2024版創(chuàng)新設(shè)計(jì)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 人教A版第8節(jié) 函數(shù)的圖象

第8節(jié)函數(shù)的圖象

考試要求1.在實(shí)際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列

表法、解析法）表示函數(shù).2.會畫簡單的函數(shù)圖象.3.會運(yùn)用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性

質(zhì)，解決方程解的個(gè)數(shù)與不等式解的問題.

知識診斷?基礎(chǔ)夯實(shí)

【知識梳理】

1.利用描點(diǎn)法作函數(shù)的圖象

步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）化簡函數(shù)解析式；（3）討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、

單調(diào)性、周期性、對稱性等）；（4）列表（尤其注意特殊點(diǎn)、零點(diǎn)、最大值點(diǎn)、最小

值點(diǎn)、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等），描點(diǎn)，連線.

2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象

（1）平移變換

|）子）+修

上

A〃>0）個(gè)單位

移

|內(nèi)U+a）|.怨

?(aX))1----------------1

個(gè)單位下個(gè)單位

移左“>0）個(gè)單位

|y=/a)-*I

（2）對稱變換

y=/（x）的圖象老壬邈對逛y=3㈤的圖象；

y=?r）的圖象老會邈暨的圖象；

y=fix）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對/丫=一/（一用的圖象；

關(guān)于直線

）=出（4>0,且aW1）的圖象：二二對蘇》V=1。軻（。>0,且a#l）的圖象.

（3）伸縮變換

尸網(wǎng)--------------------------------------

各點(diǎn)橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模海╝〉0）倍'

橫坐標(biāo)不變

*y=4/U).

各點(diǎn)縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A>0）倍

(4)翻折變換

x軸下方部分翻折到上方

y=/(尤)的圖象*v=l/U)l的圖象;

x軸及上方部分不變

y軸右側(cè)部分翻折到左側(cè)，

y=/(x)的圖象南y軸百則麗芬去掉，右側(cè)示賽v=Alxl)的圖象.

［常用結(jié)論］

1.記住幾個(gè)重要結(jié)論

(1)函數(shù)y=/(x)與y=/(2a—x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

(2)函數(shù)y=/(x)與y=28—/(2a—九)的圖象關(guān)于點(diǎn)3，份中心對稱.

(3)若函數(shù)y=/(x)對定義域內(nèi)任意自變量x滿足：x),則函數(shù)y=/(x)

的圖象關(guān)于直線x=a對稱.

2.圖象的左右平移僅僅是電對可毛而言，如果x的系數(shù)不是1,常需把系數(shù)提出

來，再進(jìn)行變換.

3.圖象的上下平移僅僅是電對千、而言的，利用“上加下減”進(jìn)行.

【診斷自測】

1.思考辨析(在括號內(nèi)打“J”或“義”)

(1)當(dāng)xG(O,+8)時(shí)，函數(shù)y=伏%)|與y=*x|)的圖象相同.()

⑵函數(shù)尸必㈤與y=J(ax)(a>0且“W1)的圖象相同.()

(3)函數(shù)y=/(x)與y=-?r)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.()

(4)若函數(shù)y=/(x)滿足.*1+x)=*l—x),則函數(shù)7U)的圖象關(guān)于直線x=1對

稱.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)V

解析(1)令y(x)=-x,當(dāng)xW(O,+8)時(shí)，y=|4x)|=尤，y=fi\x\)=-x,兩者圖

象不同，(1)錯(cuò)誤.

(2)中兩函數(shù)當(dāng)“W1時(shí)，y=劭㈤與y=/Uu)是由y=?r)分別進(jìn)行縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)

伸縮變換得到，兩圖象不同，(2)錯(cuò)誤.

(3)y=/(x)與y=—Ax)的圖象關(guān)于x軸對稱，(3)錯(cuò)誤.

2.小明騎車上學(xué)，開始時(shí)勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時(shí)間，后為了趕

時(shí)間加快速度行駛.與以上事件吻合得最好的圖象是()

距學(xué)校的班離矩學(xué)校的距離

答案c

解析法一出發(fā)時(shí)距學(xué)校最遠(yuǎn)，先排除A；中途堵塞停留，距離不變，再排除

D；堵塞停留后比原來騎得快，因此排除B,故選C.

法二由小明的運(yùn)動(dòng)規(guī)律知，小明距學(xué)校的距離應(yīng)逐漸減小，由于小明先是勻速

運(yùn)動(dòng)，故前段是直線段，途中停留時(shí)距離不變，后段加快速度行駛，比前段下降

得快，故應(yīng)選C.

