重慶市2024屆高三高考模擬調(diào)研卷（六）數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

重慶市2024屆高三高考模擬調(diào)研卷（六）數(shù)學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.等差數(shù)列{%}滿足4+%=4,%=8,則%=（）

A.4B.5C.6D.7

2.已知集合&=3*-2%-3>0},8={X（x-a）（x+2）<0},若AB=R,則a的取

值范圍為（）

A.（3,+oo）B.[3,+co）

C.（-1,3）D.y,-i）

3.2023年10月4日，在杭州亞運(yùn)會(huì)跳水男子10米臺(tái)決賽中，中國選手楊昊奪得金牌.中

國跳水隊(duì)包攬杭州亞運(yùn)會(huì)跳水項(xiàng)目全部10枚金牌.跳水比賽的評(píng)分規(guī)則如下，7位裁

判同時(shí)給分,去掉兩個(gè)最高分,去掉兩個(gè)最低分,剩下的3個(gè)分?jǐn)?shù)求和再乘以難度系數(shù)，

就是該選手本輪的得分，下表就是楊昊比賽中的第一輪得分表，則（）

1號(hào)2號(hào)3號(hào)4號(hào)5號(hào)6號(hào)7號(hào)難度本輪

裁判裁判裁判裁判裁判裁判裁判系數(shù)得分

a9.59.010.09.510.010.03.292.80

A.這7個(gè)數(shù)據(jù)的眾數(shù)只能是10.0

B.這7個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)只能是9.0

C.a可能是10.0

D.a可能是9.5

4.已知雙曲線的方程為bn/—可？=5（meR,加學(xué)。），則不因根的變化而變化的是（）

A.頂點(diǎn)坐標(biāo)B.漸近線方程C.焦距D.離心率

5.已知角。滿足tan。+^—=2024,則sin26=（）

tan。

A.-----B.------C.------D.------

506101220244048

6.已知球。的半徑為2cm,平面。截球。產(chǎn)生半徑為1cm的圓面O,A,B,C,。均

在圓面。的圓周上，且O-ABCD為正四棱錐，則該棱錐的體積為（）

A.—cm3B.3gen?C.Vsem3D.273cm3

33

Y

7.已知函數(shù)/(%)=——，其中AB是銳角ABC的兩個(gè)內(nèi)角，則下列結(jié)論一定正確的

sinx

是()

A./(sinA)>/(sinB.f(cosA)>/(cosB)

C.f(cosA)>/(sinB)D.f(sinA)>/(cosB)

8.設(shè)〃=log2()242023,b=log20232022,c=log020240.2023,貝|()

A.c<a<bB.b<c<a

C.b<a<cD.a<b<c

二、多選題

9.已知z為復(fù)數(shù)，z2=l_20i，則2=()

A.z=V2+iB.z=^2—i

C.z=—V2+iD.z=—^2—i

10.已知定義在R上的奇函數(shù)/(%)滿足：/(x+2)=/(x)+/(-l),則()

A.〃1)=。B./9+科=。

C./(x+4)=-/(x)D.〃尤絲/g)

11.記數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，則下列說法錯(cuò)誤的是()

A.若存在MeN*,使得圖4M恒成立，則必存在MCiN*,使得㈤4“恒成立

B.若存在MeN*,使得同恒成立，則必存在MCiN*,使得聞4“恒成立

C.若對(duì)任意MeN*,圖4/恒成立，則對(duì)任意MCiN*,|?！皻w”恒成立

D.若對(duì)任意MeN*,同恒成立，則對(duì)任意M囪N*,國4”恒成立

三、填空題

12.已知向量值=(中)，6=(r,-2),若同＞1,且qj_b，貝！|/=.

13.重慶位于中國西南部、長(zhǎng)江上游地區(qū)，地跨青藏高原與長(zhǎng)江中下游平原的過渡地

帶.東鄰湖北、湖南，南靠貴州，西接四川，北連陜西.現(xiàn)用4種顏色標(biāo)注6個(gè)省份的

地圖區(qū)域，相鄰省份地圖顏色不相同，則共有種涂色方式.

