遼寧省錦州市2024年高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷含解析

遼寧省錦州市2024年高考臨考沖刺數(shù)學(xué)試卷

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

TT7TTC

1.已知函數(shù)/（兀）=5M（5+0）（。>0,|°區(qū)一），兀=——為/（x）的零點(diǎn)，x=—為y=/（x）圖象的對(duì)稱軸，且/（x）

244

在區(qū)間（工，工）上單調(diào)，則。的最大值是（）

43

A.12B.11C.10D.9

xlnx-2x,x>0

2.已知函數(shù)/■（%）=L3「的圖像上有且僅有四個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線y=-l的對(duì)稱點(diǎn)在y=履-1的圖像

XH---X,XS（J

I2

上，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是（）

3."a手是cosa豐cos的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖后，輸出的值為5,則尸的取值范圍是（）.

1531

D.

16532

5.已知z=13—2。，則z［二（）

A.5B.75C.13

x+y-120

6.已知實(shí)數(shù)羽y滿足不等式組2x—y+420,則|3x+4y|的最小值為（）

4x+y-4<0

A.2B.3C.4D.5

7.第24屆冬奧會(huì)將于2022年2月4日至2月20日在北京市和張家口市舉行，為了解奧運(yùn)會(huì)會(huì)旗中五環(huán)所占面積與

單獨(dú)五個(gè)環(huán)面積之和的比值P,某學(xué)生做如圖所示的模擬實(shí)驗(yàn)：通過計(jì)算機(jī)模擬在長(zhǎng)為10,寬為6的長(zhǎng)方形奧運(yùn)會(huì)旗

內(nèi)隨機(jī)取N個(gè)點(diǎn)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)落入五環(huán)內(nèi)部及其邊界上的點(diǎn)數(shù)為〃個(gè)，已知圓環(huán)半徑為1,則比值尸的近似值為（）

8〃7m

兀N12N

8.下列選項(xiàng)中，說法正確的是（）

44

A.Ex0GR,x：-不<0”的否定是F/eR-x>Q

B.若向量a/滿足。/<0，則。與b的夾角為鈍角

C.若am2<bm2>則a?b

D.“xe（AU3）”是“xe（A⑻”的必要條件

9.已知向量。=（1,0）,b=（l,5,則與2a—〃共線的單位向量為（）

10.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（）

（今始）

5=0,4=1

I

i>4?

結(jié)束

731

816

11.設(shè)尸=旨b=一/+1,xGR},Q^{y\y=2x,xGR},則

A.P三QB.QWP

C.CRPJQD.QWCRP

12.我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果.哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示

為兩個(gè)素?cái)?shù)（即質(zhì)數(shù)）的和“，如16=5+11,30=7+23.在不超過20的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等

于20的概率是（）

D.以上都不對(duì)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.邊長(zhǎng)為2的正方形經(jīng)裁剪后留下如圖所示的實(shí)線圍成的部分，將所留部分折成一個(gè)正四棱錐.當(dāng)該棱錐的體積取得

最大值時(shí)，其底面棱長(zhǎng)為.

x+y>a_

14.設(shè)了、，滿足約束條件〈，，且z=x+沖的最小值為7,則。=_________.

[x-y<-l

15.若函數(shù)/(x)=sin2x-百cos2x的圖像向左平移g個(gè)單位得到函數(shù)g(x)的圖像.則gO)在區(qū)間-上的

最小值為.

16.已知一個(gè)正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角為60。，側(cè)面積為4夕，則該棱錐的體積為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為Sn,等比數(shù)列也｝的前n項(xiàng)和為7；,且％=4=1,%=5,4+%=15.

(1)求數(shù)列｛4｝與也｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛工子｝的前"項(xiàng)和.

18.(12分)在如圖所示的幾何體中，面。Eb為正方形，平面A3。為等腰梯形，ABI/CD,AB=2BC,點(diǎn)。為AE

的中點(diǎn).

(1)求證：AC//平面OQF；

(2)若NA3C=60。，AC1.FB,求5c與平面戶所成角的正弦值.

19.(12分)已知正實(shí)數(shù)a,萬(wàn)滿足。+6=4.

