

log3x,x>0

V21

A.B.-C.-log32D.logs2

~T2

8.已知函數(shù)/(x)=2sin(0x-m)(A>°Q>°)，將函數(shù)/(尤)的圖象向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(%)的圖象，若

TT

函數(shù)g(x)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸是X=:，則。的最小值為

6

1255

A.-B.-C.一D.-

6336

9.已知水平放置的AA8C是按“斜二測(cè)畫(huà)法”得到如圖所示的直觀圖，其中皆0=。0，=1,40，=義，那么原AABC

2

的面積是()

A.6B.20

?--D.—

24

10.已知f{x)=e'T-e-+x,則不等式/(%)+f(3-2%)<2的解集是()

A.[1,+co)B.[0,+co)C.(f0]D.(^o,l]

11.下圖所示函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)何種變換可以得到y(tǒng)=sin2x的圖象()

A.向左平移g個(gè)單位B.向右平移g個(gè)單位

C.向左平移F個(gè)單位D.向右平移5個(gè)單位

O6

2

12.已知集合乂={丫Iy=2'，x>0},N={xIy=lg(2x-x)],則MCN為()

A.(1,+oo)B.(1,2)C.[2,+oo)D.[1,+oo)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.函數(shù)/(x)=的定義域?yàn)?

14.(x+j)(2x—j)5的展開(kāi)式中x3j3的系數(shù)為.

15.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-A4G。中，點(diǎn)E、尸分別是棱4Q，44的中點(diǎn)，尸是側(cè)面正方形5CG4

內(nèi)一點(diǎn)(含邊界)，若EP〃平面AEC,則線段4P長(zhǎng)度的取值范圍是.

16.《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章給出了弧田面積的計(jì)算公式.如圖所示，弧田是由圓弧

A3和其所對(duì)弦A5圍成的圖形，若弧田的弧A5長(zhǎng)為4〃，弧所在的圓的半徑為6,則弧田的弦A5長(zhǎng)是,

弧田的面積是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)過(guò)點(diǎn)P(-4,0)的動(dòng)直線I與拋物線C:爐=2py(p>0)相交于O、E兩點(diǎn)，已知當(dāng)I的斜率為:時(shí)，PE=4PZ〉

(1)求拋物線C的方程；

(2)設(shè)OE的中垂線在V軸上的截距為。，求b的取值范圍.

夕2

18.(12分)在極坐標(biāo)系3中，曲線C的極坐標(biāo)方程為=血+夕sin。，直線/的極坐標(biāo)方程為

0一2sin。

夕(cos8—sin8)=1,設(shè)/與C交于4、B兩點(diǎn),A5中點(diǎn)為M,的垂直平分線交。于E、尸.以。為坐標(biāo)原點(diǎn),

極軸為x軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系xOy.

(1)求C的直角坐標(biāo)方程與點(diǎn)〃的直角坐標(biāo);

(2)求證：|舷叫=

19.(12分)如圖，在四棱錐尸-A5CD中，底面ABC。為菱形，AR4D為正三角形，平面上4。，平面ABC。,E,尸

分別是AD,CD的中點(diǎn).

(1)證明:瓦)，平面PEF

(2)若/BAD=60°，求二面角6—?D—A的余弦值.

13-23

20.(12分)已知矩陣4=3=且二階矩陣M滿足AM=5,求M的特征值及屬于各特征值的一個(gè)

21J[11

特征向量.

21.(12分)已知函數(shù)/(力=卜一1|,不等式/(x)+/(xT)<5的解集為{x[m<x<〃}.

(1)求實(shí)數(shù)加，九的值；

(2)若x>0,y>0,nx+y+m^Q,求證：x+y>9xy.

22.(10分)已知。，仇ceR*,a+b+c-l,求證：

(1)yfa+yfb+Vc<A/3;

/、111、3

(2)1------------------1--------21.

3ci+13b+13c+12

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.A

【解析】

根據(jù)單位圓以及角度范圍，可得加，然后根據(jù)三角函數(shù)定義，可得sin，,cos。，最后根據(jù)兩角和的正弦公式，二倍角

公式，簡(jiǎn)單計(jì)算，可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：［豐j+m2=1,又6?為銳角

所以機(jī)＞0,機(jī)=拽

5

根據(jù)三角函數(shù)的定義：sine=邁,cose=旦

55

4

所以sin20=2sin0cos9=大

3

cos20=cos20-sin20-——

5

(71\7T7T

由sin|20——=sin26*cos——I-cos20sin—

I4)44

.\心吟4V23V272

所以sin|20=—x--------x——=——

I4J525210

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的定義以及兩角和正弦公式，還考查二倍角的正弦、余弦公式，難點(diǎn)在于公式的計(jì)算，識(shí)記公式，

簡(jiǎn)單計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.

