天津市2023年高三各區(qū)數(shù)學(xué)模擬考試題型分類匯編-平面向量

專題11平面向量天津市2023年高三各區(qū)數(shù)學(xué)模擬考試題型分類匯編

JT

1.（2023?天津和平?耀華中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在《ABC中，ZBAC=j，AD=2DB>P為CD上一點(diǎn)、,且

滿足=+若ABAC=4,則網(wǎng)的最小值為（)

3_

A.2B.3C.百D.

2

2.（2023?天津?校聯(lián)考一模）如圖所示，梯形ABC。中，AD〃BC,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，BABC=O,

BDBA=BDAD=4,若向量CE在向量CB上的投影向量的模為*設(shè)“、N分別為線段CD、4）上的

則EM-EN的取值范圍是（)

13611161

C.D.3~9

3.（2023?天津河北?統(tǒng)考二模）在qASC中，角氏C的邊長(zhǎng)分別為b,c,點(diǎn)。為ABC的外心，若H+c°=2b,

則AO的取值范圍是（）

1

A.B.(0,2)C.——,+ooD.

4'°4

4.（2023?天津南開?統(tǒng)考二模）在「/4BC中，AC=BC=BAB?BC=-2，P為「.ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),

且尸。=1,則PA+P2的最大值為（）

A.4B.8C.12D.16

5.（2023?天津紅橋?統(tǒng)考二模）已知菱形ABC。的邊長(zhǎng)為2,ZBAD=120°,點(diǎn)E在邊BC上，BC=3BE,

若G為線段。C上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）

A.2B-I

D.4

ARArii

6.（2023?天津?校聯(lián)考二模）在平面四邊形ASCD中，AD=BC，——+——=-AC,84A￡>=2.若民

\AB\\AD\2

E為邊8。上的動(dòng)點(diǎn)，且|Eb|=6，則AE-AF的取值范圍為（）

A.B.2百D.

4

7.（2023?天津和平?統(tǒng)考三模）如圖，在ABC中，AB=43,AC=y/2,AD=-AB,AE=-AC,DM=ME,

33

BN=NC，若MN，BC,則cosA的值為（）

D.昱

3

8.（2023?天津河西?統(tǒng)考一模）在梯形ABCD中,AB//CD,且AB=2CD,M,N分別為線段DC和AB的

中點(diǎn)，若=AD=b，用。，b表示MN=.若MN工BC，則余弦值的最小值為

9.（2023?天津?校聯(lián)考一模）在△ABC中，AB=AC=3,AD=4BD^2CE=DA，AECO=—8,貝UcosNBAC=

,若動(dòng)點(diǎn)/在線段AC上，則。尸.石尸的最小值為.

10.（2023?天津?校聯(lián)考一模）已知向量機(jī)=（1,1）,向量〃與向量加的夾角為寺■,m-n=-l,則向量〃=

71X

;若向量〃與向量4=（1,。）的夾角為叁，向量夕=|cos%,2cos2,其中當(dāng)

3~2

、

I血小

時(shí)，實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

n.（2023?天津河北?統(tǒng)考一模）在矩形A5CD中，若AB=1,BE=gBC,且4比AE=AE,則的

值為,AE2C的值為.

12.（2023?天津南開?統(tǒng)考一模）在平面四邊形ABCD中，網(wǎng)=\BC\=\CD\=DA-DC=1,BABC=g，則|AC|=

;BDCD=.

13.（2023?天津?大港一中校聯(lián)考一模）在Rt^ABC中，已知|筋|=3,卜［=4,P是斜邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)。滿

試卷第2頁，共5頁

足|「。|=2,^AQ=mAB+nAC,若點(diǎn)。在邊BC所在的直線上，則〃2+〃的值為；的最大

值為.