14

（1）求一+—的最小值.

ab

（2）證明：二+4…生

IaJI沼2

20.（12分）運(yùn)輸一批海鮮，可在汽車、火車、飛機(jī)三種運(yùn)輸工具中選擇，它們的速度分別為60千米/小時(shí)、120千米

/小時(shí)、600千米/小時(shí)，等于舉的運(yùn)費(fèi)分別為20元、10元、50元.這批海鮮在運(yùn)輸過程中每個(gè)町的損耗為機(jī)元（相＞0）,

運(yùn)輸?shù)穆烦虨镾（千米）.設(shè)用汽車、火車、飛機(jī)三種運(yùn)輸工具運(yùn)輸時(shí)各自的總費(fèi)用（包括運(yùn)費(fèi)和損耗費(fèi)）分別為%（元）、

y2（元）、%（元）?

（1）請(qǐng)分別寫出％、%、%的表達(dá)式；

（2）試確定使用哪種運(yùn)輸工具總費(fèi)用最省.

21.（12分）如圖，已知橢圓E的右焦點(diǎn)為瑞。,0）,P,。為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQ8周長(zhǎng)的最大值為8.

（I）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（II）直線/經(jīng)過尸2,交橢圓E于點(diǎn)A，3,直線加與直線/的傾斜角互補(bǔ)，且交橢圓￡于點(diǎn)M，N,\MNf^4\AB\,

求證：直線加與直線/的交點(diǎn)T在定直線上.

o

22.（10分）在底面為菱形的四棱柱耳中，AB=AAi=2,AlB=AlD,ZBAD=6Q,AC班＞=。,49,平

面4瓦）.

（1）證明：4c平面A#。；

（2）求二面角。的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

由題意可得。，(-￡)+9=林，且辦工+展左加+1，故有0=2次一)+1①，再根據(jù)《.竺三一工，求得處12②,

4422G34

由①②可得。的最大值，檢驗(yàn)。的這個(gè)值滿足條件.

【詳解】

解：函數(shù)/(x)=sin(ox+0)(o>O,lei,,。)，

7TIT

X=—：為y(x)的零點(diǎn)，x=—為y=/(x)圖象的對(duì)稱軸，

44

---)+(p=k兀，且◎—\-(p=k!7i-\—,k、左'wZ,.，.0=2(〃—左)+1,即刃為奇數(shù)①.

4---------------42

/(x)在G，芻單調(diào)，.?二.絲.93,.”,12②.

432。34

由①②可得。的最大值為1.

JTjr'TT

當(dāng)a>=n時(shí)，由X=—為y=/(%)圖象的對(duì)稱軸，可得1卜二+0=左萬(wàn)+彳，keZ,

442

故有夕=一至，0.(-￡)+9=左乃，滿足X=-生為/'(X)的零點(diǎn)，

444

(nn\

同時(shí)也滿足滿足了(X)在［I，3上單調(diào)，

故0=11為。的最大值，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的特征，正弦函數(shù)的周期性以及它的圖象的對(duì)稱性，屬于中檔題.

2、A

【解析】

可將問題轉(zhuǎn)化，求直線y=履-1關(guān)于直線y=-1的對(duì)稱直線，再分別討論兩函數(shù)的增減性，結(jié)合函數(shù)圖像，分析臨

界點(diǎn)，進(jìn)一步確定上的取值范圍即可

【詳解】

可求得直線y=依-1關(guān)于直線y=-1的對(duì)稱直線為y=iwc-\(m=-k),

當(dāng)％>0時(shí)，/(x)=Alnx-2x,/'(%)=lnx-l,當(dāng)x=e時(shí)，/'(x)=0,則當(dāng)xe(0,e)時(shí)，/,(%)<0,/(%)

單減,當(dāng)％e(e,a)時(shí)，/,(x)>0,/(%)單增;

當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=x2+|x,/'(x)=2x+|,當(dāng)工=一j/'(x)=0,當(dāng)x<—7時(shí)，/(九)單減，當(dāng)一:<x<0時(shí),

“X)單增；

根據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖像，如圖：

31

當(dāng)y=g-l與/(%)=必+]X(尤〈0)相切時(shí)，得△=(),解得小二一萬(wàn)；

y=xlnx-2x

當(dāng)y=—l與/(x)=xlnx-2x(x>0)相切時(shí)，滿足<y=mx-1

m=]nx—l

解得x=l,〃2=-l,結(jié)合圖像可知機(jī)eI?即一左€

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)形結(jié)合思想求解函數(shù)交點(diǎn)問題，導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性，找準(zhǔn)臨界是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題

3、B

【解析】

分別判斷充分性和必要性得到答案.

