北京市海淀區(qū)交大附中2023-2024學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

北京市海淀區(qū)交大附中2023-2024學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的2人都是女同學(xué)的概率為A． B． C． D．2．中，，則（）A． B． C．或 D．3．已知函數(shù)若關(guān)于的方程恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為A． B． C． D．4．設(shè)變量滿(mǎn)足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．25．如圖所示，墻上掛有邊長(zhǎng)為a的正方形木板，它的四個(gè)角的空白部分都是以正方形的頂點(diǎn)為圓心，半徑為的圓弧，某人向此板投鏢，假設(shè)每次都能擊中木板，且擊中木板上每個(gè)點(diǎn)的可能性都一樣，則它擊中陰影部分的概率是（）A． B． C． D．與a的值有關(guān)聯(lián)6．設(shè)等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則（）A． B． C． D．7．若直線kx+(1-k)y-3=0和直線(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直，則k=()A．-3或-1 B．3或1 C．-3或1 D．-1或38．在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，則的面積為（）A． B．4 C． D．89．若，直線的傾斜角等于（）A． B． C． D．10．已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，．若，則的取值集合為（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，，，，則的面積是__________.12．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是______.13．計(jì)算：______．14．若2弧度的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為4cm，則這個(gè)圓心角所夾的扇形的面積是______．15．設(shè)的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，.已知，，如果解此三角形有且只有兩個(gè)解，則的取值范圍是_____．16．在中，為上的一點(diǎn)，且，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線，是直線上的動(dòng)點(diǎn)，，則_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求角；（2）若，，求的值.18．已知，，其中，，且函數(shù)在處取得最大值.（1）求的最小值，并求出此時(shí)函數(shù)的解析式和最小正周期；（2）在(1)的條件下，先將的圖像上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位，再把所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，然后將所得圖像上所有的點(diǎn)向下平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖像.若在區(qū)間上，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）在(1)的條件下，已知點(diǎn)P是函數(shù)圖像上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q為函數(shù)圖像上的一點(diǎn)，點(diǎn)，且滿(mǎn)足，求的解集.19．設(shè)向量，，其中，，且．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，且，求的值．20．已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，然后再向右平移()個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)．求的最小值21．如圖，四棱錐中，底面，，，點(diǎn)在線段上，且.（1）求證：平面；（2）若，，，求四棱錐的體積；

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】分析：分別求出事件“2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選2人參加社區(qū)服務(wù)”的總可能及事件“選中的2人都是女同學(xué)”的總可能，代入概率公式可求得概率.詳解：設(shè)2名男同學(xué)為，3名女同學(xué)為，從以上5名同學(xué)中任選2人總共有共10種可能，選中的2人都是女同學(xué)的情況共有共三種可能則選中的2人都是女同學(xué)的概率為，故選D.點(diǎn)睛：應(yīng)用古典概型求某事件的步驟：第一步，判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出事件；第二步，分別求出基本事件的總數(shù)與所求事件中所包含的基本事件個(gè)數(shù)；第三步，利用公式求出事件的概率.2、A【解析】

根據(jù)正弦定理，可得，然后根據(jù)大邊對(duì)大角，可得結(jié)果..【詳解】由，所以由，所以故，所以故選：A【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.3、D【解析】

畫(huà)出圖象及直線，借助圖象分析．【詳解】如圖，當(dāng)直線位于點(diǎn)及其上方且位于點(diǎn)及其下方，或者直線與曲線相切在第一象限時(shí)符合要求．即，即，或者，得，，即，得，所以的取值范圍是．故選D．【點(diǎn)睛】根據(jù)方程實(shí)根個(gè)數(shù)確定參數(shù)范圍，常把其轉(zhuǎn)化為曲線交點(diǎn)個(gè)數(shù)，特別是其中一條為直線時(shí)常用此法．4、B【解析】

根據(jù)不等式組畫(huà)出可行域，數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題.【詳解】不等式組確定的可行域如下圖所示：因?yàn)榭苫?jiǎn)為與直線平行，且其在軸的截距與成正比關(guān)系，故當(dāng)且僅當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)和的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)可得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查常規(guī)線性規(guī)劃問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題，注意數(shù)形結(jié)合即可.5、C【解析】試題分析：本題考查幾何概型問(wèn)題，擊中陰影部分的概率為．考點(diǎn)：幾何概型，圓的面積公式．6、C【解析】

利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式表示出,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式表示出，計(jì)算即可得出答案?！驹斀狻恳?yàn)椋怨蔬xC【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題。7、C【解析】

直接利用兩直線垂直的充要條件列方程求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€kx+(1-k)y-3=0和直線(k-1)x+(2k+3)y-2=0互相垂直，所以k(k-1)+(1-k)(2k+3)=0，解方程可得k=1或k=-3，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與直線垂直的充要條件，屬于基礎(chǔ)題.對(duì)直線位置關(guān)系的考查是熱點(diǎn)命題方向之一，這類(lèi)問(wèn)題以簡(jiǎn)單題為主，主要考查兩直線垂直與兩直線平行兩種特殊關(guān)系：在斜率存在的前提下，（1）l1||l2?k18、B【解析】

