第三章 干涉教材

第三章干涉干涉指兩個或兩個以上光波相互重疊時，合成光強不同于各個光波光強簡單相加，而出現(xiàn)穩(wěn)定強弱分布的現(xiàn)象光強的穩(wěn)定強弱分布稱為干涉條紋或干涉圖樣不同相干性的光源決定了干涉能否產生、干涉裝置的類型、以及干涉條紋的質量和存在范圍兩個振動方向不同復振幅的疊加光強兩個夾角為

的一般光矢量為E2E1xy

x和y軸上的疊加分量為合光強為或者3.1光的相干性干涉必須滿足一定條件，即相干條件考慮兩個單色平面光波疊加其中2Re{

}為干涉項合光強為如果

1

2，光學拍，合成光強不穩(wěn)定如果

＝

1－

2＝

(t)是時間的函數(shù)，合成光強不穩(wěn)定a1

a2若為零，無干涉項干涉項的分析相干條件相互疊加的光波要發(fā)生干涉，各光波必須頻率相等振動方向相同初始位相差固定干涉光強由兩部分構成無空間變化的背景項I1+I2

有空間變化的干涉項不同相干條件下的疊加線性疊加光波滿足相干條件，各光波完全相干，合成光波的復振幅是各光波復振幅的線性疊加復振幅線性疊加光波不滿足相干條件，各光波完全不相干，干涉項為零，合成光波的光強是各光波光強的線性疊加光強線性干涉對光源的基本要求假設光源中只有一個發(fā)光原子，且原子可簡化為一個電偶極子?，F(xiàn)有兩個這樣的光源，因為兩個偶極子的振動完全獨立，兩光波的頻率、振動方向、初始相位、持續(xù)時間都是隨機的，所以不同光源發(fā)出的光波互不相干推論：一般情況下，只有同一光源發(fā)出的光波才有干涉的可能楊氏實驗假設點光源S是單個電偶極子，發(fā)出單色球面波S1和S2是不透明屏A上的兩個小孔由S1和S2分別發(fā)出的球面子波來自同一光源，滿足相干條件，觀察屏E上可以看到干涉圖樣P0Sr2Pzy0x0yxdlDS1S2r1EA楊氏干涉光強因為S1和S2到S的距離相等，所以

僅由S1和S2到P點的光程差D決定E上的某一點P的光強為若I1=I2＝I0，

n=1，P點的光強為光強強弱條件相長干涉

光強達到最大I=4I0相消干涉

光強達到最小I=0光程差的計算因為S1和S2到S的距離相等，所以光程差D僅由S1和S2到P點的距離r1和r2決定W=d/D稱為會聚焦。觀察屏E上P點的光強為楊氏干涉條紋特點觀察屏上z軸附近是一系列亮暗變化、平行于y軸的等距條紋條紋間隔白光源時，x=0,m=0的中心點是白條紋，離開中心，逐漸出現(xiàn)彩色楊氏干涉條紋在整個空間的分布從S1和S2到空間任意點(x,y,z)的距離分別為二者之差是光程差D＝r2－r1

，等光程差面為回轉雙曲面回轉雙曲面xzyS1S2等光程差（相位差）面對比度（可見度）衡量干涉條紋的質量對比度（或可見度）K反映空間某一點P附近的條紋清晰度K＝0時，P附近光強一片均勻，沒有條紋，兩光束非相干；K＝1時，P附近的條紋最為清晰，兩光束完全相干光源大小與條紋對比度假設光源由若干單色點光源構成，各個點光源之間互不相干，但每一個點光源發(fā)出的球面波通過S1和S2以后產生的兩個新球面波之間是相干的每一個點光源都在觀察屏E上產生一組K＝1的條紋，由于這些點光源的空間位置各不相同，因此各組條紋的中心點（即零光程差點）不重合不同方向擴展光源的效果y擴展，K不變，條紋范圍增；x擴展，K下降x方向兩個點光源假設P0Sr1b/2

r2lS’S1S2P’0EdS干涉孔徑角

＝d/l

，定義為到達干涉場某一點的兩支相干光從發(fā)光點出發(fā)時所夾的角度

兩個點光源距離為bc/2時，K＝0

x軸兩端各連續(xù)擴展bc/2光源的總寬度為bc擴展光源上的每一點總可以在擴展光源上找到距離自己bc/2的另一點，這一對點光源在觀察屏上的合成條紋K＝0所有這些成對的光源點共同作用，使得觀察屏上的總合成條紋K＝0x軸上總寬度為bc的連續(xù)擴展光源，合成條紋K＝0光源連續(xù)擴展的一般情況光源中心的元光源S在P點產生的光強為元光源S’在P點產生的光強為r1Sb/2dx

r2lS1S2P0EdxP

S’光源寬度與K的一般關系任意元光源在P點產生的光強為寬度為b的擴展光源在P點產生的光強為擴展光源下的一般對比度光源連續(xù)擴展的一般條紋對比度為光源臨界寬度b=bc

光源許可寬度bp＝bc/4

光源光譜的擴展大部分光源是原子發(fā)光，可用電偶極子模型描述電偶極子持續(xù)不斷地簡諧振動時，輻射出無限延續(xù)的單色波（單一頻率）斷續(xù)輻射的光波不再是單色光設單色光為有限時間長度的波列單色光的傅里葉變換為單色光只有一個正頻率分量

