2022-2023學(xué)年遼寧省縣級重點高中聯(lián)合體高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年遼寧省縣級重點高中聯(lián)合體高一（下）期末數(shù)學(xué)

試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.在復(fù)平面內(nèi)，與對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.如圖.在直角梯形4BCD中，aB〃CD,aB_LBC,aB=2CD=2,AD=D，----，C

3,以BC邊所在的直線為軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的面圍成一個幾/

何體，則該幾何體的體積為（）/

J---------'B

A.14A/-B.77rC.生27rD.（TT

33

3.已知△ABC的內(nèi)角4、B、C所對的邊分別為a、b、c,若A=120°,a=<^,則3片等

2sinB+sinC

于（）

A.iB.CC.?D.2

4.設(shè)a,b表示空間中兩條不同的直線，a,0,y表示三個不同的平面，則下列命題正確的

是（）

A.若4/a,bua,則a〃b

B.若a1a,a///?,則a10

C.若/?1a,y1a,則/?//y

D.若aua,bua,a〃B，b//S，貝!Ja〃夕

1i

5.已知cos（a—jS）=-,cosacosp=則tcmatcm/?=（）

34

A.B.1C.D.1

oo33

6.已知向量反=（2,1）,b=（-1,2）.貝用在五+3方向上的投影向量的坐標(biāo)為（）

A1

(-2-D.(-1,3)

7.如圖，圓錐的母線長為4,點M為母線28的中點，從點M處拉

一條繩子，繞圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)一周達到B點，這條繩子的長度最短

值為2，石，則此圓錐的表面積為（）

A.47r

B.5兀

C.6兀

D.8兀

8.在AaBC中，NB4C的外角平分線交BC的延長線于D,若3aB=4AC.則△ABD的面積與4

ABC面積的比值為（）

A.|B.3C.yD.4

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.下列說法正確的是（）

A.若復(fù)數(shù)z滿足z=W,貝UzeR

B.1+i3+i5+7為純虛數(shù)

C.z-z=\z\2=\z\2

D.z=g+43是方程/—刀+1=0的一個復(fù)數(shù)根

10.已知角a的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊上存兩點4（-1,a）,B（b,1）

1

且si九a=則（）

A.a=一卒B.b=—2V_2C.cosa=—D.tana=一?

434

11.在4ABC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,已知bcosC+ccosB=1,且cos3=—,

24

c=2,貝1（）

A.a=1B.b=2V-2

C.cosB='D.AABC外接圓的半徑為卑

43

12.一個圓柱沿著軸截面截去一半，得到一個如圖所示的幾何體.已知M

四邊形MNPQ是邊長為2的正方形，點E為半圓弧網(wǎng)上一動點（點E與點P,（

Q不重合），則（）Pq

w

EP

A.三棱錐Q-PEN體積的最大值為弓

B.存在點E,使得EN1PQ

C.當(dāng)點E為網(wǎng)上的三等分點時，二面角E—MN—P的正切值為?

D.當(dāng)點E為網(wǎng)的中點時，四棱錐E—MNPQ外接球的體積為亨兀

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.在正方體4/165中，2。1與8。所成的角是.

14.已知函數(shù)y=coscox^d）>0）在［0,兀）上有且僅有2個零點，則3的取值范圍為.

15.已知復(fù)數(shù)z滿足|z-2i|=1,則|z-1—i|的最大值為.

16.撫仙湖，位于澄江市、江川區(qū)、華寧縣之間，湖面積僅次于滇池和洱海，為云南省第三

大湖，也是我國最大的深水型淡水湖泊,如圖所示，為了測量撫仙湖畔M,N兩點之間的距離，

現(xiàn)取兩點E,F,測得EF=7公里，AMFN=可,乙NFE=LMEF=a,乙MEN=三,則

N兩點之間的距離為公里.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題10.0分）

已知復(fù)數(shù)Z滿足z2=-2-2「3且Z的虛部為一門.

（1）求Z；

（2）若z-1,2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為4,B,。為坐標(biāo)原點，求乙4OB.

