浙江省浙南2023-2024學(xué)年高二年級下冊返校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

絕密★考試結(jié)束前

2023學(xué)年第二學(xué)期浙南名校聯(lián)盟返校聯(lián)考

高二數(shù)學(xué)學(xué)科試題

考生須知：

1.本試題卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號.

3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效.

4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷.

選擇題部分

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只有一項符

合題目要求.）

1.已知拋物線三=2。＞的焦點在直線y=2x+l上，則「=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程可得焦點坐標(biāo)，代入直線可得夕=2.

【詳解】易知拋物線好=2〃v的焦點坐標(biāo)為,

代入直線方程可得曰=2x0+1,解得夕=2.

故選：B

2.己知向量0=（1/,1）1=（一1,1,一2）,則a在6上的投影為（）

A.也B.正C一逅D.逅

3333

【答案】C

【解析】

【分析】首先求出向量,，匕夾角的余弦值，再由投影定義即可求得結(jié)果.

/j\a,b_1+1—2yf2

【詳解】易知3《,%雨=石赤=-彳,

所以a在6上的投影為＞cos,,。）=退*

故選：C

3.已知點4（0,3）及直線/:工+丁—1=。上一點8,貝的值不可能是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】求出點A到直線/的距離d=J5，易知|A512d即可得出結(jié)論.

【詳解】易知點4（0,3）到直線/:x+y—1=。的距離為d='美』=拒，

所以之夜，

因此|A目的值不可能是1.

故選：A

4.已知數(shù)列｛4｝是各項為正的等比數(shù)列，前〃項和為S”（〃eN）,且邑=萬,S3=z，則％=（）

119

A.—B.—C.1D.一

424

【答案】C

【解析】

371

【分析】利用S2=萬,S3=z構(gòu)造方程組可解得公比q=萬，代入計算得q=L

【詳解】設(shè)數(shù)列｛4｝的公比為4,又｛4｝的各項為正，所以q＞0,4〉0；

3

+ac

37qii=~

則由S2=5，S3=a可得＜

27'

q+axq+axq"=—

兩式相除整理可得6/—q—l=0,解得q=g或q=—g（舍）；

代入可得q=L

故選：C

5.若圓必―2以+丁=0與圓f+產(chǎn)―4x—2y—4=0只有一個交點，則實數(shù)。的值可以是（）

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】D

【解析】

【分析】利用圓和圓的位置關(guān)系求解參數(shù)即可.

1I-------------

【詳解】易知圓好―2ax+V=o的圓心為(凡0),半徑弓J(—2a)2=問，

圓x?+V-4x-2y-4=0的圓心為(2,1),半徑zj=；J16+16+4=3,

由題意得圓x~—2ax+y~=0與圓x?+—4x—2y—4=0只有一■個父點,

可得兩圓內(nèi)切或外切，易得圓心距刀=J(a—2y+l，半徑差與和分別為,1-3|或同+3,

當(dāng)兩圓內(nèi)切時就。一2)2+1=|問—31解得。=2或。=—丁

當(dāng)兩圓外切時J(a—2)2+1=問+3，無解，結(jié)合選項

故選：D

6.已知一ABC的三個內(nèi)角分別為A、B、C,貝iJlnA+lnS+lnC的值可能是()

A.0.4B.0.3C.0.2D.0.1

【答案】D

【解析】

【分析】證明出InxWx—1,可得出lnA+lnB+lnCWA+5+C—3=7i—3,即可得出合適的選項.

1Y—1

【詳解】令〃x)=x—Inx—1,其中x>0,則r(x)=l——=—,

XX

當(dāng)0cx<1時，r(x)<。，即函數(shù)/(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)x〉l時，用x)>o,即函數(shù)在(1,內(nèi))上單調(diào)遞增，

所以，/(x)=%-ln%-l>/(l)=0,貝iJlnxWx_1,

由已知可得A、B、Ce(0,7i),

所以，lnA+lnB+lnC<A+B+C-3=7i-3<0.2,

故選：D.

7.圓錐曲線具有豐富的光學(xué)性質(zhì)，在人教版A版選擇性必修第一冊的閱讀與思考中提到了橢圓的光學(xué)性

質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個焦點上，(如圖(D).