0在頻率分量為

0的單色光上截取時間段的波列波列圖形波列的非單色性波列的傅里葉變換為設

時間內光波傳播的距離為2L，光譜的有效寬度為

2L越大，光譜寬度

越小，單色性越好光源非單色性對楊氏條紋的影響干涉極大的條紋位于m相同但

不同的條紋，空間位置不同。彼此錯位的干涉條紋疊加在一起，必然引起對比度下降只有m=0的條紋，不論

為何值，都在x=0處重合單色性與光強的曲線D/波長對比度隨單色性的變化隨著x的增加，光程差D也增加不同波長條紋的相對位移隨D增加也增加，對比度隨之下降條紋中心區(qū)（x=0附近）的對比度仍然很高，因為所有波長的零級條紋重合，相對位移為零（縱向）相干長度光譜寬度為

的光源能夠產生干涉條紋的最大光程差DM稱為（縱向）相干長度dl

如果在某一光程差下，波長為

＋

的第m級條紋與波長為

的第m＋1級條紋重合，條紋對比度下降到零。即，m(

+

)=(m+1)

時，干涉級次為m=

/

相干長度dl=DM=

m＝

2/

與波列長度比較，知，dl=2L等能光譜下的干涉光強

總光強為kk0k0+

k/2k0-

k/2

0

1

2II0一個波長分量引起的干涉光強為等能光譜下K、

和D之間的關系解方程，得總干涉光強條紋對比度K=0時，有這時的D就是DM

，也就是2L多普勒效應引起的光譜擴展若發(fā)光體與觀察者的連線為L，發(fā)出頻率為

0的光波，同時發(fā)光體在與L夾

角的方向上以速度V運動，觀察者接收到的頻率是光源由許多電偶極子（發(fā)光體）組成，發(fā)光體的熱運動方向雜亂無章，光源溫度越高，發(fā)光體運動速度越大，多普勒頻譜展寬也越大兩相干光波振幅比與K

設兩光波振幅分別為A1和A2，設

＝A1/A2，對比度為A1和A2相差越大，對比度越小光源幾何擴展和光譜擴展的比較光源幾何尺寸擴展時，假設為單色光。干涉條紋K的變量為光源寬度b和干涉孔徑角

光源光譜擴展時，假設為點光源。干涉條紋K的變量為光譜寬度

k和光程差D空間相干性干涉孔徑角

=

/bc橫向相干長度dt

E上能發(fā)生干涉的最大dr1Sb/2dx

r2lS1S2P0EdxP

S’相干面積A

與dt對應的面積太陽光的相干性因為dt=

/

，即使光源尺寸很大，只要距離足夠遠，

足夠小，它發(fā)出的光波仍有一定的相干面積太陽是一個

=0.018弧度的非相干光源，如果把太陽看成是一個亮度均勻的園盤，只發(fā)出波長為0.55微米的可見光，則dt=0.04mm楊氏干涉儀用太陽光做光源，小孔間隔小于dt時，可能出現(xiàn)干涉條紋測星干涉儀M1

M4把來自星體的光轉折到S1和S2上，再經透鏡匯聚到觀察屏E上，得到干涉條紋初始d小K大，d增加K減小，直到K=0。此時PLS2S1M1M2M3M4Ed時間相干性上下兩路的光程差小于波列長度時，a1和a2在P點部分疊加，部分相干光程差大于等于波列長度時，a2可能和b1重疊，不相干波列長度2L=縱向相干長度dl，波列持續(xù)時間

為相干時間b2SPa2c2a1c1b12L光波的分割方法從同一光源發(fā)出的光波能滿足相干條件把同一光源發(fā)出的光分割成若干束，再讓它們疊加干涉。分割方法不同，干涉裝置和效果也不相同分波面法從光波面上分出兩部分（楊氏干涉）分振幅法依靠折反射將光波分割成不同振幅的部分3.2分波面干涉典型

楊氏干涉缺點：能量利用率低改進把點光源換成線光源，線光源的擴展方向沿y軸把兩個小孔換成兩個狹縫，擴展方向也沿y軸仍然只利用了很小的波面菲涅爾雙面鏡波面利用率高分析方法與楊氏干涉相同d=2lsin

k1k2l

M2M1S2S1S

ΠODlld2

菲涅爾雙棱鏡SS1S2

lDΠd=2l(n－1)

d洛埃鏡要考慮直射光與反射光之間的半波損失dS1S2MDΠNP0P比累對切透鏡d=S1S2=a(l+l’)/l

Dl’laSS1S2Πd四種分波面干涉與楊氏干涉的異同時間相干性方面，上述四種分波面干涉儀與楊氏干涉儀相同空間相干性方面，四種分波面干涉儀與楊氏干涉儀存在差異楊氏干涉儀中，光源S擴展時，兩個相干次光源S1和S2并不擴展其他干涉儀中，S擴展，S1和S2也擴展例3.1求菲涅爾雙面鏡中，光源寬度與干涉條紋對比度之間的關系AS’1S2S’2S’SM2M1S1ΠODll

OO’D

lPx解例3.1_1點光源S經反射鏡M1和M2后形成兩個次級相干光源S1和S2沿垂直于AS的方向，即

軸上，有另外一個點光源S’，經反射鏡M1和M2后形成兩個次級相干光源S’1和S’2

若S1和S2的間隔為d，則S’1和S’2的間隔也為d，但觀察屏上的條紋中心由O變成O’

