高等數(shù)學(xué)(大一)題庫(kù)

(一)函數(shù)、極限、連續(xù)

一、選擇題:

1、在區(qū)間(-1,0)內(nèi)，由()所給出的函數(shù)是單調(diào)上升的。

(A)y=W+l;(B)y=|x|-2%;(C)y=-4x+3

(D)y=5x—2

2、當(dāng)龍f+8時(shí)，函數(shù)/。)=彳$畝彳是()

(A)無(wú)窮大量(B)無(wú)窮小量(C)無(wú)界函數(shù)(D)有界函數(shù)

3、當(dāng)xfl時(shí)，/(x)=--=1-我都是無(wú)窮小，則段)是夕(左)的()

1+x

(A)高階無(wú)窮小(B)低階無(wú)窮小(C)同階無(wú)窮小(D)等階無(wú)

窮小

4、是函數(shù)/(%)=arctan」的()

x

(A)可去間斷點(diǎn)(B)跳躍間斷點(diǎn)；(C)振蕩間斷點(diǎn)(D)無(wú)窮

間斷點(diǎn)

5、下列的正確結(jié)論是()

(A)lim/(x)若存在，則/(X)有界；

x—>x

(B)若在％。的某鄰域內(nèi),有g(shù)(x)</(x)M/i(x),且limg(x),都存在，則

X—>xo］—>%0

也存在；

(C)若f(x)在閉區(qū)間［〃,句上連續(xù)，且/(a)"3)vo則方程/a)=0,在(〃")內(nèi)有唯一的

實(shí)根；

Isinx

(D)當(dāng)x78時(shí)，a(x)=—/(%)=-------都是無(wú)窮小，但。(%)與分(%)卻不

XX

能比.

二、填空題：

1、若1),且3日=九則/(幻的表達(dá)式為；

2、已知數(shù)列％=4—k的極限是4,對(duì)于￡=工，滿(mǎn)足〃〉N時(shí)，總有4<￡

10”10111

成立的最小N應(yīng)是；

f—〃丫？―丫+4

3、limX*:—=b$為有限數(shù))，則a=_______,b=________;

x+lX+l

、x-a

4、設(shè)/(X)=?F，則x-a是"x)的第______類(lèi)_______間斷點(diǎn)；

\x-a\

5、/(x)=sinx,g(x)={'且/Ig(x)］在R上連續(xù)，則

x+〃，x>0

n=;

三、計(jì)算題:

1、計(jì)算下列各式極限:

l-cos2x(、1ll+x

(1)1m----；----⑵lim—In------；

ioxsinxxAV1-x

3.1

xsin—

(3)lim(ylx2+1-ylx2-1)

(4)lim---------

x—>01—cosx

Incosx

(5)Iimsin3xcos2%(6)lim------

%—0%-。xsinx

2、確定常數(shù)使函數(shù)

(2+arccosx,-1<%<1

f(x)=<b,x=-l在x=-l處連續(xù).

Vx2-1,-OO<%<-1

四、證明：設(shè)/(x)在閉區(qū)間［a,句上連續(xù)，且。勺(x)<6,證明在(a,6)內(nèi)至少有一點(diǎn)4，使

(二)導(dǎo)數(shù)與微分

一、填空題:

則lim/5—-)

1、設(shè)/(%)存在,

~o+t

X>1

2、f(x)=<

13，X<1

設(shè)y=e竭五，則辦=

3、

4、設(shè)y=sinx(x>0),則一=______________；

dx

5、y7(x)為方程xsiny+ye'=。確定的隱函數(shù)，則/'(。)—

二、選擇題:

1、/(%)=ln(l+a2x),(a>0)則廣(0)的值為()

11

(A)-\na(B)\na(C)—Ina(D)-

1-r2

2、設(shè)曲線y=e與直線％=—1相交于點(diǎn)尸，曲線過(guò)點(diǎn)尸處的切線方程為()

