吉林省長(zhǎng)春市綜合實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

吉林省長(zhǎng)春市綜合實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，則一定是（）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形2．在中，已知，且滿足，則的面積為（）A．1 B．2 C． D．3．若，，與的夾角為，則的值是（）A． B． C． D．4．已知等比數(shù)列{an}中，a3?a13＝20，a6＝4，則a10的值是（）A．16 B．14 C．6 D．55．總體由編號(hào)為01，02，…，60的60個(gè)個(gè)體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第8列和第9列數(shù)字開(kāi)始由左至右選取兩個(gè)數(shù)字，則選出的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為()5044664429670658036980342718836146422391674325745883110330208353122847736305A．42 B．36 C．22 D．146．一個(gè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬分別為5，4，且該長(zhǎng)方體的外接球的表面積為，則該長(zhǎng)方體的表面積為（）A．47 B．60 C．94 D．1987．已知如圖正方體中，為棱上異于其中點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，設(shè)直線為平面與平面的交線，以下關(guān)系中正確的是（）A． B．C．平面 D．平面8．下列向量組中，能作為表示它們所在平面內(nèi)的所有向量的基底的是（）A．， B．，C．， D．，9．以橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為直徑的端點(diǎn)的圓與橢圓交于四個(gè)不同的點(diǎn),順次連接這四個(gè)點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)恰好組成一個(gè)正六邊形,那么這個(gè)橢圓的離心率為（）A． B． C． D．10．已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，其拋物線在軸上截得線段長(zhǎng)依次為，則的值是A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，已知，，，則角__________．12．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，若直線上存在點(diǎn)使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．13．在區(qū)間上，與角終邊相同的角為_(kāi)_________．14．已知，則的最小值是_______.15．函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)_________．16．過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則=.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為12，過(guò)F1的直線l（1）求橢圓C的方程；（2）若直線y＝kx＋b與橢圓C分別交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，試問(wèn)點(diǎn)O到直線AB的距離是否為定值，證明你的結(jié)論．18．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽（1）求的取值范圍；（2）若函數(shù)的最小值為，解關(guān)于的不等式。19．正四棱錐S－ABCD的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為x.（1）求出其表面積S（x）和體積V（x）；（2）設(shè)，求出函數(shù)的定義域，并判斷其單調(diào)性（無(wú)需證明）.20．智能手機(jī)的出現(xiàn)，改變了我們的生活,同時(shí)也占用了我們大量的學(xué)習(xí)時(shí)間.某市教育機(jī)構(gòu)從名手機(jī)使用者中隨機(jī)抽取名，得到每天使用手機(jī)時(shí)間(單位：分鐘)的頻率分布直方圖(如圖所示),其分組是:，.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這名手機(jī)使用者中使用時(shí)間的中位數(shù)是多少分鐘?(精確到整數(shù))（2）估計(jì)手機(jī)使用者平均每天使用手機(jī)多少分鐘?(同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表)（3）在抽取的名手機(jī)使用者中在和中按比例分別抽取人和人組成研究小組，然后再?gòu)难芯啃〗M中選出名組長(zhǎng).求這名組長(zhǎng)分別選自和的概率是多少？21．如圖為某區(qū)域部分交通線路圖，其中直線，直線l與、、都垂直，垂足分別是點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C（高速線右側(cè)邊緣），直線與、與的距離分別為1米、2千米，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在直線和上，滿足，記.（1）若，求AM的長(zhǎng)度；（2）記的面積為，求的表達(dá)式，并問(wèn)為何值時(shí)，有最小值，并求出最小值；（3）求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

利用余弦定理、等邊三角形的判定方法即可得出．【詳解】由余弦定理得，則，即，所以.∵∴是等邊三角形.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了余弦定理、等邊三角形的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，熟練掌握余弦定理是解答本題的關(guān)鍵．2、D【解析】

根據(jù)正弦定理先進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)余弦定理求出C的大小，結(jié)合三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】在中，已知，∴由正弦定理得，即，∴＝＝，即＝.∵，∴的面積．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形面積的計(jì)算，結(jié)合正弦定理余弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題．3、C【解析】

由題意可得||?||?cos，，再利用二倍角公式求得結(jié)果．【詳解】由題意可得||?||?cos，2sin15°4cos15°cos30°＝2sin60°，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，二倍角公式的應(yīng)用屬于基礎(chǔ)題．4、D【解析】