SS’=

，則S1S’1=

，S2S’2=

解例3.1_2從S發(fā)出的兩條光線到達P點的光程差為從S’發(fā)出的兩條光線到達P點的光程差為與D’對應的位相差為解例3.1_3設光源是以S為中心、沿

寬度為b的線光源，此光源中的每個小段d

的光強均為I0，

處小段發(fā)出的光波在P點形成的干涉光強為總光強為干涉條紋的對比度解例3.1_4K第一次下降到零時的光源寬度b是臨界寬度由幾何關系知S2SM2M1S1ΠDlOD

ld

/2

/2d'解例3.1_5在P點相交的兩條光線從S點發(fā)出時所夾的角度因此，菲涅爾雙面鏡的光源臨界寬度與楊氏干涉儀的光源臨界寬度相同3.3分振幅雙光束干涉只有光源寬度足夠小，分波面干涉才能得到高對比度干涉條紋一般地，光源尺寸越大，輻射出的能量越多能否既有高對比度、又有高輻射能量？答案：分振幅干涉S2平行平板干涉如圖，單色點光源S發(fā)出的球面波等效于S1和S2發(fā)出的兩個球面波，兩球面波在空間任意一點P重疊，形成K=1的干涉條紋非定域條紋若另有點光源S’，S’1、S’2將形成一組移位的新條紋，與原條紋疊加，致使K下降

S1

SP觀察屏平行平板OO’對光源臨界寬度的再討論滿足光源臨界寬度條件時，K=0從上式知，

越小，bc越大若

=0，bc=

。由于實際光源寬度b<<bc，所以K可很高

的定義：到達干涉場某一點的兩支相干光從發(fā)光點出發(fā)時所夾的角度定域面和定域深度若

=0時的兩光束疊加區(qū)域為一個面，這個面稱為定域面。定域面上K=1，干涉條紋很清晰，且不受光源幾何尺寸的影響從K=1到K為某一低限之間的區(qū)域，稱為定域深度。在此區(qū)域中，都能看到清晰的干涉條紋定域面的確定從光源出發(fā)，僅畫一條光線，此光線經界面折反射后分割成兩部分，這兩部分的交匯處即為定域面平行平板定域面在無窮遠處，或在透鏡的焦平面上AS’hDB

2CSP

1Ln2n1n1

=0平行平板干涉的光程差分振幅產生的兩條光線的光程差為除了幾何路徑引起的光程差以外，還應考慮反射引起的位相差若平行平板置于均勻介質中，平板上、下表面反射的光之間有半波損失，所以等傾干涉相長干涉（強光）條件相消干涉（弱光）條件平行平板的折射率n2和厚度h給定后，兩光線的光程差只與折射角

2有關，因此干涉光強也只與

2有關，故稱為等傾干涉平行平板干涉的透射形式其定域面也在無限遠或透鏡焦面上若平行平板置于同一環(huán)境中，沒有半波損失透射光與反射光形成的干涉條紋正好互補n1

1h

2SPLn2n1等傾干涉圓環(huán)的形成光源S上不同點發(fā)出的光線，只要它們是平行的，一定會聚在

的同一點，且光程差相同。所以，即使用擴展光源，

上仍有高K

上的條紋是同心圓環(huán)，越靠近中心，條紋級次越高n1n2OhBSLfP

1

1例3.2等傾圓環(huán)干涉中，若

中心O是暗斑（1）從中心向外數(shù)，第N個亮環(huán)的半徑為多少？（2）條紋間隔是多少？分析

的中心點O對應

1=0即

2=0，光程差達到最大從中心向外數(shù)，第N個亮紋的級數(shù)為m1-N+1解例3.2_1（1）第N個亮紋的光程差與中央條紋光程差相減，得

1和

2都很小，

2

n1

1/n2，1－cos

2

(n1

1/n2)2/2因為O是暗斑，q=0.5，所以，第N個亮環(huán)的半徑為解例3.2_2（2）求條紋間隔在上式左邊對

2微分，右邊對m1微分，并令dm1=1，d

2=

2，忽略負號，有帶入小角度近似得條紋間隔為例3.3證明在平行平板干涉的情況下，光源臨界寬度bc和干涉孔徑角

有關系bc=

/

S2S1

S1’S1’’PS2’hS2’’解例3.3_1S1和S2經平板上下表面成的像點距離相等S1’和S1’’到P點的光程差為

S1’S1’’S2’PS2’’

RS2’和S2’’到P點的光程差為解例3.3_2兩個光程差之差為按定義，若dD=

，則b=bc，即非平行板干涉兩個不平行表面構成的透明板是非平行板，楔形板是最簡單的非平行板S發(fā)出的球面波等效于S1和S2發(fā)出的兩個球面波，能在空間中的任意一點形成K=1的干涉條紋。

條紋非定域S1SS2P

n2n1n1

光源擴展后，條紋定域若光源擴展，顯然條紋將不再處處K=1令

=0，可以找到上下界面反射光線的交會面，即定域面將眼睛或成像儀器聚焦到定域面上，能看到清晰的干涉條紋

2

1SP

n2n1n1

=0L楔形板的光程差光程差的準確表達n1CFDBA

2PEn2n1

hh和

很小時，近似有等厚干涉一般情況下，D既是h也是

2的函數(shù)控制入射光的角度范圍，使得

2近似為常數(shù)，這時，D只是h的函數(shù)，這樣的干涉條紋稱為等厚條紋白光照明下，肥皂泡表面和油膜表面呈現(xiàn)的彩色條紋是等厚條紋等厚條紋的觀測虛線是定域面，E是定域面的像面，P點的像是P’