(A)2x-y-2=0(B)2x+y+l=0(C)2x+y-3=0(D)2x-y+3=0

x<0

3、設(shè)/(%)=處處可導(dǎo)，貝u()

b(l-x2),%〉0

(A)a=b=1(B)a=-2,b=-l(C)a=0,b=l(D)a=2,b=l

Ay-Jy

4、若小)在點(diǎn)無(wú)可微，則lim--——的值為()

-Ax

(A)1(B)0(C)-l(D)不確定

5、設(shè)y寸sin為可導(dǎo)函數(shù)，則dy的表達(dá)式為()

(A)/'(sinx)dx(B)/"(cosx)dx

(c)/'(sinx)cos%(D)fr(sinx)cosxdx

三、計(jì)算題：

1、設(shè)對(duì)一切實(shí)數(shù)X有#+x)=4(x),且廣(0)=0,求/'⑴

21

X-cos—,d

2、若g(x)=J%又在x=0處可導(dǎo)，求一丁/(g(%))ID

CCdxx

0,%=0

x+f(l—t)=0

3、求曲線,v1八在仁0處的切線方程

tey+y+1=0

4、/(x)在x=a處連續(xù),0。)=sin(x-a)/(%),求"(a)

22Ady

5、設(shè)％=y+>?〃=(x+%)2,求丁?

du

6、設(shè)/(兀)=%111兀，求/(")(_￥).

7、計(jì)算衿位的近似值.

(三)中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

、填空題：

1、函數(shù)?x)=arctanx在［0,1］上使拉格朗日中值定理結(jié)論成立的J=

「e^-b1

2、若hm.=-貝ij斫___________,b=________;

%-。sm2x2

3、設(shè)八犬)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f(0)=.(0)=］則.//1")/(0)=______；

nIn/(x)

4、y=6工5山％的極大值為,極小值為；

］—X

5、y=arctg-——(0<x<1)的最大值為_(kāi)_______,最小值為_(kāi)_______.

1+x

二、選擇題：

1、如果a,b是方程f(x)=0的兩個(gè)根，函數(shù)f(x)在［a,b］上滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件，那么方程

f'(x)=0在(a,b)內(nèi)()

(A)僅有一個(gè)根；(B)至少有一個(gè)根；(C)沒(méi)有根；(D)以上結(jié)論都不

對(duì)。

2、函數(shù)/(%)=卜111%|在區(qū)間［］與上()

(A)滿(mǎn)足羅爾定理的條件，且4=0；

(B)滿(mǎn)足羅爾定理的條件，但無(wú)法求J；

(C)不滿(mǎn)足羅爾定理的條件，但有自能滿(mǎn)足該定理的結(jié)論；

(D)不滿(mǎn)足羅爾定理的條件

3、如果一個(gè)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上既有極大值，又有極小值，則()

(A)極大值一定是最大值；(B)極小值一定是最小值；

(C)極大值一定比極小值大；(D)極在值不一定是最大值，極小值不一定是最

小值。

4、設(shè)犬x)在(a,6)內(nèi)可導(dǎo)，則/'(%)<。是人x)在(a,6)內(nèi)為減函數(shù)的()

(A)充分條件；(B)必要條件；(C)充要條件；(D)既非充分又非必要

條件。

5、若氏0在(a,b)上兩次可導(dǎo)，且()，則人尤)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加且是上凹的。

(A)/'(x)>0,/"(^)>0；(B)/'(%)>0,/"(%)<0;；

(C)f\x)<0,f'\x)>0；(D)/'(x)<0,/"(x)>0

三、計(jì)算題：

K求:⑴[)⑵叫1%皿

x-。sin%%—°

2、求過(guò)曲線產(chǎn)尤廣工上的極大值點(diǎn)和拐點(diǎn)的連線的中點(diǎn)，并垂直于直線尸0的直線方程.