2.B

【解析】

直接進(jìn)行集合的并集、交集的運(yùn)算即可.

【詳解】

解：AoJB={-2,l,2,4,6};

.\(AoB)nC={1,2,4).

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合描述法、列舉法的定義，以及交集、并集的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

3.D

【解析】

根據(jù)題意利用垂直直線斜率間的關(guān)系建立不等式再求解即可.

【詳解】

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)“橢圓的切線方程為誓+*=1,所以切線的斜率為-"，

abayQ

b

ynH—(j2\h~

由.°2x、bjo=_「解得為=￡7<6,即b2<2c2,所以02<2C2,

2c

X。Ia-y0)

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了建立不等式求解橢圓離心率的問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.

4.B

【解析】

13113

由AD=—DC,可得CD=—C4,CE=-(CB+CD)=-(CB+-CA),再將G4=的―BC代入即可.

34224

【詳解】

因?yàn)锳D=—1DC,所以8=1301,故CE=51(C3+O))=51(。3+彳301)=

13337

-(-BC+-BA--BC)=-BA——BC.

24488

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)以及平面向量基本定理的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題.

5.C

【解析】

由(l+2x)(l+x)5=(l+x)5+2x(l+x)5知，展開(kāi)式中了2項(xiàng)有兩項(xiàng)，一項(xiàng)是(1+x)'中的項(xiàng)，另一項(xiàng)是2x與(1+x),

中含X的項(xiàng)乘積構(gòu)成.

【詳解】

由已知，(1+2x)(1+x)5=(1+X)5+2x(1+X)5,因?yàn)?l+x)5展開(kāi)式的通項(xiàng)為所以

展開(kāi)式中X2的系數(shù)為C；+2C；=20.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查求二項(xiàng)式定理展開(kāi)式中的特定項(xiàng)，解決這類(lèi)問(wèn)題要注意通項(xiàng)公式應(yīng)寫(xiě)準(zhǔn)確，本題是一道基礎(chǔ)題.

6.B

【解析】

由已知結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式可求d,巧,然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可求解.

【詳解】

解：因?yàn)镾[3=。，a3+a4=21,

所以■13a++51d3=x62d1=0

,解可得，d=-3,q=18,

貝(IS=7xl8+1x7x6x(-3)=63.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

7.A

【解析】

根據(jù)分段函數(shù)解析式，先求得/當(dāng)?shù)闹?，再求得了[/[#]]的值.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.

8.C

【解析】

將函數(shù)Ax）的圖象向左平移g個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g（尤）=2sin（s+胃-會(huì)的圖象，因?yàn)楹瘮?shù)g（x）的圖象的一條

對(duì)稱(chēng)軸是％=三，所以sin（竽+W』）=±1,即竽+=V+E此Z,所以。=*+2匕左eZ,又切＞0,所以

663363323

。的最小值為9.故選c.

3

9.A

【解析】

先根據(jù)已知求出原AA5C的高為4。=班，再求原AA8C的面積.

【詳解】

由題圖可知原△ABC的高為40=73，

**.SAABC=_XJBCX(?A=—x2x^3y/3>故答案為A

【點(diǎn)睛】

本題主要考查斜二測(cè)畫(huà)法的定義和三角形面積的計(jì)算，意在考察學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.

10.A

【解析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(4)—1,通過(guò)分析g(x)的單調(diào)性和對(duì)稱(chēng)性，求得不等式/(%)+7(3-2%)<2的解集.

【詳解】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-1=—―擊+(x—1),

g(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，且向左移動(dòng)一個(gè)單位得到/i(x)=g(x+1)=陵-J+x,

M光)的定義域?yàn)镽，￡.//(—%)=——ex—x——h(^x^,

所以?shī)y％)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以g(x)圖像關(guān)于(1,0)對(duì)稱(chēng).

不等式/(無(wú))+7(3—2%)<2等價(jià)于〃x)—l+〃3—2x)—”0,

等價(jià)于g(x)+g(3—2x)W0,注意到g(l)=0,

結(jié)合g⑺圖像關(guān)于(1,0)對(duì)稱(chēng)和g(x)單調(diào)遞增可知x+3-2x<2^x>l.

所以不等式/(%)+/(3-2%)<2的解集是［1,+8).

故選：A

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)稱(chēng)性解不等式，屬于中檔題.

11.D

【解析】

根據(jù)函數(shù)圖像得到函數(shù)的一個(gè)解析式為/(X)=Sin12x+再根據(jù)平移法則得到答案.

【詳解】

設(shè)函數(shù)解析式為/(x)=Asin(0x+0)+〃，

"T717171

根據(jù)圖像：A=13=0,-=故7=/，即。=2,

43124

/^^=sin^+^=l,(p=^+2k7i,keZ,取左=0,得到/(x)=sin(2x+。],

函數(shù)向右平移個(gè)單位得到丁=sin2x.