。若P點處楔形板厚度是h，P點對應的光程差為PP’SL2BGEL1n等厚條紋條紋間隔為e

hmhm-1相鄰條紋對應的厚度變化可將條紋理解為等高線白光照明時的等厚條紋條紋間隔與波長有關用白光照明時，除了光程差為零的地方是白色條紋（零級條紋）以外，其它地方條紋將帶有顏色當光程差增加到接近相干長度時，條紋消失，變成白色的均勻照明不同顏色代表不同的光程差例3.4量規(guī)是硬化鋼制成的方塊，用作長度標準。長期使用后，量規(guī)可能磨損。為測量量規(guī)A是否與標準量規(guī)B高度一致，將它們按圖放置。P為標準平面玻璃板（平晶），d=30mm。波長為546.1nm的平行光垂直照明，平晶與量規(guī)接觸面上出現(xiàn)間隔為e=10mm的直條紋，求A和B的高度差h。hABPd解例3.4板附近出現(xiàn)等厚直條紋，條紋平行于楔棱相鄰條紋對應

/2厚度差，所以楔角

=

/2/e=h/d

為判斷哪一個量規(guī)高，可以在A的一端輕壓P板，若條紋間隔變大，表示空氣楔角變小，說明A高于B

分振幅雙光束干涉儀由于使用擴展光源時仍有高條紋對比度，大多數(shù)干涉儀采用分振幅法典型分振幅系統(tǒng)有共路干涉儀牛頓環(huán)（Newton’sring）觀測系統(tǒng)薩納克（Sagnac）干涉儀非共路干涉儀麥克爾遜(Michelson)干涉儀馬赫－曾德（Mach-Zehnder）干涉儀牛頓環(huán)觀測擴展光源從上方照明，L凸面的曲率半徑R是待測量L凸面與G上表面形成很薄的非平行空氣板，于是，有等厚條紋出現(xiàn)，其定域面在空氣層附近C點的光強為極小，是暗點hRCrOLG測得從中心向外第N個暗環(huán)的半徑為r

由于R>>h，上式中可略去h2，得

第N個暗環(huán)的光程差滿足

兩球面間形成的牛頓環(huán)將標準玻璃平板G換成曲率半徑為R0的標準球面G’

根據干涉環(huán)形狀、光圈數(shù)量，可判斷待測面加工質量輕壓待測件，從條紋擴展還是收縮，可判斷R是小于還是大于R0

RCrOLG’hR0薩納克干涉儀是第一種可測量物體旋轉狀態(tài)的干涉儀r（a）兩光束結構

（b）諧振腔結構CIiIorLL

BIiIo兩光束薩納克干涉儀整個干涉儀以角速度

在面內旋轉，

是待測量半徑為r的環(huán)路上，傳播方向相反的兩個光波以速度v走完一個回路所花費的時間分別為t＋和t－

兩路光時間差為由時間差引起的位相差為

式中，A＝

r2為光纖環(huán)路面積，A的方向是干涉儀表面法線方向，

的方向是旋轉軸方向。將光纖卷成N圈半徑為r的圓，上式變成

諧振腔結構薩納克干涉儀傳播方向相反的兩個光波在半徑為r、幾何長度為P=2

r、光纖纖芯折射率為n的環(huán)路中多次循環(huán)。受耦合器C的限制，環(huán)路等效為一個諧振腔環(huán)路靜止時，光波要在環(huán)路中穩(wěn)定存在，需滿足頻率匹配條件環(huán)路以角速度

旋轉時，匹配條件變成兩個反向傳播光束的諧振頻率不再相同，它們的差是

頻率f+和f

同時輸出，形成光學拍。只要測出拍頻

f、光纖環(huán)路平面法線與旋轉軸的夾角

，就可由上式推算旋轉角度共路干涉的特點參與干涉的兩光束在同一個光路中傳播，稱共路干涉儀牛頓環(huán)觀測裝置是共路干涉儀外界擾動對兩束光的影響一樣，不會在干涉條紋中表現(xiàn)出來共路干涉儀有很強的抗干擾能力共路干涉儀的空間狹窄，安裝、調整、更換被測件很困難非共路干涉儀的特點與共路干涉儀相反麥克爾遜干涉儀M1、M2其中之一為標準面，另一個為待測面當光源為白光時，加入補償板C可消除B色散的影響系統(tǒng)可看成M1與M2的虛像M’2構成的平板單色點光源的邁克爾遜干涉儀稱為泰曼－格林干涉儀AM2M1M’2SCBO21O’非定域條紋左圖觀察屏上是以O為中心的同心圓環(huán)簇右圖觀察屏上是近似直線簇AAOS2SBM2M1M’2S1OS2SBM2M1M’2S1定域條紋將光源換成擴展光源若M1和M’2平行，輸出為等傾圓環(huán)，定域面在無限遠若M1和M’2相交成楔，且相交角度很小，輸出為等厚條紋，是平行于楔邊的周期性直條紋簇，定域面在楔面附近若光源是白光，條紋是彩色的馬赫－曾德干涉儀由B1產生兩個平面波面W1和W2，若W’2是W2在B2的反射鏡像，則O1可視為W1和W’2的疊加馬赫－曾德干涉儀比麥克爾遜干涉儀更靈活，光束在兩臂中傳播只經過一次，定域面可以任意調節(jié)O1O2B2SW1B1M1M2W2W’2例3.5對麥克爾遜干涉儀作兩點改造：單色點光源S發(fā)出的球面波經擴束準直后變成平面波；取消補償板。這樣，系統(tǒng)變成泰曼－格林干涉儀。設