試卷第2頁，共4頁

14.已知函數(shù)/(x)=asinx+；cosx(a>0),且函數(shù)/(%)的相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的

直線距離為，5+%2,若VxwR,/(x0)>/(x),則tan/=.

四、解答題

15.在ABC中，內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為。，b,c,已知

71A,BB

b=2Z?cos2-asm—cos—.

i2-y22

(1)求角A的大小；

⑵若BP=PC，且b+c=2,求AP的最小值.

16.已知函數(shù)〃x)=2e￡-ax2有兩個(gè)極值點(diǎn)A，巧，且占<%.

(1)求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)證明：f(xl)<a.

17.在如圖所示的四棱錐尸—A8CD中，已知AB〃CE>,ZBAD=90°,CD=2AB,_PAB

是正三角形，點(diǎn)〃在側(cè)棱尸B上且使得PD〃平面AMC.

⑴證明：PM=2BM；

(2)若側(cè)面底面ABC。，CM與底面A3CD所成角的正切值為l1,求二面角

P—AC—5的余弦值.

f21

18.如圖，已知橢圓C：=+v與=1(。>6>0)的離心率為直線/：履-y-左=0恒過

ab2

右焦點(diǎn)尸，交橢圓于M%,%）兩點(diǎn)，且芯＜工2.

⑴求橢圓c的方程；

（2）求MR+4NF的最小值.

19.在二維空間即平面上點(diǎn)的坐標(biāo)可用兩個(gè)有序數(shù)組（x,y）表示，在三維空間中點(diǎn)的坐

標(biāo)可用三個(gè)有序數(shù)組（x,y,z）表示，一般地在n（n＞2,neN）維空間中點(diǎn)A的坐標(biāo)可用n

個(gè)有序數(shù)組（6,4，…，％）表示，并定義〃維空間中兩點(diǎn)4（弓，生，…，/），以偽也，…也）間

的“距離”

1=1

⑴若人「。；，…2[，,；,]…,一，求d（AB）；

V23n）123n+1J

⑵設(shè)集合。7={（?i，%）I?,e{0,1},i=1,2,…,7}.元素個(gè)數(shù)為2的集合M為S的子

集，且滿足對(duì)于任意4e心，都存在唯一的使得d（AB）＜3,則稱〃為“心的優(yōu)

集”.證明：“小的優(yōu)集”四存在，且加中兩不同點(diǎn)的“距離”是7.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.B

【分析】設(shè)等差數(shù)列{%}的公差為d,根據(jù)題意，列出方程組，求得4M的值，即可求解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列{%}的公差為d,因?yàn)?+/=4,%=8,

(a++2d=4

可得,。，解得％=T，1=3,所以％=-1+2X3=5.

[q+3d=8

故選：B.

2.A

【分析】根據(jù)不等式的解法，求得A={x|x<T或x>3},分類討論求得集合8,結(jié)合AB=R,

利用集合的運(yùn)算，即可求解.

【詳解】由不等式/一2元一3>0,解得x<—1或x>3,所以A={xlx<-1或%>3},

又由不等式(x—a)(x+2)<0,

當(dāng)。=-2時(shí)，不等式解集為空集，不滿足AB=R,不符合題意，舍去；

當(dāng)“<一2時(shí)，解得。<尤<-2,HPB={.X|a<x<-2},

此時(shí)不滿足AB=R,不符合題意，舍去；

當(dāng)a>-2時(shí)，解得一2<x<a,即JB={X|-2<X<。},

要使得AB=R,則滿足a>3,

綜上可得，實(shí)數(shù)。的取值范圍為(3,+8).

故選：A.