【詳解】

?=/7=>cosa=cos/3所以cosa豐cos/3=a手B(逆否命題)必要性成立

當(dāng)(Z=_/3ncosa=cos/3,不充分

故是必要不充分條件，答案選B

【點(diǎn)睛】

本題考查了充分必要條件，屬于簡(jiǎn)單題.

4、C

【解析】

框圖的功能是求等比數(shù)列的和，直到和不滿足給定的值時(shí)，退出循環(huán)，輸出幾

【詳解】

1113

第一次循環(huán)：S=-,n=2第二次循環(huán)：S=-+-=-,n=3；

2;222?4

第三次循環(huán)：S=g+/+J=g,〃=4；第四次循環(huán)：S=；+J+《+g=^|,〃=5；

715

此時(shí)滿足輸出結(jié)果，故；;〈?！磸S.

816

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查程序框圖的應(yīng)用，建議數(shù)據(jù)比較小時(shí)，可以一步一步的書寫，防止錯(cuò)誤，是一道容易題.

5、C

【解析】

先化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z=*3-2。，再求三，最后求z工即可.

【詳解】

解：z=z（3-2z）=2+3z,Z=2-3Z

Z-Z=22+32=13，

故選：C

【點(diǎn)睛】

考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.

6、B

【解析】

3

作出約束條件的可行域，在可行域內(nèi)求z=3x+4y的最小值即為|3x+4y|的最小值，作丁=-平移直線即可求解.

【詳解】

x+y-l>0

作出實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組2x-y+420的可行域，如圖（陰影部分）

4x+y-4<0

3z

令z=3x+4y,貝?。﹜=——%+-,

44

3

作出y=平移直線，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)4（1,0）時(shí)，截距最小,

故％.=3義1+0=3,

即|3x+4y|的最小值為3.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，解題的關(guān)鍵是作出可行域、理解目標(biāo)函數(shù)的意義，屬于基礎(chǔ)題.

7、B

【解析】

根據(jù)比例關(guān)系求得會(huì)旗中五環(huán)所占面積，再計(jì)算比值P.

【詳解】

設(shè)會(huì)旗中五環(huán)所占面積為S,

士丁SnCCI.。60〃

由于二=:7,所以5=丁

60NN

j,八S12〃

故可得P=7=r.

5"nN

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查面積型幾何概型的問題求解，屬基礎(chǔ)題.

8、D

【解析】

對(duì)于A根據(jù)命題的否定可得：叼xoGR,xiZ-xoWO”的否定是“VxCR,x2-x>0n,即可判斷出；對(duì)于B若向量°力滿足

a-b<0>則a與Z?的夾角為鈍角或平角；對(duì)于。當(dāng)，〃=0時(shí)，滿足切小劭加，但是“砂不一定成立；對(duì)于。根據(jù)元素

與集合的關(guān)系即可做出判斷.

【詳解】

選項(xiàng)A根據(jù)命題的否定可得：叼xoGR,x()2_xowo，，的否定是“vxGR,，-x>0"，因此A不正確;

選項(xiàng)8若向量a“滿足。.0<0，則a與Z?的夾角為鈍角或平角，因此不正確.

選項(xiàng)C當(dāng)m=O時(shí)，滿足am2<bm2,但是a<b不一定成立，因此不正確;

選項(xiàng)O若為"，則xeA且xe瓦所以一定可以推出“x?AU5)"，因此“工?4175)”是“1?4B)”

的必要條件，故正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有含有量詞的命題的否定、不等式性質(zhì)、向量夾角與性質(zhì)、集合性質(zhì)等,

屬于簡(jiǎn)單題.