14.（2023?天津紅橋?統(tǒng)考一模）如圖所示，在,ABC中，點(diǎn)。為2c邊上一點(diǎn)，S.BD=2DC，過點(diǎn)。的直

線E尸與直線AB相交于E點(diǎn)，與直線AC相交于歹點(diǎn)（及尸交兩點(diǎn)不重合）.AD=mAB+nAC>貝ip?"z=

，AE=AAB,AF=juAC,則幾+〃的最小值為

15.（2023?天津河?xùn)|?一模）已知等邊三角形A3C的邊長(zhǎng)為1,射線AB、AC上分別有一動(dòng)點(diǎn)M和N（點(diǎn)C

在點(diǎn)A與N之間），當(dāng)AM=CN=；時(shí)，CATBN的值為;當(dāng)AM=2OV時(shí)，CM-BN的最小值為

16.（2023?天津?統(tǒng)考一模）在ABC中，。為48的中點(diǎn)，CE=2ED,過點(diǎn)E任作一條直線，分別交線段AC、

2（7于尸、6兩點(diǎn)，設(shè)。4=0,海=，，若用4、6表示CE,則CE=;若C戶=ma，CG=nb（mn*0）,

則m+3n的最小值是.

17.（2023?天津和平?統(tǒng)考一模）已知四邊形ABCD,OC=rAB,AB=6,AO=4,/DW=60,且4￡><￡>=一6，

—.,、一.?一

點(diǎn)E為線段3D,上一點(diǎn)，且AE=（1+為AD+]CB,則2=,過E作麻〃BC交42于點(diǎn)產(chǎn)，

則FD-FC=.

18.（2023?天津?統(tǒng)考一模）如圖，在邊長(zhǎng)1為正方形ABCO中，M,N分別是BC,8的中點(diǎn)，則AATAC=

,若AC=XAM+,貝V+〃=.

19.（2023?天津和平?耀華中學(xué)?？级＃┰诰匦蜛BC。中，AB=2,BC=6點(diǎn)P在AB邊上，則向量CP

在向量CB上的投影向量的長(zhǎng)度是，CPPD的最大值是.

20.（2023?天津?二模）如圖，在△居（7中，。是8C上的一點(diǎn)，滿足|AC|?忸0=|初卜|。刈.〃在上且

11ACAH

\AM\^-\AD\,延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)H,|AD|=|CD|,tanN￡)AC=],則方?=

AC

21.（2023?天津?統(tǒng)考二模）在ABC中，AB=3^2,角A為銳角，且向量至在向量,C上的投影向量的模

是3,則4=；若AC=6,則函數(shù)/（x）=苫42-：4。+142-：4。（尤61i）的最小值為

7T

22.（2023?天津和平?統(tǒng)考二模）在平行四邊形ABCD中，/BAD=-,^AB,AD的長(zhǎng)分別為2與1,貝UAD+AB

BMCN

在AB上的投影向量為（用AB表示）；若點(diǎn)M,N分別是邊3c,8上的點(diǎn)，且滿足——=——?jiǎng)t

BCCD

AM-AN的取值范圍是.

23.（2023?天津河西?統(tǒng)考二模）窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1

是一個(gè)正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.如圖2,正八邊形ABCDEPGH

中，若荏=4互+〃而（4〃eR）,則幾+〃的值為；若正八邊形A8CAEFG”的邊長(zhǎng)為2,P是正八

邊形ABCDEFGH八條邊上的動(dòng)點(diǎn)，則Q.阮的取值范圍是

試卷第4頁，共5頁

24.（2023?天津河?xùn)|?統(tǒng)考二模）如圖，在ABC中，ZBAC=^,AD=2DB，尸為。＞上一點(diǎn)，且滿足

AP=mAC+^AB,則加的值為；若，ABC的面積為2JL,葉的最小值為.

25.（2023?天津?yàn)I海新?天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)?？既＃┰贏ABC中，AB=4,AC=3,C4C5=9.若

點(diǎn)。為邊BC的中點(diǎn)，則；若點(diǎn)。在邊BC上（不包含端點(diǎn)），延長(zhǎng)AO到P,使得

AP=9,^^PA=mPB+\^-m\pC（根為常數(shù)），則|。4+0q=.

26.（2023?天津河西?統(tǒng)考三模）在平面四邊形A3CD中，AB=BC=2CD=2,ZABC=60,ZADC=90,

若或=d=品=&＞則2怠.慶+/./=-----；若尸為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)日1.宓取最小值時(shí)，則

cosZPDC的值為.