如圖(2),已知可為橢圓C：二+三=1(?！?〉0)的左焦點，。為坐標(biāo)原點，直線/為橢圓。的任一條

a~b

【答案】A

【解析】

【分析】方法一：利用橢圓的切線方程的結(jié)論，進而得到直線片〃的方程，聯(lián)立切線/的方程警+罌=1

a~b

和直線可〃的方程y=胃(％+。),化簡即可確定點//的軌跡；

方法二：設(shè)/與橢圓C相切于點P,過右焦點工作馬〃于延長M0與直線耳〃交于點N,則

有△耳NO,△月全等，所以設(shè)NF\PH=9,結(jié)合直角三角形邊與交的關(guān)系可得

HM=PF^os0+PF,cos0=2〃cos6,HN=PEsin8+PKsine=2〃sin6,所以MN=2a,故

OH=a,即可求解；

【詳解】解法一：設(shè)切線/與橢圓C相切于點p(%,%),則切線/的方程是3+*=1,

ab

切線/的斜率為-，則直線耳〃的方程是

"yL(X+C),

。為bX。

2222bXQ

y=/%(x+c)=c=勺%y-xn4-b=與。，十%——產(chǎn)孫，

"為先

Ia%a4為

=%(v-b)_-^02,y：%22%%①

n//-4”-評孫U

1，+岑=1=。+監(jiān)+等孫，②

ab~baab

4")(22A

由①②可得,-+[>*卜”)

x；y：_iy；]y；_i[1J："-")

④

/b4a2[b2b4a2b4

vy\7

所以由③④可得，x2+y2=a2,故點”的軌跡是圓.

解法二：如圖，設(shè)切線/與橢圓C相切于點尸,

過右焦點B作鳥〃于河，延長M0與直線耳〃交于點N,

則有心“〃耳N,所以△KNO,△g全等，所以F2M=F1N,

由橢圓光學(xué)性質(zhì)知一片尸〃，

設(shè)/耳PH-0,貝i]HM=PFicosO+PF2COSO=2acos。，

HN-PF^inO+PF2sinO-2?sin6,,所以4W=2a,

故O〃=a,即點”的軌跡是圓;

故選：A.

]

12024

8.已知a==lnc=e2024-1,則(

20242023

A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)q(%)=e*—x—1,判斷出其單調(diào)性可得c>a,利用函數(shù)In(x+1)<x的單調(diào)性

可知…，再由尸(x)=e'-l+ln(l—x)可求得c<〃，即可得出結(jié)論.

]

12024

【詳解】由。=c-e2024—1可知，

20242023

構(gòu)造函數(shù)〃%)=x,g(x)=—ln(l—%),人(%)=e"-1;XG(0,0.001)

則"/［盤曰=g1

2024

由=可得^(x)=eT-1,

因此當(dāng)無e(T?,0)時,q'(x)<0,即q(x)在(—8,0)上單調(diào)遞減，

當(dāng)xe(0,+8)時，q'(無)>0,即q(x)在(0,+a)上單調(diào)遞增,

所以q(x)2q(O)=O,即e'-x-lNO恒成立，

所以e'^x+l(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號)恒成立，故

當(dāng)xe(0,0.001)時，對e'Nx+l兩邊同時取對數(shù)可得ln(x+l)Vx(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號)恒成立,

故ln(-x+l)<-x(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號)

即—ln(—x+l)?x(當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號)，故人。；

構(gòu)造函數(shù)產(chǎn)(%)=為(%)-g(x)=e"—l+ln(l—x),xe(0,0.001)

5!iJF,(x)=ex--—,4m(x)=eT--—,則加OOMeX—y;~-y,

v71-x1-x(1-x)

[2

4^(x)=eT----y,貝州(x)=e"--y,

(1-x)(1—x)

當(dāng)x￡(0,0.001)時，°(x)<0,

所以9(x)=e-xe(0,0.001)上單調(diào)遞減，可得0(力<0(0)=0,

L在x6(o,o.ooi)上單調(diào)遞減，可得m(x)<m(O)=0,

即m(x)

即可得產(chǎn)(九)=/z(%)—g(九)=^-1+如(1—九)在(0,0.001)上單調(diào)遞減,

即對VxG(0,0.001),F(x)=/z(x)-g(x)<F(0)=0,

:.c<b

綜上b>c>a,

故選：B

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)仇C中的數(shù)字特征構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性即可

比較得出它們的大小.

