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2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（全國新課標I）

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的。

L設2=言，則目=

A.2B.73C.aD.1

2.已知集合。={123,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},則，”=

A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}

3.已知a=log20.2/=2°\c=0.2°',貝|

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

4.古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是叵口

2

（嶼二!.ao.618,稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人

2

體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是縣。,若某人滿足上述兩個黃金

2

分割比例，且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

cinx-\-X

5.函數(shù)氏0=-----------^在［一兀，兀］的圖像大致為

cosx+x

6.某學校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學生編號為1,2,…，1000,從這些新

生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學生進行體質(zhì)測驗.若46號學生被抽到，則下面4

名學生中被抽到的是

A.8號學生B.200號學生C.616號學生D.815號學生

7.tan255°=

A.一2一石B.-2+73C.2—6D.2+石

8.已知非零向量a,b滿足時=2網(wǎng)，且(a-b)_Lb,則a與的夾角為

兀兀2兀5兀

A.-B.-C.—D.

633~6

]

如圖是求2+Ip的程序框圖，圖中空白框中應填入

9.

2+~

2

1,1

A.A=--------D.A=l+—

2+AA1+2A2A

x2y2

雙曲線：

10.C/5=l(tz>Q,b>0)的一條漸近線的傾斜角為130°,則C的離心率為

A.2sin40°B.2cos40°C.---------D.----------

sin50°cos50°

11./XABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為。，b,c,已知4sinA—bsin3=4csinC,cosA=——,

4

JS!l-=

c

A.6B.5C.4D.3

12.已知橢圓C的焦點為耳(—1,0),8(1,0),過Fi的直線與。交于A,3兩點.若

\AF2\=2\F2B\9\AB\=\BF｛\,則。的方程為

222

Ax2_1y廠fy

A.-----Fy-1B.-----1---------1C.------1--------1D.------1--------=1

2-324354

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.曲線y=3(f+x)e，在點(0,0)處的切線方程為.

3

14.記S,為等比數(shù)列｛斯｝的前〃項和.若=1,53=—,則$4=.

3兀

15.函數(shù)/(x)=5M(2%+耳)-3cosx的最小值為.

16.已知/AC8=90°,P為平面ABC外一點，PC=2,點尸到/4C8兩邊AC,8c的距離

均為石，那么P到平面ABC的距離為.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題,

每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。

(-)必考題：60分。

17.(12分)

某商場為提高服務質(zhì)量，隨機調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的

服務給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：

滿意不滿意

男顧客4010

女顧客3020

(1)分別估計男、女顧客對該商場服務滿意的概率；

(2)能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異？

n(ad-be?

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(PX)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.(12?

記S”為等差數(shù)列｛&｝的前"項和，己知S9=-05.

(1)若。3=4,求｛如｝的通項公式;

(2)若ai>Q,求使得S2斯的n的取值范圍.

19.(12分)

如圖，直四棱柱ABC。TLBICLDI的底面是菱形，44i=4,AB=2,ZBAD=60°,E,M,

N分別是BC,BBi,4。的中點.

(1)證明：MN〃平面COE；

(2)求點C到平面CiDE的距離.

20.(12分)

已知函數(shù)/(無)=2siiu—xcosx-x,f(x)為于(x)的導數(shù).

(1)證明：/(x)在區(qū)間(0,兀)存在唯一零點；

(2)若xG[0,兀]時，f(x)>ax,求a的取值范圍.

21.(12分)

已知點A,B關于坐標原點。對稱，|A8|=4,?！ㄟ^點A,8且與直線x+2=0相切.

(1)若A在直線x+廣。上，求。M的半徑；

(2)是否存在定點P,使得當A運動時，|M4|一|MP|為定值？并說明理由.

(-)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第

一題計分。

22.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］(10分)

X—1+產(chǎn)，

在直角坐標系尤Oy中，曲線C的參數(shù)方程為。為參數(shù))，以坐標原點。

kw4/

為極點，X軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為

2pcos0+J3psin+11=0.