27.（2023?天津?yàn)I海新?統(tǒng)考三模）在平面四邊形A3CD中，AB=2^3,AD=6,向量AB在向量AD上的投

影向量為:A。，貝|JNZMD=；若BC=；A￡＞,點(diǎn)E為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則CEME的最小值為

28.（2023?天津北辰?統(tǒng)考三模）在ABC中，BA=a，8C=b,若。為其重心，試用0,6表示3。為；

若。為其外心，滿足03c?8。+^^54出。=2M8O（"eR）,且sinA+sinC=&,則加的最大值為

參考答案:

1.A

【詳解】設(shè)CP=2CD，則AP=AC+C尸=AC+XC￡>=AC+2(AO-AC

=AC+A,^AB-AC^=^AB+(\-^AC=^AB+mAC,

[-2=-,1

所以，｛33,解得m=X=~.

m=1-2-

ABAC=\AB|-|AC|cos|=||AB|-|AC|=4,/.|AB|-|AC|=8,

|2(11A12121

AP\=-AB+-AC=-AB+-AC+-ABAC

IU2J943

=。網(wǎng)2+如C1+|>2破網(wǎng)2-K|2+|=4,

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)|AA=/AC|時(shí)，等號(hào)成立.

所以，網(wǎng)的最小值為2.

故選：A.

2.D

【詳解】BABC=O^:.BA±BC,

???梯形ABC。為直角梯形，

BDBA=^BA+ADyBA=BA2+ADBA=BA1=4,

:.\BA\=2>即BA=2,

由8。以。=4，同理可得A￡>=2,

又向量”在向量CB上的投影向量的模為4,所以3c=4,

以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，

答案第1頁，共24頁

則演0,D,A(0,2),D(2,2),C(4,0),

EM=EB+BC+CM=(0,-1)+(4,0)+2(-2,2)=(4-22,-l+22)

EN=EA+AN=(0,1)+—(2,0)=(—,1),

9A92

2Q1O

所以EM,EN=(4-2A,-l+2/l)-(—,1)=—+22-y,

11

由0W4且0<V1可得§—-1,

4

令力13,則由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性知，

/(X)=2(X+——

192

當(dāng)4時(shí)單調(diào)遞減，&時(shí)單調(diào)遞增，

故“兒=后)=弓，由**，/⑴得知，/?ax=y-

故EATENe,

故選：D

3.D

【詳解】取BC的中點(diǎn)D,則OD，3C,所以BCAO=BC(AD+DO)=BCAD+BCDO=BCAD

=(AC-AB>g(AC+AB)=；(AC-ABj=^(^2-c2)=^b2-[lb-b2^=b2-b=[b-^

因?yàn)?lt;?=26-從>o,則Z>(6-2)<0,即0<b<2.

所以」43c-AO<2,

4

故選：D.

4.A

答案第2頁，共24頁

【詳解】AC=BC=y/2<ABBC=-2,所以麗.配=2,則畫cosB=",

|AB|2+|BC2-|AC|2IABI

又因?yàn)閏osB_J_LL_1=q,

2AB-BC\2V2

所以網(wǎng).殳=應(yīng)0網(wǎng)=2,所以"=90。,

由尸C=1可得，點(diǎn)尸的軌跡為以C為圓心，1為半徑的圓，

取AB的中點(diǎn)。，則2A+尸8=2P￡＞，

所以=2\PD\=2（|CO|+l）=2x|-V2+2+1|=4,

IImaxIImaxI，12J

故選：A

【詳解】由題意可知，如圖所示

因?yàn)榱庑蜛BC。的邊長(zhǎng)為2,ABAD=120°,

所以=,4=2,AB?AZ)=|AB||Ar)|cosl20°=2x2x=-2,

設(shè)OG=4DC,4e[0,l],則

AG=AD+DG=AD+ADC=AD+AAB，

因?yàn)?c=33E,所以3E=』BC=1Ar>,

33

AE=AB+BE=AB+-AD,

3

答案第3頁，共24頁

AG-AE=^AD+AABy^AB+^AD^=^AD2+AAB2+(l+^)AD-AB

=ix22+Ax22+fl+-L(-2)=—A--,

3I3)'，33

Q

當(dāng)4=1時(shí)，AG-AE的最大值為g.

