2024年高考數(shù)學(xué)模擬題含解析 (一)

1設(shè)集合”={刃—l<x<3},N={-2,-1,0,1},則"cN=

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{^|-1<X<1}D.{x|-l<x<l}

【答案】B

【分析】根據(jù)交集的知識(shí)求得正確答案.

【詳解】由已知得MN={0,l}.

故選：B

2.已知i是虛數(shù)單位，若(a+2i)(l+i)=4i,則實(shí)數(shù)。=()

A.2B.0C.-1D.-2

【答案】A

【分析】利用復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法則，根據(jù)復(fù)數(shù)相等列方程組即可求.

【詳解】因?yàn)閍eR,(a+2i)(l+i)=a-2+(a+2)i=4i,

a—2=0

所以<cJ解得。=2.

a+2=4

故選:A

3.設(shè)隨機(jī)變量X且P(X<a)=3P(X2a),則P(X2a)=()

A.0.75B.0.5C.0.3D.0.25

【答案】D

【分析】利用對(duì)立事件的意義，結(jié)合正態(tài)分布列式計(jì)算即得.

【詳解】隨機(jī)變量XN(〃,4),顯然P(X<a)+P(X2a)=l,

而P(X<a)=3P(XNa),所以尸(X2a)=0.25.

故選：D

4.已知a=log,J&,/2=log45,c=log32，則下列結(jié)論正確的是()

A.b<c<aB.c<b<a

C.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【分析】利用1作為中間量，判斷乩。的大小，利用換底公式判斷。、b的大小.

【詳解】因?yàn)閏=logs2<l<b=10g45<log46=，=21°.屈=log2布=o,

log?42

即c<b<a.

故選：B.

5.已知圓錐的高為3,若該圓錐的內(nèi)切球的半徑為1,則該圓錐的表面積為()

A.6兀B.6乖：兀C.9兀D.12萬(wàn)

【答案】C

【分析】利用圓錐與其內(nèi)切球的軸截面，由已知數(shù)據(jù)計(jì)算出圓錐底面半徑和母線(xiàn)長(zhǎng)，可求圓錐的表面積.

【詳解】圓錐與其內(nèi)切球的軸截面如下圖所示，

由己知可知NO|Sr)=30,所以圓錐的軸截面為正三角形，

因?yàn)?0=3,所以圓錐底面圓半徑AO=SO-tan30=5母線(xiàn)=2月,

cos60

則圓錐的表面積為S=7TX(百)2+71Xy/3x2^3=971.

故選：C.

6.已知角且滿(mǎn)足3A歷'sin|tz-與=costz,則sino+2cos。=()

7<4；

2525

A.-2B.—C.---D.2

1616

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，由條件可得tan。的值，從而可得sin%cosa,即可得到結(jié)果.

【詳解】由已知得3后sin[a—：)=3(sina—cosa)=cosa,471

tan。,*.*aG(0,—),

32

43

sin。,cos。,sin。+2cosa-2.

55

故選：D

7.在等腰ABC中，AC=Cfi=2,NC43=30°,_A3C的外接圓圓心為。，點(diǎn)P在優(yōu)弧人5上運(yùn)動(dòng)，則

、

[PO—2u?—叫r+阿?—q-j，PC的最小值為()

A4B.2C.—2^/3"D.-6

【答案】D

PAPBr-PC

【分析】根據(jù)題意，由正弦定理可得圓。的外接圓直徑，從而可得向+網(wǎng)=”3可，代入計(jì)算，即

可得到結(jié)果.

【詳解】由己知AC=CB=2,/C45=30。，所以圓。的外接圓直徑為2R=生=4,

sinA

因?yàn)镹APC=ZABC=NBPC=/BAC=30°,

PAPBr-PC

=

所以1網(wǎng)―1-網(wǎng)---rv因3j-----1,

所以尸0—21^CP2PP

-PJO-^^\C=1-\PC|2-2A/3PC=1(PC-273)2-6,

因?yàn)锳C<PC<2R,即2<PC<4,所以PC=2相時(shí)，取到最小值-6.

故選：D.

