浙江省金華2023-2024學年高三年級下冊模擬考試數學試卷

金華一中2024屆高三第二學期數學模擬考試

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

2

1.復數1一后與下列復數相等的是（）

D.-1-V3i

【答案】B

【解析】

【分析】應用復數的除法化簡，結合復數的三角表示、各項的形式判斷正誤即可.

2_2(1+?_1_7171

【詳解】由題設,1=cos—+ism—,故A、C、D錯誤;

]-/—(1-病(1+6)233

故選：B

2.已知集合M-3x<,2V=|x|log2x<4},且全集。=[-1,20],則。=（）

A."。（生町B.C."U（%N）D.NU（%〃）

【答案】D

【解析】

【分析】利用集合的交集、并集、補集的運算法則求解.

【詳解】由已知得集合M表示的區(qū)間為（0,3）,集合N表示的區(qū)間為（0,16）,

則Me（四N）=0,NA（%⑷=[3,16）,MU（^）=[-l,3）U[16,20],

NU（V/）=[T20]=U,

故選：D.

3.城市交通信號燈的配時合理與否將直接影響城市交通情況.我國采用的是紅綠交通信號燈管理方法，即

“紅燈停、綠燈行”.不妨設某十字路口交通信號燈的變換具有周期性.在一個周期T內交通信號燈進行

著紅綠交替變換（東西向紅燈的同時，南北向變?yōu)榫G燈；然后東西向變?yōu)榫G燈，南北向變紅燈）.用〃表示

一個周期內東西方向到達該路口等待紅燈的車輛數，/表示一個周期內南北方向到達該路口等待紅燈的車輛

數,R表示一個周期內東西方向開紅燈的時間，S表示一個周期內所有到達該路口的車輛等待時間的總和（不

考慮黃燈時間及其它起步因素），則S的計算公式為（）

A,（笈+；）爐B.HR+V（T-R）

cHR?+P（T-R）2D+

-2'-2-

【答案】B

【解析】

【分析】根據條件分別求出東西方向路口等待時間的總和及南北方向路口等待時間的總和，即可求解.

【詳解】由題意得：

一個周期T內，東西方向路口等待紅燈的車輛數為〃，等待開紅燈的時間為R,

則一個周期T內，東西方向路口等待時間的總和為HR,

又交通信號燈紅綠交替變換時間周期為T,

所以一個周期T內，南北方向路口等待開紅燈的時間為T-&,

又一個周期T內，南北方向路口等待紅燈的車輛數為％,

則一個周期T內，南北方向路口等待時間的總和為「（T-火），

一個周期T內，到達該路口的車輛等待時間的總和S=HR+V（T-R）,

故選：B.

4.在△NBC中方.元=4，|方4=2,且點。滿足前=反，貝"股卜（）

3

A.V5B.V6C.V3D.-

【答案】A

【解析】

【分析】由詼=：（方+4）、BC=（AC-AB^^結合向量數量積的運算律轉化求模長即可.

—■1—■—-

【詳解】由題設，。為中點，則ZZ）=5（4B+/C）,

A

BDC

)*2*?*2

所以|-/-￡->>「r=—1(/3*+/c?)2=一1(/5+2AB-AC+AC),

44

222

又就2=(AC-AB)=AC-2AC-AB+AB=4，即/？+與？=4+2AC-AB=12>

所以|赤『=；*。2+8)=5,故|彳方|=否.

故選：A

5.已知sinasin二3cosasina+—,貝fjcos12a+g卜

I6,

A.--B.-1CID.叵

22

【答案】C

【解析】

【分析】應用誘導公式、商數關系可得tana=3tana+1,再由和角正切公式展開求得tanCL——y/3

l-tan2(cr+—)

最后由cos(2a+巴)=-----------仁求值即可.

31+tan2(cif+—)

71

【詳解】由sinosina\=sinasin[^一(a+1)]=sinacos(cr+.)=3cosasin

兀

/、tana+tan—”./7

cI兀、,c63tandf+V3

所以tana=3tan。+—，貝ijtana=3x----------------=-------=-------

l6J1—tanatan11-^-tana

63

所以tan?a+2百1211&+3=0，則tant/u-G，故tan|(z+5

2/兀、.2z兀、-19/兀、

cos(a+■-)-sin(an—)1—tan(an—)]

由cos(2dz+—)=----------------------------=---------------=—.