3.D

【分析】根據(jù)評(píng)分規(guī)則，結(jié)合眾數(shù)、中位數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】當(dāng)0VaV9.5時(shí)，由題意可知：(10+9.5+9.5)x3.2=92.8,符合題意，止匕時(shí)眾數(shù)為

10或9.5(此時(shí)a=9.5),中位數(shù)為9.5,因此選項(xiàng)AB不正確，D正確；

當(dāng)9.5<aW10時(shí)，由題意可知：(10+9.5+a)x3.2=92.8na=9.5,舍去，因止匕選項(xiàng)C不正

確，

故選：D

4.B

【分析】根據(jù)題意，分加>0與〃，<0討論，結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程代入計(jì)算，即可判斷.

答案第1頁，共13頁

三二一I

【詳解】將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)式可得［一5一1

mm

H上=1

當(dāng)機(jī)＞o時(shí)，雙曲線！上一表示焦點(diǎn)在x軸的雙曲線,

mm

22

且Q2=—,Z?=—C=—,

mm9m

此時(shí)頂點(diǎn)坐標(biāo)為,J/,。］漸近線方程為丁=±氐，

焦距2c=-,離心率e=J1+與=Jl+5=y/6;

yjmVa

二上二1

當(dāng)機(jī)＜0時(shí)，雙曲線15一表示焦點(diǎn)在y軸的雙曲線,

22

且Q2=―--,Z7=一_—C=―--,

mm9m

此時(shí)頂點(diǎn)坐標(biāo)為卜日,0,漸近線方程為y=±后,

綜上可得，不因m的變化而變化的是漸近線方程.

故選：B

5.B

【分析】切化弦，得到sindcos6=高，利用正弦二倍角公式求出答案.

2024

■、出1sin8cos3sin^+cos2^1

【詳角單】tan6+------=-------+———=―；---------=---------=2024,

tan3cosOsin。sin8cos6sin6cos6

故sincos0--------,

2024

21

貝Usin20=2sincos0=------=-------.

20241012

故選：B

6.B

【分析】畫出圖形根據(jù)球的半徑和截面圓的半徑即可求出00',根據(jù)四棱錐的體積公式求出

體積。

答案第2頁，共13頁

【詳解】解：如圖，連接00',0A,o'A>則平面a,

所以正四棱柱O-ABCD的底面邊長(zhǎng)為0,高為6，

所以棱錐的體積為gx(忘用=苧。

故選：B

7.D

[分析]求得了'(%)=si"/，：｝*，令g(x)=sinx-xcosx,求得了(尤)在(0弓]上單調(diào)遞增,

根據(jù)A,B的大小不確定，可判定A、B不正確；由A8是銳角ABC的兩個(gè)內(nèi)角，得到

cosA<sinB,可得判定C錯(cuò)誤；再由cosBvsinA,可判定D正確.

sinx-xcosx

【詳解】由函數(shù)上，所以((x)=

sin%(sinx)2，

令g(x)=sinx—xcosx,則當(dāng)時(shí),g'(x)=xsinx>0,

所以g(x)單調(diào)遞增，可得g(x)>g(o)=o,即用x)>。,

所以〃x)=上在上單調(diào)遞增；

sinxI乙)

因?yàn)锳,8的大小不確定，故sinA與sinB,cosA與cosB的大小關(guān)系均不確定,

所以“sinA)與"sin3),“cosA)與"cos3)的大小關(guān)系也均不確定,

所以A、B不能判斷.

因?yàn)锳8是銳角ASC的兩個(gè)內(nèi)角，所以A+B>W，則g>A>]-B>。，

因?yàn)閥=cosx在(0母上單調(diào)遞減，所以0<cosA<cos[]-B)=sinB<l<],

所以〃cosA)<〃sin3),所以C錯(cuò)誤;

因?yàn)槭卿J角ABC的兩個(gè)內(nèi)角，所以A+3>mTT，則^TT>8>弓TT-4>0,

答案第3頁，共13頁

71

因?yàn)閥=cosx在上單調(diào)遞減，所以0<cosB<cosAj=sinA<1<,

故"cos3)<"sinA),所以D正確.

故選：D.

8.C

【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到c最大，再利用作差法，結(jié)合基本不等式得到6<。，從

而得解.