=546.1nm，M1與M2互相垂直，并都與分束鏡B成45

角。忽略B反射、透射引起的位相變化。（1）M1不變，M2繞O’軸旋轉

=1’角度，計算輸出面上的條紋間隔；（2）M1不變，M2換成曲率半徑R=10m的球面鏡，球心在AO’上，M’2的頂點與M1相切。干涉條紋是什么形狀？條紋中心是暗還是亮？（3）在（2）的條件下，前三個亮環(huán)的半徑是多少？M1向B移動，條紋如何變化？解例3.5_1(1)M2繞O’軸旋轉

，M’2也旋轉

，與M1一起構成楔角

的空氣楔，形成平行于楔棱的直條紋，條紋間隔AM2M1M’2SBO21O’解例3.5_2(2)球面鏡為凸和凹的情況分別繪制在（a）圖和（b）圖中。不論哪種情況，干涉條紋都是同心圓環(huán)。因為中心h=0，且沒有半波損失，所以中心為亮點hhRM1M’2RM1M’2(a)(b)rr解例3.5_3(3)h、r和R之間滿足關系第m亮環(huán)滿足D=2h=m

解上面兩式，得前三個亮紋半徑分別為M1向B移動，對凸面鏡，條紋內收；對凹面鏡，條紋外擴3.4分振幅多光束干涉前面討論平行平板的分振幅干涉時，僅考慮了前兩個光束的疊加，是一個近似模型兩光束干涉在平行平板表面反射率低的時候是合理的嚴格的分振幅干涉理論應適應各種表面反射率，必須考慮多光束效應平行平板的多光束干涉若n1

n2

n3

，不對稱；若n1=n3

，對稱對稱平行平板的上下界面反射率均為R反射光束1，2，3，4與入射光強之比為

3

2

1n2Sh12341’2’3’4’n1n3透射光束1’，2’，3’，4’與入射光強之比為界面反射率較低，例如R＝0.04

1(1’)2(2’)3(3’)4(4’)相對反射光強0.040.0375.9

10-59.4

10-8相對透射光強0.92160.001472.3

10-63

10-9

界面反射率較高，例如R＝0.91(1’)2(2’)3(3’)4(4’)相對反射光強0.90.0090.00730.0059相對透射光強0.010.00810.006560.0053對稱平行平板不同R的效果比較R較低的時候，前兩束反射光的強度很接近，其它光束則弱得多，只取前兩束計算的誤差很??；第一束透射光與其它透射光強度相差很大，只取前兩束計算誤差不能忽略R較高的時候，情況正好相反兩光束干涉時，如有半波損失，把半波長加入光程差。多光束干涉時，此方法不再適用多光束分析的基本思路界面上每次折反射的復振幅變化由菲涅爾系數(shù)決定，半波損失等相位變化自然包括在內相鄰光束之間的光程差（相位差）只需考慮幾何路徑差，不必再寫入半波長，即多光束干涉的符號規(guī)定光從n1介質進入平行平板，在上界面的反射、折射系數(shù)標記為r1、t1

相反方向的反射、折射系數(shù)標記為r’1、t’1光從平行平板進入n3介質，下界面的反射、折射系數(shù)標記為r2、t2相反方向的反射、折射系數(shù)標記為r’2、t’2入射光振幅為Ai

各透射光復振幅，

，總透射光復振幅界面上相反方向傳播的光波有關系

不對稱平行平板的透射系數(shù)為

各反射光復振幅總反射光復振幅不對稱平行平板的反射系數(shù)為不對稱平行平板的透、反射率對稱平行平板的透、反射系數(shù)對稱平行平板n1＝n3＝n0，n2＝n。此時，r2＝r1’＝-r1，t2＝t1’，令T0＝t1

t1’，R0＝r12，透、反射系數(shù)為對稱平行平板的透、反射率對稱平行平板透反射率的簡化定義精細度系數(shù)F為對稱平行平板的透反射率簡化為對稱平行平板透反射率曲線透反射率特點隨著界面反射率R0的提高，T由對比度很低的余弦函數(shù)形狀演變?yōu)榘当尘吧系募怃J亮條紋R由對比度很高的余弦函數(shù)形式演變?yōu)榱帘尘吧系募怃J暗條紋T+R=1平行平板多光束和雙光束干涉光強圖像多光束和雙光束干涉光強強弱條件的一致性對稱平行平板反射雙光束干涉有半波損失。相長干涉時，兩光束相位差為左邊的

/2項移到等式的右邊，得到這正是剛得到的對稱平行平板反射多光束相長干涉條件。相消干涉的分析類似。這是因為，多光束相鄰光束光程差只考慮幾何路徑因素，雙光束還要考慮半波損失低R0時反射多光束可用雙光束近似R0很小時，這恰是實際存在半波損失但不包括在