9、D

【解析】

根據(jù)題意得，2a-b=(l,-⑹設(shè)與加―b共線的單位向量為(龍/)，利用向量共線和單位向量模為1,列式求出羽V即

可得出答案.

【詳解】

因?yàn)閍=(1,O),b=(1,,則2,=(2,0),

所以2a-6=(1,-⑹,

設(shè)與2a共線的單位向量為(x,y),

-s13x-y=0

則

x2+y2=1

11

x=—x=——

22

解得或,

百A/3

y=T

所以與2a-6共線的單位向量為或

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及共線定理和單位向量的定義.

10、D

【解析】

由程序框圖確定程序功能后可得出結(jié)論.

【詳解】

執(zhí)行該程序可得s=o+g+g+/+g=a

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查程序框圖.解題可模擬程序運(yùn)行，觀察變量值的變化，然后可得結(jié)論，也可以由程序框圖確定程序功能，然

后求解.

11、C

【解析】

解：因?yàn)镻={y|y=-x2+l,xGR}={y|y<1},Q={y|y=2x,xWR}={y|y>0},因此選C

12、A

【解析】

首先確定不超過20的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型概率求解方法計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】

不超過20的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17,19,共8個(gè)，

從這8個(gè)素?cái)?shù)中任選2個(gè)，有=28種可能；

其中選取的兩個(gè)數(shù)，其和等于20的有（3,17）,（7,13）,共2種情況，

21

故隨機(jī)選出兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于20的概率「===1.

2814

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型概率問題的求解，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

4

13、一

5

【解析】

根據(jù)題意，建立棱錐體積的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值即可.

【詳解】

設(shè)底面邊長(zhǎng)為2x,則斜高為l-x,即此四棱錐的高為"1一2x[0<x<；],

所以此四棱錐體積為V=—?4爐.F^=—2元5,

33

令//(%)=x4-2x5[0<,

令h'(x)=4x3-10x4=2x3(2-5x)=0,

2

易知函數(shù)h(x)在x=g時(shí)取得最大值.

4

故此時(shí)底面棱長(zhǎng)2x=《.

4

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】

本題考查棱錐體積的求解，涉及利用導(dǎo)數(shù)研究體積最大值的問題，屬綜合中檔題.

14、3

【解析】

根據(jù)約束條件畫出可行域，再把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=-LX+^2,對(duì)參數(shù)a分類討論，當(dāng)a=0時(shí)顯然不滿足題意；當(dāng)

aa

a21時(shí)，直線y=-^x+經(jīng)過可行域中的點(diǎn)A時(shí)，截距最小,即z有最小值,再由最小值為7,得出結(jié)果;當(dāng)0<a<1

aa

時(shí)，y=-+的截距沒有最小值，即z沒有最小值；當(dāng)。<0時(shí)，y=-+的截距沒有最大值，即z沒有

aaaa

最小值，綜上可得出結(jié)果.

【詳解】

x+y=a(a-1a+

根據(jù)約束條件畫出可行域如下：由｛「可得出交點(diǎn)A,

x-y=-l122J

由Z=JV+@可得y=x-\—z,當(dāng)a=0時(shí)顯然不滿足題意；

aa

當(dāng)即-1W-工<0時(shí)，由可行域可知當(dāng)直線y=-Lx+^z經(jīng)過可行域中的點(diǎn)A時(shí)，截距最小，即z有最小值，

aaa

即包士+a?3=7,解得。=3或-5(舍)；

22

當(dāng)0＜。＜1即-!＜-1時(shí)，由可行域可知v=-^x+^z的截距沒有最小值，即z沒有最小值;

aaa

當(dāng)a＜0即-工＞0時(shí)，根據(jù)可行域可知丁=-^x+^z的截距沒有最大值，即z沒有最小值.

aaa

綜上可知滿足條件時(shí)a=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線性規(guī)劃問題，約束條件和目標(biāo)函數(shù)中都有參數(shù)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論.

15、-73

【解析】

TTTT

注意平移是針對(duì)自變量X,所以g(x)=/(x+7)=2sin(2x-),再利用整體換元法求值域(最值)即可.

o7127

【詳解】

由已知，/(x)=sin2X-A/3COS2%=2sin(2x-—),g(x)=/(%+—)=

_./冗、TC7T、__R3兀i,_7C「7C2〃..