【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知c=lo&202402023>log°202402024=1,

0=log20241<log20242023<log20242024=1,

°=l°g20231<1°§20232022<log20232023=1,

所以c>l,0<a<l,0<&<l；

當(dāng)”>2時(shí)，

=+_(lnn)2

]一(ln〃『=(ln〃y_(ln及『=0,

取〃=2023,貝ij1g2022lg2024-(lg2023)2<0,

lg2023

所以b-"1嗎必2022-log2023=

2024lg2024

lg2022.1g2024-(lg2023y<())即灰,

lg2023.lg2024

綜上，b<a<c.

故選：C.

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對(duì)數(shù)比大小常用結(jié)論：log“5—l)<log"+i〃5>2).

9.BC

【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)2=<2+歷,(°力?1<),則z=〃—/+Zq歷=1-2",

答案第4頁，共13頁

a2-b2=l，解之得;:=&或〔:二夜

所以

2ab--2,\/2Z?=-1=1

貝Uz=V2-i或z=—V2+i.

故選：BC

10.AB

【分析】對(duì)A：令x=-1,結(jié)合函數(shù)是奇函數(shù)，即可求得結(jié)果；對(duì)B：令工=-；，結(jié)合函數(shù)

是奇函數(shù)，即可判斷；對(duì)C：根據(jù)B中所求/(x+2)=/(x),即可判斷；對(duì)D：取滿足題意

的特殊函數(shù)，即可判斷.

【詳解】對(duì)A：對(duì)/(X+2)=/(X)+/(T),令x=-l,W/(l)=2/(-1),

又/(x)在R上是奇函數(shù)，故/(1)=-2/(1),解得〃1)=0,故A正確；

對(duì)B：對(duì)〃x+2)=〃x)+〃-l),令x=J，可得/0=d(T)，

又〃x)在R上是奇函數(shù)，故⑴，+=

由A可知，/0)=0,故+=故B正確；

對(duì)C：因?yàn)椤耙?)=一八1)=。，則/(x+2)=/(x)+/(-l)即〃x+2)=/(x),

則〃x+4)=〃x+2)=〃x),即〃x+4)=〃x),故C錯(cuò)誤；

對(duì)D：由C可知，〃x)為周期為2的奇函數(shù)，

不妨畫出滿足題意的一個(gè)f(尤)的圖象如下所示：

11.BCD

【分析】由兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值小于等于兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值之和結(jié)合已知可得A正確；舉反

答案第5頁，共13頁

1,n=1

例令4=1,S,=〃可判斷BD錯(cuò)誤；舉反例令見=Lc可得C錯(cuò)誤（注意題目中

2（-1）,n>2

讓選錯(cuò)誤的）.

【詳解】對(duì)A：若聞恒成立，則同=可</,㈤=+

故A正確；

對(duì)B、D：反例為%=1,S“=n,故B、D錯(cuò)誤;

1,n=1

對(duì)C：反例為八"一1C，故c錯(cuò)誤.

2（-1）,n>2

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于抽象數(shù)列題，可用排除法快速選擇，較為簡(jiǎn)便快捷.

12.2

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)計(jì)算，以及模長(zhǎng)范圍，即可求得九

【詳解】因?yàn)橥?gt;1,故1+產(chǎn)>1,故〃>0,7H0;

又a_Lb，則a-6=〃-2f=0，解得r=0（舍）或7=2.

故答案為：2.

13.120

【分析】根據(jù)題意,得到這4中顏色全部都用上，其中必有兩個(gè)不相鄰的地區(qū)涂同一中顏色，

利用窮舉法，結(jié)合排列數(shù)公式，即可求解.

【詳解】根據(jù)題意，用4種顏色標(biāo)注6個(gè)省份的地圖區(qū)域，相鄰省份地圖顏色不相同，

則這4中顏色全部都用上，其中必有兩個(gè)不相鄰的地區(qū)涂同一中顏色，

共有：｛“四川和湖南”且“貴州和湖北駕、（“四川和湖南”且“貴州和陜西駕、｛“四川和湖北”

且“貴州和陜西”、｛“四川和湖北”且“湖南和陜西”、｛“貴州和湖北”且“湖南和陜西”，共有5

種情況，

所以不同的涂色共有5xA：=120種.