3.(2023?長沙雅禮月考)函數(shù)y=-cosxln|x|的圖象可能是()

答案D

解析函數(shù)y=-cosxln|x|的定義域?yàn)閧x|xW0},

又一cos(-x)ln|-x|=-cosxlnpv|,

所以函數(shù)y=—cosxln|x|是偶函數(shù).

因?yàn)榕己瘮?shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，排除A,C；

又％=兀時(shí)，y=-cosidn兀＞0,排除B.故選D.

4.函數(shù)y=/(x)的圖象與曠=^的圖象關(guān)于y軸對稱，再把y=/(x)的圖象向右平移1

個(gè)單位長度后得到函數(shù)y=g(x)的圖象，則g(x)=.

答案e^+,

解析由題意得凡r)=er,

'g(x)=e-(廠1)=e-l1.

考點(diǎn)突破?題型剖析

考點(diǎn)一作函數(shù)的圖象

例1作出下列函數(shù)的圖象：

(Dy=d)；(2)y=|log2(x+l)|；(3)y=/一2|X|一1.

解(1)先作出y=QY的圖象，保留y=(y“圖象中x20的部分,

再作出y=@y的圖象中Q0部分關(guān)于y軸的對稱部分,

即得y=g)國的圖象，如圖①實(shí)線部分?

(2)將函數(shù)y=log2x的圖象向左平移一個(gè)單位，再將光軸下方的部分沿龍軸翻折上

去，即可得到函數(shù)y=|log2(x+l)|的圖象，如圖②.

f—?x>0

(3)；y=「'二’且函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點(diǎn)法作出［0,+8)上的圖

象，

再根據(jù)對稱性作出(一8,0)上的圖象，

得圖象如圖③.

感悟提升1.描點(diǎn)法作圖：當(dāng)函數(shù)解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本函數(shù)

時(shí)，就可根據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點(diǎn)直接作出.

2.圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱得

到，可利用圖象變換作出，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解

析式的影響.

訓(xùn)練1分別作出下列函數(shù)的圖象:

⑴y=sin|x|；（2）y=^7f-

解（1）當(dāng)x20時(shí)，了=5后僅|與y=sinx的圖象完全相同，

又曠=5抽同為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，其圖象如圖①.

故函數(shù)的圖象可由y=；的圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位得到，如

圖②所示.

考點(diǎn)二函數(shù)圖象的識別

角度1函數(shù)圖象的識別

例2（1）（2022.全國甲卷涵數(shù)於）=（3」3r）?cosx在區(qū)間［—T全T號7T上的圖象大致為

_1T_O

2LO

2

答案A

1Q

解析法一(特值法)取*=1,則yu)=(3—w)cos1=§cos1>0；

1O

取x=—l,則/(—l)=q—3)cos(—l)=—gcos1V0.結(jié)合選項(xiàng)知選A.

法二fi~x)=(33v)cos(-X)=-(3X-3-v)cosx=

所以函數(shù)?X）=（3，-3r）cosx是奇函數(shù)，排除B,D；

1Q

取x=1,則式1）=（3—§）cos1=2cos1>0,排除C.故選A.

（2）（2022.全國乙卷）如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間［—3,3］的大致圖

象，則該函數(shù)是（）

-%3+3%

A--V=X-+1

_2xcosx2sinx

D.y=

c?y=^TFf+l

答案A

解析對于B,當(dāng)x=l時(shí)，y=0,與圖象不符，排除B；

對于D,當(dāng)x=3時(shí)，y=1sin3>0,與圖象不符，排除D；

TT

對于C,當(dāng)0<%<］時(shí)，OVcosxVl,

故>=隼管<母ywi,與圖象不符，排除c.故選A.

感悟提升1.抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：

⑴從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位

置；（2）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；（3）從周期性，判斷圖象的循環(huán)

往復(fù)；（4）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性.

2.抓住函數(shù)的特征，定量計(jì)算：尋找函數(shù)的特征點(diǎn)，利用特征點(diǎn)、特殊值的計(jì)算

分析解決問題.

角度2借助動(dòng)點(diǎn)探究函數(shù)圖象

例3如圖，不規(guī)則四邊形ABCO中，A8和CO是線段，AO和8c是圓弧，直線

/_LAB交A8于E,當(dāng)/從左至右移動(dòng)（與線段有公共點(diǎn)）時(shí)，把四邊形A8CD

分成兩部分，設(shè)左側(cè)部分的面積為y,則y關(guān)于x的圖象大致是（）

答案c

解析當(dāng)/從左至右移動(dòng)時(shí)，一開始面積的增加速度越來越快，過了。點(diǎn)后面積

保持勻速增加，圖象呈直線變化，過了C點(diǎn)后面積的增加速度又逐漸減慢.故選

C.