四、應(yīng)用題：

1、通過(guò)研究一組學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)接受能力(即學(xué)生掌握一個(gè)概念的能

力)依賴(lài)于在概念引人之前老師提出和描述問(wèn)題所用的時(shí)間，講座開(kāi)始時(shí)，學(xué)生的興趣

激增，分析結(jié)果表明，學(xué)生掌握概念的能力由下式給出：

G(%)=-0.1%2+2.6%+43,其中6(%)是接受能力的一種度量，尤是提出概念所

用的時(shí)間(單位：min)

(a)、尤是何值時(shí)，學(xué)生接受能力增強(qiáng)或降低？

(b)、第10分鐘時(shí)，學(xué)生的興趣是增長(zhǎng)還是注意力下降？

(c)、最難的概念應(yīng)該在何時(shí)講授？

(d)、一個(gè)概念需要55的接受能力，它適于對(duì)這組學(xué)生講授嗎？

五、證明題：

證明不等式2%arctanx>ln(l+x2)

(四)不定積分

一、選擇題：

1、設(shè)/(%)可微，則/(%)=()

(A)jdf(x))(B)f(x)dx)(C)(jf(x)dx)'(D)jf\x)dx

2、若F(x)是/'(x)的一個(gè)原函數(shù)，則cF(x)()/(x)的原函數(shù)

(A)是(B)不是(C)不一定是

3、若［/(%)辦=尸(%)+<?,則J/(ax+Z?)dx=()

(A)aF(ax+b)+c(B)—F(ax+b)+c

a

(C)—F(x)+c(D)aF(x)+c

a

4、設(shè)/(%)在[m加上連續(xù)，則在(a,b)內(nèi)/(x)必有()

(A)導(dǎo)函數(shù)(B)原函數(shù)(C)極值(D)最大值

或最大值

5、下列函數(shù)對(duì)中是同一函數(shù)的原函數(shù)的有()

(A)—sin2-—cos2x(B)呵111.與1112%

24

(C)與(D)tan'與-cotx+——

2sinx

r式

6、在積分曲線族y=sin3xdx中，過(guò)點(diǎn)(：』)的曲線方程是()

Jo

(A)—-cos3^v+1(5)—COS3JT+c(C)—-cos3x(D)cos3x+c

7、下列積分能用初等函數(shù)表出的是()

(A)[e~^dx-,(B)[,dx：,、sdx/、「Inx7

(C)I----；(D)Idx.

JJ7T77JIn%Jx

8、已知一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y'=2x,且x=l時(shí)y=2,這個(gè)函數(shù)是()

%

2

(A)y=x+C-,(B)y=x2+l;cc)y=—+C;(D)y-x+1.

Inx

9、dx=()

(A)—lnx+—+C;(B)llnx+-+C；(C)-lnx--+C；(D)-■-]nx--+C-

XXXXxXXX

rdx_

10、J(4%+1).一

(B)111

(A)--+C；+C(C)-1+C；(D)

9(4x+l)936(4x+iy36(4%+1)9

---------iT+C

36(4x+l)u

二、計(jì)算題:

r1-tanx,3,^xf\x)dx

1、Jln(%+Jl+%2)d%2----------------dx

J1+tanx

dx

5'川公6'J而K

(%+1)(%+2)(%+3)

Jx2arccosxdx

fl,-8<X<0

三、求//(%)公,其中/(%)=卜+10<^<1

2x1<X<+00

(五)定積分及其應(yīng)用

一、填空題:

1、設(shè)了(無(wú))是連續(xù)函數(shù)，尸(x)=「xf(t)dt,貝!J尸(x)=;

*o

2、設(shè)/(%)是連續(xù)函數(shù)，則「"(x)+/(-%)][/(%)-f(-x^dx=______

J-7T

111、

3、lirvn(--z--------1----------FH---------)=_____________；

sn+1n+2n+n

/,sinx

4、設(shè)是連續(xù)函數(shù)，式0)=-1,則-1—=______________________;

i。x3

5、函數(shù)/Xx)="在區(qū)間㈤句上的平均值為(a<b).

二、單項(xiàng)選擇題：

a

1、設(shè)J”/(%)公,(。</?)存在，則/(X)在m，句上()

(A)可導(dǎo)(B)連續(xù)(C)具有最大值和最小值(D)有界

1^a+nt

2、設(shè)是以T為周期的連續(xù)函數(shù)，則Hm—f(x)dx=()

8Tl

(A)f(a)-T(B)ff(x)dx(off(x)dx(D)

JOJO/(?)