故答案為：120.

14.2

【分析】由題意知占工^=或工，即求出。=1,然后求出cosp=乎，sine=9

答案第6頁，共13頁

進(jìn)而求出外”的最大值，最后求出tan%.

；+/sin(x+°)可知，T=2幾,

【詳解】解:由/(x)=?sinx+cosx=

函數(shù)“X)相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的直線距離為府即有￡+/+；=書芯，解

得a=1.

所以coscp=~~~，sin0=

對(duì)VXER,/(X0)>/(X),則在與處取最大值，即有sin(%o+0)=l,

兀

=

即XQcp2kii+~

故答案為：2

7T

15.d)A=-;

⑵0

2

【分析】(1)根據(jù)題意，由正弦定理代入計(jì)算，結(jié)合三角恒等變換公式代入計(jì)算，即可得到

結(jié)果;

(2)根據(jù)題意，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律代入計(jì)算，結(jié)合基本不等式代入計(jì)算，即可得

到結(jié)果.

ah

【詳解】(1)在ABC中，由正弦定理^—=--，可得asin^MsinA

sinAsinB

_,T_F_2(兀.BB~\,_.B37I"。TiAA1

又由。=2PCOS------asm—cos一矢口2asm—cos—=/??2cos--------I

_U22)22j22U22J

即〃sin3=/?cosq一A],得/?sinA=Z?cos?一A],得sinA=cos[《一A]=￡cosA+；sinA,

得工sinA=cosA,所以tanA=^3；

22

又因?yàn)锳￡(0,7l),所以A=1.

(2)由5P=PC，得A尸=gAB+；AC,

.2(11，Y1.21.21

所以A尸=-AB+-AC=-AB+-AC+-ABAC

U2J442

答案第7頁，共13頁

111111

=—。之9+一人29+一人ccosA=—9+—9b2+—bc

442444

=；［優(yōu)+蛾一慶2；伍+蛾一［等］=3優(yōu)+蛾=］

當(dāng)且僅當(dāng)［?='C，即6=c=l時(shí)等號(hào)成立，故AP的最小值為石.

［6+。=22

16.(l)(e,+oo)

(2)證明見解析.

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得方程e，-分=0有兩個(gè)根，則問題轉(zhuǎn)化為

g(x)=F(?0)的圖象與直線y=a有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出g(x)的單調(diào)性，即可得到

g(x)的極值與函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可得解；

(2)由⑴可得。=時(shí)，即可得到結(jié)合0<玉<1及二次函數(shù)的性

質(zhì)即可證明.

【詳解】(1)函數(shù)/(x)=2e*-加的定義域?yàn)镽,又/'(力=21-2依，

函數(shù)"力=2e，-o?有兩個(gè)極值點(diǎn)相當(dāng)于方程e*-6=0有兩個(gè)根，

顯然當(dāng)％=0時(shí)e"-oxwO,

當(dāng)xwO時(shí)土，

X

所以問題轉(zhuǎn)化為g(尤)=F(尤H。)的圖象與直線y=。有兩個(gè)交點(diǎn)，

由g(x)=J,xe(-oo,0)u(0,+ao),得g，(x)=e(:T),

當(dāng)x<0或0<x<l時(shí)g'(x)<0,當(dāng)x>l時(shí)g'(x)>0,

所以g(x)在(-8,0),(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

又當(dāng)無<0時(shí)，g(x)<0,當(dāng)尤>0時(shí)g(x)>o,且g(l)=e,作出g(x)的大致圖像如圖所示：

答案第8頁，共13頁

則由圖可知，當(dāng)a＞e時(shí)，8（町=?（力0）圖像與直線丫=。有兩個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)極

值點(diǎn)，

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍（e,+e）.