2sin[2(x+-)--]=2sin(2x--),又無￡一石，P—G,

o512l_33」1233

2sin(2x*)e[-62],所以g(x)的最小值為-豆.

故答案為：-#).

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦型函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，涉及到圖象的平移變換、輔助角公式的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題.

16、-V6

3

【解析】

如圖所示，正四棱錐尸-ABCD,。為底面的中心，點(diǎn)〃為AB的中點(diǎn)，則NPAO=60,設(shè)AB=a,根據(jù)正四棱

錐的側(cè)面積求出。的值，再利用勾股定理求得正四棱錐的高，代入體積公式，即可得到答案.

【詳解】

如圖所示，正四棱錐尸-A3CD,。為底面的中心，點(diǎn)〃為A3的中點(diǎn)，

則NPAO=60，設(shè)筋=。，

OA^—a,:?PA=0a，--PM=VPA2-AM1=-a,

22

4&a*a)=45na=2,

po、歸—上=也,

V442

2

V=lxaxPO=^-.

33

故答案為：生回.

3

AMK

【點(diǎn)睛】

本題考查棱錐的側(cè)面積和體積，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查運(yùn)算求解能力.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)a“=2〃—1；4=2"“(2)(n_l)x2"+i/(；+l)+2

【解析】

3x2

⑴設(shè)數(shù)列｛4,｝的公差為4由％一邑可得,%+4d=3%+2",由火一々=1即可解得d=2,故。“=2〃-1,由

%+d=15，即可解得q=2，進(jìn)而求得bn=2鵬.

（2）由（1）得，利用分組求和及錯(cuò)位相減法即可求得結(jié)果.

nn

【詳解】

（1）設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為乙數(shù)列也｝的公比為°,

整理得2q=d,即［=2,

故4=2〃一1,

由%+d=15可得仇=8,則如3=8,即q=2,

故4=2"。

2n

(2)由(1)得，S?=n,Tn=2-1,

所以，數(shù)列的前“項(xiàng)和為(1x+2x2?++〃x2")—(l+2++〃),

設(shè)匕=lx21+2x22+..+(〃—l)x2"T+〃x2"①,

則2七=1X22+2X23++(〃一1)X2"+〃X2"M②,

=HX2"+1-(2+22+23+--+2")=(n-l)x2n+1+2,

綜上，數(shù)列的前〃項(xiàng)和為—l）x2'+i—

【點(diǎn)睛】

本題考查求等差等比的通項(xiàng)公式，考試分組求和及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的計(jì)算能力，難度一般.

18、（1）見解析（2）空

【解析】

（1）連接CE交。歹于點(diǎn)連接。河，通過證明QM//AC,證得AC//平面PQE.

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線的方向向量和平面。QF的法向量，計(jì)算出線面角的正弦值.

【詳解】

(1)證明：連接CE交小于點(diǎn)連接。M,因?yàn)樗倪呅蜟DE尸為正方形，所以點(diǎn)M為CE的中點(diǎn)，又因?yàn)?。?/p>

AE的中點(diǎn)，所以QM//AC；

QM<=平面DQF,AC<X平面DQF,

(2)解：AB=2BC,設(shè)3C=1,則AB=2,在ABC中，ZABC=60°，由余弦定理得:

AC2=22+l2-2x2xlxcos60°-3?

AC2+BC~AB2,AC±BC.

又；ACLFB,CBcBF=B,

CD±FC,FC±平面ABCD.

如圖建立的空間直角坐標(biāo)系。-孫z.

在等腰梯形ABC。中，可得CD=CB=1.

-不0),石(0,0』),3(^^,不0),。(0』,0),F(O,1,1)則?

2222442

那么BC=(—，,—g,O),DQ=(￥，-：,》,￡)戶=(0,1,1)

設(shè)平面DQF的法向量為〃=(x,y,z),

n-DQ=0x——y+—z=Q.[-

則有2，即4一年2，取丁=1，得〃=(6,1,—1).

n?DF=0八

i[y+z=0

—r-ICB,nI

設(shè)BC與平面DQF所成的角為0,則|sin6=|cos<CB,n>|=)~~.