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題所給的四個選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）

9.已知則方程加之/+町？=i表示的曲線可能是（）

A.兩條直線B.圓

c.焦點在x軸的橢圓D.焦點在y軸的雙曲線

【答案】ABC

【解析】

【分析】根據(jù)直線、圓、橢圓和雙曲線的定義以及方程一一判斷求解.

【詳解】對A,因為所以可取m=0,〃=1,

則有y=l或y=-l,表示兩條直線，A正確;

對B,因為m、”eR,所以可取m=1,〃=1,

則有必+丁2=1,表示圓，B正確；

對C,因為加、”wR,所以可取加=1,〃=1,

2

則有土+y2=l,表示焦點在X軸的橢圓，C正確;

4-

對D,因為機220,所以該曲線方程不可能為焦點在y軸的雙曲線，D錯誤;

故選:ABC.

10.如圖，已知四棱錐尸-A6CD中，平面ABCD,底面ABCD為正方形，PA=AB,Q為線段

上一點（含端點），則直線尸。與平面PCD所成角不可能是（）

717171

A.0B.—D.

64

【答案】CD

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求出線面角，再根據(jù)單調(diào)性求出范圍，進而可得答案.

【詳解】由44_L平面ABCD,底面ABCD為正方形得兩兩垂直，

以A為坐標(biāo)原點，所在直線分別為x，%z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方形的邊長為2,則A（0,0,0）,3（2,0,0）,￡＞（0,2,0）,尸（0,0,2）,C（2,2,0）,

所以PC=（2,2,-2）,PD=（O,2,-2）,BC=（0,2,0）,BP=（—2,0,2）,

設(shè)平面PCD的法向量為〃=（x,y,z）,

n-PD=2y-2z=0

則.,取y=l得

n-PC=2x+2y—2z-0

因為。為線段5c上一點（含端點）,

所以設(shè)3Q=ABC=（0,22,0）,（0<2<1）,

所以PQ=3Q—3P=（0,240）—（-2,0,2）=（2,2/1,-2）,

設(shè)直線尸。與平面PC。所成角為歷

\n-Pd\_|22-2|

1-A

則sin0=

問|P0V2x242+22"+2萬

明顯sin8隨著丸的增大而減小，當(dāng)4=0時，sin6^=—,當(dāng)4=1時，sin9=0,

2

jTT兀

即sinOw0,—,又0,—,

222’

JTjrjr

所以0,-,所以。不可能是一或

643

故選：CD.

11.己知數(shù)列｛。“｝為等差數(shù)列，％=1,a3=272+1,前〃項和為,數(shù)列｛2｝滿足〃=工，

則下列結(jié)論正確的是（）

A.數(shù)列｛4+%｝為等比數(shù)列

B.數(shù)列｛為+%｝為等差數(shù)列

C.數(shù)列｛4｝中任意三項不能構(gòu)成等比數(shù)列

D.數(shù)列｛〃｝中可能存在三項成等比數(shù)列

【答案】BC

【解析】

【分析】設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,求出d的值，求出S,、bn,利用等差數(shù)列的定義可判斷AB選項；利用

反證法結(jié)合等比數(shù)列的定義可判斷CD選項.

【詳解】設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,則d=/幺=3,

所以，s=叫+"（"1）叱〃+缶（”1），

22

所以，=—=1+—（?-1）>則4+1-2==〃+1—

n22

所以，數(shù)列也｝為等差數(shù)列，

所以，（4+i+d+J—（4+4）=（4+1—4）+（a+「％）=拒+*=孚，

所以，數(shù)列｛4+2｝為等差數(shù)列，故B正確，A錯誤；

（反證法）假設(shè)數(shù)列｛%｝中存在三項ap（m.p,neN\m<p<n）能構(gòu)成等比數(shù)列，

即=4n成立'由上可得%—（\+（”—1）。=1+J5（"—I）’

所以，［1+V2（n-1）］2=［l+A/2（m-l）］-［l+V2（p-l）］,

整理得：2/—4n+2垃n=母（m+/?）+2mp-2p-2m,

2n=m+p2n=m+p

所以，2，可得＜

2n-4n=2mp-2p-2mn2=mp，

可得（笠=mp,整理可得—p）2=0,可得加=夕，

與已知條件矛盾，所以，數(shù)列｛%｝中任意三項不能構(gòu)成等比數(shù)列，

同理可知，數(shù)列｛%｝中任意三項不能構(gòu)成等比數(shù)列，故C正確，D錯誤.

