八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末壓軸100題：第十二章20題（含答案）

八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末壓軸100題：第十二章20題

1.在RSA8C中，ZB=90°,AO平分N8AC,交BC于點(diǎn)D,DELAC,垂足為點(diǎn)E,

若80=3,則。E的長(zhǎng)為（）

C.2D.6

2.如圖是兩個(gè)全等三角形，圖中的字母表示三角形的邊長(zhǎng)，則N1的度數(shù)是（）

D.96°

3.根據(jù)下列已知條件，能確定△ABC的形狀和大小的是（）

A.NA=50°,ZB=60°,NC=70°B.NA=50°,ZB=50°,AB=5cm

C.AB=5cm,AC=4cm,ZB=30°D.A8=6cm,8c=4cm,ZA=30°

4.如圖，己知/48C,小彬借助一把沒(méi)有亥I度且等寬的直尺，按如圖的方法畫出了/A8C

的平分線BP.他這樣做的依據(jù)是（）

A.在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上

B.角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等

C.三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三條邊的距離相等

D.測(cè)量垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的距離相等

5.如圖，在中，ZC=90°,以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交4C,

A3于點(diǎn)M,N,再分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,

作射線AP交BC于點(diǎn)￡),若C￡>=3,AB=10,則△ABO的面積為().

A.10B.15C.20D.30

6.如圖，點(diǎn)尸是NAOB平分線OC上的一點(diǎn)，PDVOB,垂足為D,若P￡>=3,則點(diǎn)尸

到邊。4的距離是()

A.￡B.3C.5D.4

7.如圖，已知/4BC=/￡>C8,則需添加的一個(gè)條件是可使VACB/VDBC.(只

寫一個(gè)即可，不添加輔助線).

8.(1)如圖1,在三角形A6c中，8平分ZACB,點(diǎn)E在邊AC上，Zl=Z2,試說(shuō)

明。E與BC的位置關(guān)系，并予以證明；

(2)如圖2,在(1)的條件下，若NCBD=NCDB,NCDE的平分線交AC于點(diǎn)尸，連

接8F.求證：ZDBF+ZDFB=90°；

(3)如圖3,在前面的條件下，若NA8的平分線與AB、。廠分別交于G、H兩點(diǎn)，

且N8GC=54。，求ZACB的度數(shù).

A

9.角平分線的探究

（教材再現(xiàn)）

蘇科版八上尸25頁(yè)介紹了用尺規(guī)作圖作角平分線，作法如下：

①如圖1,以0為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交射線04、0B于點(diǎn)C、D.

②分別以點(diǎn)C、。為圓心，大于gCD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在/A0B內(nèi)部交于點(diǎn)M.

③作射線0M.則射線0M為NA0B的平分線.

（1）用尺規(guī)作圖作/4。8的平分線原理是證明兩個(gè)三角形全等，那么證明三角形全等

依據(jù)是—.

（數(shù)學(xué)思考）

在學(xué)習(xí)了這個(gè)尺規(guī)作圖作角的平分線后，小亮同學(xué)研究了下面的方法畫角的平分線（如

圖2）：

①在NA0B的兩邊04、0B上分別截取0C=0￡>.

②過(guò)C作“，03,垂足為E.過(guò)。作。FJ_0A,垂足為F.CE、DF交于點(diǎn)M.

③作射線0M.

（2）請(qǐng)畫出圖形，并證明0M平分NA0B.

（問(wèn)題解決）

（3）已知：如圖3,四邊形ABCD中，ZABC+ZD=\S0°,AC平分/BA。，CELAB

10.（問(wèn)題）在四邊形ABC。中，AB=AD,ZBAD=120°,/A￡>C=90。，E、F

分別是8C、C。上的點(diǎn)，且ZE4尸=60。，試探究圖1中線段BE、EF、尸。之間的數(shù)量

關(guān)系.

（1）（探索）有同學(xué)認(rèn)為:延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連接AG,先證明△ABE絲△AOG,

再證明△AEFg/\AGF,則可得至I」BE、EF、F。之間的數(shù)量關(guān)系是.

（2）（延伸）在四邊形ABC3中如圖2,AB=AD,ZS+ZD=180°,E、/分別是BC、

CD上的點(diǎn)，ZEAF^^ZBAD,上述結(jié)論是否仍然成立？說(shuō)明理由.

（3）（構(gòu)造運(yùn)用）如圖3,在某次搜救行動(dòng)中，甲艇在指揮中心（。處）北偏西30。的A

處，乙艇在。點(diǎn)的南偏東70。的8處，且AO=3O,接到行動(dòng)指令后，甲艇向正東方向

以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，乙艇沿北偏東50。的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)1.5小

時(shí)后，甲、乙兩艇分別到達(dá)E,尸處，NEOF=70°,試求此時(shí)甲、乙兩艇之間的距離.