3cos2(/aH—兀、)+si-n2(/a-\—兀、)1+t,an2(/aH—兀、)2

666

故選：C

6.已知動直線/的方程為(1—標卜+2”—3/—3=0,aeR,尸(G,l),。為坐標原點，過點。作直

線/的垂線，垂足為。，則線段P。長度的取值范圍為()

A.(0,5]B,[1,5]C.[5,+oo)D.(0,3]

【答案】B

【解析】

【分析】利用萬能公式將直線方程化為xcosd+ysin，-3=0,求出過原點與直線/垂直的直線方程，進

而得出點。的軌跡為圓心為（0,0）半徑為3的圓，進而轉化為點到圓的距離即可求解.

【詳解】由(1—〃)x+2町-3/—3=0可得+—3=0,

2z

')1+/i+a

2o.2。12e

Acos——sin—1-tan"一2

々a=tan一,由萬能公式可得cos，=----------------需______11-g

,,e2

2cos2—"+si.n2—"1+tan--1+tz

222

2sin—cos—2tan—,

sin。=----/----。=------J，所以直線/的方程為xcos，+ysin，—3=0①,

7tf.?VY7U1+/7

cos2—+sin2—1+tan2—

222

由題意可知過原點與直線/垂直的直線方程為xsin。-"os。=0②,

①2+②2可得=9,即表示點。的軌跡為圓心為（0,0）半徑為3的圓，

于是線段PQ長度的取值范圍為[r-PO,r+PO],因為歸。|=2,

所以線段PQ長度的取值范圍為[1,5],

故選：B.

7.已知aeR,函數/（x）=/+|x—a|+那一上一。,記/（工）的最小值為加（a）,則（）.

A.加（。）在（-叫0）上是增函數，在（0,+℃）上是減函數

B.%（。）在（一℃,0）上是減函數，在（0,+℃）上是增函數

C.加（。）在R上是奇函數

D.加（。）在R上是偶函數

【答案】D

【解析】

【分析】根據題意，得到/（%）=21112*{泌,|》一4|},^g（x）=max|ew,|x-?||,分別討論一1<°<1,

。>1或。<-1,三種情況，畫出對應函數圖像，結合圖像，即可得出結果.

【詳解】函數/(x)=eix1+\x-a\+|ew-|x-a||=2max|ew,|x-a

g(x)=max|ew,|x-a||,

①當一iWaWl時，g(x)的圖象如圖所示，m(a)=2g(x)min=2,且g(x)在(一應0)上單調遞減，在(0,+co)

上單調遞增.

②當a>l或a<-1時，g(x)的圖象如圖所示，g(x)mm在點A或4處取得,

根據圖形的對稱性知，m(a)=2g(x)mM=2g(x4)=2g(x4),

且當a>1時，g(x)在(—8,盯)上單調遞減，在(盯,+o。)上單調遞增.

當a<-1時，g(x)在(-864)上單調遞減，在(X4,+oo)上單調遞增.

所以/(x)=2g(x)的最小值加(a)在R上是偶函數.

故選：D.

【點睛】本題主要考查求函數的最值，以及判斷函數單調性，靈活運用數形結合的方法求解即可，屬于常

考題型.

8.如圖已知矩形488,48=1,8。=石，沿對角線/C將AA8C折起，當二面角8—ZC—。的余弦值

為-g時，則2與。之間距離為（

【答案】C

【解析】

【分析】過8和。分別作跖，4C，DF1AC,根據向量垂直的性質，利用向量數量積進行轉化求解即

可.

【詳解】解：過B和。分別作DF1AC,

ABCD,AB=1,BC=J3>：.AC=2,

^^ABC=^^ADC,~AB-BC=-AC-BE

c

BE=DF=—，

2

則AE=CF=—,即EF=2-1=1)

2

平面ABC與平面ACD所成角的余弦值為-g,

_,—?1

/.cos<EB,FD>=--，

:麗=赤+市+赤，

-->2--?--,--?c--?2---2,---?2--?--?--?--,--?---?33----」---*1I--H--?

