2024屆上海市崇明區(qū)高三二模數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE3上海市崇明區(qū)2024屆高三二模數(shù)學試題一、填空題1.若集合，或，則__________．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，.故〖答案〗為：.2.不等式的解為__________．〖答案〗〖解析〗因為，所以.故〖答案〗為：3.已知向量，若，則__________.〖答案〗〖解析〗已知向量，若，則，解得.故〖答案〗為：.4.若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則__________．〖答案〗〖解析〗由，得.故〖答案〗為.5.若等差數(shù)列的首項，前5項和，則__________．〖答案〗〖解析〗因為等差數(shù)列的首項，前5項和，由等差數(shù)列的求和公式，可得，解得.故〖答案〗為：.6.已知冪函數(shù)的圖象經過點，則________．〖答案〗9〖解析〗依題意，設，將代入解得：，故，則.故〖答案〗為：9.7.若的二項式展開式中的系數(shù)為10，則__________．〖答案〗1〖解析〗由的通項公式可知二項式展開式中的系數(shù)為，則得，解得.故〖答案〗為：1.8.已知底面半徑為1的圓柱，是其上底面圓心，、是下底面圓周上兩個不同的點，是母線．若直線與所成角的大小為，則__________．〖答案〗〖解析〗如圖所示，因為，且則直線與所成角即為直線與所成角的大小為，可得,在直角中，可得，即.故〖答案〗：.9.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則___________．〖答案〗〖解析〗令，則由題意為奇函數(shù)，所以當時，，此時，故，所以.故〖答案〗為：.10.某學習小組共有10名學生，其中至少有2名學生在同一月份的出生的概率是__________．（默認每月天數(shù)相同，結果精確到0.001）〖答案〗0.996〖解析〗設事件“至少有2名學生在同一月份出生的”，，故〖答案〗為：0.99611.已知A、B、C是半徑為1的圓上的三個不同的點，且，則的最小值是__________．〖答案〗〖解析〗由正弦定理可得，所以，所以，且，則或，則或，當時，，所以，，則，當時，即時，取得最小值；當時，，所以，，則，則無最值；綜上所述，的最小值是，故〖答案〗為：12.已知實數(shù)滿足：，則的最大值是__________．〖答案〗6〖解析〗因為故令，且，因，所以，所以，僅當時等號成立.二、選擇題13.若，，則下列不等式成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗對于A.，，則，成立對于B.，，；對于C.，；對于D.若，則不成立故選A.14.某單位共有A、B兩部門，1月份進行服務滿意度問卷調查，得到兩部門服務滿意度得分的頻率分布條形圖如下.設A、B兩部門的服務滿意度得分的第75百分位數(shù)分別為，，方差分別為，，則（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗C〖解析〗根據(jù)頻率分布條形圖可知，，即；顯然A部門得分數(shù)據(jù)較B部門更為集中，其方差更小，即；故選：C15.設函數(shù)，若對于任意，在區(qū)間上總存在唯一確定的，使得，則m的最小值為A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗當時，有，所以.在區(qū)間上總存在唯一確定的，使得，所以存在唯一確定的，使得.，所以.故選B.16.已知函數(shù)的定義域為．命題：若當時，都有，則函數(shù)是D上的奇函數(shù)．命題：若當時，都有，則函數(shù)是D上的增函數(shù)．下列說法正確的是（）A.p、q都是真命題 B.p是真命題，q是假命題C.p是假命題，q是真命題 D.p、q都是假命題〖答案〗C〖解析〗對于命題，令函數(shù)，則，此時，當函數(shù)不是奇函數(shù)，所以命題為假命題，對于命題，當時，都有，即，不可能，即當時，可得，滿足增函數(shù)的定義，所以命題為真命題.故選：C.三、解答題17.如圖，在三棱錐中，，，為的中點．（1）證明：平面；（2）若點在棱上，且，求點到平面的距離．（1）證明：因為AP=CP=AC=4，O為AC的中點，所以OP⊥AC，且OP=．連結OB．因為AB=BC=，，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC，，知PO⊥平面ABC．（2）解：［方法一］：【最優(yōu)解】定義法作CH⊥OM，垂足為H．又由（1）易知平面，從而OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的長為點C到平面POM的距離．由題設可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．所以OM=，CH==．所以點C到平面POM的距離為．［方法二］：等積法設C到平面的距離為h，由（1）知即為P到平面的距離，且．又，在中，，則由余弦定理得，則，即，則．即點C到平面POM的距離為．［方法三］：向量法如圖，以O為原點，建立直角坐標系，設，，，，，，，．設平面的一個法向量，則，令，則，所以，點C到平面的距離為．18.