用等比數(shù)列的性質(zhì)求解．【詳解】∵是等比數(shù)列，∴，∴．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)可以很快速地求解等比數(shù)列的問(wèn)題．在等比數(shù)列中，正整數(shù)滿足，則，特別地若，則．5、C【解析】

通過(guò)隨機(jī)數(shù)表的相關(guān)運(yùn)算即可得到答案.【詳解】隨機(jī)數(shù)表第1行的第8列和第9列數(shù)字為42，由左至右選取兩個(gè)數(shù)字依次為42，36，03，14，22，選出的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為22，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)數(shù)法，按照規(guī)則進(jìn)行即可，難度較小.6、C【解析】

根據(jù)球的表面積公式求得半徑，利用等于體對(duì)角線長(zhǎng)度的一半可構(gòu)造方程求出長(zhǎng)方體的高，進(jìn)而根據(jù)長(zhǎng)方體表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體高為，外接球半徑為，則，解得：長(zhǎng)方體外接球半徑為其體對(duì)角線長(zhǎng)度的一半解得：長(zhǎng)方體表面積本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查與外接球有關(guān)的長(zhǎng)方體的表面積的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠明確長(zhǎng)方體的外接球半徑為其體對(duì)角線長(zhǎng)度的一半，從而構(gòu)造方程求出所需的棱長(zhǎng).7、C【解析】

根據(jù)正方體性質(zhì)，以及線面平行、垂直的判定以及性質(zhì)定理即可判斷.【詳解】因?yàn)樵谡襟w中，，且平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，且平面平面，所以有，而，則與不平行，故選項(xiàng)不正確；若，則，顯然與不垂直，矛盾，故選項(xiàng)不正確；若平面，則平面，顯然與正方體的性質(zhì)矛盾，故不正確；而因?yàn)槠矫?，平面，所以有平面，所以選項(xiàng)C正確，.【點(diǎn)睛】本題考查了線線、線面平行與垂直的關(guān)系判斷，屬于中檔題.8、B【解析】

以作為基底的向量需要是不共線的向量，可以從向量的坐標(biāo)發(fā)現(xiàn)，，選項(xiàng)中的兩個(gè)向量均共線，得到正確結(jié)果是．【詳解】解：可以作為基底的向量需要是不共線的向量，中一個(gè)向量是零向量，兩個(gè)向量共線，不合要求中兩個(gè)向量是，，則故與不共線，故正確；中兩個(gè)向量是，兩個(gè)向量共線，項(xiàng)中的兩個(gè)向量是，兩個(gè)向量共線，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查平面中兩向量的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】

四個(gè)交點(diǎn)中的任何一個(gè)到焦點(diǎn)的距離和都是，然后分析正六邊形中的長(zhǎng)度和焦距的關(guān)系，從而建立等式求解.【詳解】設(shè)橢圓的焦點(diǎn)是，圓與橢圓的四個(gè)交點(diǎn)是,設(shè)，，，，.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義和橢圓的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題型10、A【解析】

當(dāng)時(shí)，，運(yùn)用韋達(dá)定理得，運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和可得由此能求出【詳解】當(dāng)時(shí)，，由，可得，，由，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的極限的運(yùn)算，裂項(xiàng)相消求和，根與系數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

先由正弦定理得到角A的大小，再由三角形內(nèi)角和為得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)三角形正弦定理得到：，故得到或，因?yàn)楣实玫焦蚀鸢笧?【點(diǎn)睛】在解與三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，正弦定理、余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù).解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷一般來(lái)說(shuō),當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn)及、時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.12、.【解析】

設(shè)由，求出點(diǎn)軌跡方程，可判斷其軌跡為圓，點(diǎn)又在直線，轉(zhuǎn)化為直線與圓有公共點(diǎn)，只需圓心到直線的距離小于半徑，得到關(guān)于的不等式，求解，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)，，，，整理得，又點(diǎn)在直線，直線與圓共公共點(diǎn)，圓心到直線的距離，即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查求曲線的軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.13、【解析】

根據(jù)與終邊相同的角可以表示為這一方法，即可得出結(jié)論．【詳解】因?yàn)椋耘c角終邊相同的角為.【點(diǎn)睛】本題考查終邊相同的角的表示方法，考查對(duì)基本概念以及基本知識(shí)的熟練程度，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是簡(jiǎn)單題．14、3【解析】