18.（本小題12.0分）

已知向量1=（sina,1）,b=（l,2cosa），且五1人

(1)求史上則竺電的值；

sina—cos(a+7r)

(2)若a是第二象限角，求sin(a-力和cos2a的值.

19.(本小題12.0分)

如圖，在幾何體4BCDE中，4B1?平面EBC,AB//CD,AD//BC,EB1BC,M為EB上一點,

P,尸分別為2M,8。的中點.

(1)證明：PF〃平面EBC.

(2)若28=BC,證明：平面2MF_L平面BED.

20.(本小題12.0分)

在AaBC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,V~Zas譏B—b=6cosA.

(1)求4

(2)若△ABC為銳角三角形，且6+c=2,求a的取值范圍.

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(%)=Asin(a)x+0)(4>0,6)>0,\(p\<5)的部分圖象如圖所示,將y=f(x)的圖

象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的縱坐標(biāo)不變，再向左平移聿個單位長度得到丫=。(久)的

圖象.

(1)求/(%)的解析式；

(2)求函數(shù)g(%)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(3)若對任意%1，到E[-右，芻，/(%i)+血2g(%2)恒成立，求血的取值范圍.

22.(本小題12.0分)

如圖1,正方形48C。和正方形EFGH的中心重合，AB=3EF=6,HG//CD,J、K、L、/分

別為2。、28、8。、。。的中點,將圖中的四塊陰影部分裁剪下來,然后將4HEI、AEFJ、AFGK、

△GHL分另IJ沿著HE、EF、FG、GH翻折，使得點/、/、K、L與點P重合，得到如圖2所示的四

棱錐P—EFGH.

(1)求直線PE與底面EFGH所成角的余弦值；

(2)若M為PF的中點，求M到平面PGH的距離.

答案和解析

L【答案】A

【解析】解：j—Zi=心(J—Z藍lJ^蕓o-之rZl)、=2lolo?

可知其對應(yīng)的點為舄,金，

位于第一象限.

故選：A.

根據(jù)復(fù)數(shù)的運算化簡久，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.

3-2i

本題考查了復(fù)數(shù)的運算，復(fù)數(shù)的幾何意義，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：由題意得直角梯形旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為圓臺，

則圓臺高h=VAD2-{AB-DC)2=732—了=

上下底面面積為S=7Tx22=4兀，S'=兀xF=兀，

該幾何體的體積為V=|X2，"^(4兀+74Tl-71+兀)=11.^-7T.

故選：c.

根據(jù)圓臺的體積公式計算，即可得出答案.

本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

3.【答案】D

【解析】解：由于：A=120°,a=

由正弦定理：2R=;^=g=2；

~T~

曰斤以2b+c_2R(2sinB+sinC')_?

2sinB+sinC2sinB+sinC'

故選：D.

直接利用正弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果.

本題考查的知識要點：正弦定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.

4.【答案】B

【解析】解：若q/a,bua.則a〃匕或a,b異面，故A錯誤；

若＜2〃0,則必有a'u￡,a'//a,又a_La,二a'_La,a'u0,則aJ.￡,故8正確；

若/?_La,yla,則0〃y或y,。相交，故C錯誤；

若aua,bc.a,a〃0,b///3,由于a,b可能平行不相交，故得不到戊〃￡,故￡＞錯誤.

故選：B.

根據(jù)線面平行概念判斷4根據(jù)線面平行性質(zhì)及面面垂直判定定理判斷B,根據(jù)平面位置關(guān)系判斷

C,由面面平行判定定理判斷D.

本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力與思

維能力，是基礎(chǔ)題.

5.【答案】D

【解析】解：因為cos(a—/?)=cosacos^+sinasin^=。+sinasinp=解得sinasin。=上，

4312

.八1,

所以tcmatcm。=，譏asi、=孕=〈.

cosacospA3

故選：D.

根據(jù)題意利用兩角差的余弦公式可得sinas譏￡=:，再切化弦運算求解.

本題考查兩角差的余弦公式，屬于中檔題.

6.【答案】A

【解析】解:因為方=(2,1),b=(-1,2),所以五+另=(1,3),

所以潴力+B方向上的投影向量噌富?鬻=特(1,3)=

\a+b\\a-\-b\乙乙

故選：A.