11.在中，AB=BC,N5=90。，點(diǎn)。為直線8c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與3、C重

合），連結(jié)AD,將線段AD繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,使點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)E,連結(jié)EC.

（1）如果點(diǎn)O在線段BC上運(yùn)動(dòng)，如圖1：求證：ZBAD=ZEDC

（2）如果點(diǎn)。在線段上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)寫出AC與CE的位置關(guān)系.通過(guò)觀察、交流，小

明形成了以下的解題思路：過(guò)點(diǎn)E作EFL8c交直線BC于凡如圖2所示，通過(guò)證明

ADEFqAABD,可推證ACEF等腰直角三角形，從而得出AC與CE的位置關(guān)系，請(qǐng)

你寫出證明過(guò)程.

（3）如果點(diǎn)。在線段CB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，利用圖3畫圖分析，（2）中的結(jié)論是否仍

然成若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

12.如圖，AB〃S,點(diǎn)E是直線A3和直線CO之間動(dòng)點(diǎn).

(1)圖1中，試說(shuō)明：ZAEC=ZBAE+^DCE.

(2)圖2中，當(dāng)㈤￡的角平分線與/ECO的角平分線交于點(diǎn)F,請(qǐng)直接寫出NAEC與

NAFC的數(shù)量關(guān)系.

(3)圖3中，當(dāng)點(diǎn)E在線段上AC,場(chǎng)的鄰補(bǔ)角平分線與/ECO的鄰補(bǔ)角平分線

交于點(diǎn)立試判斷A尸與CF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

(4)圖4中，若Nfi4￡的鄰補(bǔ)角平分線與NECO的鄰補(bǔ)角平分線交于點(diǎn)F,寫出NAEC

與4FC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

13.(1)如圖1,NA的兩條邊為AB和AC,的兩條邊為。E和。F,AB//DE,AC

//DF,猜想/A與/。的數(shù)量關(guān)系，試證明你的猜想.

(2)如圖2,乙4的兩條邊為AB和AC,的兩條邊為OE和OF,ABI/DE,AC!I

DF,猜想N4與ND的數(shù)量關(guān)系，試證明你的猜想.

(3)如果兩個(gè)角的兩條邊分別平行，那么它們的角平分線是何位置關(guān)系？試證明你的

猜想.

14.如圖1,ZABC=90°,于點(diǎn)A,。是線段AB上的點(diǎn)，AD=BC,AF=BD.

(1)判斷DF與DC的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為.

(2)如圖2,若點(diǎn)。在線段48的延長(zhǎng)線上，過(guò)點(diǎn)A在AB的另一側(cè)作并截

^AF=BD,連接。C、DF,CF,試說(shuō)明(1)中結(jié)論是否成立，并說(shuō)明理由.

(3)若點(diǎn)D在線段A8外，點(diǎn)E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=B￡),連接AE,與OC

的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P,直接寫出NAPC的度數(shù).

A

BC

備用圖

15.(1)如圖①，已知AABC中，/54C=90。，AB=AC,直線必經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,BDJ.直

線機(jī)，CE_L直線"?，垂足分別為點(diǎn)。，E,易證：DE=.

(2)如圖②，將⑴中的條件改為：在A4BC中，AB=AC,D,A,E三點(diǎn)都在直

線機(jī)上，并且有NBZM=NA￡C=NB4C,請(qǐng)求出DE,BD,CE三條線段的數(shù)量關(guān)系，

并證明.

(3)如圖③，在AABC中，ABAC=90°,BC^AC,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(—2,0),點(diǎn)A的坐

標(biāo)為(Y,3),請(qǐng)直接寫出8點(diǎn)的坐標(biāo).

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(0,a)在y軸正半軸上，點(diǎn)Bg,0)

_{2a-b=8

在X軸正半軸上，且。，b是方程組”，，的解.

\a+2b=\4

設(shè)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，AAOP的面積為S,用含f的式子表示S,并直接寫出f的取

值范圍：

(3)在(2)的條件下，當(dāng)點(diǎn)尸在x軸負(fù)半軸上時(shí)，且5=6,在y軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)C,

過(guò)點(diǎn)B作x軸垂線，與射線PC交于點(diǎn)。，若/“0+2/”0=180°,尸。=?,連接AD,

交0B于點(diǎn)E,求點(diǎn)E的坐標(biāo).

17.在ABCA中，AB=AC.