（2）因?yàn)閑*'=aX],所以/）=2叫—%—I1+。，

又由（1）知，0＜玉＜1,

所以函數(shù)、=-a（元-I）?+a在（0,1）上單調(diào)遞增，當(dāng)x=l時(shí)y=。，

所以/（石）＜。.

17.（1）證明見解析；

⑵巫

10

【分析】（1）連接與AC交于點(diǎn)E，連接由已知得—，由線面平行的性質(zhì)

CDED

得PD〃EM,根據(jù)三角形相似可得鋰=黑==，SPPM^2BM

（2）設(shè)A8的中點(diǎn)。，首先由已知得尸01底面ABCD,在.RIB中過點(diǎn)M作近〃尸O交

AB于點(diǎn)尸，得皿口，底面4BC。，則NMC尸為CM與底面ABC。所成角，在底面A8C。上

過點(diǎn)。作OGLAC于點(diǎn)G,則/PGO是二面角P-AC-3的平面角，根據(jù)條件求解即可

【詳解】（1）證明：連接8。與AC交于點(diǎn)E,連接EM,

4DEB

在,EAB與ECD中，?*AB//CD,-----=-----,

CDED

答案第9頁，共13頁

D

由CD=2AB,得ED=2EB,又：PD〃平面AMC,

而平面PSD平面AMC=ME,尸￡)<=平面尸8。，

PD//EM,

.—人,EBBM1.

在△PBD中，——=——=-,:.PM=2BM；

EDPM2

(2)設(shè)AB的中點(diǎn)。，在正P4B中，POLAB,

而側(cè)面上4B_L底面ABCD,側(cè)面PABc底面=且尸Ou平面

尸01底面ABC。，

在，PLB中過點(diǎn)M作MF//尸O交4B于點(diǎn)F,

A7F_L底面ABCD,

：.ZMCF為CM與底面ABCD所成角，

:.尤=昱,設(shè)AB=6a,

CF11

MF

貝|狼=扃，：.CF^lla,BF=H=a,則在直角梯形A8CD中，AF=5a,

而CD=12a,則AD=^(1la)2-(12a-5a)2=642a,

在底面ABCD上過點(diǎn)。作OG，AC于點(diǎn)G,

則/PGO是二面角P—AC—3的平面角，易得。4=3a,AC=6瓜a,

,OAAC3a6屈a

在梯形ABC。中,由——=——n——=-T=-得OG=耳，

OGADOG6缶

答案第10頁，共13頁

在RtZXPOG中，PG=,AcosZPGO=——.

PG10

r2y2

18.⑴丁+-=1；

43

27

【分析】（1）根據(jù)直線過定點(diǎn)求得F,結(jié)合離心率求標(biāo)準(zhǔn)方程即可;

（2）先聯(lián)立直線與橢圓方程得出M,N橫坐標(biāo)，再計(jì)算焦半徑求得

MF+4NF=10」"+9T,利用換元法求導(dǎo)判定其單調(diào)性求最值即可.

【詳解】（1）因?yàn)橹本€/：/：履-丁-左=。恒過（1,0）即為右焦點(diǎn)月

又因?yàn)殡x心率為g,所以4=2,=＞人=百

22

所以橢圓c的方程為L(zhǎng)+匕=1；

43

（2）聯(lián)立143一有（3+4公）彳2-8公彳+4左2-12=0,

kx-y-k=0

而右4k2-6J/+1412+6,-2+1

=22

占3+4k—，無=3+4-'

易知MF=｛（1—X[）+y；=—+3——xj2=2——%]

同理NF：2—；々，所以M/+4N_F=]0_]]占+2/J,

將占，％帶入有MF+4NF=10-10'+92+],

3+442

令Jl+r=m，則有/（加）=10工；=北_10（加±]）,

-36m2+60m-9—（6m—9）（6m—1）

尸㈣=

（4/-1）（4加2-1）

所以〃X）在11,?是增函數(shù)，是減函數(shù)，則有〃力4/[