在銳角三角形中，角的對邊分別為，為在方向上的投影向量，且滿足.（1）求值；（2）若，求的周長.解：（1）由為在方向上的投影向量，則，又，即，根據(jù)正弦定理，，在銳角中，，則，即，由，則，整理可得，解得（負值舍去）.（2）由，根據(jù)正弦定理，可得，在中，，則，所以，所以，由（1）可知，則，由，則，解得（負值舍去），根據(jù)正弦定理，可得，則，，故的周長.19.某疾病預防中心隨機調查了340名50歲以上的公民，研究吸煙習慣與慢性氣管炎患病的關系，調查數(shù)據(jù)如表所示．不吸煙者吸煙者總計不患慢性氣管炎者120160280患慢性氣管炎者154560總計135205340（1）是否有95%的把握認為患慢性氣管炎與吸煙有關？（2）常用表示在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的優(yōu)勢，在統(tǒng)計中稱為似然比．現(xiàn)從340人中任選一人，A表示“選到的人是吸煙者”，B表示“選到的人患慢性氣管炎者”請利用樣本數(shù)據(jù)，估計的值；（3）現(xiàn)從不患慢性氣管炎者的樣本中，按分層抽樣的方法選出7人，從這7人里再隨機選取3人，求這3人中，不吸煙者的人數(shù)X的數(shù)學期望．附：，．解：（1）假設：患慢性氣管炎與吸煙無關，根據(jù)的列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，從而否定原假設，所以有95%的把握認為患慢性氣管炎與吸煙有關.（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可得：.（3）根題意，按分層抽樣，得到不吸煙者人，吸煙者人，這7人里再隨機選取3人，可得隨機變量的可能值為0，1，2，3，則，，則隨機變量的分布列為：所以，隨機變量的數(shù)學期望為.20.已知橢圓，為的上頂點，是上不同于點的兩點．（1）求橢圓的離心率；（2）若是橢圓的右焦點，是橢圓下頂點，是直線上一點.若有一個內角為，求點的坐標；（3）作，垂足為．若直線與直線的斜率之和為，是否存在軸上的點，使得為定值？若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由．解：（1）由題意，，所以離心率（2）由題意，，，，所以直線的方程為：，設，顯然有或兩種情況，①當時，直線的傾斜角為，其與軸的交點為，則，因為，由，得：，解得（舍去）或，所以，點的坐標是②當時，此時，則，因為，由，得：，解得（舍去）或綜上所述，點的坐標是或（3）假設存在定點滿足題意，當?shù)男甭蚀嬖跁r，設直線的方程為，，由，得，由題意，，即①．，，所以，代入①，得：，所以或，即存在直線使得直線與直線的斜率之和為2直線的方程為，直線的方程為由，得：，即所以所以當時，為定值，.當直線斜率不存在時，設，，則，，此時，滿足題意．所以存在定點，使得為定值且定值為．21.已知.（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)存在兩個不同的極值點，求證：；（3）若，，數(shù)列滿足，．求證：當時，．（1）解：當時，，所以曲線在點處的切線方程為.；（2）證明：由，得：，令，則，原方程可化為：①，則是方程①的兩個不同的根，所以，解得，所以，因為，所以，所以；（3）證明：由題意可知，，所以，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上嚴格減，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上嚴格增，因為，所以，，以此類推，當時，，又，所以函數(shù)在區(qū)間上嚴格減，當時，，所以，所以，即，故.上海市崇明區(qū)2024屆高三二模數(shù)學試題一、填空題1.若集合，或，則__________．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，.故〖答案〗為：.2.不等式的解為__________．〖答案〗〖解析〗因為，所以.故〖答案〗為：3.已知向量，若，則__________.〖答案〗〖解析〗已知向量，若，則，解得.故〖答案〗為：.4.若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則__________．〖答案〗〖解析〗由，得.故〖答案〗為.5.若等差數(shù)列的首項，前5項和，則__________．〖答案〗〖解析〗因為等差數(shù)列的首項，前5項和，由等差數(shù)列的求和公式，可得，解得.故〖答案〗為：.6.已知冪函數(shù)的圖象經過點，則________．〖答案〗9〖解析〗依題意，設，將代入解得：，故，則.故〖答案〗為：9.7.若的二項式展開式中的系數(shù)為10，則__________．〖答案〗1〖解析〗由的通項公式可知二項式展開式中的系數(shù)為，則得，解得.故〖答案〗為：1.8.已知底面半徑為1的圓柱，是其上底面圓心，、是下底面圓周上兩個不同的點，是母線．若直線與所成角的大小為，則__________．〖答案〗〖解析〗如圖所示，因為，且則直線與所成角即為直線與所成角的大小為，可得,在直角中，可得，即.故〖答案〗：.9.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則___________．〖答案〗〖解析〗令，則由題意為奇函數(shù)，所以當時，，此時，故，所以.