(1)如圖1、求證：NB=NC：

(2)如圖2,。為AB上一點(diǎn)，連接CO,E為CO中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF_L8于點(diǎn)E,

連接FC,ED,求證：FC=FD；

(3)如圖3,在(2)的條件下，過(guò)點(diǎn)/作FH_LAC于點(diǎn)4,連接AF,若AF〃BC,

FH=4,CH=20,BD=10,求產(chǎn)的面積

18.如圖，CDA.AB,BELAC,垂足分別為O,E,8后與8相交于點(diǎn)F,FB=FC.

(1)求證：BD=CE；

(2)在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖中四對(duì)全等的三角形..

19.已知：如圖，BELCD于點(diǎn)、E,BE=DE,BC=DA.

(1)求證：△8CE2/XDAE

(2)判斷￡＞尸與BC的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

20.如圖，在A4BC中，ZACB=90°,AC=BC,BELCE于E,AO_LCE于。，AD=

2.5cm,DE—\71cm,求BE的長(zhǎng).

參考答案

1.A

【分析】

根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求得.

【詳解】

解：VZB=90°,

：.DB±AB,

又：A。平分N84C,DEVAC,

：.DE=BD=3,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.

2.C

【分析】

先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/2=84。，再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等解答.

【詳解】

解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，/2=180。-49。-47。=84。.

???如圖是兩個(gè)全等三角形，

/.Z1=Z2=84°.

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等時(shí)解題的

關(guān)鍵.

3.B

【分析】

根據(jù)全等三角形的判定方法，若各選項(xiàng)的條件滿足三角形全等的條件，則可確定三角形的形

狀和大小確定，否則三角形的形狀和大小不能確定.

答案第1頁(yè)，共27頁(yè)

【詳解】

解：4、ZA=50°,ZB=60°,ZC=70°,△ABC的形狀和大小不能確定，所以A選項(xiàng)不符合

題意；

B、ZA=50°,ZB=50°,AB=5cm,則利用“ASA”可判斷△A3C是唯一的，所以3選項(xiàng)符合題

忌；

C、AB=5cm,AC=4cm,ZB=30°,△ABC的形狀和大小不能確定，所以C選項(xiàng)不符合題意；

D.AB=6cm,BC=4cm,ZA=30°,△ABC的形狀和大小不能確定，所以。選項(xiàng)不符合題意.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的5種判定方法.選用哪一種方法，取

決于題目中的已知條件.

4.A

【分析】

根據(jù)角平分線判定得出BP平分NOPE,根據(jù)平行線的性質(zhì)推出NOBP=NEBP,即可得出

答案.

【詳解】

解：VZM=Z/V=90°,BM=BN,

:.BP平分NDPE,

ZDPB=NEPB,

'：DP//BC,PE//BD,

，NDPB=NPBE,NEPB=NDBP,

：.NDBP=NEBC,

即在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，

故選：A.

答案第2頁(yè)，共27頁(yè)

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了角平分線的判定，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相

等得點(diǎn)在角的平分線上.

5.B

【分析】

根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，過(guò)。作。于E,則

DE=OC=3,再根據(jù)三角形的面積公式即可求得.

【詳解】

根據(jù)題中所作，AD為NBAC的平分線，

VZC=90°,ADCA.AC,

過(guò)。作。E_LAB于E,則￡>E=DC=3,

VAB=10?5AABD=-^ABD￡=-^xl0x3=15.選B.

【點(diǎn)睛】

本題的關(guān)鍵是根據(jù)作圖過(guò)程明確AP是角平分線，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出三角形AB。

的高.

6.B

【分析】

作PELOA于E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求得.

【詳解】

作PE±OA于E

,??點(diǎn)P是NAOB平分線OC上一點(diǎn)，PD1OB,PE±OA

，PE=PD=3

答案第3頁(yè)，共27頁(yè)

A

E.

0DB

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.

7.AB=DC（答案不唯一）

【分析】

因?yàn)閆ABC=/DC8和公共邊BC,根據(jù)全等證明方法即可求得.

【詳解】

當(dāng)AB=DC時(shí)

根據(jù)全等證明方法SAS可證VACB絲VOBC

故答案為：AB=DC（答案不唯一）

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形全等的判定條件，掌握五種全等證明方法是解題的關(guān)鍵.

8.（1）DE//BC,證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）72°

【分析】

（1）證明N2=NBCC,可得結(jié)論.

（2）根據(jù)￡>E〃BC,得到NEQ8+NQBC=180。，再利用角平分線的性質(zhì)，即可解答；

（3）根據(jù)FDLAB,NBGC=54。,得到NOHG=36。,利用外角的性質(zhì)得到NFCC+/”CC=36。，

再根據(jù)。產(chǎn)平分NEDC,CG平分乙4C。，得到NE￡>C=2/尸。C,NACD=2NHCD,得到

ZEDC+ZACD=2（ZFDC+ZHCD）=108°,利用三角形內(nèi)角和為180。，Z￡）￡C=180°-

（.ZEDC+ZACD）=180。-108。=72。，再利用平行線的性質(zhì)求出NACB.