故選：BC

12.如圖，己知棱長為2的正方體ABC。-A4G。，點尸是棱A3的中點，過點尸作正方體

ABC。-的截面，關(guān)于下列判斷正確的是（）

A.截面的形狀可能是正三角形

B.截面的形狀可能是直角梯形

C.此截面可以將正方體體積分成1：3

D,若截面的形狀是六邊形，則其周長為定值

【答案】AC

【解析】

【分析】對于A：取相應(yīng)棱8月,的中點分析判斷；對于B：假設(shè)成立，結(jié)合面面平行的性質(zhì)以及線面

垂直分析判斷；對于C：。為所在棱44中點，結(jié)合棱柱的體積分析判斷；對于D：設(shè)石為的中點,

ZIMA=/FNC=8,結(jié)合幾何性質(zhì)求周長，進而分析判斷.

【詳解】假設(shè)正方體棱長為2.

對于選項A：如圖，M,N分別為所在棱中點，

可知PM=PN=MN,即截面的形狀是正三角形，故A正確;

對于選項B：由面面平行的性質(zhì)可知：PM//QN,

如果為直角梯形，例如對

由正方體的性質(zhì)可知：PM1CQ,可知PA/_L平面5與。］(7,

又因為AB工平面8耳GC,則PM〃A3或PM,A3重合,

由圖可知不成立，即截面形狀不可能是直角梯形，故B錯誤;

對于選項C：。為所在棱中點，如圖，

APB

則正方體的體積為8,三棱柱BPC一片。?的體積為gxlx2x2=2,

所以截面將正方體分成2:(8-2)=1:3,故C正確；

對于選項D：如圖所示，假設(shè)E為的中點，ZIMA=ZFNC=O,

則AP=CE=A/A=CN=1,7A=CE=tan0,^1==2—tan。,

22

AH=C]G=-1,DH=DG=3-

tan。}Xtan。

可得PE=y[i,PI=EF=7tan20+l=GF=—...........—,HG=3及—，

cos。sin。cos。tan。

20

則六邊形的周長為PE+2（/P+"/）+HG=40+4

sin。tan，

顯然周長與。有關(guān)，即六邊形的周長不是定值，故D錯誤；

故選：AC.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于選項D：取特殊位置，假設(shè)E為的中點，ZIMA=ZFNC=O,結(jié)合幾何

形狀求周長，進而分析判斷.

非選擇題部分

三、填空題（本大題共4小題，共20分.）

13.某校新建一個報告廳，要求容納800個座位，第一排21個座位，從第2排起后一排都比前一排多兩個

位置，那么這個報告廳共有排座位.

【答案】20

【解析】

【分析】將各排的座位數(shù)依次排成一列，構(gòu)成等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的前〃項和公式求項數(shù).

【詳解】設(shè)這個報告廳共有〃排座位，

報告廳的座位從第1排到第九排，各排的座位數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列，其前〃項和為

根據(jù)題意，數(shù)列是一個首項為21公差為2的等差數(shù)列，且5“=800.

71（72—1）

由S〃=2山+△——^x2=800,由“eN*，解得〃=20.

"2

所以這個報告廳共有20排座位.

故答案為：20

14.設(shè)曲線y=ea在點（0,1）處的切線與直線2x—y+a=0垂直，則實數(shù)。的值為.

【答案】—4##-0.5

2

【解析】

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可表示出切線的斜率，再由兩直線垂直斜率之積為T求出參數(shù)的值.

【詳解】因為y=e內(nèi)，所以丁'=起'則y'l,=o=a,

因為直線2x—y+Q=。的斜率％=2,所以i=—

2

故答案為：—

2

15.已知正四面體ABC。，點M為棱CD的中點，則異面直線A"與5。所成角的余弦值為.

【答案】正

66

【解析】

【分析】先設(shè)正四面體的棱長，設(shè)定基底為｛AB,AC,A。｝,表示人加與8C,應(yīng)用用空間向量的數(shù)量積求

解即可.