設(shè)/=、■/f(x)dx+y-/(尤)dx+存在，則/=(

3、)

(A)/(%)(B)2/(x)(C)2/(x)+C(D)0

'bdx

4、(a<b)，在(

'a(x-a)p)

(A)P<1時(shí)收斂,PN1時(shí)發(fā)散(B)PW1時(shí)收斂,P21時(shí)發(fā)散

(C)P>1時(shí)收斂,PW1時(shí)發(fā)散(D)P,1時(shí)收斂,P〈1時(shí)發(fā)散

5、曲線y=lnx,y,y=lna,y=lnZ?(0<a<b)Ry軸所圍的圖形面積為()

■eba

rlnZ??InZ?

x

(A)Inxdx(B)edx(C)(D)Ib,Inxdx

JinaL'e

三、計(jì)算下列定積分:

冗sin2%

4z

、、--------dx

127tx

4l+e-

,Qdx

2

、+x)dx4、

30x+yla2-x2

四、求下列極限：

1

?sinx-

d+tydt

ilim『----標(biāo)--------^--?、-m。n-J--￡-----*--：力-------

五、設(shè)可導(dǎo)函數(shù)y=y（x）由方程，4+（sin/d/ugx?所決定，試討論函數(shù)y=y（x）

的極值.

六、已知拋物線—=（2—4）＞+/,（2/4,。＞0）,求p和。的值，使得：

（1）拋物線與y=x+l相切；

（2）拋物線與Ox軸圍成的圖形繞Ox軸旋轉(zhuǎn)有最大的體積.

（六）向量代數(shù)空間解析幾何

一、填空題：

1、向量4={1,J5/}與X,y,z軸的夾角分別為名尸,7,則。=,

B—，y—o

2、設(shè)〃={1,2,-1}力={一1,1,0},則,axb=,

cos0=,sin0=o

3、以點(diǎn)（1,3,-2）為球心，且通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的球面方程為o

4、平面通過(guò)點(diǎn)（5,-7,4）且在x,y,z三軸上截距相等，則平面方程為.

5、把曲線22=5羽丁=0繞了軸旋轉(zhuǎn)一周，則旋轉(zhuǎn)曲面的方程為o

二、選擇題:

1、平面A%+用丁+。送+。1=0與+=0互相平行，則（）。

（B）充要條件是3=且=自

（A）充要條件是442+用鳥(niǎo)+。1。2=0

4B2C2

（C）必要而不充分條件是d=旦=2

4§202

（D）必要而不充分條件是+44+GC2=o

2、設(shè)。與b為非零向量，貝i|axb=。是（）

（A）a〃b的充要條件；（B）a的充要條件；

（C）6的充要條件；（D）?！ㄈ说谋匾怀浞值臈l件;

3、設(shè)直線二=）=二，則該直線為（）。

02-1

（A）過(guò)原點(diǎn)且垂直于x軸（B）過(guò)原點(diǎn)且平行于x軸

（C）不過(guò)原點(diǎn)但垂直于x軸（D）不過(guò)原點(diǎn)但平行于x軸

4、直線土匚=2±2=三匚和平面x+y+z=3的關(guān)系是（）。

31-4"

（A）直線與平面垂直；（B）直線與平面平行，但直線不在平面上；

(C)直線在平面上；(D)直線與平面相交，但不垂直。

平面4%+y-22-2=0在x,y,2軸的截距分別為,則()。

(A)a=2,b=-,c=-l(B)a=4,b=i,c=-2

2

(C)a=—,b=2,c=—l(D)a=~—,b=-2,c=1

22

右產(chǎn)Jf+42+922=36

6、萬(wàn)程〈表示)

y=l

(A)橢球面；(B)橢圓柱面；

(C)橢圓柱面在平面y=0上的投影曲線；(D)y=l平面上橢圓。

7、方程16f+4y2_?2=64表示()