感悟提升根據(jù)實(shí)際背景、圖形判斷函數(shù)圖象的兩種方法

(1)定量計(jì)算法：根據(jù)題目所給條件確定函數(shù)解析式，從而判斷函數(shù)圖象.

⑵定性分析法：采用“以靜觀動(dòng)”，即判斷動(dòng)點(diǎn)處于不同的特殊的位置時(shí)圖象

的變化特征，從而利用排除法做出選擇.

注意求解的過程中注意實(shí)際問題中的定義域問題.

7T—X

訓(xùn)練2(1)(2023.湖南名校聯(lián)考)函數(shù).*%)=(：05川11的圖象大致為()

答案C

JT-Y

解析要使函數(shù)/(x)=cosxln有意義,

?！猉

則不解得一＜無，

，函數(shù)/U）的定義域?yàn)椋ㄒ回＃?1）,

rTl+X71-X

又八一%)=cos(—x)lncosxln不=一/),

...人幻為奇函數(shù)，故排除A,D；

兀

jrIT4

當(dāng)工=彳時(shí)，cos7>0,In------=ln|<0,

44?兀

叫

故周

<0,排除B,故選C.

（2）向高為”的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量V與水深〃的函數(shù)關(guān)系的圖象

如圖所示，那么水瓶的形狀是（

答案B

解析觀察圖象，根據(jù)圖象的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)取水深人=當(dāng)時(shí)，注水量F>y,即水

深為一半時(shí)，實(shí)際注水量大于水瓶容積的一半，A中V'<^,C,D中V=y,

故排除A,C,D,選B.

考點(diǎn)三函數(shù)圖象的應(yīng)用

角度1研究函數(shù)的性質(zhì)

例4已知函數(shù)火x）=x|x|—2x,則下列結(jié)論正確的是（）

A.六x）是偶函數(shù),單調(diào)遞增區(qū)間是（0,+°°）

B./U）是偶函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間是（一8,1）

C：*x）是奇函數(shù)，單調(diào)遞減區(qū)間是（一1,1）

D.yu）是奇函數(shù)，單調(diào)遞增區(qū)間是（一8,0）

答案c

解析將函數(shù)?￥)=尤|川一1￥去掉絕對值,

3^—lx,X與0,

得yc光)=，,

[―A2—2x,JC<0

觀察圖象可知，函數(shù)_/u)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，

故函數(shù)次。為奇函數(shù)，且在(一1,1)上單調(diào)遞減.

角度2圖象法解不等式

例5已知函數(shù)加)=<(O'*2，則?r)W上的解集為(

)

」0g4(x+1),—1<X<1,

A.(—8,0]B.(-l,0]

C.(—1,0]U[L+°o)D.[l,+8)

答案C

解析作出函數(shù)y=/U)與y=%的圖象，如圖.

結(jié)合圖象知不等式4x)W5的解集為(一1,0]U[l,+°°),故選C.

角度3求參數(shù)的取值范圍

sinitx,OWxWl,

例6(2023?湖州調(diào)研)已知函數(shù)Hx)=<若實(shí)數(shù)a,b,互不相

10g2023X?X>1,

等，且_Aa)=/S)=/(c),則a+b+c的取值范圍是.

答案(2,2024)

sinme,OWxWl,

解析函數(shù)/U)=,的圖象如圖所示，

.10g2()23X,X>1

不妨令a<b<c,

由正弦曲線的對稱性可知a+b=l,

而1VCV2023,所以2Va+0+cV2024.

感悟提升1.利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)

對于已知或易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù)，其性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期

性、最值（值域）、零點(diǎn)）常借助于圖象研究，但一定要注意性質(zhì)與圖象特征的對應(yīng)

關(guān)系.

2.利用函數(shù)的圖象可解決方程和不等式的求解問題，如判斷方程是否有解，有多

少個(gè)解.數(shù)形結(jié)合是常用的思想方法.不等式的求解可轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的上下關(guān)系問

題.