【詳解】

解：（1）結(jié)論：DE//BC.

理由：如圖1中，

答案第4頁(yè)，共27頁(yè)

：?N1=NBCD,

VZ1=Z2,

：?N2=NBCD,

C.DE//BC.

(2)證明：如圖2中,

.,.ZEDB+Z￡>BC=180°,

工NEDF+NFDC+NCDB+NDBC=T80。,

■:/CDB=/DBC,/EDF=/FDC,

：.2ZFDC+2ZCDB=180°,

JZFDC+ZCDB=90°,

:?FDLBD,

：.ZDBF+DFB=90°.

(3)如圖3中，

答案第5頁(yè)，共27頁(yè)

圖3

VZBGC=54°,FDLBD,

：.ZDHG=36°,

：./FDC+NHCD=36。,

廣平分NEDC,CG平分NACO,

AZEDC=2ZFDC,ZACD=2ZHCD,

：.ZEDC+ZACD=2CZFDC+ZHCD)=72°,

/.Z￡)EC=180°-(NEDC+NACD)=180°-72°=108°,

'：DE//BC,

：.ZACB+ZDEC=\S00,

：.ZACB=12°.

【點(diǎn)睛】

本題屬于三角形綜合題，考查了平行線的性質(zhì)、三角形角平分線、外角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角

和定理，解決本題的關(guān)鍵是利用三角形的角平分線、外角得到角之間的關(guān)系.

9.(1)SSS；(2)見(jiàn)解析；(3)AB+AD=2AE

【分析】

(1)利用已知作圖方法結(jié)合全等三角形的判定方法得出答案；

(2)利用AAS證明△OCEQXODF,再運(yùn)用HL證明RtXOMEqRtXOMF,即可得出答案；

(3)過(guò)點(diǎn)C作CF，A￡＞于F,利用AAS證明△CAE絲△CAF,再運(yùn)用A4S證明△CDF^/XCBE,

即可得出答案.

【詳解】

解：(1)用尺規(guī)作圖作NAOB的平分線原理是證明兩個(gè)三角形全等，證明三角形全等依據(jù)

是SSS；

故答案為：SSS；

(2)所畫圖形如圖所示，0M平分/AOB,

答案第6頁(yè)，共27頁(yè)

oEDB

證明：VCE±OB,DF±OAf

：.NCEO=NDFO=90。,

在△。。￡和40。尸中，

/CEO=NDFO

?ZCOE=ZDOF,

0C=0D

:?△OCEq40DF(A4S),

:.0E=0F,

??0M=0Mf

/./?/△OME出OMF(HL),

：.ZMOE=ZMOFf

：.0M平分NAO8.

(3)AB+AD=2AE.理由如下：

如下圖，過(guò)點(diǎn)。作CFLAQ于凡

貝IJNC注NCRX90。，

VCE1AB,

:.NCE4=90。，

：.ZCFA=ZCEAf

〈AC平分NBA。，

：.ZCAE=ZCAF,

在^CAE和^CAF中,

答案第7頁(yè)，共27頁(yè)

ZCEA=ZCFA

-NCAE=ZCAf,

AC=AC

.?.△CAE絲△C4F(A4S),

：.AE=AF,CE=CF,

VZABC+Z￡)=180°,/4BC+/CBE=180。，

，NCBE=ND,

在△。￡＞尸和4CBE中，

'ZD=NCBE

-ZCFD=NCEB,

CF=CE

：./\CDF^/\CBE(4AS),

：.DF=BE,

'：AB+BE=AE,AD-DF=AF,

：.AB+BE+AD-DF-AE+AF,

：.AB+AD=2AE.

【點(diǎn)睛】

本題是四邊形綜合題，主要考查了基本作圖，全等三角形判定和性質(zhì)，正確掌握全等三角形

判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

10.⑴【探索】E尸=8E+F。；(2)【延伸】結(jié)論仍然成立，證明見(jiàn)解析；(3)【構(gòu)造運(yùn)用】210

海里

【分析】

(1)【探索】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；

(2)【延伸】延長(zhǎng)FD到G,使DG=BE,連接AG,證明△ABE^AADG和^AEF^AAGF,

得到答案；

(3)【構(gòu)造運(yùn)用】連接EF,延長(zhǎng)AE、BF交于點(diǎn)C,得至UEF=AE+BF,根據(jù)距離、速度和時(shí)

間的關(guān)系計(jì)算即可.