22

8.已知橢圓E：=+與=1（?！?〉0）的右焦點(diǎn)為b（3,0）,過(guò)點(diǎn)廠的直線(xiàn)交橢圓片于AB兩點(diǎn)，若A5

ab

的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),則橢圓E的方程為()

22222222

A.——+—=1B.—+—=1C,工+匕=1D.土+匕=1

189271836274536

【答案】A

【分析】利用弦中點(diǎn)坐標(biāo)由點(diǎn)差法即可計(jì)算出標(biāo)=:2段，利用焦點(diǎn)坐標(biāo)即可得標(biāo)=18,b2=9,即得出橢圓

方程.

(22

a^b2

【詳解】根據(jù)題意設(shè)A(玉代入橢圓方程可得，，

尤2-

兩式相減可得=+由==°'整理可得"=一勺手

又因?yàn)锳B的中點(diǎn)坐標(biāo)為（L-1）,可得西+工2=2,%+為=一2；

_T2

因此過(guò)AB兩點(diǎn)的直線(xiàn)斜率為*=入二&=—

2

%!-x2a

又歹（3,0）和AB的中點(diǎn)（L-1）在直線(xiàn)上，所以％

2

即4A=71,可得片=2/;

a22

又易知c=3,且42=62+02=/+9,計(jì)算可得"=18）2=9；

所以橢圓E的方程為三+2=1,代入A3的中點(diǎn)坐標(biāo)為（L-1）,得上+（T）二＜1，則其在橢圓

189V718918

內(nèi)部，則此時(shí)直線(xiàn)AB與橢圓相交兩點(diǎn).

故選：A

二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）

9.黨的二十大報(bào)告提出，要加快發(fā)展數(shù)字經(jīng)濟(jì)，促進(jìn)數(shù)字經(jīng)濟(jì)與實(shí)體經(jīng)濟(jì)的深度融合，數(shù)字化構(gòu)建社區(qū)服

務(wù)新模式成為一種時(shí)尚.某社區(qū)為優(yōu)化數(shù)字化社區(qū)服務(wù)，問(wèn)卷調(diào)查調(diào)研數(shù)字化社區(qū)服務(wù)的滿(mǎn)意度，滿(mǎn)意度采

用計(jì)分制（滿(mǎn)分100分），統(tǒng)計(jì)滿(mǎn)意度繪制成如下頻率分布直方圖，圖中A=3a.則下列結(jié)論正確的是（）

“頻率

組距

0.035------------

b

0.015---------

77；0~"1'"7"0

60708b16成蜀分

A.a=0.01

B.滿(mǎn)意度計(jì)分的眾數(shù)為80分

C.滿(mǎn)意度計(jì)分的75%分位數(shù)是85分

D.滿(mǎn)意度計(jì)分的平均分是76.5

【答案】ACD

【分析】根據(jù)頻率之和為1即可求解A,根據(jù)眾數(shù)，中位數(shù)以及平均數(shù)的計(jì)算即可分別求解BCD.

【詳解】由頻率分布直方圖可知(a+O.O15+O.O35+b+a)xlO=l,即〃+2a=0.05,

又Z?=3a,所以。=0.01,所以選項(xiàng)A正確；

滿(mǎn)意度計(jì)分的眾數(shù)為75分，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

前三組的頻率之和為0.1+0.15+0.35=0.6<0.75，

前四組的頻率之和為Q6+0.3=0.9>0.75，則75%分位數(shù)me[80,90),

故根=80+”二竺x10=85,滿(mǎn)意度計(jì)分的75%分位數(shù)為85,所以選項(xiàng)C正確；

0.9-0.6

滿(mǎn)意度計(jì)分的平均分為：元=55x0.1+65x0.15+75x0.35+85x0.3+95x0.1=76.5分，所以選項(xiàng)D正

確.

故選:ACD.

10.已知函數(shù)“無(wú))=asin2x+J§cos2x(a>0)的最大值為2百，則下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)“X)的最小正周期為；

B.a=3

C.函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=-'對(duì)稱(chēng)

D.函數(shù)/(%)=—G在區(qū)間(0,兀)內(nèi)有兩個(gè)不同實(shí)根

【答案】BD

【分析】利用三角恒等變換化簡(jiǎn)/(x)=asin2尤+6cos2x(a>0),求出最大值，根據(jù)最大值為2百確

定。的值，然后利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)依次判斷即可.