訓(xùn)練3（1）（2023?河南頂尖名校聯(lián)考）若關(guān)于x的不等式a^+bx+c<0的解集是（一

1,1）,則（）

A.b>0B.a+c>0

C.a+b+c>0D.Sa+2b+c>0

答案D

解析顯然”>0,不等式可化為e〈V—%一宗在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)

bc

y=e\>=—7一￡的圖象（圖略），

依題意兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為一1,1,

hc

則一/°，—/1，

所以〃VO,-c>a,A,B錯(cuò)誤；

當(dāng)x=l時(shí)，ae+b+c=0,而a+/?+c〈ae+/?+c=0,C錯(cuò)誤；

22

當(dāng)x=2時(shí)，ae+2b+c>09而Sa+2b+c>ae+2b+c>0,D正確.

⑵已知奇函數(shù)./W在xNO時(shí)的圖象如圖所示，則不等式狀x）<0的解集為

答案(一2,-1)U(1,2)

解析MU)<0,x和火x)異號，

由于人犬)為奇函數(shù)，補(bǔ)齊函數(shù)的圖象如圖.

當(dāng)Xd(—2,-1)U(O,1)U(2,+8)時(shí)，加；)>o,

當(dāng)xG(—8,-2)U(-1,O)U(1,2)時(shí)，危)<0,

.?.不等式歡x)<0的解集為(-2,-1)U(1,2).

分層精練?鞏固提升

【A級基礎(chǔ)鞏固】

x~\~3

1.為了得到函數(shù)y=lg-j鼠的圖象，只需把函數(shù)y=lgx的圖象上所有的點(diǎn)()

A.向左平移3個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度

B.向右平移3個(gè)單位長度,再向上平移1個(gè)單位長度

C.向左平移3個(gè)單位長度,再向下平移1個(gè)單位長度

D.向右平移3個(gè)單位長度,再向下平移1個(gè)單位長度

答案C

x+3

解析,->=lg-jy=lg(x+3)-l,

.向左平移3個(gè)單位長度,「、向下平移1個(gè)單位長度.

..y—lgx---------------------------—lg(x+3)-------------------------------lg(x+3)-1.

2.(2023?蘭州診斷)已知函數(shù)?x)=xlnx的圖象如圖所示，則函數(shù)11一幻的圖象為

答案D

解析法一因?yàn)榘?—x）=/［—（x—1）］,

所以函數(shù)的圖象是先將函數(shù)人力的圖象關(guān)于y軸對稱，得到人一》）的圖象,

再向右平移一個(gè)單位長度得到的，故選D.

法二易知函數(shù)式處的定義域?yàn)椋?,+°°）.

由1一元>0,得x<l,所以函數(shù)的定義域?yàn)椋ㄒ?,1）,故排除A,c；

又當(dāng)》=一1時(shí)，咒1一（一l）］=/（2）=21n2>0,排除B,故選D.

3.已知二次函數(shù)1x）的圖象如圖所示，則函數(shù)g（x）=/（x>ex的圖象為（）

答案A

解析由函數(shù)?x）的圖象結(jié)合題意知,

當(dāng)X<-1或x>l時(shí)，g(x)>0;

當(dāng)一1VX<1時(shí)，g(x)<0,由選項(xiàng)可知選A.

r3

4.(2023?石家莊一檢)函數(shù)加:)=刀尸的圖象大致是()

解析函數(shù)7U)的定義域?yàn)镽,次一九)=于7為=-7U),

所以函數(shù)?r)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，排除B,D；

/4)=24+24>2><24=2,.*8)=28+28V呼=2,可排除C.故選A.

~|~bx<—]

5.若函數(shù),*x)=,,；、'，的圖象如圖所示，則.*-3)=()

In\xIciJ,x1

答案c

In(a—1)=0,。=2,

解析由圖象"=3,得

力=5,

2x+5,x<-1,

，於)=

In(x+2),xN—1.

故人-3)=5—6=—1.

6.（多選）（2023?江蘇七市調(diào)研）已知函數(shù)|幻=西~|（“611）,則y=?r）的大致圖

象可能為（）

答案ABD

解析當(dāng)?<0時(shí)，y=y^x1—a,

即V—/=-q（y20）,

所以該曲線是焦點(diǎn)在y軸的雙曲線的上半支，即為D；

當(dāng)a=0時(shí)，y=y[^=\x\,即為A；

當(dāng)a>0時(shí)，若x￡[—W，y[（i],則產(chǎn)+/二々。；2。）,

該曲線是圓心在原點(diǎn)，半徑為3的圓的上半部分（含端點(diǎn)），

若xW(—8,-y[a)U(y[a,+0°),xi—yi=a(y^G),

則該曲線是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線位于光軸上方的部分，即為B.故選ABD.