內的雙光束干涉。對比度K＝1條紋尖銳化的應用和度量條紋尖銳化有利于提高測量精度對稱平行平板的透射多光束干涉光強，是暗背景上的細亮條紋，更適宜測量僅用對比度已不足以刻畫這個特點，條紋寬度則是恰當?shù)闹笜嗽O第m級亮紋附近，T＝0.5對應于兩個位相

1和

2，定義這兩個相位的差為條紋寬度b=

=

2－

1

T條紋寬度的計算這兩個特殊的相位可寫成滿足亮紋寬度定義要求的透射率為sin(b/4)

b/4，解得條紋精細度S和條紋角寬度

1m條紋精細度反比于條紋寬度在下式兩邊分別對

和

2差分令

=b，并利用折射定律，得法布里－珀羅（FP）干涉儀由一對高反射率平面構成，如果兩平面的間隔h可以調節(jié)，稱為FP干涉儀如果h固定，稱為FP標準具信號觸發(fā)光電探測器光闌示波器角度調節(jié)厚度調節(jié)入射光銀膜h示波器顯示的透射率與h的關系光源中有

和

－

兩個波長成分，注意不同波長的尖峰位置不重合這種系統(tǒng)又稱掃描FP干涉儀，可用于光波縱向模式和相干長度測量擴展光源照明的FP干涉儀保持h不變時，輸出為同心圓環(huán)的等傾條紋因為具有很強的色散性質，這種干涉儀可用于光譜精細結構測量

1Sf

1FP干涉儀的色散角色散定義為單位波長差光譜成分的空間角度分離程度DA=d

1/d

第m級亮紋的相鄰光束光程差為上式兩邊分別對角度和波長求微分，并應用折射定律，得

線色散定義為單位波長差光譜成分在觀察面上分離的線距離DL，顯然，DL＝fDA

不同波長的條紋分離當光源中包含兩個不同的波長成分時，它們各自形成一組等傾圓環(huán)，由于色散，這兩組圓環(huán)相互不重疊e是同波長相鄰亮紋的線間隔，

e是不同波長同級亮紋的線間隔（a）恰可分辨（b）易于分辨

ee給定e和

e

，如何求波長差？忽略

r，干涉場中P點的干涉級次P點由于波長變化引起的級次變化為同波長相鄰條紋的線間隔e正比于

1

不同波長同級條紋的線間隔

e正比于

1’FP干涉儀光譜測量公式和自由光譜范圍兩式相比，得結合前面

m的表達式，有

e=e，

10的中心區(qū)域里，自由光譜范圍FP干涉儀的可測量最小波長差

m

若波長差過小，兩組圓環(huán)的亮紋過于接近，可被誤認為只有一組圓環(huán)可將兩亮紋的位相間距

等于亮紋位相寬度b視為條紋恰可分辨的判據，即，兩亮紋的角間距d

1與亮紋的角寬度

1m相等

可測量最小波長差為

FP干涉儀的分辨本領為式中，S是精細度，N＝S稱為有效光束數(shù)

用多光束干涉說明激光諧振腔反射鏡M1和M2構成了諧振腔，其中M1是全反射鏡，M2是部分反射鏡光束在腔內來回反射，輸出是多光束干涉無源腔就相當于FP干涉儀激光工作物質激勵源M1M2輸出激光L無源諧振腔指標縱模頻率相鄰縱模間隔無源腔單一波長的波長寬度頻率寬度例3.6FP標準具的間距h=1cm，標準具放置在兩個焦距同為f=15cm的透鏡L1和L2之間，光源是波長

=0.49

m的單色擴展光源，光源直徑d=1cm，位于L1的前焦面，觀察屏位于L2的后焦面。求觀察屏中心的干涉級；觀察屏上的最大條紋級數(shù)和能看到的干涉條紋數(shù)；若在標準具中插入不透明屏，擋住標準具的一半，觀察屏上條紋發(fā)生的變化hL1L2Sff觀察屏d解例3.6（1）中心干涉級m滿足（2）光源和觀察面之間是1:1成像關系，所以，最大角度為相應條紋級數(shù)mM能看到的亮紋數(shù)量為40816

40794+1=23

亮度減半，其他不變光學薄膜結構用蒸鍍的方法在光學元件表面形成的一層或多層介質膜，膜的厚度在波長數(shù)量級，一般假設橫向寬度無限大分析方法平行平板多光束干涉結論建立各層膜中電磁場量之間的矩陣關系，用矩陣理論分析薄膜的光學特征由于R+T=1，只需分析R即可單層膜

這是非對稱平行平板多光束干涉問題反射系數(shù)和反射率為

G

0nhn0nG正入射時單層膜的反射率將正入射反射系數(shù)代入反射率公式，得正入射時單層膜反射率與相位關系設n0＝1，nG＝1.5，分別取n=1.2、1.4、1.5、1.7、2.0和3.0，得到右圖

R是

的函數(shù)

=2m

或nh=m

/2時,有無膜層不影響R

單層膜的增透和增反作用nh=

/2時，單層膜與無膜層的效果一樣nh=(m+1/2)