故選：B.

6.A

【詳解】如圖，設(shè)AC、網(wǎng)＞交于。.不妨設(shè)E點(diǎn)到8點(diǎn)的距離大于尸點(diǎn)到B點(diǎn)的距離.

AB

由AD=2C可知AD=3C且AZV/BC,所以平面四邊形ABCZ)是平行四邊形.

設(shè)|4國(guó)=",|")|=6,因?yàn)橐?+生_44。，

所以絲+絲」AC」(AB+AO),AB+LA。，

ab22、>22

所以4=6=2,所以平面四邊形A3CD是菱形.

又因?yàn)?AO=2，即麗.而=網(wǎng).西〈os(%-ABAD)=-2x2cosABAD=2,

所以COS/BAO=-L,因?yàn)?<ZBAD<180,所以/BAD=120,

2

所以ZADB=ZABD=NCDB=NCBD=3。.BD=2OD=2ADcos30=2x2x—=2A/3,

2

因?yàn)镮E尸|=石,所以向|+陽=G.

所以/=(AB+8E>(Ar?+O/)

=ABAD+ABDF+BEAD+BEDF

=|AB|-|AD|COS120+|AB|-|DF|COS30+|BE|.|AD|COS30+|BE|-|DF|COS180

=-2x2x5+21DF|-^+2|BE|-^-|BE|-|￡)F|

=-2+^^|￡)F|+|JBE|)-|BE|-|DF|

=-2+5/3-^-|BE|-|DF|

答案第4頁，共24頁

=I-|BE|-|DF|

當(dāng)網(wǎng)J叫=0,即E點(diǎn)在B處或P點(diǎn)在￡＞處時(shí)，AE.AF有最大值1,

因?yàn)?-阿?阿卬一'~~-=1-—='

I2)—4

當(dāng)且僅當(dāng).@=,吁=￥時(shí)等號(hào)成立，所以AE-A尸有最小值，

所以AE-AF的取值范圍為:，1.

故選：A

7.A

【詳解】依題意MV=A7V-AM=；（AB+AC）—g（AD+AE）

=1（AB+AC）-1^|AB+|AC^|

=-AB+-AC,

63

y.BC=AC-AB.

由于MNLBC,所以MN.3C=0,

即］A2+gAc）（AC-AB）=0,

12121

即——AB+-AC——ABAC=0,

636

BP-1|AB|2+1|AC|2—||AB|-|AC|COSA=O,

即—*3H—x2—xy/3x-\/2xcosA=0,解得cosA=

6366

故選：A.

如圖，由已知，MN=AJV-AM=5AB—（AZ）+￡WW）=°AB—A。一JDC

=-AB-AD--x-AB=-AB-AD=-d-b.

22244

答案第5頁，共24頁

?*?MN=~A~^

4

設(shè)=即d與b的夾角為e,

BC=BA+AD+DC=+AD+—AB=——AB+AD=——a+b,

若MN工BC，則MN-2C=0,

—tz+Z?cos^-|z?|=0,

:%一。84811珊

例＞0,.?.由基本不等式,

272

3

8bLI?

當(dāng)且僅當(dāng)同—,即同=2后忖時(shí)，等號(hào)成立.

6\b\

故答案為：%-b.20

3

9.—/0.5—6

2

【詳解】

第一空:貝!!AT>=4,y.AE=AC+CE^AC+-DA=AC--AD,

22

CD=CA+AD=-AC+AD,^AE-CD=IAC-^AD\-AC+\231.2

AD\=-AC+-ACAD——AD

/22

31

二一9+—x3x4xcos/BAC—8=—8,解得cosNBAC=-

22

第二空：設(shè)AB=2AC(0W2Wl),DF=DA+AF=-AD+AAC，EFEC+CF=^AD+(A-l)AC,則

12)2

DFEF=-AD+AAC■|AD+(2-1)ACJ=-—AO+l-12jAD-AC+2(2-lAC

2

2

=-8+6l1-^121+92(2-1)=922-122-2=9l2-12l-6,當(dāng)％=g時(shí)，跖取得最小值一6.

23

故答案為：；；—6.

”=(-1,。)或(0,-1)［與g

10.