故〖答案〗為：.10.某學習小組共有10名學生，其中至少有2名學生在同一月份的出生的概率是__________．（默認每月天數(shù)相同，結果精確到0.001）〖答案〗0.996〖解析〗設事件“至少有2名學生在同一月份出生的”，，故〖答案〗為：0.99611.已知A、B、C是半徑為1的圓上的三個不同的點，且，則的最小值是__________．〖答案〗〖解析〗由正弦定理可得，所以，所以，且，則或，則或，當時，，所以，，則，當時，即時，取得最小值；當時，，所以，，則，則無最值；綜上所述，的最小值是，故〖答案〗為：12.已知實數(shù)滿足：，則的最大值是__________．〖答案〗6〖解析〗因為故令，且，因，所以，所以，僅當時等號成立.二、選擇題13.若，，則下列不等式成立的是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗對于A.，，則，成立對于B.，，；對于C.，；對于D.若，則不成立故選A.14.某單位共有A、B兩部門，1月份進行服務滿意度問卷調查，得到兩部門服務滿意度得分的頻率分布條形圖如下.設A、B兩部門的服務滿意度得分的第75百分位數(shù)分別為，，方差分別為，，則（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗C〖解析〗根據(jù)頻率分布條形圖可知，，即；顯然A部門得分數(shù)據(jù)較B部門更為集中，其方差更小，即；故選：C15.設函數(shù)，若對于任意，在區(qū)間上總存在唯一確定的，使得，則m的最小值為A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗當時，有，所以.在區(qū)間上總存在唯一確定的，使得，所以存在唯一確定的，使得.，所以.故選B.16.已知函數(shù)的定義域為．命題：若當時，都有，則函數(shù)是D上的奇函數(shù)．命題：若當時，都有，則函數(shù)是D上的增函數(shù)．下列說法正確的是（）A.p、q都是真命題 B.p是真命題，q是假命題C.p是假命題，q是真命題 D.p、q都是假命題〖答案〗C〖解析〗對于命題，令函數(shù)，則，此時，當函數(shù)不是奇函數(shù)，所以命題為假命題，對于命題，當時，都有，即，不可能，即當時，可得，滿足增函數(shù)的定義，所以命題為真命題.故選：C.三、解答題17.如圖，在三棱錐中，，，為的中點．（1）證明：平面；（2）若點在棱上，且，求點到平面的距離．（1）證明：因為AP=CP=AC=4，O為AC的中點，所以OP⊥AC，且OP=．連結OB．因為AB=BC=，，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC，，知PO⊥平面ABC．（2）解：［方法一］：【最優(yōu)解】定義法作CH⊥OM，垂足為H．又由（1）易知平面，從而OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的長為點C到平面POM的距離．由題設可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．所以OM=，CH==．所以點C到平面POM的距離為．［方法二］：等積法設C到平面的距離為h，由（1）知即為P到平面的距離，且．又，在中，，則由余弦定理得，則，即，則．即點C到平面POM的距離為．［方法三］：向量法如圖，以O為原點，建立直角坐標系，設，，，，，，，．設平面的一個法向量，則，令，則，所以，點C到平面的距離為．18.在銳角三角形中，角的對邊分別為，為在方向上的投影向量，且滿足.（1）求值；（2）若，求的周長.解：（1）由為在方向上的投影向量，則，又，即，根據(jù)正弦定理，，在銳角中，，則，即，由，則，整理可得，解得（負值舍去）.（2）由，根據(jù)正弦定理，可得，在中，，則，所以，所以，由（1）可知，則，由，則，解得（負值舍去），根據(jù)正弦定理，可得，則，，故的周長.19.某疾病預防中心隨機調查了340名50歲以上的公民，研究吸煙習慣與慢性氣管炎患病的關系，調查數(shù)據(jù)如表所示．不吸煙者吸煙者總計不患慢性氣管炎者120160280患慢性氣管炎者154560總計135205340（1）是否有95%的把握認為患慢性氣管炎與吸煙有關？（2）常用表示在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的優(yōu)勢，在統(tǒng)計中稱為似然比．現(xiàn)從340人中任選一人，A表示“選到的人是吸煙者”，B表示“選到的人患慢性氣管炎者”請利用樣本數(shù)據(jù)，估計的值；（3）現(xiàn)從不患慢性氣管炎者的樣本中，按分層抽樣的方法選出7人，從這7人里再隨機選取3人，求這3人中，不吸煙者的人數(shù)X的數(shù)學期望．附：，．解：（1）假設：患慢性氣管炎與吸煙無關，根據(jù)的列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，從而否定原假設，所以有95%的把握認為患慢性氣管炎與吸煙有關.（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可得：.（3）根題意，按分層抽樣，得到不吸煙者人，吸煙者人，這7人里再隨機選取3人，可得隨機變量的可能值為0，1，2，3，則，，則隨機變量的分布列為：所以，隨機變量的數(shù)學期望為.