/2時單層膜增反或增透效果最為明顯，最簡單的選擇是m=0，nh=

/4nh=

/4時，n<nG為增透膜，n>nG為增反膜

nh=

/4時，增透膜和增反膜的極值反射率表達式同為正入射和斜入射時的上下界面反射系數(shù)正入射斜入射s波以nicos

i、p波以ni/cos

i代替ni，正入射式子可用于斜入射正入射單層膜R公式用于斜入射計算在前面導出的正入射單層膜反射率公式中，將s波以nicos

i、p波以ni/cos

i代替ni(ni=n0,n,nG)，該正入射公式可用于斜入射計算單層增透膜R(

,

)n0＝1，n＝1.38，nG＝1.5，

0＝550nm的

/4厚度單層增透膜，在入射角分別為0

、30

、40

、50

、60

情況下，s波反射率R與波長

的關系曲線多層膜的必要性對增透膜受限于材料折射率，單層膜的增透量和范圍常常不能滿足要求，需要增加膜層數(shù)量對增反膜單層膜的折射率越高，R越大。實際材料的折射率總是有限的，若要更高的反射率，就必須采用多層膜多層膜的等效膜層分析法從與基片相鄰的第K層開始，把第K—1層到第1層看成一個整體

，基片、第K層和

構成一個單層膜，套用單層膜反射系數(shù)公式，得到這層膜的反射系數(shù)

……h(huán)KnK+1rm+1rmrm-1r2r1h1hm-1hmnm-1nmn1n0

0

1

m-1

m12m-1mm+1K+1……rK+1nKnm+1nm-2n2KrK1m-1mK0界面層K+1然后，把第K—2層到第1層看成一個整體

，基片+第K層、第K—1層和

構成一個單層膜，其反射系數(shù)為重復此過程，直到與空氣相鄰的第一層，最終得到整個膜系的反射系數(shù)多層膜的等效折射率分析法條件正入射、各層膜光學厚度皆為

/4分析若令

/4膜厚的單層膜有等效折射率則該單層膜的反射率為這正是單界面的反射率公式。提示：由等效折射率把單層膜看成一個等效界面等效折射率法分析步驟從膜系的最底層開始，把基片與第K層看成一個整體，其等效折射率為

把第K－1層以下看成一個整體，其等效折射率為

如此重復，直至把空氣以下看成一個整體，其等效折射率為

反射率為

s波的薄膜矩陣分析

符號規(guī)定

以第m界面（第m－1介質和第m介質的交界面）為例

上標‘＋’表示傳播方向的垂直分量向下，上標‘－’表示傳播方向的垂直分量向上

下標形如‘l/m’，其中，‘/’前面的符號是電磁量所在介質的序號，‘/’后面的符號是相鄰介質的序號k+m+1E-m/m＋1E-m+1/mH+m-1/mnm-1nmE+m-1/mk+m-1H-m-1/mE-m-1/mk-m-1H+m/m-1E+m/m-1k+mH-m/m-1E-m/m-1k-m

m-1

mH+m/m+1E+m/m+1k+mH-m/m+1k-mnm+1mm+1hmH+m+1/mE+m+1/mH-m+1/mk-m+1

m

m+1按照邊值關系，第m界面的電磁場應滿足

對非磁性物質Hm方程變?yōu)榈趍界面的電磁場變?yōu)轭愃频兀趍+1界面的電磁場為第m膜層中第m界面和第m+1界面的場量之間有關系

mmm+1hmnm波面I波面IIkm把兩界面場量關系代入m+1界面的場量方程，得解出把剛得到的結果代入m界面的場量方程，得寫成矩陣形式Mm稱為第m層膜的特征矩陣，它把第m層膜上下表面的電磁場聯(lián)系在一起，并包含了第m層膜的所有特征參數(shù)，且有m11=m22，m11

m22

m12

m21=1

假設共有K+1個界面、K層薄膜，逐層運用上式，第1面和第K+1界面電磁場之間的關系為

M是整個膜系的特征矩陣。將界面上下場量代入，得

因為K+1/K界面沒有向上傳播的光波，所以將表中各項代入上式，得膜系終端場量關系項目意義空氣

EiErEt0由矩陣法得到的反、折射系數(shù)解前面的聯(lián)立方程，得膜系的反、折射系數(shù)p波的薄膜矩陣分析p波的分析與s波類似只需將換成前面關于s波的結論就可用于p波。

m稱為第m層膜的光學導納例3.7一個高反膜鍍于基片（G）上，置于空氣（A）中，高折射率（H）膜層和低折射率（L）膜層交替，各層膜的光學厚度均為

0/4，共有p個高、低折射率周期，膜系可表示為G(HL)pHA求正入射下此高反膜的反射率解例3.7

0/4膜的

m=

/2，一個周期HL的特征矩陣為P個周期的特征矩陣是高反膜系的特征矩陣為將特征矩陣的各元素代入下式利用R=|r|2，最終有得到反射系數(shù)對稱薄膜

若薄膜中存在一個與膜面平行的平面，平面兩側的膜層以該平面為中心對稱，這個薄膜是對稱薄膜兩種材料的折射率分別為na，nb，幾何厚度分別為ha和hb，按aba或bab組成單元，重復排列仍對稱b……h(huán)bhbbahab按矩陣法，第m膜層的特征矩陣是

