2023-2024學(xué)年陜西省漢中中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末考試試題含解析

2023-2024學(xué)年陜西省漢中中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末考試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折成大小等于的二面角分別為的中點(diǎn)，若，則線段長(zhǎng)度的取值范圍為（）A． B．C． D．2．已知向量，，若，則與的夾角為（）A． B． C． D．3．在△ABC中，D是邊BC的中點(diǎn)，則＝A． B． C． D．4．如圖，圓的半徑為1，是圓上的定點(diǎn)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角的始邊為射線，終邊為射線，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，將點(diǎn)到直線的距離表示成的函數(shù)，則在上的圖象大致為（）A． B．C． D．5．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a﹣b＝ccosB﹣ccosA，則△ABC的形狀為（）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形6．各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列中，，數(shù)列是等比數(shù)列，且，則（）A．4 B．8 C．16 D．647．已知集合，則（）A． B． C． D．8．已知在中，，且，則的值為（）A． B． C． D．9．已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.若，則該三角形的形狀是（）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形10．如圖，設(shè)，是平面內(nèi)相交的兩條數(shù)軸，，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，且，若向量，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo).假設(shè)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，則（)A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在銳角中，角的對(duì)邊分別為.若，則角的大小為為____．12．與終邊相同的最小正角是______.13．等比數(shù)列中前n項(xiàng)和為，且，，，則項(xiàng)數(shù)n為____________．14．已知為第二象限角，且，則_________.15．過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則=.16．在平面直角坐標(biāo)系中，在軸、軸正方向上的投影分別是、，則與同向的單位向量是__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．從甲、乙、丙、丁四個(gè)人中選兩名代表，求：（１）甲被選中的概率；（２）丁沒被選中的概率.18．已知.（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值并求當(dāng)取最小值時(shí)，的取值.19．已知數(shù)列中，，.（1）求證：是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．無窮數(shù)列滿足：為正整數(shù)，且對(duì)任意正整數(shù)，為前項(xiàng)、、、中等于的項(xiàng)的個(gè)數(shù).（1）若，求和的值；（2）已知命題存在正整數(shù)，使得，判斷命題的真假并說明理由；（3）若對(duì)任意正整數(shù)，都有恒成立，求的值.21．在平面直角坐標(biāo)系下，已知圓O：，直線l：（）與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，且.（1）求直線l的方程；（2）若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是圓O與x軸的左、右兩個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)D滿足，點(diǎn)M是圓O上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N在線段上，且存在常數(shù)使得，求點(diǎn)N到直線l距離的最小值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

連接和，由二面角的定義得出，由結(jié)合為的中點(diǎn)，可知是的角平分線且，由的范圍可得出的范圍，于是得出的取值范圍．【詳解】連接，可得，即有為二面角的平面角，且，在等腰中，，且，，則，故答案為，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查線段長(zhǎng)度的取值范圍，考查二面角的定義以及銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵在于充分研究圖形的幾何特征，將所求線段與角建立關(guān)系，借助三角函數(shù)來求解，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題．2、D【解析】∵，，⊥，∴，解得．∴．∴，又．設(shè)向量與的夾角為，則．又，∴．選D．3、C【解析】分析：利用平面向量的減法法則及共線向量的性質(zhì)求解即可.詳解：因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查共線向量的性質(zhì)，平面向量的減法法則，屬于簡(jiǎn)單題.4、B【解析】

計(jì)算函數(shù)的表達(dá)式，對(duì)比圖像得到答案.【詳解】根據(jù)題意知：到直線的距離為：對(duì)應(yīng)圖像為B故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的應(yīng)用能力.5、D【解析】

用正弦定理化邊為角，再由誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)變形可得．【詳解】∵a﹣b＝ccosB﹣ccosA，∴，∴,∴，∴或，∴或，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，考查三角形形狀的判斷．解題關(guān)鍵是誘導(dǎo)公式的應(yīng)用．6、D【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可求得，再利用等比數(shù)列性質(zhì)求得結(jié)果.【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)可得：又各項(xiàng)不為零，即由等比數(shù)列性質(zhì)可得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

由，得，然后根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算及對(duì)數(shù)不等式.8、C【解析】

先確定D位置，根據(jù)向量的三角形法則，將用，表示出來得到答案.【詳解】故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了向量的加減，沒有注意向量方向是容易犯的錯(cuò)誤.9、B【解析】

利用三角形的內(nèi)角關(guān)系及三角變換公式得到，從而得到，此三角形的形狀可判斷.【詳解】因?yàn)?，故，整理得到，所以，因，所以即，故為等腰三角形，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查兩角和、差的正弦，屬于基礎(chǔ)題，注意角的范圍的討論.10、D【解析】