【詳解】

解：(1)【探索】EF=BE+FD,

證明：如圖，延長(zhǎng)")到G,使。G=BE,連接AG,

答案第8頁(yè)，共27頁(yè)

o

VZB=Z/lDC=90,ZADG=ZADC=90°9

：.ZB=ZADGf

在△A3E和△AOG中，

BE=DG

<NB=ZADG,

AB=AD

：./XABE^^ADG(SAS),

：.AE=AGfNBAE=/DAG,

VZE^F=60°,ZBAD=\20°,

：.NGAF=NDAG+/DAF=NBAE+NDAF=NBAD-ZEAF=ZEAF=60°,

:.ZEAF=ZGAF9

在△AEb和△AG尸中，

AE=AG

,ZEAF=ZGAF,

AF=AF

：./\AEF^/\AGF(SAS),

：.EF=FG,

：.FG=DG+FD=BE+DF；

故答案為：EF=BE+FD,

(2)【延伸】結(jié)論仍然成立，

證明：如圖2,延長(zhǎng)尸。到G,使OG=8E,連接AG,

答案第9頁(yè)，共27頁(yè)

圖2

VZB+ZA￡)C=180°,NAOG+NA00180。，

：.ZB=ZADGf

在△ABE和△ADG中，

BE=DG

<NB=ZADG,

AB=AD

：./XABE^^ADG(SAS),

：.AE=AGfNBAE=/DAG,

ZEAF=-ABAD,

2

/.ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZBAD-ZE4F=ZEAF,

/EAF=NGAF,

在△AEF和△AGF中，

AE=AG

<ZEAF=ZGAF,

AF=AF

/.△AEF^AAGF(SAS),

：?EF=FG,

：.FG=DG+FD=BE+DF；

(3)【構(gòu)造運(yùn)用】解：如圖3,連接"，延長(zhǎng)AE、BF交于點(diǎn)、C,

圖3

答案第10頁(yè)，共27頁(yè)

VZAOB=30°+90°+(90°-70°)=140°,

ZEOF=70°,

:.ZEOF=-ZAOB,

2

'：OA=OB,

ZOAC+ZOBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°,

符合探索延伸中的條件

，結(jié)論EF=AE+BF成立,

BP￡F=1.5x(60+80)=210海里,

答：此時(shí)兩艦艇之間的距離是210海里.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵,

注意要正確作出輔助線.

H.(1)見(jiàn)解析；(2)垂直，理由見(jiàn)解析；(3)成立，證明見(jiàn)解析

【分析】

(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)證明即可；

(2)過(guò)點(diǎn)E作跖，BC交直線BC于憶如圖2所示，通過(guò)證明尸名△A8D,可推證

△CEF等腰直角三角形，從而得出AC與CE的位置關(guān)系；

(3)如圖3所示，過(guò)點(diǎn)E作跖，OC于尸，證明△45。且△。莊,進(jìn)一步可證明AC，EC

【詳解】

解：(1)證明：VZB=90°

???ZBDA+ZBAD=90°

丁ZADE=90°

JZBZM+ZEDC=90°

:./BAD=/EDC

BDC

圖1

答案第11頁(yè)，共27頁(yè)

(2)垂直

圖2

■:EFLBC

???Z￡FD=90°

4=90。

:?ZEFD=AB

在△ABO和△DFE中

/BAD=NFDE

<NB=NDFE

AD=DE

：.AABD^ADFE(AAS)

:?AB=DF,BD=EF

*：AB=BC

：.BC二DF,

：.BC-DC=DF-DC

即5O=CF.

：.EF=CF

又丁/EFC=90。

：.ZECF=45°,且ZACB=45。

???ZACE=180°-90°=90°

即AC1CE.

(3)(2)中的結(jié)論仍然成立

如圖3所示，過(guò)點(diǎn)后作歷，。。于尸

*/ZABD=90°

???/EDF=ZDAB=90。一ZADB

答案第12頁(yè)，共27頁(yè)

在△ABO和△DFE中

ZDAB=NEDF

，ZABD=ZDFE

AD=DE

：.^ABD^ADFE(AAS)

DB=EF,AB=DF=BC

：.BC-BF=DF-BF

即FC=￡>8

FC=EF

，NDCE=45。

，ZACE=ZDCE+ZACB=90°

AC±EC.

【點(diǎn)睛】

此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證明

△Afig△。在:是解本題的關(guān)鍵.