【詳解】設(shè)九=1,y),^m-n=x+y=-l,

答案第6頁，共24頁

fx=-1fx=O

；?[y=0n或[y=-l1,

〃=(-1,0)或(0,-1)，

"與4夾角的（則〃=（0,-1）

I22212兀AIc\I1f4TC.

〃+p|=cosx+cosI--xI=—(Z^1l+cos2x)+—I+cosI--2x

=l+—cos2x+———cos2x----sin2x

22\227

1I_\/3._1If7C-A

=14—cos2x----sin2x=14—cos—F2x

44213J

因?yàn)?<x<〃，

JT7T7T

所以0v2x<2a，—<2%H—<—F2Q,

333

?；〃+PeH,，

"吟「

I3jL2)

Ti<2a+—<—,

33

.兀，2兀

??一<QK—,

33

故實(shí)數(shù)。的取值范圍是(號(hào)當(dāng)?

11.732

【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)|AD|=,i,則A（。,。），3（1,0）,D（0,a）,C（l,a）,

因?yàn)锽E’BC,所以

所以AB=(l,0),=AD=(O,a),

答案第7頁，共24頁

所以AB-AE=1，AE-AD=y,因?yàn)锳HAE=AE，

2_

所以l=g~,解得〃=0或〃=-g（舍去），

所以AC=（1,右），AE=[1,事],所以ACAE=lxl+gx￥=2.

故答案為：百；2

12.11+3

2

【詳解】v|AB|=|BC|=|CD|=i,BA-BC=I,

又BA.BC=M,qcos8=：,故COSB=；,

TT

,：0<B<n,故8=1,

AABC為等邊三角形，則,4=1；

22

V|CD|=I,cd=1,又DA-DC=1，，CD=DA-DC，

DC2-DA-DC=DC（DC-DA^=DC-AC=0,

：.ACLCD,

根據(jù)以上分析作圖如下：

則/BCr）=150°,

則BDCD=^BC+CD）CD=BCCD+CD=-CBCD+CD。

答案第8頁，共24頁

=-lxlx

Ml2+T

7

2+石

故答案為：1;

2

n5

13.171

~6

【詳解】因?yàn)锳Q=mA3+〃AC,若點(diǎn)。在邊所在的直線上,

則m+n=l；

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，A3所在直線為％軸，AC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,

則A（0,0）,3（3,0）,C（0,4）,得直線2C的方程為方+]=1,

則可設(shè)尸1,4-其中0W/W3,

由忸。=2,得點(diǎn)。在以點(diǎn)尸為圓心，2為半徑的圓上，

可設(shè)+2cose,4-g/+2sin”，

UUUJ（4、

由AB=（3,0）,AC=（0,4）,AQ=/+2cos6,4-§/+2sin6j,

因?yàn)锳Q=mAB+nAC,

所以1+2cos8,4一$+2sin6）=（3九4〃）,

_/+2cos6

t+2cos0=3mm~3

所以I4，即J4,

4-乙+2sin6=4九4-與+2sin8

3n3=------------------

14

4

4/,4-9ein04

則/+2cos631.幻25./、（其中tan°=-）,

m+n=--------H--------------=—sm8+—cos6+l=—sin（8+0）+l"3

34236v7

所以1-34根+〃4*+l,

66

答案第9頁，共24頁

11111

gp-<m+n<—,故根+〃的最大值為二.

666

故答案為：1；—.

6

1423+2%?20

933

2

【詳解】在中，AD=AB+BD9且BD=2DC，則=

.?2

^^AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB)

2212

=AB——AB+-AC=-AB+-AC

3333

2

所以加〃=§；

.12

又由AO=-A8+—AC,已知AE=；L45,AF=〃AC,

33

所以4B=JAE.AC」AF,可得A￡)=J7AB+f_AC,

因?yàn)椤?、E、尸三點(diǎn)共線，且點(diǎn)A在線外，

(4,//>0),

所以5+*

。、/12.12a22._

2+//=(2+//)(-----1-----)=—+—+-----1----->1+2也.2=1+逑

則343433343〃丫34343

1+72

A=

當(dāng)且僅當(dāng)會(huì)*時(shí),3

即V等號(hào)成立,

2+A/2

4=

3

所以幾+〃的最小值為1+述.