【詳解】因?yàn)?(x)=asin2x+6cos2x=\Ja~+3sin(2x+夕),sin°=/出,coscp=/a,

'J/+3J/+3

所以T=弓=匹/'(x)max=V?2+3,

又/(x)的最大值是2百，所以J/+3=2百，

又。>0,所以。=3,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確;

由于/(x)=3sin2x+V3cos2x==2布sin[2x+看

所以函數(shù)/（尤）的圖象關(guān)于點(diǎn)-己,0對(duì)稱(chēng)，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤;

當(dāng)入0?0,兀）時(shí)，2x（）+qe仁,一^―1,由/（x（J=+"=,

即sin[2Xo+W）=-g,求得x（）=]或毛=1，所以選項(xiàng)D正確.

故選：BD.

11.已知數(shù)列｛%,｝滿(mǎn)足。1=1“+1=甘一（〃€4），數(shù)列也｝滿(mǎn)足〃=%"“+1，記數(shù)列也｝的前九項(xiàng)和

工一乙a”

為s“，則下列結(jié)論正確的是（）

f11211

A.數(shù)列｛—｝是等差數(shù)列B.——=一+——

a?aw%%8

C.S<--D.S>

"22

【答案】ABC

【分析】由題意可得」——L=_2,再根據(jù)等差數(shù)列的定義及性質(zhì)即可判斷AB；求出數(shù)列｛4｝和也｝的

an+\an

通項(xiàng)，再利用裂項(xiàng)相消法即可求出S“，從而可判斷CD.

1an11一2a1

【詳解】因?yàn)?=1，4+1=?。?，所以-=-----=一一2,

1-2%%ana“

所以數(shù)列|工是等差數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為1,公差為-2,

211

所以——=—+——,所以選項(xiàng)AB正確；

Qd?dy8

因?yàn)橐?1一2（〃-1）=3-2〃，所以區(qū),=—i—,

an3-In

、=；1_1J11_______

所以“一。網(wǎng)+1-（3-2n）（l-2n）一（2n-3）（2n-l）一212〃—3—2n-l）

1

+

2n-5

D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

12.如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為血的正方形，DE=BF=1,DEBF,DE_L平

面ABCD,動(dòng)點(diǎn)尸在線(xiàn)段后尸上，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.AC1DP

B.存在點(diǎn)P,使得DP丁平面ACE

C.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)尸與點(diǎn)尸重合時(shí)，直線(xiàn)。。與平面AFC所成角的余弦值為上叵

10

97r

D.三棱錐A-CDE的外接球被平面ACF所截取的截面面積是一

2

【答案】ABC

【分析】由面面垂直的性質(zhì)定理可判斷選項(xiàng)A；由線(xiàn)面平行的判定定理和性質(zhì)定理可判斷選項(xiàng)B；由面面垂

直的判定定理、面面垂直的性質(zhì)及余弦定理可判斷選項(xiàng)C；由截面是△ACE的外接圓及正弦定理可判斷選

項(xiàng)D.

【詳解】令A(yù)CBD=O,連接歹0,令EF中點(diǎn)為G,連接。G,如圖所示：

由底面ABC。是正方形可得：。是5D,AC的中點(diǎn)，且AC人3D；

由平面ABCD，DEu平面DEFB,BDu平面ABCD可得:

平面ABCD1平面DEFB,DELBD；

由DE=BF=1,DEBF，DE工BD可得:四邊形3D石尸為矩形.

對(duì)于選項(xiàng)A：由AC13D,平面ABCD工平面￡)￡汽8,平面ABCDc平面。及B=B￡),ACu平面

ABCD,可得AC,平面OEFB.

又。Pu平面OEEB,所以ACJ_Z)P,故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)樵诰匦?D石尸中，DOFG,DO=FG,所以四邊形。OHG是平行四邊形，則直線(xiàn)

DGOF.

因?yàn)镺bu平面ACRQGa平面Ab,則。G'平面ACE.故當(dāng)尸是線(xiàn)段E尸中點(diǎn)G時(shí)，直線(xiàn)OP

平面ACE,故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)锳C,平面OEEB,4。匚平面4/。，

所以平面BDEF±平面AFC,

所以。P(Z)E)在平面AFC內(nèi)射影在直線(xiàn)OF上，直線(xiàn)。尸與平面AFC所成角為NOFD(NOPD).

在△OFD中，OD=1,OF=6,DF=?COSNOFD=°F+DF~D°=3加，故C正確；

2OFDF10

對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)樵凇鰽CE中，AC=2,AF=A/3)CF=j3,FO=s/2,

則sinNFAC.