12.(1)證明見(jiàn)解析；(2)ZAEC=2ZAFC；(3)AFLCF,理由見(jiàn)解析；(4)

2ZAFC+Z4EC=360°,理由見(jiàn)解析

【分析】

(1)如圖5中，過(guò)點(diǎn)、E作EG//AB,如圖1,由=Z2=ZDCE,可得出結(jié)果:

(2)如圖2,由(1)的結(jié)論可得ZAFC=Zfi4F+ZDCF,由條件可得

ZAFC=；(NBAE+NDCE),即可得出結(jié)果；

(3)如圖6,???AB//CD；.NM4C+ZACN=180。,由條件和(1)中的結(jié)論可得出結(jié)果;

(4)如圖7,由(1)的結(jié)論可得到NAEC=N8AE+NDCE,

答案第13頁(yè)，共27頁(yè)

NAfT=NM4尸+NNCF=g(NMAE+NECN),再由令|J補(bǔ)角的定義可證出結(jié)論.

【詳解】

解：(1)過(guò)點(diǎn)E作EG//AB,如圖5,

vAB//CD,

..EG//CD,

Zl=ZBAE,42=NDCE,

ZAEC=Nl+N2=/BAE+ZDCE；

(2)ZAEC=2ZAFC,

如圖2,由(1)的結(jié)論可得ZAFC=N班尸+Z2X廠，

v㈤E的角平分線與/ECD的角平分線交于點(diǎn)石

NBAF=-/BAE,

2

ZDCF=-ZDCE,

2

??.ZAFC=；(ZBAE+ZDCE),

?/ZAEC=ZBAE+4DCE,

:.ZAFC=-ZAEC,

2

.\ZAEC=2ZAFC；

(3)AFLCF,

如圖6,?/ABHCD,ZMAC+ZACN=180°,

???NS4E的鄰補(bǔ)角平分線與NECQ的鄰補(bǔ)角平分線交于點(diǎn)F,

：.ZMAF=-ZMAa/NCF」NACN,

22

答案第14頁(yè)，共27頁(yè)

由（1）的結(jié)論得到

ZAFC=NMAF+ZNCF,

ZAFC=ZMAF+ZNCF=g(/MAC+ZACN)=90。,

AF±CF；

(4)2ZAFC+ZA￡C=36O°,如圖7,

由（1）的結(jié)論可得到

NAEC=NBAE+NDCE,

ZAFC=ZMAF+4NCF=；（ZMAE+4ECN）,

由鄰補(bǔ)角的定義得，

NMAE+NBAE=180°,

NNCE+N￡>AE=180。，

NMAE+ZBAE+NNCE+NDCE=360°,

由等量代換得出2ZAFC+ZAEC=360°.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線,

構(gòu)造平行線解決問(wèn)題，有一定的難度，這也屬于中考常考題型.

13.（1）NA=N。，見(jiàn)解析；（2）NA+/Q=180。，見(jiàn)解析；（3）如果兩個(gè)角的兩條邊分

別平行，那么它們的角平分線相互平行或者相互垂直，見(jiàn)解析

【分析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NA=NEGC,NEGC=ND,等量代換即可得出答案；

（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)/A=/AGO,ZAGD+ZD=180°,等量代換即可得出答案；

（3）分兩種情況，①如果兩個(gè)角的兩條邊分別平行，作NBAC的平分線AM,/EOF的平

分線。N,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/A=/AG。，根據(jù)角平分線的性質(zhì)/NZ）R=；NEZ）F,

ZAND=-ZEDF,ZMAC=^BAC,即可得出/M4C=/4MD,由平行線的判定，內(nèi)錯(cuò)角

答案第15頁(yè)，共27頁(yè)

相等，兩直線平行即可得出答案；②延長(zhǎng)五。至P,作/即P的平分線。N,作/即尸的平

分線DQ,交NBAC的平分線AM所在直線于Q,可得NQDE+NEDN=(NEDF+NEDP)

=90°,即NQDN=9O。，由平行線性質(zhì)可得NMOD+NQ￡)N=180。即可解答.

【詳解】

解：⑴猜想：ZA-ZD,證明如下：

如圖I,；AC和。E交于點(diǎn)G.

'：AB//DE,

二NA=NEGC,

"：AC//DF,

：.ZEGC=ZD,

,NA=N￡)；

(2)猜想：ZA+ZD=180°.證明如下：

如圖2,；AC和DE交于點(diǎn)G,

'JAB//DE,

：.ZA=ZAGD.

\'AC//DF,

：.ZAG￡>+ZD=180°,

，ZA+ZD=180°；

(3)①如果兩個(gè)角的兩條邊分別平行，那么它們的角平分線相互平行或者相互垂直，

如圖3；AC和交于點(diǎn)G,作NBAC的平分線AM,NED尸的平分線DM交.AC于N.