3

故答案為：1；1+迪.

93

13

【詳解】CM=CA+AM=-AB-ACBN=BA+AN=-AB+-AC,

f22

CM-BN=-AB-AC\-AB+-AC\=~-AB2+-AB-AC--AC2

(2八2J242

—I—x------=—

24228

設(shè)|CN|=〃7,

則CM=C4+AM=2mAB一AC,BN=BA+AN=-AB+(1+m)AC,

答案第10頁，共24頁

CM?BN=[imAB-AC)?(-AB+(l+m)AC)

=-2mAB+^1+2m+2m2AB-AC—(1+m)AC=—2根+；

—m2—02m—1=/(m—1)—3,

2v72

3

當(dāng)機(jī)=1時(shí)，CATBN有最小值為-

93

故答案為：--；--

o2

1^1,4+26

16.—a+-b.........-

333

【詳解】如下圖所示:

因?yàn)?。為A3的中點(diǎn)，則CD=C4+AO=C4+LAB=C4+L(CB-C4)=La+Lb,

22、'22

211

因?yàn)镃E=2￡?,則。石二彳⑺=彳^+彳萬，

333

因?yàn)镃F=nra，CG=nb，則EP=CP-CE=+=]機(jī)一gja.gb,

EG=CG-CE=nb-^a+^b^=-^a+^n-^b,

因?yàn)椤?、尸、G三點(diǎn)共線，貝!)EB〃EG，

所以，存在實(shí)數(shù)上使得￡F=左EG，^\m-^\a-^b=k

BPmn=+,

11m+nc

所以,—F—=--------=3,

mnmn

因?yàn)檫^點(diǎn)E任作一條直線，分別交線段AC、BC于廠、G兩點(diǎn)，且3W0,

則0<機(jī)<1,0<n<l,

,“一?包「1/c/I1、1(.3〃1(..3幾加14+2A/3

由基本不等式可得m+3〃=—+3〃)—I■—=—4H1—>—4+2.-------=------------

'3n)3(mn)31vmn)3

答案第11頁，共24頁

當(dāng)且僅當(dāng):"時(shí)，即當(dāng)l時(shí)，等號(hào)成立.

3n_m3+V3

——n=----------

Imn19

因此，加+3"的最小值是小也.

3

故答案為：L.

3

17.-10

3

UUIU

所以。C〃AB,即有。C〃,

又因?yàn)镃D=-6,

ULUUULL

所以A?OC=6，

ULUUUW

即加A￡hAB=6,

UUUUULU

Z-|A￡)|-|AB|-cos60°=6，

解得t=g,

所以

2

uuu'iturn

所以|￡(C|=5|A例=3,

UUUUUU.UUULUUU1

又因?yàn)锳O+OC+C8+8A=0,

uuiriuumuumuumr

即AD+5A3+C3-A3=0,

UUULULUUUU

所以A2=2AD+2CB;

又因?yàn)锳"=△￡)+￡>￡■

UUU.ULU

=AD+mDB

uuuumuuuu

=AD+m(AB—AD)

UUUUUUUUU1uuu

=AD+m(2AD+2CB-AD)

答案第12頁，共24頁

IllllILILUH

=(m+1)AD+2mCB(fi<m<1),

2

又因?yàn)锳E=(1+2)AD+§CB,

1+2=m+1m=—

3

所以c2，解得f

2m=--1

3X=-

1I3

如圖所示：

取AB中點(diǎn)M,連接DM,

由題意可知。C〃MB且。C=MB=3,

所以四邊形。CBM為平行四邊形，

所以//BC,

又因?yàn)镋尸〃2C,

所以DM〃EF,

HIT1IUT

又因?yàn)??！?產(chǎn)，

所以O(shè)E=；D5,

所以==FB=2,

uuniumn

所以=

uumUULLULIU1

由A8=2AO+2C3可得BC=

urnlunurniuumIUIiuuraiIHJHHIT

所以/。二方5+5。=—AB+AD——AB=一一AB+AD,

uirixmumroLUT

FD=FA+AD=——AB+AD,

3

ixmuun2uu?LUTiuumuuir

所以尸。?/C=(——AB+AD)(一一AB+AD)

36

iuuffl25tunuuriULr?