6

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像求函數(shù)解析式，三角函數(shù)平移，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.

12.B

【解析】

M=以=小>。｝=如｝>1),

N=lx[y=lg(2x-x2)]=LC|2X-x2>0)

=L|/-2x<。｝=Lc|O<x<2),

:.MCN=(1,2).

故選B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.|x|O<x<1-j

【解析】

->0

由題意可得，"，解不等式可求.

、X

【詳解】

解：由題意可得，j，

lg--l..O

、x

解可得，0<%,g,

故答案為,1。<尻,1j.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的定義域的求解，屬于基礎(chǔ)題.

14.40

【解析】

先求出(2x->)5的展開(kāi)式的通項(xiàng)，再求出刀即得解.

【詳解】

設(shè)(2x-y)5的展開(kāi)式的通項(xiàng)為心=G(2x)5f(—W=(-1丫25-仁產(chǎn)了，

令r=3,則%=-4Cfx2/=-40x2y3,

令r=2,貝UT3=8C^x3y2=80x3y2,

所以展開(kāi)式中含xY的項(xiàng)為》.(―40好>3)+y.(80x3y2)=40x3y3.

所以x3-的系數(shù)為40.

故答案為：40

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)式定理求指定項(xiàng)的系數(shù)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

L得

【解析】

取AC中點(diǎn)G,連結(jié)/G,BG,推導(dǎo)出平面產(chǎn)G3//平面MC,從而點(diǎn)P在線段BG上運(yùn)動(dòng)，作于H,

由A"麴A3,能求出線段AP長(zhǎng)度的取值范圍.

【詳解】

取用G中點(diǎn)G,連結(jié)/G,BG,

在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-44cA中，點(diǎn)E、尸分別是棱AA、44的中點(diǎn),

:.AE//BG,AC//FG,

AE[AC=A,BGpFG=G,

二平面RSB//平面AEC,

P是側(cè)面正方形BCC]用內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），F(xiàn)P//平面AEC,

二點(diǎn)P在線段BG上運(yùn)動(dòng)，

在等腰AABG中，AG=BG=j22+f=#,^B=V22+22=2A/2,

作A"，8G于//,由等面積法解得：

A&M一（竽22點(diǎn)xG2底,

加-------前------=亞=丁

A.H^P\B,

二線段AP長(zhǎng)度的取值范圍是[等，2^/2].

【點(diǎn)睛】

本題考查線段長(zhǎng)的取值范圍的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是

中檔題.

16.673⑵-9豆

【解析】

過(guò)。作OCLAB,交于。，先求得圓心角NAO3的弧度數(shù)，然后解解三角形求得AB的長(zhǎng).利用扇形面積減去三

角形。43的面積，求得弧田的面積.

【詳解】

?.?如圖，弧田的弧A3長(zhǎng)為4兀，弧所在的圓的半徑為6,過(guò)。作OCLA5,交于。，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，0C

垂直平分AB.

,，-4萬(wàn)2n一一,

.?.（x=NAOb=---=——,可得NAOD=—,04=6,

633

：.AB=2AD=2OAsin-=2x6x—=673

32

11

二弧田的面積S=S扇形OAB-SA043=—*4型6-----x64x3=12k-96.

22

故答案為：6g12兀-9班.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查弓形弦長(zhǎng)和弓形面積的計(jì)算，考查中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(1)x2=4y；(2)Z?>2

【解析】

(1)根據(jù)題意，求出直線方程并與拋物線方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理，結(jié)合PE=4PZ),即可求出拋物線C的方程;

(2)設(shè)/:y=左(x+4),。石的中點(diǎn)為(九°,為)，把直線，方程與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式求出k的取值范圍，利用

韋達(dá)定理求出,進(jìn)而求出DE的中垂線方程，即可求得在V軸上的截距力的表達(dá)式，然后根據(jù)k的取值范圍求解即可.

【詳解】

(1)由題意可知，直線/的方程為y=g(x+4),

與拋物線方程C：必=2py(p>0)方程聯(lián)立可得,

2y2—(8+小+8=。,

設(shè)%,%),￡(%2，%)，由韋達(dá)定理可得，

8+p.

X+%=4,

因?yàn)镻E=4PO，=(%+4%)，PD=(菁+4X),

所以為=4%,解得%=L%=4,。=2,

所以拋物線C的方程為必=4門(mén)

⑵設(shè)/:y=M%+4),D￡的中點(diǎn)為(七,為)，

x2=4y

由｛/、，消去V可得了之一4日一16左=0,

y=Zz(1+4)

所以判別式A=16左2+64左＞0,解得左＜T或左＞0,

由韋達(dá)定理可得,%=迤獰=2k,y0=k(x0+4)=2k-+4k,

所以O(shè)E的中垂線方程為y-2左2—4左=-：(x-24)，

令x=0則/,=y=2左2+4左+2=2(左+1)2,

因?yàn)樽螅糡或左＞0,所以b＞2即為所求.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與拋物線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用;考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和運(yùn)

算求解能力;屬于中檔題.