AF3

FC3

由正弦定理得：ZVICF的外接圓直徑2廠=./…=不，

smZFACJ2

39兀

則半徑丁二/-，圓面積為S=Tir2=——.

2。28

因?yàn)槿忮FA-CDE的外接球的球心在過(guò)點(diǎn)。且與平面AC。垂直的直線(xiàn)上，四邊形AC歷下為矩形，所以

點(diǎn)廠在三棱錐A-CD內(nèi)的外接球上.

所以三棱錐A-CDE的外接球被平面ACF所截取的截面是4ACF的外接圓，

9兀

因此三棱錐A-CDE的外接球被平面ACF所截取的截面面積是一，故D錯(cuò)誤.

8

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查空間中線(xiàn)線(xiàn)垂直的證明、線(xiàn)面平行的證明、線(xiàn)面角的求法及球的截面問(wèn)

題.解題關(guān)鍵在于熟練靈活掌握空間線(xiàn)面位置關(guān)系的判斷方法.選項(xiàng)D先判斷出截面的形狀，再利用正弦定理

求出半徑即可求解判斷.

三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）

13.已知函數(shù)〃H/bgQ+4L'則〃/⑺）的值為-----------

【答案】4

【分析】運(yùn)用代入法，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.

【詳解】由題意可得，/⑺=1唱（2+7）=2,所以/（〃7））=/（2）=22=4.

故答案為：4

14.2023年10月國(guó)慶節(jié)旅游黃金周期間，自駕游愛(ài)好者甲、乙、丁3家組團(tuán)自駕去杭州旅游，3家人分別乘坐

3輛車(chē)，滬昆高速杭州入口有A,5c共3個(gè)不同的窗口，則每個(gè)窗口恰好都有一位該團(tuán)的自駕車(chē)在等候的

概率為.

2

【答案】|

【分析】根據(jù)給定條件，求出該團(tuán)的3輛自駕車(chē)在3個(gè)窗口等候的基本事件總數(shù)，再求出3個(gè)窗口各有1輛

車(chē)在等候的事件含有的基本事件數(shù)，利用古典概率公式計(jì)算得解.

【詳解】該團(tuán)的3輛自駕車(chē)在3個(gè)窗口等候的基本事件總數(shù)為33,

3個(gè)窗口各有1輛車(chē)在等候的事件含有A；個(gè)基本事件，

A37

所以每個(gè)窗口恰好都有一位該團(tuán)的自駕車(chē)在等候的概率為p=^=±.

339

2

故答案為：—

22

15.已知雙曲線(xiàn)二-斗=1（。>0,6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為可，凡，過(guò)居作一條直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)右支交于

ab

A,3兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)為。，若樂(lè)J5片|=5a，則該雙曲線(xiàn)的離心率為.

【答案】叵##工回

22

【分析】由=耳卜|。閭得出由定義結(jié)合勾股定理得出。，再由勾股定理得出離心

率.

【詳解】解：如圖，；|。4|=|。片|=|。6|=。,，4片，A片

設(shè)何閭二根，貝“AFj|=冽+2〃，貝二加+3〃，

由勾股定理可得IA耳『+1AB|2=|BF］|2,即（根+2。）2+（加+3。）2=（5〃）？，

整理可得加2+5々根—6a2=。，因?yàn)橄啵?,解得機(jī)二〃，

所以，|A閭=Q,|A^|二3〃，

由勾股定理可得|A耳F+|A馬|2=|月與『，即9"+〃2=（2C）2,整理可得2°=而〃，

因此，該雙曲線(xiàn)的離心率為e=$=叵.

a2

故答案為：?

2

16.已知關(guān)于*的不等式*-左（x+l）e*＞0恰有3個(gè)不同的正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)%的取值范圍是

【，答依案田】、［「彳16京91

，V2

【分析】由題意知，關(guān)于x的不等式+恰有3個(gè)不同的正整數(shù)解.設(shè)函數(shù)=

ee

y=k（x+l）,作出函數(shù)圖象，由圖象觀察，可得實(shí)數(shù)的左取值范圍.