先求出1+3的坐標(biāo)，再根據(jù)投影向量的定義求解.

本題考查了向量坐標(biāo)的數(shù)量積和加法運算，投影向量的計算公式，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】B

【解析】解：設(shè)底面圓半徑為r,由母線長為4,

所以側(cè)面展開扇形的圓心角為a=竿=￡;

將圓錐側(cè)面展開成一個扇形，從點M拉一繩子圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點B,

最短距離為BM,如圖所示：

在RtAABM中，斜邊BM的長度為：

BM=J42+22-2x4x2xcosy=J20-16cosy=2AT5,

解得cos￡=0,所以r=l,

所以圓錐的表面積為S=7rxl2+7rxlx4=57r.

故選：B.

設(shè)底面圓半徑為r,由母線長求出側(cè)面展開扇形的圓心角，利用余弦定理求出從點M拉一繩子圍繞

圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點B的最短距離，列方程求出r的值，再計算圓錐的表面積.

本題考查了圓錐的側(cè)面展開圖應(yīng)用問題，也考查了運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

8.【答案】D

【解析】解：如圖,

由外角平分線定理知，*=胎=*

所以△相￡）的面積與AABC面積的比值為整=4.

DC

故選：D.

根據(jù)外角平分線定理求解即可.

本題主要考查了角平分線定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】ACD

【解析】解：設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi,a,bER,貝!Jz=a—bi,

若工=z,貝!Jb=0,可得z=aeR,故A正確；

因為1+理+?5+，=1一》+?一1=1一"不是純虛數(shù)，故B錯誤；

設(shè)復(fù)數(shù)z=a+bi,a,bER,貝丘=a-bi,

則z?z=(a+bi)(a—bi)=a2+h2=\z\2=|z/，故C正確；

因為z2-z+1=(1+^i)2-G+?’)+1=+—弓+?’)+1=。，

所以Z=3+是方程/—%+1=0的一個復(fù)數(shù)根，故。正確.

故選：ACD.

根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念與運算逐項分析判斷.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】BCD

【解析】解：,??角a的頂點為坐標(biāo)原點，始邊與工軸的非負(fù)半軸重合，終邊上存兩點/(-La),B(b,1)

且sMa=I，

.a_1_1

解得a2=9/2=8,

o

由『『=w，可知a>0,

V1+a23

???角a為第二象限的角，所以b<0,

a=>b=—2V-2?故A錯誤，8正確；

4

b—2y/~~21i/—5

又c0sa=^^==一「，[析1a=：=—[=—?，故C、。均正確.

Jd+1b2V24

故選：BCD.

根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義列方程可求出a,b的值，從而可求出角a的其它三角函數(shù)值.

本題考查任意角的三角函數(shù)的定義及其應(yīng)用，屬于中檔題.

11.【答案】AB

【解析】解：由余弦定理可知，b.a2+b2~c2+c-a2+c2~fc2=^=g=l，故A正確;

2ab2ac2a

由COS《==Jl+；os@,解得cosB=—[,故C錯誤；

由COSB=Q±Q=*Q=解得6=2口，故2正確；

2ac4—。4，

因為sinB=V1—cos2B=/1—

\164

所以三角形外接圓直徑2R=^=安=3史，即/?=叮，故D錯誤.

了7

故選：AB.

根據(jù)余弦定理可求出a判斷4由余弦的半角公式求出cosB判斷C,再由余弦定理求出b判斷8,由

正弦定理求外接圓半徑判斷D.

本題考查余弦定理和正弦定理的應(yīng)用，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題.

12.【答案】ACD

【解析】解：當(dāng)E到平面PQN距離G(E_PQN最大值1時，

%.PEN取得最大值;xlx|x2x2=|,故選項A正確；

若存在點E,使得ENLPQ,又PNJ.PQ,可得PQL平面ENP,

從而可得PQLEP,在直角三角形PQE不可能，故選項B錯誤；

當(dāng)點E為河上的三等分點時，過E作EH1PQ于H,過”作HG1MN于G,

則NEG”為二面角E—MN-P的平面角，如圖，

M

RtAEGH中tan/EGH=處=登=二，故選項C正確；

GH24

當(dāng)點E為國的中點時，可取前的中點尸將四棱錐E-MNPQ補成三棱柱FMN-EQP,

則其外接球的半徑為衣=VI2+I2=A/-2,如圖，

M

N

四棱錐E-MNPQ外接球的體積為手兀，故選項。正確.