求出直線AB的方程及點(diǎn)C到直線AB的距離d，再求出，代入即可得解.【詳解】，即，點(diǎn)到直線的距離，，的面積為：.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查直線的點(diǎn)斜式方程，點(diǎn)到直線的距離與兩點(diǎn)之間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

根據(jù)以及可求出直線的傾斜角.【詳解】，，且直線的斜率為，因此，直線的傾斜角為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查直線傾斜角的計(jì)算，要熟悉斜率與傾斜角之間的關(guān)系，還要根據(jù)傾斜角的取值范圍來(lái)求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

首先根據(jù)即可得出，再根據(jù)前n項(xiàng)的公式計(jì)算出即可。【詳解】，選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于難題.等差數(shù)列的常用性質(zhì)有：（1）通項(xiàng)公式的推廣：

（2）若

為等差數(shù)列，

；（3）若是等差數(shù)列，公差為，

，則是公差

的等差數(shù)列；二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

計(jì)算，等腰三角形計(jì)算面積，作底邊上的高，計(jì)算得到答案.【詳解】，過(guò)C作于D，則故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題.12、【解析】

時(shí),,利用時(shí),可得,最后驗(yàn)證是否滿(mǎn)足上式,不滿(mǎn)足時(shí)候,要寫(xiě)成分段函數(shù)的形式.【詳解】當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),=,又時(shí),不適合,所以.【點(diǎn)睛】本題考查了由求,注意使用求時(shí)的條件是,所以求出后還要驗(yàn)證適不適合,如果適合,要將兩種情況合成一種情況作答,如果不適合,要用分段函數(shù)的形式作答.屬于中檔題.13、【解析】

在分式的分子和分母中同時(shí)除以，然后利用常見(jiàn)的數(shù)列極限可計(jì)算出所求極限值.【詳解】.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列極限的計(jì)算，熟悉一些常見(jiàn)數(shù)列極限是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

先求出扇形的半徑，再求這個(gè)圓心角所夾的扇形的面積.【詳解】設(shè)扇形的半徑為R,由題得.所以扇形的面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查扇形的半徑和面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.15、【解析】

由余弦定理寫(xiě)出c與x的等式，再由有兩個(gè)正解，解出x的取值范圍【詳解】根據(jù)余弦定理：代入數(shù)據(jù)并整理有，有且僅有兩個(gè)解，記為則：【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理以及韋達(dá)定理，屬于中檔題．16、【解析】

用表示出,由對(duì)應(yīng)相等即可得出．【詳解】因?yàn)?，所以解得得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的基本定理，以及向量的三角形法則，平面上任意不共線的一組向量可以作為一組基底．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2），【解析】

（1）由正弦定理可得，求得，即可解得角；（2）由余弦定理，列出方程，即可求解.【詳解】（1）由題意知，由正弦定理可得，因?yàn)?，則，所以，即，又由，所以.（2）由（1）知和，，由余弦定理，即，即，解得，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，其中解答中熟記三角形的正弦、余弦定理，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的掛念，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）的最小值為1，，，（2）（3）原不等式的解集為【解析】

（1）先將化成正弦型，然后利用在處取得最大值求出，然后即可得到的解析式和周期（2）先根據(jù)圖象的變換得到，然后畫(huà)出在區(qū)間上的圖象，條件轉(zhuǎn)化為的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)即可（3）利用坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系式，求出的函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用三角不等式的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】（1）因?yàn)?，所以因?yàn)樵谔幦〉米畲笾?所以，即當(dāng)時(shí)的最小值為1此時(shí)，（2）將的圖像上的所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位得到的函數(shù)為，再把所得圖像上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)得到的函數(shù)為，然后將所得圖像上所有的點(diǎn)向下平移個(gè)單位，得到函數(shù)在區(qū)間上的圖象為：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根等價(jià)于的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn)所以，解得（3）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)，且滿(mǎn)足所以，所以因?yàn)辄c(diǎn)為函數(shù)圖像上的一點(diǎn)所以即因?yàn)?，所以所以所以所以原不等式的解集為【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用，三角不等式的解法及應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于中檔題．19、（1）（2）【解析】

（1）利用向量模的坐標(biāo)求法可得，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.（2）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示以及兩角差的余弦公式的逆應(yīng)用可得，進(jìn)而求出，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解.【詳解】（1）由知所以．又因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，所以．又因?yàn)?，所以．?）由（1）知．由，得，即．因?yàn)?，所以，所以．所以，因此．【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、兩角差的余弦公式以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.20、(1)，，．（2）.【解析】

(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式，二倍角公式，輔助角公式把化為的形式，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解；(2)先根據(jù)變換關(guān)系得到函數(shù)解析式，所得函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則時(shí)，.【詳解】(1)當(dāng)即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，然后再向右平移()個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)為，若圖象關(guān)