，BD=(BE+EF+FD?=BE+EF+FD+2BE?EF+2FD?BE+2EF?FD+1-H-￡^|-cos<EZ

的〉二―2x巨巨（JU+L

222322

則|AD|=V3,

即3與。之間距離為

故選：C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分.

9.在［2x-工］的展開式中，下列說法正確的是（）

A.常數項是1120B.第四項和第六項的系數相等

C.各項的二項式系數之和為256D,各項的系數之和為256

【答案】AC

【解析】

【分析】根據二項式定理,（2x-工］的通項公式為=砥28一乂-1）"—2\對于人,令左=4進行判斷;對于

B,令左=3和左=5計算判斷即可;對于C,因為n=8，所以各項的二項式系數之和為28=256可進行判斷;對于

D,令x=l即可進行判斷.

【詳解】根據二項式定理的通項公式為q+i=C*-"（-1了產2左，

對于A,常數項為c^24（-l）4=1120，故A正確；

對于B,第四項的系數為C；28-3（_以=_1792，第六項的系數為c"-5（_1）5=_448，故B錯誤；

對于C,因為〃=8,所以各項的二項式系數之和為愛=256,故C正確；

對于D,令x=1,各項的系數之和為1,故D錯誤.

故選:AC.

10.已知公差為d的等差數列｛%｝前"項和為S"，若存在正整數〃0,對任意正整數〃7,?S'o+mVO恒

成立，則下列結論一定正確的是（）

A.aA-d<0B.圖有最小值C.%」%+i〉0D.a?o+1-a?o+2>0

【答案】ABD

【解析】

2

【分析】由條件可得dwO,然后可判斷A,Sn=kn+bn（k^0）,然后可判斷B,舉例可判斷C不正確,

由條件可得S"。鳥+心。,%風+2<0,可得件+1，%2同號,可判斷D.

【詳解】由S?o+m<0知d*0,否則%與Sno+m同號.

①當d>0時,有q<0（否則S“。與s…同號或Sno-Sno+m=0）,

②當d<0時，有力〉0（否則黑與同號或黑=0）,故A正確.

對于選項B,因為dwO,所以等差數列｛4｝的前〃項和S"滿足S“=6?+加Rwo）,

又>=區(qū)2+筋（kwO）的圖象是拋物線，

所以必有最小值，故B正確.

對于選項C,例如數列-1,2,5,L,選項c不成立.

由S“?！?"「?,<0恒成立，可得S"o+i<。,S".s"。+2<0,

即染+「鼠+2同號，

不妨設S"°M，S?o+2都為負，則S“。為正,且5巾>%2,

即%。+1=S"0+1一S“o<0，%。+2=S"0+2-S“0+]<0，

所以+1。劭+2>0,故D正確，

故選：ABD.

11.已知拋物線￡：/="的焦點為凡點/與點C關于原點對稱，過點C的直線/與拋物線E交于/,

3兩點（點/和點C在點3的兩側），則下列命題正確的是（）

A.若此為△/CF的中線，則|4F|=2|AF|

B.若2尸為44RC的角平分線，則以川=8

C.存在直線/,使得|/。|=行|/其

D.對于任意直線/,都有|ZE|+忸E|〉2|CE|

【答案】ABD

【解析】

【分析】首先設直線/的方程，并聯立拋物線，根據韋達定理，再根據各項描述，拋物線的定義，即可判斷

選項.