故選：ACD.

轉(zhuǎn)換頂點求體積可知%一PEN=瞑-PQN，則為一PEN取得最大值可求，故可判定選項A；

仄EN1PQ反推PQ1平面ENP可得PQ1EP,故可判定選項B；

利用二面角的平面角的作法，即可計算其正切值，故可判定選項C；

利用補形法可將四棱錐E-MNPQ補成三棱柱，即可求得外接球的體積，故可判定選項D

本題考查三棱錐的體積的最值的求解，線線垂直的判斷，二面角的概念，四棱錐的外接球問題,

化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題.

13.【答案】60°

【解析】解：如圖，連結(jié)BG、8。和。6，

在正方體ABC?！猘/iGA中，

由2B=￡)1C1，AB"D\C',可知ADJ/BCi，

所以/DBG就是異面直線A%與BD所成角，

在正方體中，BC］、BD和是其三個面上的對

角線，它們相等.

所以△DBG是正三角形，乙DBC［=60°

故異面直線4%與BD所成角的大小為60。.

故答案為60。.

通過平移直線作出異面直線與BD所成的角，在三角形中即可求得.

本題考查異面直線所成的角及其求法，解決該類題目的基本思路是化空間角為平面角.

14.【答案】［|,|)

【解析】解：函數(shù)y=cosa)x(a)>0)在[0,7i]上有且僅有2個零點,

由％6[0,7r],co>0,得3%6[0,a)n],

所以當(dāng)<31T<Bp|<to<I，

所以3的取值范圍為［|,|).

故答案為：［|,|).

結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)33兀<涉進而求解即可.

本題主要考查余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】+1

【解析】解：設(shè)2=%+yi(x,yeR),

|z-2i|=1,

則/+(y—2)2=1,表示以(0,2)為圓心，1為半徑的圓，

|z-1一」表示圓上的點到點(1,1)的距離，

故|z-1一i|的最大值為J(0—1)2+(2—1)2+1=<^+1.

故答案為：<7+1.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

16.［答案］7-\/~5

【解析】解：在AEFN中，乙FNE=71—4MEN—乙MEF—AEFN=*

由正弦定理可得:

sinZ.FNEsin/NEF

即NF=?sin乙NEF=]x?=7y/~2,

sinz.FNE

在^EFM中，Z-FME=n—Z-MFN—Z-NFE—Z-MEF=:，

所以4FME=乙MEF=則EF=MF=7,

在AMFN中，由余弦定理可得：MN=VMF2+NF2-2MF-NFcos^MFN,

即MN=J72+（7產(chǎn)）2+2x7x7。x?=7AT5-

故答案為：7V~虧.

在AEFN中，由正弦定理可得NF,在AFFM中，等邊對等角可得MF,則在△"?可中，由余弦定

理可得MN.

本題考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬中檔題.

17.【答案】解：(1)設(shè)z=a—1^3

貝！Jz2=(a-7-302=a2-3-2coi=-2-2ci,

所以］a2-3=-2

解得a=1,

-2Ca=_2<T

故z=1-VSi;

(2)由⑴知，z—1=—所以4(0,—C),故乙4。尤=夕

z=1+V-3i,所以tanZxOB=y/~3,且NxOB為銳角，即4xOB=基

所以乙4。8=zXOx+/.xOB=H=?

L36

【解析】(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的平方運算及復(fù)數(shù)相等列方程求出實部即可得解；

(2)由復(fù)數(shù)的幾何意義求出點4B坐標(biāo)，分別求出乙4。萬與NxOB即可得解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解:(1)因為反=(s譏a,l),I=(l,2cosa)，alb,

所以五?b=sina+2cosa=0，得sina=-2cosa,

所以s出a—sin(a+?)_sina—cosa_-2cosa-cosa_

sina—cos(a+7r)sina+cosa—2cosa+cosa

(2)因為sina=-2cosa,sin2a+cos2a=1,所以cos2a=

因為a是第二象限角，所以cosa=—sina=

7T7i2<T<23<T0

所以sin(a—令=sinacos--cosasin-=—x—-

445210

cos2a=2cos2a—1=2x(一一>—1=—|.