\CB\-\n\5

所以與平面DQF所成角的正弦值為名5.

本小題主要考查線面平行的證明，考查線面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.

9

19、(1)-；(2)見解析

4

【解析】

(1)利用乘“1”法，結(jié)合基本不等式求得結(jié)果.

(2)直接利用基本不等式及乘“1”法，證明即可.

【詳解】

14

(1)因?yàn)閍+Z?=4,所以一+7=小卜/號(hào)

ab+1+

b4-cib4〃48

因?yàn)閍>0,b>0，所以巳+絲..4(當(dāng)且僅當(dāng)‘=絲，即〃=2/二2時(shí)等號(hào)成立),

abab33

所以扣+1引…%5+4)1

【點(diǎn)睛】

本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了乘“1”法的技巧，考查了推理論證能力，屬于中檔題.

一八，、?ms“ccmS“cmS

20、(1)y,=20s4---，y=10SH----,y,=50sH----.

160921203600

(2)當(dāng)機(jī)<6000時(shí)，此時(shí)選擇火車運(yùn)輸費(fèi)最省；

當(dāng)相>6000時(shí)，此時(shí)選擇飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省；

當(dāng)加=6000時(shí)，此時(shí)選擇火車或飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省.

【解析】

(1)將運(yùn)費(fèi)和損耗費(fèi)相加得出總費(fèi)用的表達(dá)式.

(2)作差比較為、%的大小關(guān)系得出結(jié)論?

【詳解】

⑴=205+—,

160

y,=10S+—,y=505+—.

21203600

(2)m>O,S>0,

故須>1。喏>魯,

.?.%>%恒成立，故只需比較％與%的大小關(guān)系即可,

令了⑸―嗡十。一卷卜,

iri

故當(dāng)40---->0,即機(jī)<6000時(shí)，

150

〃S)>0,即%<%，此時(shí)選擇火車運(yùn)輸費(fèi)最省，

rvi

當(dāng)40----<0,即根>6000時(shí)，

150

/(S)<0,即%>內(nèi)，此時(shí)選擇飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省.

當(dāng)40----=0,即機(jī)=6000時(shí)，

150

/(S)=0,%=%，

此時(shí)選擇火車或飛機(jī)運(yùn)輸費(fèi)用最省.

【點(diǎn)睛】

本題考查了常見函數(shù)的模型，考查了分類討論的思想，屬于基礎(chǔ)題.

22

21、(I)L+匕=1；(II)詳見解析.

43

【解析】

(I)由橢圓的定義可得，PQ8周長(zhǎng)取最大值時(shí)，線段P。過點(diǎn)耳，可求出”,從而求出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(II)設(shè)直線/：y=k(xT)(左力0),直線77z:y=—左(1+。，A(%,y)，5(x2,y2),M(x3,y3),N(九型%)?把

直線加與直線/的方程分別代入橢圓E的方程，利用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式求出「和|/回，根據(jù)|MN「=4|/必求

出/的值.最后直線m與直線I的方程聯(lián)立，求兩直線的交點(diǎn)即得結(jié)論.

【詳解】

（I）設(shè)PQ月的周長(zhǎng)為L(zhǎng),

則L=|P閶+|QK|+|PQ|=2a—|P^+2aTQ胤+|PQ|=4a—（|P^+|Q匐）+|PQ|

<4a-\PQ\+\PQ\=4a,當(dāng)且僅當(dāng)線段PQ過點(diǎn)4時(shí)“=”成立.

；.4a=8,:.a=2,又c=l,:.b=6，

22

???橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為L(zhǎng)+匕=1.

43

（II）若直線/的斜率不存在，則直線機(jī)的斜率也不存在，這與直線僧與直線/相交于點(diǎn)T矛盾，所以直線/的斜率存

在.

設(shè)/：丁=左（％-1）（左￥0）,加：丁=一左（％+/）,4（尤］,弘），3（%2，%），/（七，%），川尤4，%）?

將直線機(jī)的方程代入橢圓方程得：（3+442產(chǎn)+8左2笈+4儼產(chǎn)—3）=0.

8k2t4（上2-3）

?口+%=-E'演'=^7^'

.H）.3-3「