【詳解】設題意，設/：X=@—2,不妨令/（國,乂），5卜2，%）都在第一象限，c（-2,o）,尸（2,0）,

聯立廠「7一2’則江―8@+16=0,且A=64（左2一1）＞。,即,2〉1，

y=8xv7

所以乂+%=8左，yty2=16,則%+%=8左之一4，x^2=4,如上圖所示,

A.若AF為△ZCE的中線，則出=修，

所以必=4c，所以玉=4,故/卜,4拒），

所以80,2亞），貝1]|/廠|=4+2=6,忸可=1+2=3,貝卜尸|=2忸耳，故A正確;

\BC

B.若RF為NZEC的角平分線，則力面=

AF\)

則,,且,,,\=BC\加\CE

作AD,BE垂直準線x=-2于D,E,

ICFI\CEICFICEBE\4工2+2

所以團i=西’即加后二記二詢，則中

國+2

4

將々二＞。代入整理，得x；—4再—12=（玉—6）（玉+2）=0,則X]=6,

xi

所以廠|=再+2=8,故B正確；

c.若|zc|=J^[4F|,^\AC\=4I\AD\,即為等腰直角三角形，

止匕時|CO|=|4D|,即/（乂—2,乃），所以％2=8%—16,

所以＞：—8乃+16=0,所以％=4,所以必=4,則此時48為同一點，不合題設，故C錯誤;

2

V）.\AF\+\BF\=\AD\+\BE\=xl+x2+4=Sk,而25=8,

結合12〉1，可得8左2〉8，即丹+忸尸|＞2]。目恒成立，故D正確.

故選：ABD

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是根據拋物線的幾何關系，轉化為坐標運算.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知數列｛4｝是等差數列，數列抄“｝是等比數列，若的+%+4=5兀，b2b4b6=3A/3,則

a.+的

tan--------

lb2b°

【答案】V3

【解析】

【分析】根據等差和等比數列的性質，再結合特殊角的正切值，即可求解.

【詳解】由等差數列的性質可知，。2+。4+。6=3%=5兀，即％，而4+%=2%=~,

根據等比數列的性質可知，bjb4b6=吠=36,則&=百，b2b6=b1=3,

+4

所以tan臺受

1—她

故答案為：V3

13.已知a,b&R,若a。+b2-ab=2，則ab的取值范圍是.

-2-

【答案】一§,2

【解析】

【分析】利用完全平方式即可得到ab的范圍.

【詳解】由/+/=2+ab22ab得當且僅當。=b=亞或a=6=―后時等號成立，

/72

又（a+人）=2+3ab>O^ab>,

7「2二

/.ab€——,2.

3

2

故答案為：一］，2.

14.已知內接于單位圓，以BC,AC,45為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次記為H,

B',C.若44c5=30。，則△HB'C的面積最大值為.

2百+3

6

【解析】

【分析】首先判斷并證明AHB'C'為等邊三角形（拿破侖三角形），再利用正三角形內角結合題目條件計算

出NZ'C8'=90°，則△HB'C'的邊長可通過勾股定理用的兩邊5C、/C表示，最后根據中

余弦定理關系，由基本不等式求出其最大值.

【詳解】如圖，根據題意AHB'C'為等邊三角形（拿破侖三角形），稍后證明.

：為等邊三角形的外心，，ZA'CB=30°同理NB'CZ=30°.

記BC=a,4C=b,AB=c=2r-sinZACB=1,

購A'C唾

由余弦定理得

A'B'2=A'C2+B'C2-2A'C-B'C-cosZA'CB'

/、2/、2

ab入ab彳八。、

——~j=+-~r=-2x―『x-xco*(//CB+60)

a2+b22ab.1.V3..._.

-----------------x(—cosN4CB------sinN4CBn)

3322

a"+b~2ab1+b~—c~r~S

=----------------X(-X---------------V3XA螺)

3322abab

_a2+b2+c2273

=71-、&ABC

63

同理計算可得4C'2==4+方+廠+空S4“

c△ylZjG

63

故A'B'=A'C=B'C,即^A'B'C為等邊三角形.

???ZACB=30°,ZA'CB'=90°.

由余弦定理得，cosZACB=a~+h'~X.=

lab2

272

a2+b2=43ab+l<73-~—+1,

2

解得/+/44+2技

._V3z2,72x2^/3+3

Q+b

."的C,一五伍^--~r~

故答案為：2—+3

6

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在中，已知內角B、C的對邊分別為a、b、c,且A/BC的面積為道，點。是線段上靠

近點B的一個三等分點，AD=1.