【解析】(1)由五可得s譏a=-2cosa,然后利用誘導(dǎo)公式化簡式子，再代入計算即可;

(2)由sina=—2cosa結(jié)合sin2a+cos2a=1及a的范圍，可求出sina,cosa,再利用三角函數(shù)恒

等變換公式化簡計算即可.

本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】證明：（1）連接CF,CM,如圖，

由AB〃CD,AD//BC,可知四邊形4BCD為平行四邊形，

又F為8。的中點，所以4F,C三點共線，且F為4C的中點,

因為P為力M的中點，所以PF〃CM,

又PF0平面EBC,CMu平面EBC,

所以PF〃平面EBC.

⑵因為48_L平面E8C,BEu平面EBC,

所以AB_LEB,又EB1BC,ABCBC=B,AB,BCu平面ABCD,

所以E81平面4BCD,又4cu平面ABC。,

所以EBJ.4C,

又48=BC,所以四邊形28CD為正方形，

所以AC1BD,又EBCBD=B,EB,BDu平面BED,

所以"1平面BED,又ACu平面2MF,

所以平面2MF1平面BED.

【解析】（1）證明尸是4C的中點，利用中位線可得PF〃CM,由線面平行判定定理求解即可;

（2）先證明AC1平面BED,再由面面垂直的判定定理求解.

本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系應(yīng)用問題，也考查了推理與判斷能力，是中檔題.

20.【答案】解：-b=bcosA=>\T~3sinAsinB—sinB=sinBcosA>

因為Be(0,兀)，所以sinB*0,

于是由V3sinAsiTiB—sinB=sinBcosA=>yJ_3sinA—1=cosAnsin(X—

6L

因為/E(0,7T),所以4—<W(一看,胡),

因此有/04=或

cibcci7_a?D_a■「

(2)由正弦定理得麗=訴=赤=亙，所以6=理sinB,c=理sinC，

~22

所以匕+c=合sinB+含s譏C=含s譏B+含sing-B)

r

=(|sinB+cosB)=2astn(B+.)=2,

~T一

1

所以a=sin(B+軟

’0<BWnTT

因為△ABC為銳角三角形，可得《2兀m解得*<B<3，

0<y-B62

所以稱<8+看<等所以?<sin(8+*W1，所以1W焉度

所以a6[1,等)

【解析】(1)根據(jù)正弦定理，結(jié)合輔助角公式進行求解即可；

(2)根據(jù)正弦定理，結(jié)合輔助角公式、正弦型函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可.

本題主要考查了正弦定理，和差角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.

21.【答案】解：⑴由圖象知，7=生=4*(得一勺=兀，所以3=2,

(Jl)1Z3

即f(%)=Asin(2x+<p),

又/③=Asin(2x與+9)=/,所以sin+口)=1,

因為⑼V三所以9=—看

故/(%)=Asin(2x-^)f

由/潦)=4s譏(2x亭一[)=Asin?=—我=-1,可得4=2,

所以/■(%)=2sin(2x-^).

(2)由f(x)=2s譏(2久-令，圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的全縱坐標(biāo)不變，再向左平移已個

單位長度，

得到g(x)=2sin[4(x+?)—7]=2sin(4x+)=2cos4x,

令2kn<4%<2/CTT+Ti,kEZf

解得合JW年+[,kez,

ZZ4

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為俘，等+口，kez.

ZZ4

(3)由f(%i)+m>g%)可得m>。(上)一f〉i)，對任意%1，x2e[一盍曲恒成立，

所以只福血N9{^2)max~~

當(dāng)一工W%2或時，-^<4x2<y,所以g(X2)s=g(0)=2cos0=2,

當(dāng)一工Wx_i時,_\W2%1W，所以/'(Xi)m譏=/(—芻=2s譏(一