【詳解】正四面體A3CD的棱長設(shè)為2,

TT

其中|A例=|AC|=|AD1=2,三個向量AB,AC,AD間的夾角都為,

則AM=；(AC+AD),3C=AC—AB,

AMBC=^(AC+AD)(AC-AB)

12

=-(AC-AC-ABAD-AC-AD-AB)

=g(4—2+2—2)

=1

-21/AC2+2AC-AD+AD2)=|(4+4+4)=3,得|AM|=6，且|BC|=2,

由AM=-

4\

AMBCI1IA/3

異面直線AM與BC所成角的余弦值為!一m一?=——尸=一.

\AM\\BC\2XV36

故答案是：6

6

16.已知點P是直線/：y=x+4上一點，點。是橢圓c：「+/=i上一點，設(shè)點M為線段尸。的中點,

a

0為坐標(biāo)原點，若的最小值為￥,則橢圓c的離心率為.

【答案】2^1##-714

44

【解析】

【分析】根據(jù)題意先求出直線/關(guān)于原點的對稱直線/'：y=x-4,然后利用幾何知識得|OM|=

設(shè)。(acosasin。)，在利用點到直線的距離公式，從而可求解.

【詳解】直線/：y=x+4關(guān)于原點的對稱直線為/':y=x-4,記直線OP與直線/'的交點為尸，，連結(jié)

QP',OM,如圖，

為-PQP的中位線，則10M=g|QP[,

設(shè)Q(acos6,sine),1mhi=亨,3[山=冬

J|acos"sin"4|]J—交,，…或24,

1LnI拒L02

當(dāng)/=24時，/'：y=X—4與橢圓相交，|。。[最小值為0,與|QP/n=￥矛盾，舍去.

當(dāng)標(biāo)=8時，符合要求，此時，°2=7,橢圓離心率e=B=巫.

2V24

工…電位714

故答案為：--.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要利用數(shù)型結(jié)合方法，并巧妙設(shè)點。(acosRsin。)，從而求出相應(yīng)的a,c

的值，從而求解.

四、解答題(本大題共6小題，共70分.)

17.設(shè)aeR,函數(shù)=+依2+%.

(1)若/(%)有且只有一個零點，求。的取值范圍；

(2)若/(%)的一個極值點為1,求函數(shù)/(%)的極值.

【答案】17.-2<a<2

4

18./(x)極大=萬"(力極小=0

【解析】

【分析】(1)由題意可知函數(shù)唯一零點一定是0,故可推出函數(shù)丁=必+。％+1無零點，結(jié)合判別式，即可

求得答案；

(2)根據(jù)函數(shù)的極值點求出a,結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可確定極值點，求得極值.

【小問1詳解】

/(0)=0,若/(另有且只有一個零點，則這個唯一零點一定是0,

由于=+OX1+x=x(x2+ar+l),

故W0,即函數(shù)y=爐+ax+i無零點，

A=ci—4<0,—2<a<2；

【小問2詳解】

/(x)=x3+a)C+x：.f(x)=3x2+lax+1,

/(%)的一個極值點為I,.'./(I)=0,.-.a=—2,

=3x2-4x+l=(3x-l)(x-l),

當(dāng)時，/'(x)<0J(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)xe+動時，/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

則x=1為函數(shù)的極大值點，1=1為函數(shù)的極小值點，符合題意，

3

；./(%)極大=/[J=0/(x)極小=/⑴=°.

18.如圖，已知等腰三角形ABC中，AB=AC,D是AC的中點，且5(0,0),。(3,0).

（2）設(shè)AC所在直線與軌跡T的另一個交點為E,當(dāng)△A3。面積最大且A在第一象限時，求|AE|.

【答案】⑴（x-4）2+y2=4（y^0）

⑵|行

【解析】

【分析】（1）根據(jù)兩點間距離公式利用|A曰=2|A0|化簡整理可得點A的軌跡T的方程為

（1）2+/=4（尸0）；

（2）求出△A3。面積最大時點4（4,2）,可得AC的直線方程為2x—y-6=0,再由弦長公式可得結(jié)果.

【小問1詳解】

易知|AB|=2|A￡）|,

即7%2+/=27（x-3）2+/，

整理可得（x—4>+y2=4（yw0）,

即點A的軌跡T的方程為（X—4）2+/=4（yW0）

【小問2詳解】

如下圖所示：

由題意可得忸=3,當(dāng)A到x距離最大時，即縱坐標(biāo)最大時滿足題意，此時4（4,2）；

所以kAC=-=2,4。所在直線方程為2》一丁一6=。

/、2

圓心(4,0)到直線AC的距離d=[9

可得\AE\=24—儲=：百.