18.(1)C:^-+y2=1,(2)見(jiàn)解析?

【解析】

'2_22

(1)將曲線C的極坐標(biāo)方程變形為夕2+(夕sind)2=2,再由°=A+,可將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)

[psm0=y

方程，將直線/的方程與曲線C的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)A、5的坐標(biāo)，即可得出線段A5的中點(diǎn)"的坐標(biāo)；

(2)求得|跖4|=|加5|=與，寫(xiě)出直線所的參數(shù)方程，將直線E尸的參數(shù)方程與曲線C的普通方程聯(lián)立，利用韋

達(dá)定理求得|加￡卜|阿|的值，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【詳解】

(1)曲線C的極坐標(biāo)方程可化為夕之=2—(夕sin8)2,即夕2+(夕sin8)2=2,

"2=2+2

將”-代入曲線C的方程得f+2y=2,

psin3=y

所以，曲線C的直角坐標(biāo)方程為C：弓+丁=1.

將直線I的極坐標(biāo)方程化為普通方程得x-y=l,

x-y=1X二

%=0

聯(lián)立X21，得,1或＜，則點(diǎn)4(0,—1)、B

2U=T

12,y二

因此，線段A5的中點(diǎn)為加

(2)由⑴^\MA\=\MB\=^^,Q

M-W=g-

x=

32

易知AB的垂直平分線EF的參數(shù)方程為＜■為參數(shù)),

172

一+一t

y二

32

8

代入c的普通方程得：.\ME\-\MF\=

2339

因此，4HMs|=|旌卜|畫(huà)|.

【點(diǎn)睛】

本題考查曲線的極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，同時(shí)也考查了直線參數(shù)幾何意義的應(yīng)用，涉及韋達(dá)定理的應(yīng)用，

考查計(jì)算能力，屬于中等題.

19.(1)詳見(jiàn)解析；(2)好.

5

【解析】

(1)連接AC,由菱形的性質(zhì)以及中位線，得BDLFE,由平面上平面ABCD,且。石，交線AD,得PE

平面ABC。，故而5。，PE,最后由線面垂直的判定得結(jié)論.

(2)以E為原點(diǎn)建平面直角坐標(biāo)系，求出平面平Q4D與平面尸皿的法向量)=(0,1,0)

,n=(A-l,-l),最后求得二面角6—FD—A的余弦值為

【詳解】

解：(1)連結(jié)AC

VPA=PD,且E是AD的中點(diǎn)，

PE±AD

???平面平面ABCD,

平面尸平面ABCD=AZ),

:.PE_L平面ABCD.

VBDu平面ABCD,

:.BD上PE

又ABCD為菱形，且E,尸為棱的中點(diǎn),

EF//AC,BD±AC

:.BDLEF.

又,：BD工PE,PEcEF=E,PE,EFu平面PEF

；.BD工平面PEF.

(2)由題意有，

；四邊形ABCD為菱形，且NBAD=60°,

：.EBLAD

分別以E4,EB,EP所在直線為x軸，y軸，z軸

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系后小，設(shè)AD=1,則

[aolJoE，。],/31。,。，

I21(2)1

設(shè)平面PBD的法向量為n=(x,y,z).

nDB=Qx+小y=0

由＜得

n,DP=Ux+=0

令x=W>,得〃=(百1,-1)

取平面APD的法向量為/77=(0,1,0)

二面角5—?D—A為銳二面角，

，二面角B-PD-A的余弦值為好

【點(diǎn)睛】

處理線面垂直問(wèn)題時(shí)，需要學(xué)生對(duì)線面垂直的判定定理特別熟悉，運(yùn)用幾何語(yǔ)言表示出來(lái)方才過(guò)關(guān)，一定要在已知平

面中找兩條相交直線與平面外的直線垂直，才可以證得線面垂直，其次考查了學(xué)生運(yùn)用空間向量處理空間中的二面角

問(wèn)題，培養(yǎng)了學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象力.

「01

20.特征值為1,特征向量為1.

【解析】

設(shè)出矩陣M結(jié)合矩陣運(yùn)算和矩陣相等的條件可求矩陣M,然后利用Ma=Aa可求特征值的另一個(gè)特征向量.

【詳解】

ba+3cb+3d

設(shè)矩陣M=，則AM=

d2a+c2b+d

a+3c=

b+3d=

所以，解得〃=1,6=0,。=一=所以M=

2〃+c=

2b+d=

則矩陣M的特征方程為=1)2=0,解得2=1,即特征值為1,

設(shè)特征值2=1的特征向量為a=>則Ma=Aa>

xx