7.（2023.重慶八中調(diào)研）已知某函數(shù)的圖象如圖所示，則下列解析式與此圖象最為

符合的是（）

次）

A八X，l~n~|ix~j|

0/（力=金彳

答案B

解析由題中函數(shù)的圖象可知該函數(shù)是偶函數(shù)，定義域?yàn)椋ā?,-1）U（-1,

0）U（0,1）U（1,+8）.

對于A,因?yàn)閨x巾WO產(chǎn),。，所以且'WO,

所以定義域符合.因?yàn)閊=一穴外，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，故A不符合.

|xWO,

對于B,因?yàn)獒芤灰话怂裕±1且xWO,

Un|x|WO,

所以定義域符合.因?yàn)槿艘挥?=耙=/2，

1口|八I

所以函數(shù)是偶函數(shù)，符合所給圖象特征.

對于C,由f-1WO得x#±l,所以函數(shù)的定義域不符合.

對于D,由/一1#0得x#±l,所以函數(shù)的定義域不符合.根據(jù)排除法，故選B.

8.(多選)對于函數(shù)_/U)=lg(|x-2|+l),下列說法正確的是()

A./U+2)是偶函數(shù)

B於+2)是奇函數(shù)

C：/(x)在區(qū)間(-8,2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2,+8)上單調(diào)遞增

D./U)沒有最小值

答案AC

解析.*x+2)=lg(|x|+l)為偶函數(shù)，A正確，B錯(cuò)誤.

作出7U)的圖象如圖所示，可知700在(一8,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)

遞增；

由圖象可知函數(shù)存在最小值0,C正確，D錯(cuò)誤.

—2

9.若函數(shù)負(fù)x)=；二7的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱，則實(shí)數(shù)4=.

答案1

以—a-\-a一2a—2

解析?穴幻=一口—=a+tUT'

關(guān)于點(diǎn)(1,a)對稱，故a=L

10.設(shè)函數(shù)_/U)=|x+a|,g(x)=x—1,對于任意的xGR,不等式火x)Ng(x)恒成

立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案［―L+°°)

解析如圖，作出函數(shù)“r)=|x+a|與g(x)=x—l的圖象，觀察圖象可知,

當(dāng)且僅當(dāng)一aWl,即a2一1時(shí)，不等式y(tǒng)Cx)?g(x)恒成立,

因此a的取值范圍是［-1,+8).

110g卻，0<x<2,

11.(2022?茂名一模)已知函數(shù)?r)=,井尤1,X2,X3均不相等，且

-x+3,xN2,

加1)=/2)=於3),則XI-X2-X3的取值范圍是.

答案(2,3)

解析不妨設(shè)X1VX2〈尤3,作出/U)的大致圖象,

由圖可得，|10g2Xl|=|10g2X2|=-X3+3G(0,1),

所以log2Xl=-log2JC2,即XIX2=1.

由兀V1)=/(X2)=AX3),得X3G(2,3),

所以的取值范圍是(2,3).

—f+2,xWl,

則搬)=

12.(2022?浙江卷)已知函數(shù)={,1;若當(dāng)

x+~~lx>L

Ix9

x^［a9/時(shí)，則人一。的最大值是.

答案|j3+小

解析由題意知娘=一冏+2=京

則T+A=28-

4

作出函數(shù)/U）的圖象，如圖所示，

結(jié)合圖象，令一片+2=1,解得尤=±1；

令x+：—l=3,解得尤=2±\/5,

又x>l,所以x=2+小,

所以（/?—a）max=2+小一（一1）=3+小.

【B級能力提升】

13.如圖，點(diǎn)尸在以AB為直徑的半圓弧上沿著放運(yùn)動(dòng)，AB=2,記NBAP=x.將

點(diǎn)P到A,8兩點(diǎn)的距離之和表示為x的函數(shù)/U）,則y=?r）的圖象大致為（）

答案C

解析由題意可知，△PAB為直角三角形,

PA=2cosx,PB=2sinx,

所以PA+PB=2cosx+2sinx=26sin[+*,0,爭，

即y=/U）=2gin（x+：）,0,

因?yàn)閤G0,3

所以x+鋁f,引，

所以26sin（x+g）e[2,2啦],

當(dāng)x+A會即尸;時(shí)，函數(shù)段）取得最大值2色，故排除B,D；

又/U）的解析式為正弦型，排除A,選C.

14.（2023?鄭州調(diào)研）若eF?X3=-X31n%2=—L則下列不等關(guān)系一定不成立的是

（）

A.X1<X3<X2B.X3<X1<X2

C.X3<X2<X