(A)錐面；(B)單葉雙曲面；(C)雙葉雙曲面;(D)橢圓拋物面。

三、計(jì)算題：

1、將直線方程，化成對(duì)稱(chēng)式方程。

2x+y=0

2、求兩平行平面19x—4,+82+21=0及19%—4丁+82+42=0之間的距離。

3、設(shè)一直線通過(guò)點(diǎn)M(4,3,3),且垂直于由三點(diǎn)4(6,0,1),A2(2,1,5),

A3(5,3,5)所確定的平面，求該直線方程。

77

4、求過(guò)點(diǎn)A(0-,1,0)和5(0,0,1)且與平面成y角的平面方程。

四、應(yīng)用題：

設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)開(kāi)始時(shí)位于點(diǎn)P(1,2,-1)處，今有一方向角分別為60°,60°,45°,而

大小為100克的力/作用于此質(zhì)點(diǎn)，求當(dāng)此質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)尸作直線運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)M(2,5,-1+372)

時(shí)，力/所作的功(長(zhǎng)度單位為厘米)。

(七)多元函數(shù)微分學(xué)

、填空題：

1、設(shè)/'(x+y])=x2—y2,則/(x,y)=.

3、由方程2^-3盯z=-4所確定的函數(shù)z=z(x,y)在點(diǎn)(1,2,2)處的全微

分dz=__________________.

4、曲面z=sinxcosy在點(diǎn)(￡,￡,g)處的切平面方程是.

7

5、設(shè)〃=arccos,，則該函數(shù)的定義域?yàn)?

、選擇題：

1.當(dāng)XfO,yf0,時(shí)，函數(shù):,的極限()

3x+y

（A）等于0；（B）等于L（C）等于,；（D）不存在

34

3z

2.函數(shù)z=/（x,y）的偏導(dǎo)數(shù)一，二在點(diǎn)（無(wú)o，加）連續(xù)是函數(shù)z=fCx,y）在

ax

點(diǎn)（猶，加）可微分的（）

（A）充分條件但非必要條件；（B）必要條件但非充分條件；

（C）充分必要條件；（D）既非充分條件也非必要條件;

3z

3.設(shè)z=/（如v）,而"=X+'#=邛，其中/具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則一等于（

,dx

（A）%町（B）堂+陛；。理+產(chǎn)；（D）yl包;

dudvdudvdudvdudv

4.在曲線》=人>=產(chǎn),2=/的所有切線中,與平面x+6y+12z=l平行的切線

（）

（A）只有1條；（B）只有2條；（C）至少有3條；（D）不存在

5.設(shè)函數(shù)/（x,y）在點(diǎn)（0,0）的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)，且=?

y->o1-cos（x-+y）

則在點(diǎn)（0,0）處/（x,y）（）

（A）不可微分；（B）可微分，且fx（0,0）?0,fy（0,0）w0；

（C）取得極大值；（D）取得極小值.

三、計(jì)算題：

、門(mén)V_^dzdz

1、設(shè)z=sin—cos—f求—,—

yxdxdy

222

小、幾xdzdzdz

2、設(shè)z=arctan—，求——,----,——

ydxdxdydy

3、設(shè)"=/(x,孫，孫z),求

oxoyoz

4、設(shè)z=z(x,y)由方程cos?x+cos2y+COS?z=1所確定，求dz

5、設(shè)z3-3肛Z=〃3,求°Z

dxdy

6、求函數(shù)/(%,y)=4(x—y)—%2—y2的極值.

四、^<?0x2+y2+z2-xy-3=0上同時(shí)垂直平面z=0與x+y+l=0的切平面

方程

.2

五、在旋轉(zhuǎn)橢球面工+9+z2=1上求距平面3x+4y+12z=288為最近和最遠(yuǎn)的

96

點(diǎn).

習(xí)題答案

(-)函數(shù)、極限、連續(xù)答案

一、1、(D)2、(C)3、(C)4、(B)5、(D)

二、1、(1+X)32、N=103、4,104、一，跳躍5、ki

1/I、「l-cos2x「2sin2x.