(1)求。和/的直角坐標方程；

(2)求。上的點到/距離的最小值.

23.［選修4-5：不等式選講］(10分)

已知a,b9c為正數(shù)，且滿足〃歷=1.證明:

(1)—+-+-<6Z2+/?2+C2；

abc

(2)(a+bp+(b+c)3+(c+>24.

2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（全國新課標I）

參考答案

一、選擇題

1.C2.C3.B4.B5.D6.C

7.D8.B9.A10.D11.A12.B

二、填空題

5

13.y=3x14.15.-416.

三、解答題

17.解：

（1）由調(diào)查數(shù)據(jù)，男顧客中對該商場服務滿意的比率為，=0.8,因此男顧客對該商

50

場服務滿意的概率的估計值為0.8.

30

女顧客中對該商場服務滿意的比率為—=0.6,因此女顧客對該商場服務滿意的概率

50

的估計值為0.6.

、叱2100x（40x20-30x10）2,

（2）K2=----------------------a4.762.

50x50x70x30

由于4.762>3.841,故有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異.

18.解：

（1）設｛4｝的公差為d.

由S9=得%+4d=0.

由的=4得ax+2d=4.

于是％=8,d=—2.

因此｛an｝的通項公式為an=10-2n.

（2）由（1）得q=—4d,故4=（“_5）d,S“=如［）一

由q〉0知d<0,故?！钡葍r于7廠—11〃+10”0,解得1W"W1O.

所以〃的取值范圍是｛"I啜卜10,neN）.

19.解:

(1)連結(jié)51GMs因為E分別為5件3C的中點，所以ME〃與C,且

ME=g3]C.又因為N為4。的中點，所以ND=gA0.

由題設知DC,可得4c4\D,故ME&ND,因此四邊形MNDE為平行四

邊形，MN〃ED.又MNU平面QDE,所以MN〃平面￡DE.

(2)過C作CiE的垂線，垂足為H.

由已知可得DELBC,DE1QC,所以DEL平面GCE,^LDE±CH.

從而C”，平面C}DE,故C”的長即為C到平面QDE的距離，

由已知可得CE=1,CC=4,所以GE=47,故叵.

4xfi~7

從而點C到平面CXDE的距離為啖一.

20.解:

(1)設g(x)=/'(x),貝!Jg(x)=cosx+xsinx-l,g'(x)=xcosx.

jr/jr\jr

當xe(0,5)時，g\x)>0；當工6匕,兀)時，g<x)<0,所以g(x)在(0,萬)單調(diào)遞

增，在兀J單調(diào)遞減.

又g(0)=0,gd〉0,g(7T)=—2,故g(x)在(0,71)存在唯一零點.

所以/'(X)在(0,7T)存在唯一零點.

(2)由題設知/(兀)..〃兀,/(兀)=0,可得。柳.

由(1)知，/'(九)在(0,兀)只有一個零點，設為七,且當不￡(0,%)時，/(x)>0；

當無￡(%,兀)時，f\x)<0,所以/(%)在(0,%)單調(diào)遞增，在(不㈤單調(diào)遞減.

又/(。)=。J(兀)=。，所以，當犬￡[0,兀]時，/(%)..0.

又當6,0,xe[0,7t]時,ax<0,故/(%)..av.

因此，a的取值范圍是(-co,0].

21.解：(1)因為M過點A,3,所以圓心〃在A8的垂直平分線上.由已知A在直線x+y=0

上，且A,3關于坐標原點。對稱，所以M在直線y=x上，故可設/(a,a).

因為M與直線x+2=0相切，所以"的半徑為廠=|a+2|.

由已知得|AO|=2,又MOLAO,故可得2/+4=(a+2)2,解得°=0或。=4.

故V的半徑r=2或r=6.

(2)存在定點尸(1,0),使得1MAi-IMP|為定值.