【詳解】當(dāng)左=0時(shí)，不等式式＞（）有無(wú)數(shù)個(gè)正整數(shù)解，不滿(mǎn)足題意；

當(dāng)左＜0時(shí)，當(dāng)x＞0時(shí)，不等式*—左（x+l）e，＞0恒成立，有無(wú)數(shù)個(gè)不同的正整數(shù)解，不滿(mǎn)足題意；

當(dāng)左＞0時(shí)，不等式左（1+1戶(hù)＞0等價(jià)于三〉（+1）,

令/（x）=］，所以r（x）=#=M1H，

當(dāng)x<0時(shí)，r(x)<0,函數(shù)/(%)單調(diào)遞減，當(dāng)0<x<2時(shí)，f\x)>0,函數(shù)/(九)單調(diào)遞增，當(dāng)％>2

時(shí)，r(x)<0,函數(shù)/(九)單調(diào)遞減，

又〃0)=0,〃2)==，結(jié)合單調(diào)性可知，當(dāng)無(wú)>0時(shí),〃力>0恒成立,

e

而y=左(x+1)表示經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,0)的直線(xiàn)，

由圖像可知，關(guān)于*的不等式三-左(％+1)3>0恰有3個(gè)不同的正整數(shù)解，故只需滿(mǎn)足以下條件：

左(1+1)<—,

e

o

<左(3+1)</,

左(4+1)2?

、e

解得￡〈左<91691

方.則實(shí)數(shù)左的取值范圍是,，

5e5747J

169)

故答案為:

【點(diǎn)睛】用數(shù)形結(jié)合思想解決不等式解的問(wèn)題一般有以下幾類(lèi):

(1)解含參不等式：在解決含有參數(shù)不等式時(shí)，由于涉及參數(shù)，往往需要討論，導(dǎo)致演算過(guò)程復(fù)雜，若利

用數(shù)形結(jié)合的方法，問(wèn)題將簡(jiǎn)單化;

(2)確定參數(shù)范圍：在確定不等式參數(shù)的范圍時(shí)，幾何圖形更能使問(wèn)題直觀；

(3)證明不等式：把證明的不等式賦予一定的幾何意義，將復(fù)雜的證明問(wèn)題明快解決.

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)

17.在-A5C中，分別為內(nèi)角A5C的對(duì)邊，且Z2sinA+csinB+Z?sinC=2Z?sinB+2csinC.

(1)求角A的大??；

(2)設(shè)角A的內(nèi)角平分線(xiàn)交于點(diǎn)若JRC的面積為66,加0=3百，求人+c的值.

【答案】(1)A=j

(2)〃+。=8

【分析】（1）利用正弦定理角化邊，然后結(jié)合余弦定理可得；

（2）根據(jù)SABC=SABM+SACM化簡(jiǎn)整理可得.

【小問(wèn)1詳解】

由2?sinA+csinB+Z?sinC=2Z?sinB+2csinC及正弦定理得：

2a2+cb+be=2b2+2c2>即b?+c?-/=歷.

由余弦定理得cosA=-

2bc2

TT

又0<4<兀，所以A=2.

【小問(wèn)2詳解】

71

由角A的內(nèi)角平分線(xiàn)交5C于點(diǎn)M可知/BAM=NC4M=一,

6

SARC=SAtiRlVML+S,ACM=-2AM-csin2ZBAM+-AM-bsmZCAM

=|■義3^[3csmZBAM+|x3回sin/CAM=乎0+c）=6百，

所以6+c=8.

18.己知等差數(shù)列｛a,｝的前n項(xiàng)和為S",且滿(mǎn)足S7=49,2%=%+9,數(shù)列出｝滿(mǎn)足耳=4/用=3bn-an.

(1)證明：數(shù)列色―〃｝是等比數(shù)列，并求｛%｝,｛2｝的通項(xiàng)公式;

()伉，一耳〃為奇數(shù)，()

⑵已知數(shù)列｛&｝滿(mǎn)足4/田跖求數(shù)列｛與｝的前2〃項(xiàng)和&.