1、(1)lim---------=lim-------=2

%-。xsinx工―。xsinx

111+x2x旦―

(2)lim—InJ----=limta(l+-----)2xl~x

。xx%-。I-X

22

(3)lim(A/X+1-Vx-1)=lim/'/(不存在)

f^°°7%2+1+7%2-1

3?13?1

xsin—xsin—

(4)lim------^=lim------^=0(5)limsin3xcos2x=0

%-。1-cox%-。2§由22x->0

1—ZS1I1一1

/八「Incosx「cosx-11「21

(6)lim-------=lim---------=lim---------=——

xsinxxx3%2

2、解：f(-1-0)=0f(-1)=bf(-1+0)=a+兀：.Q=b=a+7V

a=-7r

使f(x)在x=-l連續(xù)

b=0

四、證明：令F(x)=f(x)-x顯然F(x)在[a,b]上連續(xù)

F(a)=f(a)-a)0F(b)=f(b)-b〈0

...在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)自使F學(xué))=0

即：使f")=4

(二)導(dǎo)數(shù)與微分答案

一、1、-2/'(%0)2、不存在3、2Aa”"dx4、sinx(l+ctgx+In%)5、

Vsin2x

0

二、1、(A)2、(D)3、(C)4、(B)5、(D)

三、解…???八1)=如"+37⑴=礴23)-2/(。)=2/'(0)=20

aAxAx

21

Axcos----0i

2、g<0)=lim-----產(chǎn)-=0而h/(g(x))=r(/(x))g<x)

-°Axax

](/(g(x))=r(g(x))g<x)[=o=o

/7ydx

3、解：對(duì)等式x+%(l—。兩邊關(guān)于t求導(dǎo)-+(l-t)-t=Q^—=2t-l

dtdt

^dy_ei

對(duì)等式tey+y+1=0兩邊關(guān)于t求導(dǎo)ey+teyy+y=0=

dttey+1

.dy_dyIdx_ey

當(dāng)t=0時(shí)，得x=0,y=-l

dxdt/dt(2t-l)(tey+1)

...曲線在t=0處的切線方程的斜率為左=電/i="I,切線方程

dxl

?11

y+l=-x^y=—x-l

ee

“、「夕(九)一°(。)sin(x-<2)/(x)、

4A、“⑷=hm一匕/=hrm-------“=f(a)

nx-a%-x-a

5、蟲(chóng)=2y+l—=—(x2+x)^(2x+l)

dydx2

dy_dyIdu_2

dudxdxo!

/3(x2+x)2(2x+l)(2)/+l)

6、y=lnx+l,/=-,y"=—二，…，嚴(yán))=(一1廣2(〃-2)!亡"

XX

_______1_1

7、設(shè)/(%)=Vx,%0=9,Ax=0.02，則-9.02=3+--9'?0.02=3.003

(三)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用答案

l~4-\f22k7r+—y[^2,2k7r+—

一、(1)、-----1(2)1,1；(3)1；(4)----c4,-------e4,kRz(5)

V7i22

r°

二、B；D；D；A；A

,…工…「x2sin?2xrx2-sin?2x

二、解：1.(1)、原式=hmF-----==hm--------------

%-。%sinxx

「x-sinx「rsin%、「1-cosx八1

=lim-----------lim(lH--------)=lim-----------2=—

尤一。%3Xf。xXf。2x3

J_

lim/'gxlnxlim———

(2)、原式=e*f°+=eD+-cscx=]

2.y'=(l—駐點(diǎn)x=l,y"^(x-2)e-x,令V=o,得％=2,

因?yàn)閤<l,y'>O,x>l,y'<0,所以(1,1)為極大值點(diǎn)

%<2,/<0,x>2,/>0,所以(2,e.2)為拐點(diǎn)

'2x2

所以極大值點(diǎn)與拐點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3'，e~+e~),所求直線為：y=e~+e~