'：AC//DF,

：.NAND=NNDF,

.：DN平分NEDF,

：.NNDR=yNEDF,

：.NAND=gNEDF,

平分N8AC,

/.NMAC=yABAC,

前面已證NBAC=NEQF,

答案第16頁(yè)，共27頁(yè)

:.ZMAC=ZAND,

：.AM//DN-,

②如圖4,延長(zhǎng)F￡)至尸，作NEQP的平分線。N,作NEQF的平分線。Q,交NBAC的平

分線AM所在直線于Q.

；.NQDE+NEDN=g(NEDF+NEDP)=90°,

即/Q￡W=90°,

前面已證AM〃￡>M

ZMOD+ZQDN=180°.

：.ZMOD=9Q°.

即DQ1.AM.

綜上述，如果兩個(gè)角的兩條邊分別平行，那么它們的角平分線相互平行或者相互垂直.

【點(diǎn)睛】

答案第17頁(yè)，共27頁(yè)

本題主要考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義，弄清題意、明確各角的關(guān)系以及掌握分類

討論思想成為解答本題的關(guān)鍵.

14.(1)DF=CD,CDVDF-,(2)成立，理由見(jiàn)解析；(3)45°

【分析】

(1)利用SAS證明△的OgAOBC,再利用全等三角形的性質(zhì)得出FD=DC,NADF=NBCD,

由NBCO+/C￡)B=90°得NAO尸+NC￡>B=90°,即可證得DF=CD且CDLDF；

(2)由已知證明A陽(yáng)△OBC,得至UOF=QC,ZFDA=ZDCB,由/￡>CB+NBQC=90。，

得到NFD4+NBZ)C=90°,所以/FDC=90°；

(3)過(guò)點(diǎn)A作AFL4B,并截取連接OF,CF,AC,由△COF為等腰直角三角形

得到NOCF=45。，證明△AFC彩△CEA得至lJ/CAE=NAC尸，推出NAPC=NFC。即可.

【詳解】

解：⑴VAF1AB,

，ZDAF=90°,

在^AO尸和△BCD中，

AF=DB

?NDAF=ZCBD,

AD=BC

:.△ADFQABCD(SAS),

：.DF=CD,ZADF=ZBCD,

ZBCD+ZCDB=90°,

：.ZADF+ZCDB=W,即NCD尸=90°,

ACD±OF.

故答案為：DF=CD,CDLDF；

(2)成立，理由如下：

,：AFVAB,

：.ZDAF=90°,

在△4。/和^BCD中，

AF=DB

<NDAF=NCBD,

AD=BC

答案第18頁(yè)，共27頁(yè)

:?△ADFQ/\BCD(SAS),

：.DF=CD,ZADF=ZBCDf

:ZBCD+ZCDB=90°,

???ZADF+ZCDB=90°,即ZCDF=90°,

：.CDLDF；

(3)如圖，由題意，過(guò)點(diǎn)A作AfLAB,并截取AF=3。，連接OF,CF,AC,

由(1)得ACO尸為等腰直角三角形，

工ZDCF=45°,

ZFAD=ZABC=90°,

：.AF//CE,

:.ZFAC=ZACE9

*：AF=BD,CE=BD,

：.AF=CE,XAC=ACf

：.AAFC^ACEA(SAS),

:.ZCAE=ZACF9

：.FC//AEf

：.ZAPC=ZFCDf

：.NAPC=/FCD=45。.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形.

15.(1)BD+CE；(2)DE=BD+CE,見(jiàn)解析；(3)(1,4)

【分析】

(1)根據(jù)同角的余角相等證明—即二屋3石，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出

AE=BD,AD=CE,結(jié)合圖形即可得出答案；

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、平角的定義證明NABD=NC4￡,得至ij△ABD=△(X￡,根據(jù)

答案第19頁(yè)，共27頁(yè)

全等三角形的性質(zhì)得到4石AD=CE,結(jié)合圖形即可得出答案；

(3)根據(jù)△AECMaCEB得出C尸和3尸的值，結(jié)合坐標(biāo)與圖形性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】

(1)證明：BDVAD

：.ZABD+ZBAD=90°

*/ZBAC=90°

???ZC4E+ZBAP=90°

：.ZABD=ZCAE

在△45。和VC4E中

ZABD=ZCAE

,ZBDA=ZAEC

AB=CA

：.^ABD=^CAE(AAS)

:?AE=BD,AD=CE

：.DE=AD+AE=BD+CE

(2)DE=BD+CE；

理由如下：在△43。中，ZABD=180°-ZADB-ABAD

■:ZCAE=180°-ABAC-ABAD,ABDA=ABAC

：.ZABD=ZCAE

在△A3。和VC4￡B

ZABD=ZCAE

<ZBDA=ZAEC

AB=CA

：.^ABD^CAE(AAS)

：.AE=BD,AD=CE

：.DE=AD+AE=BD+CE

(3)如圖③，作軸于點(diǎn)E,軸于點(diǎn)/，

由(1)可知，/\AEC=/\CFB

：.CF=AE=3

BF=CE=OE-OC=4

答案第20頁(yè)，共27頁(yè)

，OF=CF—OC=1

點(diǎn)8的坐標(biāo)為(1,4).