19.如圖，是邊長為2的等邊三角形，且百,NDR4=30°.

(1)若點A到平面5。石的距離為1,求DE;

(2)若且求直線與平面。CE所成角的正弦值.

2

【答案】(1)73

⑵叵

5

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，由點到面的距離公式可證平面應(yīng)出，再由勾股定理即可得到結(jié)果;

(2)根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運算代入計算，即可得到結(jié)果.

.ABE是邊長為2的等邊三角形，=2,又NDBA=30°,BD=6,

?.ABD中，AD2=BD2+AB--2BD-ABcosZDBA=1,.\AD=1,

點A到平面BDE的距離為1,不妨設(shè)平面BDE的法向量為n,

\AD-n\

則^^二1，

\n\

\AD-n\,.

又AD=1,.1~7—~-=AD，§P|AD'n|=|AD||??|ADn,

同11

平面又DEu平面BDE,..AD±DE,

XD=1,AE=2,:.DE=C.

【小問2詳解】

由(l)知AE>2+3￡>2=.2,...9上BD

又3石，4),且瓦)cBEnB，

且BD,BEu平面3￡>E，.,.AZ)_L平面,

又AD=1,AE=2,DE=y/3,BD=\/3,/.DE=DB,

設(shè)CE中點為“，則BC,又A。BC,且AD=13C,

2

:.OHAD,且O7/=AD=1,..OH，平面3￡>E；

設(shè)3E中點為。，則BELO。，

因此，OD,OE,由兩兩垂直；

如圖建系；則石(1,0,0),"(O,O,l),c(—l,0,2),。(0,應(yīng),0),

EC=(-2,0,2),DC=(-1,-A/2,2),BC=2AD=2,ADBC,

:.AD=^BC=OH,AD=OH=(0,0,1)；

設(shè)平面DCE的法向量為〃=(羽％z),直線AD與平面DCE所成角為凡

則山石。=0，n-DC=Q>

—2x+2z-0,—x—yp2y+2z=0,?。?1,則〃=

\)

n-ADVid

sin。=wM

20.記為數(shù)列｛4｝的前幾項和(“eN*),已知％=a,且4,瘋,4+]成等比數(shù)列.

(1)寫出的，并求出數(shù)列｛為〃｝的通項公式;

(2)記7；為數(shù)列的前”項和，若對任意的〃eN*,7；恒成立，求.的取值范圍.

【答案】20.%=1，O2"="("eN’)

21.[2,-H?)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意得4?4+1=5,,再由%=S“—S,i(〃22),再驗證的,從而可求解.

〃為奇數(shù)，〃為奇數(shù)

zxa+n

,從而得a=八，1

(2)求出a“=<即得勿HGN*,從

z

n〃為偶數(shù)W1\a+n，〃為偶數(shù)

,2

而可求解.

【小問1詳解】

由4,底Hz成等比數(shù)列得=S“，且4〉0,

當(dāng)”=1時6,%=%=>。2=1；

當(dāng)〃之2時，a“_iq=S『i，又4y+i=S“，

，為=S“—S-i=an-an+l--an,:.an+l-a?-1=l(n>2),

經(jīng)驗證當(dāng)〃=1,%=1符合，

a2"=/+(〃-1)x1=M”eN)

【小問2詳解】

a+-~〃為奇數(shù)

2

由⑴易得a,={,

〃為偶數(shù)

，“為奇數(shù)

，〃為偶數(shù)

u-rri

m,neN*，

又因為1-1］<1，所以

所以(g］〈J，即。上？，

故。取值范圍為［2,+8).

21.已知函數(shù)/(x)=e*-ln(x+7")+l.

(1)當(dāng)“2=1時，求函數(shù)/(九)的單調(diào)區(qū)間;

(2)當(dāng)機42時，求證：f(x)>1.

【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,0),單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+")

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)利用二次求導(dǎo)法進行求解即可；

(2)利用二次求導(dǎo)法，結(jié)合放縮法、構(gòu)造函數(shù)法、函數(shù)零點存在原理進行求解即可.

【小問1詳解】

當(dāng)加