71

(1)若/4DC=—,求。；

3

(2)若〃+4/=11，求sinNB/C的值.

【答案】（i）亙

3

【解析】

【分析】（1）由CD=2AD得5“"=25"廿=.=!2。-。。6也22。。，再結合余弦定理從而可

△332

求解.

--2—■1—■1

（2）由CD=2B。利用向量可得/。=—48+—/C,并結合人2+402=11得A.COSN氏4C=——,再

332

由Lbc-sinNA4C=JJ,從而可求解.

2

【小問1詳解】

由題可得：CD=2BD,故S,=久…迫

△力（_3△71-DL3

又5"°=,2。.8/也//℃，即J_xlxCDx@=逋，

2223

84

:.CD=-,即B￡>=—

33

在AABD中，根據余弦定理得AB2=BD-+AD2-2AD-BD-cosZADB

即AB~=—+l+2xlx-x-

932

不歷即V37

33

【小問2詳解】

—?2—?1—-

?.-CD=2BD,：.AD=-AB+-AC

4

4c2b14

9-78即1=上+幺+—6c-cosZ8/C

999

又/+4°2=11，.?.bc.cos/JBNC=」①

2

又;由①②得：tanZ5^C=-4V3

:.sinZBAC=^-

7

16.如圖在三棱錐P—45C中，△P/C和。均為等腰三角形，且N4PC=NA4C=90°，

(1)判斷45_LPC是否成立？并給出證明；

(2)求直線PB與平面45C所成角的正弦值.

【答案】(1)45LPC不成立，證明見解析；(2)X巳.

4

【解析】

【分析】(1)假設45J_PC,得48人平面R4C,由線面垂直的性質可得48，24,與PB=AB=4矛

盾，從而可得48_LPC不成立；

(2)取ZC的中點。，5C的中點G,證明平面POG,進而可得平面45。工平面R9G,再取0G

的中點X,證明尸打，平面48C,根據線面角的定義知NP38為直線PB與平面48C所成的角，在直角

三角形中求解.

【詳解】(1)48J_PC不成立，證明如下：

假設/5LPC,因為481/C,且PCc/C=C,

所以481平面P/C,

所以48,24,這與已知必=45=4矛盾，

所以45,PC不成立.

(2)如圖，取ZC的中點。，的中點G,連接P。，0G,PG,

由已知計算得P0=0G=PG=2,

由已知得ZCLPO,ACLOG,且尸0noG=0,

所以/CL平面POG,所以平面48c1平面POG.

取0G的中點H,連接PH，BH,

則7WJ_0G,尸打，平面45C,從而NPB8是直線尸3與平面NBC所成的角，

因為PH=6，PB=4,所以sin/PAff=里=走，即直線所與平面48C所成角的正弦值為立.

PB44

【點睛】本題主要考查線面垂直的判定與性質，直線與平面所成的角，意在考查考生的推理論證能力、空

間想象能力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、直觀想象.

17.已知函數/(x)=(cosx-l)er.

(1)求函數/(x)在x=0處的切線方程;

（2）當xe（O,兀）時，求函數/（x）的最小值.

【答案】（1）y=0

【解析】

【分析】（1）由導數的幾何意義得出切線方程；

（2）對函數求導，用導數方法判斷函數在（0,兀）上的單調性，即可得出結果.

【小問1詳解】

由/(X)=(COSX_1)「,

得/，⑺=(-sinx)e'—(：osx-l)e*-sinx-cosx+1

(e')2ex

所以/（o）=o,r（o）=o,

函數/（x）在x=0處的切線方程y=0

【小問2詳解】

-sinx-cosx+1

/'(x)=

ex

令丁=-sinx-cosx+1=-V2sinx+—+1,

當0<x<工時，—<%+—<—,貝I-V2<-V2sinIx+—j<-1,

2444I4J

所以y=-sinx-cosx+l=-V2sinx+—+1<0，所以（（“<0,

JT

所以/(x)在0,-單調遞減；

當工<》<兀時，—<x+—<—,貝”一1<V^sin[x+四],

2444I4)

止匕時j=-sinx-cosx+1=-V2sinx+—+1>0,

所以/(X)在|,7T單調遞增，

所以當X時，函數”X)取得最小值；

所以當xe(O,7i)時，函數/(x)的最小值為/[]=--萬

18.口袋中共有7個質地和大小均相同的小球，其中4個是黑球，現采用不放回抽取方式每次從口袋中隨機

抽取一個小球，直到將4個黑球全部取出時停止.