222

四、1、解：(a)G'(x)=—0.2x+2.6令G'(x)=O,貝卜=13,

當(dāng)x=13時(shí)6口)>0,G(x)單調(diào)上升當(dāng)x>13時(shí)G(x)<0,

G(x)單調(diào)下降：所以當(dāng)提出概念所用的時(shí)間小于13分鐘時(shí)，接受能力增強(qiáng)；當(dāng)提

出概念所用的時(shí)間大于13分鐘時(shí)，接受能力降低

(b)S)x=10c[0,13],G(x)單調(diào)上升，學(xué)生的興趣在增長(zhǎng)。

(c)G(x)在x=13時(shí)取極大值，所以最難的概念應(yīng)該在提出問(wèn)題后的第13分鐘

時(shí)講授。

(d)因?yàn)镚(13)=59.9,這個(gè)概念需要55的接受能力，小于最大接受能力，所以可

以對(duì)這組學(xué)生講授該概念。

2、解：設(shè)AM與MB的公路總長(zhǎng)為y,則y=，1工？+,0<%<3

Xx—3

所以y'=/+/，令y'=0,得：x=l,x=—3(舍去)

v1+%2A/%?—6x+13

只有唯一的駐點(diǎn)冗=1,所以在％=1處取得最小值

五、證：1、令/(九)=2mn?%gA：-ln(l+九2),貝/(%)=2々比應(yīng)犬

當(dāng)x>0時(shí)，f\x)>0,/(0)=0,Wf(x)>0,當(dāng)x<0時(shí)，f\x)<0,/(0)=0,有

/W>0

故Vx.y(x)>0,^Ixarctgx>ln(l+x2)

（四）不定積分答案

1、(C)2、(B)3、(C)4、(B)5、(A)6、(A)

7、(D)8、(B)9、(D)10、(C)

二、1、原式二xln(x+11+%?)—J―/dx—xln(x++/)—Jl+Jr2+C

r^(cos%+sin%)_.?,ir

2、Xxj—I—111COS%十Sill因十L

Jcosx+sinx

3、原式二Jxdff(x)=對(duì)\x)_j/\x)dx-xf*(x)-/(x)+C

111

4、原式=j（---------------------1-----------

2(x+l)x+22(x+3)x+2

X2

-----FC,X20

2xlxl

5、原式=<

x22

-------X<0.

2

171\[x+A/X+1._r

6、原式二j11

r,-----dx-

y/xy/x+16G「J石+J%+1A/X+T

=21廠1—d(Jx+l+Vx)=21n(>/x+Jx+1)+C

ii2iI____

7、原式arccosx+-(l-x2y--y/l-x2+C

x+C-oo<x<0

原式二<—+x+C0<x<l

2

x2+-+C1<X<+co

2

（五）定積分及其應(yīng)用答案

/、/

一、(1)#(%)+])于⑴dt(2)0；(3)ln2(4)-(5)---------

6a-b

二、1、D,2、B,3、C,4、A,5、Co

三、解：1>原式j(luò)4^2(^2+Y)dt=

??2冗sin2x

2、原式=匕溝一/x+Udx

x

41+e°l+e-

,7T?2萬(wàn)114

I,7、C-4SHIXt4z11\-214-21

-(-dt)+-----dx=\(-----x-1----------------x--)sinxdx=sinxdx

/Jo1+"XJ。l+el+e-J。

A

3、原式=ln(x+Jx:+1,dx=ln(l+V2)-V2+l

Vl+x2

n

4“、原ns式f=%=as?m4力2---C-OS--t-d-x-

=Josin%+cost~4

四、解：1、原式=lim尸耳"；受1

JsinQg%)secx

TVTV71

2、一尸sinnxdx=sinnxdx+fjsinnxdx,

JoJoi--￡

2

71

而0<P*sin"xdx=g-￡)sin〃J<、sin〃4

71

又??,0<sin；<L，limsin〃C=0,由夾擠定理知limpsin"羽伙=0,

“Z?—>oon—>coJO

7t71

此外0<fjsin"&由￡的任意性知lim「sinwxdx=0

J2--￡28Jo

五、兩邊求導(dǎo)得y'e72+sin%=x，即y=(%-sin%)ey2,令y—o,得x=0,

且由于x<0時(shí),y，<0;x>0時(shí),/>0知x=0是