[%，幾為偶數(shù),

n

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；4=2〃—1,bn=3+n

（2）+2/+n-—

88

【分析】（1）設(shè)數(shù)列｛4｝公差為d,根據(jù)題意求得q=7和4=5,得到d=l，得到?！?2〃—1,再由

2+1一（〃+1）=3（2-〃），得到他—〃｝為等比數(shù)列,進(jìn)而得到數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

3"〃為奇數(shù)

（2）由（1）得到%I2"為偶數(shù)，結(jié)合分組求和，即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

解：依題意，設(shè)數(shù)列｛4｝的公差為d,

因?yàn)橐?49,所以7（“i+%）=7%=49,則%=7,

2

因?yàn)?%=%+9,即14=%+9,所以〃3=5,

所以d=g—%=2,q=%-2d=1,所以%=1+(〃—1)x2,即?！?2〃—1.

所以。+1=3bn-an=3bn-(2n-l),所以%-(〃+1)=3(bn-n),

又因?yàn)?=4,所以2―1=3/0,故數(shù)列｛d―〃｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)歹U，

所以包—九=伯—1）.3n-l=3n,所以包=3"+”.

【小問(wèn)2詳解】

3"〃為奇數(shù)

解:由⑴知…，可得…滋偶數(shù)，

所以4"=G+C2+G++C2n-1+C2n

=(31+33+35++32,!-1)+[(2X2-1)+(2X4-1)++(2x2n-l)]

3(1-9")(3+4n-l)n空+2"+?

1-9+2

88

19.如圖，四棱柱ABC?！狝4GR中，底面ABC。為正方形，AC與3。交于點(diǎn)。，平面AGC4,平

面488,人5=夜,441=2,。。］與底面46?！辏┧傻慕菫?0.

(1)求證：G。，平面ABCD；

(2)求平面ACB,與平面CDD￡的夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵血

7

【分析】(1)過(guò)G作C19于利用面面垂直證明線(xiàn)面垂，再結(jié)合線(xiàn)面角證明為同一點(diǎn)即可;

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求兩個(gè)平面夾角的余弦值.

【小問(wèn)1詳解】

過(guò)G作CR，AC于a,因?yàn)槠矫?平面ABCD,

又平面AQG4c平面ABCD=AC,GQu平面AQCA,所以CXOX±平面ABCD,

所以/CC。為直線(xiàn)CG與平面ABCD所成的角，所以,

CC]=AA^=2,則CO1=1,

又因?yàn)榈酌鍭BC。為正方形，AB=也,

所以AC=2,。是AC中點(diǎn)，CO=1,

可知O,q為同一點(diǎn)，所以平面ABCD.

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)榈酌鍭3CD是正方形，所以AC13。，

以。為原點(diǎn)，OB,OC,OCX所在直線(xiàn)分別為x,Xz軸建立空間直角坐標(biāo)系.

AC=BD=2,CO=b/=e=2,CO=K，

又函=西=(0,-1，⑹,所以4。,一1,百),

所以4。=(0,2,0),的=(1,0,石)，

r/、ri-AC=2y=0,

設(shè)平面AC4的法向量是〃=(x,y,z),由〈

n-ABX-x+v3z=0,

令z=l，則x=-G,y=0,得〃=卜^/§\(),1),

因?yàn)镃C1=(0,-1,A/3),CD=(-1,-1,0),

設(shè)平面c”>c的法向量為方=(4加4),所以,加℃———o,

\m-CD-_玉一%=0,

令Z]=l,則X=—y=得比=卜^/§\,

fiCI./、n-m-V3x(-73)+73x0+1x12s

所以cos(n,m)-~=1『=----，

HHrJ(—6)2+。2+儼J(—G)2+(回)2+儼7

所以平面AC片與平面。QG的夾角的余弦值為2互.

7

20.己知圓uV+y=2x,動(dòng)點(diǎn)尸在y軸的右側(cè)，p到y(tǒng)軸的距離比它到的圓心。的距離小1.

(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；

(2)過(guò)圓心C作直線(xiàn)/與軌跡E和圓C交于四個(gè)點(diǎn)，自上而下依次為A,M,N,B,若

\AM\+\NB\^2\MN\,求|A@及直線(xiàn)/的方程.

【答案】(1)V=4x(x〉0)

(2)|AB|=6,y=±V2(x-l)

【分析】(1)易得圓的半徑廠=1，圓心C(1,O),由題意得到點(diǎn)尸到定點(diǎn)C(1,O)的距離與到定直線(xiàn)x=—1

的距離相等，再利用拋物線(xiàn)的定義求解；

(2)由圓C的半徑為1,得到|MN|=2,再由|AM|+|NBRAB|-|"N|=2|MN|,得到

\AB\=3\MN\=6,易知直線(xiàn)/的斜率不為0,設(shè)直線(xiàn)/:%=陽(yáng)+1,與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式求

解.