(1)記總的抽取次數為X,求E(X)；

(2)現對方案進行調整：將這7個球分裝在甲乙兩個口袋中，甲袋裝3個小球，其中2個是黑球；乙袋裝

4個小球，其中2個是黑球.采用不放回抽取方式先從甲袋每次隨機抽取一個小球，當甲袋的2個黑球被全

部取出后再用同樣方式在乙袋中進行抽取，直到將乙袋的2個黑球也全部取出后停止.記這種方案的總抽取

次數為匕求E(F)并從實際意義解釋E(丫)與(1)中的E(X)的大小關系.

32

【答案】⑴y

(2)6,答案見解析

【解析】

【分析】(1)確定X可能取值為4,5,6,7,分別求出概率后，由期望公式計算出期望E(X)；

(2)丫可能取值為4,5,6,7,設甲袋和乙袋抽取次數分別為4和為，利用獨立事件概率公式求得

尸(￥=口(左=4,5,6,7)的概率，再由期望公式計算出期望E(y),根據白球對取到黑球的影響說明期望的

大小關系.

【小問1詳解】

X可能取值為4,5,6,7,

3333

pX=4）=VC=-1L,P（x=5）=Wr=土4,尸（入=6）=工C=二10尸^=7）=C"=生,

74v

,，C：35'，C；351C735，C；35

l/S,1=4,10〃2032

E（X）=4x----F5XF6XF7X——

v735353535y

【小問2詳解】

y可能取值為4,5,6,1,設甲袋和乙袋抽取次數分別為乂和匕

r1r11

P（y=4）=P（X=2）P化=2）=百百=國,

P(y=5)=P支=2)P任=3)+P(K=3)P在=2)哈.導

p(y=6)=尸(乂=2)P化=4)+0(乂=3)P化=3)=S'+.fUA，

L3L4L3L41o

p(y=7)=p(x=3)p億=4)="△,

X15X16X2A.

￡⑺=4+++7X=6

18181818

在將球分裝時，甲袋中的黑球取完后直接取乙袋，若此時甲袋中還有其它球，則該球的干擾作用已經消失,

所以同樣是要取出4個黑球，調整后的方案總抽取次數的期望更低.

19.已知雙曲線「：2尸為雙曲線r的右焦點，過尸作直線4交雙曲線「于a8兩點，過廠點

X-2L=1,

且與直線/1垂直的直線，2交直線x于P點，直線0P交雙曲線「于“，N兩點.

(1)求雙曲線r的離心率；

(2)若直線OP的斜率為j求|4B|的值；

(3)設直線/P,/M,NN的斜率分別為11,k2,左3,左4，且k[k2k3k4力。,左+左2/0，記左+左2="，

左左2=V，k3+左4=W,試探究V與"，W滿足的方程關系，并將V用！V,〃表示出來.

【答案】(1)e=2

(2)|陰=30

(3)v=-uw-3

2

【解析】

【分析】(1)根據雙曲線方程求離心率;

(2)首先由已知得,由直線垂直關系，點斜式寫出直線/1的方程，聯立曲線并應用韋達定理求|/目；

(3)首先由條件設出點A,M,N的坐標，并根據已知條件表示尢，后2，進而求出左+左2和1/2，再求直線OP,

與雙曲線方程聯立，求得&+心，并結合已知確定v與的關系.

【小問1詳解】

由雙曲線方程可知，?2=1，b2=3,c2=a2+b2=4,

所以雙曲線的離心率e=—=2；

a

【小問2詳解】

設/Go，%),廠(2,0),由題意可知，尸［3，1；)，則直線6的斜率與

所以直線4的斜率k=2,故直線4的方程為歹=2(x—2),

j=2(x-2)

聯立直線4和雙曲