=-AB——ABAD+AD

96

=—x62——x6x4x—+42

962

答案第13頁，共24頁

=10.

故答案為：—；10

1。38

18.——

25

【詳解】設(shè)向量==貝!JW=W=1,Q-Z?=。

,1.231213

可得AM?AC=(a+—b>(a+Z?)=a+-a-b+-b=1+0+-=-,

222

AAM+JuBN=A(AB+BM^+iu(BD+DN^=^AB+^AD^+JLi^AD-AB^+DN^

—X(Q+—/7)+/7(Z?——Cl)—(4——//)Q+(-4+//)Z?,

\1,

Z——"二1

又因?yàn)锳3=a+6,可得i2，解得X=g,〃=g,所以2+〃=g.

-A+//=l

19.6-2

【詳解】由題意可得IICP|-cos/PCB1=1CB1=6,

即向量。尸在向量CB上的投影向量的長(zhǎng)度是百；

如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，A。為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系,

設(shè)尸(30),(0j42),則4(0,0),3(2,0),(7(2,百),￡)(0,6),

故CP=(X-2,Y),PD=(-X,6),

則CPPD=-x2+2x-3=—(x-1尸-2,

當(dāng)x=le[0,2]時(shí)，0尸?尸。取最大值為-2,

故答案為：G;—2

20.^^/-V10—

5541

答案第14頁，共24頁

ArCD

【詳解】加|=卜2卜|。|=,=5

由角平分線的性質(zhì)定理知AD是/BAC的角平分線，NBAD=ZDACe10,j

*：\AD\=\CD\,：.ZC=ZDAC.

i.13

?「tan/DAC=—,「?可得sin/DAC=,cos/DAC=,

3

/.cosC=cos/DAC=-j=

A/10,

△ADC中，由余弦定理得：=|AC『+|CD「-2|ACHCD|COSC,

即|47|=2|8)|X>=>|CD|

ACAC63M

ADcB=^o=-

13

在/ABC中，sin/C=sin/ZMC=—?=，cosC=cos^DAC=—^=

VioVio,

???A。是/B4C的角平分線,

133

sin^CAB=sin2C=2sinCcosC=2xx=

5

2_4

cos^CAB=l-2sin2C=l-2x

~5

334113

.??sinZCBA=sin(/CAB+NC)=_x_____?__x____—_____

5VTo5V10-5-710,

由正弦定理得：四

sin/CBAsmZCAB'

3

合“卜K3M^|AC|,而|CD|=|AD|=平|Aq,

5^/10

Vio

3Lk」3

\BC\3而18

13

取AB,AC為基底，則由",三點(diǎn)共線可得：AM=(1-A)AH+AAB?,

由C,￡>,B三點(diǎn)共線可得：A￡)=(l—〃)A?+〃A3；

即AO-AC=〃(AB-AC),CD=pCB,：./J.=—,

答案第15頁，共24頁

513

即二AC+—AB②.

1818

AM\=-m

①式可化為：3AM=3（1-2）AH+3AAB，即仞=3（1-4）AH+32AB③.

設(shè)焉=，，則AH=rAC，代入③:">=3（l-2）rAC+34AB④.

AC

￡13L13

jA,——z=—|A”|S

②④對(duì)照得：18v,解得?，即;^=萬

3（1-Z）r=—t=一??

P718[41

故答案為：士叵；3r.

541

21.：/45。屈

【詳解】由向量AB在向量AC上的投影向量為|AQCOSA?百，

得向量AB在向量AC上的投影向量的模為|AQCOSA=3,

所以cosA=—,

2

又因角A為銳角，所以A=S，

如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，

則A（0,0）,3（3,3）,C（6,0）,

在AC上取2E,^#AD=|AC,A￡=|AC,則E（2,0）,0（3,0）,

在AB上取點(diǎn)P使得AP=xAB,

則/（x）=xAB-^AC+xAB-^AC=|EP|+|DP|,

直線AC的方程為>=%,設(shè)點(diǎn)E（2,0）關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)F（a