【小問(wèn)1詳解】

。：/+丁2=2%化為(工—1)2+,2=],可得半徑廠=i,圓心。(1,0),

因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)p在y軸的右側(cè)，p到y(tǒng)軸的距離比它到的圓心。的距離小1,

所以點(diǎn)尸到定點(diǎn)C(l,o)的距離與到定直線(xiàn)x=-1的距離相等，

???由拋物線(xiàn)的定義得尸(X,y)的軌跡E方程為y2=4x(x>0)；

【小問(wèn)2詳解】

由圓。的半徑為1,可得|MN|=2,

AM|+|A?|=2|MV|=4又|AM|+|A?|=|AB|-|ACV|=2|MV|,

：.\AB\^3\MN\^6,

當(dāng)直線(xiàn)/的斜率為0時(shí)，直線(xiàn),與拋物線(xiàn)只有I個(gè)交點(diǎn)，不合題意;

所以直線(xiàn)/的斜率不為0,可設(shè)直線(xiàn)/：%=沖+1,

x=my+l0

聯(lián)立12ny--4=0,

y=4x

A=16m2+16>0恒成立，X+%=4加,=~4，

因?yàn)镮AB|=6,

所以Jl+/［必—=，1+九2，(乂+ya)—4乂％=J1+九2116m2+16=6,解得機(jī)2=5,

所以直線(xiàn)/的方程為x=+1=>y=±J5(x-l).

21.在上海舉辦的第五屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)中，一款無(wú)導(dǎo)線(xiàn)心臟起搏器引起廣大參會(huì)者的關(guān)注，成為了

進(jìn)博會(huì)的“明星展品”.體積僅有維生素膠囊大小，體積比傳統(tǒng)心臟起搏器減小93%,重量?jī)H約2克，擁有

強(qiáng)大的電池續(xù)航能力，配合兼容L5T/3.0T全身核磁共振掃描檢查等創(chuàng)新功能.在起搏器研發(fā)后期，某企

業(yè)快速啟動(dòng)無(wú)線(xiàn)充電器主控芯片生產(chǎn)，試產(chǎn)期每天都需同步進(jìn)行產(chǎn)品檢測(cè)，檢測(cè)包括智能檢測(cè)和人工檢

測(cè)，選擇哪種檢測(cè)方式的規(guī)則如下：第一天選擇智能檢測(cè)，隨后每天由計(jì)算機(jī)隨機(jī)等可能生成數(shù)字“0”和

“1”，連續(xù)生成4次，把4次的數(shù)字相加，若和小于3,則該天的檢測(cè)方式和前一天相同，否則選擇另一種

檢測(cè)方式.

(1)求該企業(yè)前三天的產(chǎn)品檢測(cè)選擇智能檢測(cè)的天數(shù)X的分布列；

(2)當(dāng)?shù)卣疄榱藱z查該企業(yè)是否具有一定的智能化管理水平，采用如下方案：設(shè)P"("wN*)表示事件

“第〃天該企業(yè)產(chǎn)品檢測(cè)選擇的是智能檢測(cè)”的概率，若以〉;恒成立，認(rèn)為該企業(yè)具有一定的智能化管理

水平，將給予該企業(yè)一定的獎(jiǎng)勵(lì)資金，否則將沒(méi)有該項(xiàng)獎(jiǎng)勵(lì)資金.請(qǐng)問(wèn)該企業(yè)能拿到獎(jiǎng)勵(lì)資金嗎？請(qǐng)說(shuō)明

理由.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析

(2)可以；理由見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)題意，由條件可得X的可能取值為L(zhǎng)2,3,然后分別求出其所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分

布列.

(2)根據(jù)題意，由條件可得［匕-；｝是以g為首項(xiàng)，|為公比的等比數(shù)列，然后結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

即可得到結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)計(jì)算機(jī)4次生成的數(shù)字之和為則&514,g］,

則。*)=鳴*+4步鳴

心3)=1-上<3)二，

X可能取值為L(zhǎng)2,3,

1155

則p(x=l)=2K---------,

'71616256

j51180_5

個(gè)=2)=卮11616256~16

2_121

3=3)=倩)-256；

所以X的分布列為

X123

555121

P