其中，相位厚度和折射率（或光學導納）是一個bab單元的特征矩陣是

一個bab單元的特征矩陣保持了單層膜的特點

m11=m22，m11m22

m12m21=1

于是，bab單元可視為單層膜，其特征矩陣為

式中，

和

分別是單元bab的等效單層膜的相位厚度和光學導納設對稱膜是該單元的N次重復排列而成，總特征矩陣是

此矩陣也滿足M11=M22，M11M22

M12M21=1。即，整個對稱膜等效于單層膜，其特征矩陣為

’和

’分別是等效單層膜的相位厚度和光學導納

多層對稱膜與單元膜層的特征矩陣有如下關系這說明，多層對稱膜的等效相位厚度

’是單元膜等效相位厚度

的N倍，兩種膜的等效折射率或光學導納

’和

保持不變

多層對稱膜的特點只需計算單元膜參數(shù)，就能推知N為任意值的對稱膜性質|M11|>1時

’是復數(shù)，這種光波不能存在于薄膜之中，故|M11|>1的光波，薄膜是帶阻濾波器|M11|<1的光波，薄膜是帶通濾波器

|M11|=1對應通帶和禁帶的交界線薄膜的應用

雙層增透膜若每層膜的光學厚度nh均為

/4，各層折射率關系滿足透射效果最好，反射率與波長的關系曲線呈V形

擴大雙層增透膜的工作波長范圍為在較大波長范圍內有較低的R，可令n1h1＝

/4，n2h2＝

/2反射率與波長的關系曲線呈W形多層增反膜所有膜層光學厚度均為

/4，可用符號GHLHL…LHA=G(HL)pHA代表這個膜系的2p+1層膜GAHL用雙光束干涉理解多層反射膜膜系中的每一層膜，相鄰膜層的折射率都大于或小于本層膜的折射率，因此，上下界面反射的光束有半波損失每層膜光學厚度

/4，引起半波長的光程差兩者之和為一個波長，即每層膜的上下界面反射光束相長干涉，反射光得到增強膜層數(shù)越多，反射增強效果越明顯

冷光膜具備把紅外光和可見光分開能力的膜系稱冷光膜結構為G(HL)14H1L2(HL)34H3A，下標1,2,3分別表示

1＝650nm，

2＝565nm，

3＝480nm三個控制波長彩色分光膜把紅、綠、藍三原色光空間分開的膜系稱彩色分光膜將

/8光學厚度的膜層記為0.5，則設計波長

＝420nm的膜系G0.5HL(HL)60.5HA可反藍透紅

干涉濾光片從白光中濾出準單色光的膜系是干涉濾光片是一種間隔很小的FP標準具能濾出準單色光正是由于平行平板的多光束干涉GG’高反膜系高反膜系間隔層平面波導平面波導的主要功能是在薄膜內傳播光波折射率關系為n1<n2>n3，折射率為n2的薄膜就是光波傳播所在的空間n1n2n3h光波在波導內傳播的條件平面波與界面所夾角度

大于等于全反射臨界角在x方向上往返一次相位差

為2

整數(shù)倍。模式方程n1n2n3h

xzkxkzkkz-kxk導波的模式和階數(shù)模式方程說明，整數(shù)m與cos

一一對應，cos

只能取一系列分立值，構成導波的分立模式m稱為導波模式的階數(shù)電矢量垂直于入射面的s波叫做橫電（TE）波，電矢量平行于入射面的p波叫做橫磁（TM）波階數(shù)為m的TE波記為TEm，階數(shù)為m的TM波記為TMm，m=0的模式稱基模臨界全反射時的模式方程設n3>n1，

c1<

c2設TE模式下界面恰好處于全反射臨界狀態(tài)，上界面已經超越了臨界狀態(tài)下界面

2＝0，上界面反射光位相差為模式方程變成截止波長解臨界狀態(tài)模式方程，得到m階模的截止波長由模式方程知，對特定模式m，

越長，

越小；而對(

c)m而言，下界面是全反射臨界狀態(tài)，

再小，全反射條件不滿足，下界面就會出現(xiàn)透射損耗。因此，(

c)m是m階模所能傳輸?shù)淖铋L波長單模傳輸m越大，(

c)m越小基模（m＝0）的截止波長要大于其它模式的截止波長如果

小于幾個模式的截止波長，波導中會發(fā)生這幾個模式的多模傳輸如果波長

小于基模截止波長，但大于其它模式的截止波長，波導中會發(fā)生只有基模的單模傳輸

(c)0(c)1(c)2(c)3單模多模模式數(shù)對于對稱波導（n1=n3），基模的截止波長(

c)0

，即對稱波導的基模沒有截止波長，任何波長都能傳輸模式數(shù)m可用模式方程計算光子晶體介質的折射率發(fā)生周期性變化，周期在光波長數(shù)量級，就形成光子晶體光子晶體的周期結構產生周期性勢場，在此勢場中，有些模式的光子可以存在，相應的能量范圍稱為通帶；有些模式不能存在，稱為禁帶改變光子晶體的折射率差和晶格幾何結構，能改變光子禁帶的形狀和范圍，控制光波的傳播光子晶體的類型按周期性的取向數(shù)量，光子晶體有一維、二維和三維之分。本教材僅分析一維光子晶體一維二維三維一維光子晶體等同于薄膜一維：折射率沿z方向分布的周期為

，在x和y方向折射率不變薄膜是光子晶體的特例(m-2)

x第m-1單元第m單元m

m

+b(m-1)

+b(m-1)

(m-2)

+b……n2n1ab

z例3.8玻璃基片折射率ng＝1.6，中心波長

0＝550nm，膜