【點(diǎn)睛】

本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性

質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵.

16.(1)A(0,6);B(4,0)；(2)當(dāng)點(diǎn)尸在線段B。上時(shí)，5=12-3?(0<r<4)；當(dāng)點(diǎn)P在線段20

延長(zhǎng)線上時(shí)，5=3r-12(r>4);⑶E與。｝

【分析】

(1)解二元一次方程組即可求得0/的值，進(jìn)而求得A,8的坐標(biāo)；

(2)分點(diǎn)P在線段80上時(shí)和點(diǎn)尸在線段B0延長(zhǎng)線上時(shí)，兩種情形討論，根據(jù)(1)的結(jié)論，

利用三角形面積公式計(jì)算即可；

(3)過(guò)點(diǎn)A作AFJ_Z)P延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，證明AA尸WAAOP,得AF=AO,過(guò)點(diǎn)A作

12

AG_L延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,根據(jù)SAIPQ+=SAAPB+SZSDPB,求得BE=亍,根據(jù)

O￡=O8-應(yīng);進(jìn)而求得點(diǎn)￡的坐標(biāo).

【詳解】

14=6

解得:U=4-

2a-b=8…

??,6是方程組a+2b=14的解，

A(0,6),8(4,0),

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段8。上時(shí)，S“"=；OPxOA=；x(4-r)x6=12-3r,

答案第21頁(yè)，共27頁(yè)

5=12-3z(0<r<4),

當(dāng)點(diǎn)尸在線段BO延長(zhǎng)線上時(shí)，S“必=；OPxOA=1x(r-4)x6=3r-12,

S=3f-12(f>4),

(3)由(2)得：3r-12=6,解得f=6,

:.BP=6,

?.?A(0,6),B(4,0),

/.OA=6,OB=4,

如圖，過(guò)點(diǎn)A作AP延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，作延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,

/.ZAPF=ZAPO,

在△AFP和AAOP中，

'/AFP=/AOP=90。

<ZAPF=/APO

AP=AP

:./\AFP^^AOP(AAS)

?..AF=AO=6

*.*S四邊形APDB=+^^ADB，

s四邊形APDB=S>APB+S>DPB，

…S&APD+S&ADB=S^APB+S&DPB，

答案第22頁(yè)，共27頁(yè)

:.—xPDxAF+—xBDxAG=—xPBxOA+—xPBxBD,

2222

PDxAF+BDxAG=PBxOA+PBxBD,

——x6+8Dx4=6x6+6xBD,

2

8D=-

921

...DG=BG+BD=6+-=——，

22

S2XADC=S&DBE+S梯形AGBE

：.-xDGxAG=-xBDxBE+-x(BE+AG)xBG,

222

DGxAG=BDxBE+(BE+AG)xBG,

219

—x4=-xB￡+(B￡+4)x6,

22

/.BE=—

7

[,1A

:.OE=OB-BE=4——=—

77

.?.喈,0.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解二元一次方程組，列代數(shù)式，三角形全等的性質(zhì)與判定，平面直角坐標(biāo)系中圖

形與坐標(biāo)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

17.(I)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3)30

【分析】

(1)過(guò)點(diǎn)A作4WLBC于點(diǎn)M,只需要證明R/ZMMB四用△AMC即可得到答案;

(2)只需要證明△FEZ注即可得到答案；

(3)過(guò)點(diǎn)尸作/G,84延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,然后證明Rf^AGF公RfAAHF,

Rt/\GDF^Rt￡\HCF,然后計(jì)算求解即可得到答案.

【詳解】

解：(1)證明：過(guò)點(diǎn)A作AA/_LBC于點(diǎn)附，

-,-AMLBC,

:.ZAMB=ZAMC=9G°,

在Rt/XAMB和Kt/\AMC中,

答案第23頁(yè)，共27頁(yè)

\AB=AC

\AM=AM

Ri/XAMB%Rt/\AMC(HL)

.?.N3=NC

vEFlCD,

.?.NFED=NFEC=90°,

?.?E為CD中點(diǎn),

:.