可得.【詳解】向量，則．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量模的運(yùn)算和向量的數(shù)量積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由，兩邊同除以得，由余弦定理可得是銳角，，故答案為.12、【解析】

根據(jù)終邊相同的角的定義以及最小正角的要求，可確定結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以與終邊相同的最小正角是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查終邊相同的角，屬于基礎(chǔ)題.13、6【解析】

利用等比數(shù)列求和公式求得，再利用通項(xiàng)公式求解n即可【詳解】，代入，，得，又，得．故答案為：6【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的基本量計(jì)算，熟記公式準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題14、.【解析】

先由求出的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求出、即可.【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿?，且，所以，解得，再由及為第二象限角可得、，此時(shí).故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角差的正切公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應(yīng)用，屬常規(guī)考題.15、【解析】

如圖，連接，在直角三角形中，所以，，，故.考點(diǎn)：1.直線與圓的位置關(guān)系；2.平面向量的數(shù)量積.16、【解析】

根據(jù)題意得出，再利用單位向量的定義即可求解.【詳解】由在軸、軸正方向上的投影分別是、，可得，所以與同向的單位向量為，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了向量的坐標(biāo)表示以及單位向量的定義，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）先確定從甲、乙、丙、丁四個(gè)人中選兩名代表總事件數(shù)，再確定甲被選中的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率（2）先確定從甲、乙、丙、丁四個(gè)人中選兩名代表總事件數(shù)，再確定丁沒被選中的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求概率.【詳解】（1）從甲、乙、丙、丁四個(gè)人中選兩名代表共有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁、丙丁共6種基本事件，其中甲被選中包括甲乙，甲丙，甲丁三種基本事件，所以甲被選中的概率為.（2）丁沒被選中包括甲乙，甲丙，乙丙三種基本事件，所以丁沒被選中的概率為.點(diǎn)睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對(duì)于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡(jiǎn)單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素?cái)?shù)目較多的題目.18、（1）；（2），【解析】

(1)先化簡(jiǎn),再求最小正周期;(2)由,得,再結(jié)合的函數(shù)圖像求最小值.【詳解】(1),即,所以的最小正周期是;(2)由(1)知,又由,得,所以當(dāng)時(shí),的最小值為,即時(shí),的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換,考查三角函數(shù)圖像的性質(zhì)應(yīng)用,屬于中檔題.19、（1）證明見解析，（2）【解析】

（1）由，兩邊取倒數(shù)，得到，根據(jù)等差數(shù)列的定義證明等差數(shù)列，，再利用通項(xiàng)公式求得，從而得到..（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，再用錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)和.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，所以是首?xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，所以，即.（2）由（1）知所以①兩邊同乘以得：②①-②得，，，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的證明及錯(cuò)位相減法求和，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于難題.20、（1），；（2）真命題，證明見解析；（3）.【解析】

（1）根據(jù)題意直接寫出、、的值，可得出結(jié)果；（2）分和兩種情況討論，找出使得等式成立的正整數(shù)，可得知命題為真命題；（3）先證明出“”是“存在，當(dāng)時(shí)，恒有成立”的充要條件，由此可得出，然后利用定義得出，由此可得出的值.【詳解】（1）根據(jù)題意知，對(duì)任意正整數(shù)，為前項(xiàng)、、、中等于的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，因此，，，；（2）真命題，證明如下：①當(dāng)時(shí)，則，，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，.綜上所述，命題為真命題；（3）先證明：“”是“存在，當(dāng)時(shí)，恒有成立”的充要條件.假設(shè)存在，使得“存在，當(dāng)時(shí)，恒有成立”.則數(shù)列的前項(xiàng)為，，，，，，后面的項(xiàng)順次為，，，，故對(duì)任意的，，對(duì)任意的，取，其中表示不超過的最大整數(shù)，則，令，則，此時(shí)，有，這與矛盾，故若存在，當(dāng)時(shí)，恒有成立，必有；從而得證.另外：當(dāng)時(shí)，數(shù)列為，故，則.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列知識(shí)的應(yīng)用，涉及到命題真假的判斷，同時(shí)也考查了數(shù)列新定義問題，解題時(shí)要充分從題中數(shù)列的定義出發(fā)，充分利用分類討論思想，綜合性強(qiáng)，屬于難題.21、（1）；（2）.【解析】

（1）等價(jià)于圓心O到直線l的距離，再由點(diǎn)到直線的距離公式求解即可；（2）先設(shè)點(diǎn)，再結(jié)合題意可得點(diǎn)N在以為圓心，半徑為的圓R上，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】解：（1）∵圓O