根據(jù)，將所求等式化為，由基本不等式，當(dāng)a=b時(shí)取到最小，可得最小值。【詳解】因?yàn)?，所以，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式，解題關(guān)鍵是構(gòu)造不等式，并且要注意取最小值時(shí)等號(hào)能否成立。15、【解析】

本題首先可通過(guò)三角恒等變換將函數(shù)化簡(jiǎn)為，然后根據(jù)的取值范圍即可得出函數(shù)的值域．【詳解】因?yàn)椋?【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)三角恒等變換以及三角函數(shù)性質(zhì)求值域，考查二倍角公式以及兩角和的正弦公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．16、【解析】

如圖，連接，在直角三角形中，所以，，，故.考點(diǎn)：1.直線與圓的位置關(guān)系；2.平面向量的數(shù)量積.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）x2【解析】

(1)根據(jù)三角形周長(zhǎng)為1，結(jié)合橢圓的定義可知，4a=8，利用e=ca=1-b2a2=12，即可求得a和b的值,求得橢圓方程；(2)分類討論，當(dāng)直線斜率斜存在時(shí),聯(lián)立y=kx+b【詳解】（1）由題意知，4a=1，則a=2，由橢圓離心率e=ca=∴橢圓C的方程x2（2）由題意，當(dāng)直線AB的斜率不存在，此時(shí)可設(shè)A（x3，x3），B（x3，-x3）．又A，B兩點(diǎn)在橢圓C上，∴x0∴點(diǎn)O到直線AB的距離d=12當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+b．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）聯(lián)立方程y=kx+bx24+y23由已知△＞3，x1+x2=-8kb3+4k2，x1x由OA⊥OB，則x1x2+y1y2=3，即x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=3，整理得：（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=3，∴(k∴7b2=12（k2+1），滿足△＞3．∴點(diǎn)O到直線AB的距離d=b綜上可知：點(diǎn)O到直線AB的距離d=221【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、圓錐曲線的定值問(wèn)題以及點(diǎn)到直線的距離公式，屬于難題.探索圓錐曲線的定值問(wèn)題常見(jiàn)方法有兩種：①?gòu)奶厥馊胧?，先根?jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.18、（1）；（2）【解析】

（1）由的定義域?yàn)榭芍?，，恒成立，即可求出的范?（2）結(jié)合的范圍，運(yùn)用配方法，即可求出的值，進(jìn)而求解不等式.【詳解】（1）由已知可得對(duì)，恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立。當(dāng)時(shí)，則有，解得，綜上可知，的取值范圍是[0，1]（2）由（1）可知的取值范圍是[0，1]顯然，當(dāng)時(shí)，，不符合.所以，，，由題意得，，，可化為，解得，不等式的解集為。【點(diǎn)睛】主要考查了一元二次不等式在上恒成立求參數(shù)范圍，配方法以及一元二次不等式求解問(wèn)題，屬于中檔題.對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立的條件是；而任意實(shí)數(shù)恒成立的條件是.19、（1），；（2）x>，是減函數(shù).【解析】

（1）畫(huà)出圖形，分別求出四棱錐的高，及側(cè)面的高的表達(dá)式，即可求出表面積與體積的表達(dá)式；（2）結(jié)合表達(dá)式，可求出的范圍，即定義域，然后判斷其為減函數(shù).【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)闉檎睦忮F，所以，，，，所以四棱錐的表面積為，體積.（2），解得，是減函數(shù).【點(diǎn)睛】本題考查了四棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了表面積與體積的計(jì)算，考查了學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.20、(1)分鐘.(2)58分鐘；(3)【解析】

（1）根據(jù)中位數(shù)將頻率二等分可直接求得結(jié)果；（2）每組數(shù)據(jù)中間值與對(duì)應(yīng)小矩形的面積乘積的總和即為平均數(shù)；（3）采用列舉法分別列出所有基本事件和符合題意的基本事件，根據(jù)古典概型概率公式求得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)中位數(shù)為，則解得：（分鐘）這名手機(jī)使用者中使用時(shí)間的中位數(shù)是分鐘（2）平均每天使用手機(jī)時(shí)間為：（分鐘）即手機(jī)使用者平均每天使用手機(jī)時(shí)間為分鐘（3）設(shè)在內(nèi)抽取的兩人分別為，在內(nèi)抽取的三人分別為，則從五人中選出兩人共有以下種情況：兩名組長(zhǎng)分別選自和的共有以下種情況：所求概率【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)頻率分