理由如下：

設M(x,y),由已知得M的半徑為r=|x+2|,|AO|=2.

由于MOLAO,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化簡得M的軌跡方程為J?=4x.

因為曲線C:y2=4x是以點P(l,0)為焦點，以直線x=—1為準線的拋物線，所以

\MP\=x+l.

因為1%4HMp|=一|MP|=x+2-(x+l)=l,所以存在滿足條件的定點P.

[一產(chǎn)(vA2(12\dt2

22.解：(1)因為—1＜二^＜1,且好+上=+—J=l,所以C的直角

1+-UJ(1+/(1+疔

2

坐標方程為%之+?=1(%。一1).

I的直角坐標方程為2%+0y+H=0.

x=cosa,

(2)由(1)可設。的參數(shù)方程為((a為參數(shù)，一兀＜。＜兀).

y=2sina

4cos|or-—|+11

「.I2cosdz+2v3rsin6Z+ll|I3)

C上的點到l的距離為'----------%----------[=-----'1)——.

V7V7

當。=—§時，4cos(c—1]+11取得最小值7,故C上的點到/距離的最小值為近.

23.解：(1)+Z?2>2ab,b2+c2>2bc,c2+a2>lac,Xabc-1,故有

ab+be+ca111

a+1)1+C1>ab+be+ca——+—

abcabc

所以工+工+!<。2+/?2+c2.

abc

(2)因為a,瓦c為正數(shù)且abc=1,故有

(a+Z?)3+(Z?+c)3+(c+a)3>(a+Z?)3(Z?+c)3(a+c)3

=3(a+b)(b+c)(a+c)

>3x(2y[ab)x(2y[bc)x(2A/OC)

=24.

所以(a+bp+(b+cP+(c+q)3>24.

絕密★啟用前

2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學試卷（文科）（全國新課標I）

答案解析版

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設z=2二匕，則|z|=

l+2i11

A.2B.73C.72D.1

【答案】C

【解析】

【分析】

先由復數(shù)的除法運算（分母實數(shù)化），求得z,再求|z|.

【詳解】因為z==，所以Z=）〈六——（,所以

1+萬（4z2-）2（12

目=符+,=拒,故選C.

【點睛】本題主要考查復數(shù)的乘法運算，復數(shù)模的計算.本題也可以運用復數(shù)模的運算性質(zhì)

直接求解.

2.已知集合。={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},則3CVA

A,{1,6}B,{1,7}C.{6,7}D.

{1,6,7)

【答案】C

【解析】

【分析】

先求aA,再求5cgA.

【詳解】由已知得G7A={L6,7},所以BcgAn{6,7},故選C.

【點睛】本題主要考查交集、補集的運算.滲透了直觀想象素養(yǎng).使用補集思想得出答案.

0,203

3.已知a—log20.2,b=2,c=O.2,則

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.

b<c<a

【答案】B

【解析】

【分析】

運用中間量。比較。，。，運用中間量1比較b,c

023

【詳解】a=log20.2<log2l=0,Z，=2>2°=1,0<0.2°-<0.2°=1,則

0<c<l,a<c<b.故選B.

【點睛】本題考查指數(shù)和對數(shù)大小的比較，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).采取中間變量

法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.

4.古希臘時期，人們認為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是避二1

2

（縣口=0.618,稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此.止匕外，最美人體

2

的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是好匚.若某人滿足上述兩個黃金分割

2

比例，且腿長為105cm,頭頂至脖子下端的長度為26cm,則其身高可能是

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

【答案】B

【解析】

【分析】

理解黃金分割比例的含義，應用比例式列方程求解.

【詳解】設人體脖子下端至腿根的長為xcm,肚臍至腿根的長為ycm,則

8=2ax得xa42075zy^.15cm.又其腿長為105cm,頭頂至脖子下

xy+1052

端的長度為26cm,所以其身高約為42.07+5.15+105+26=178.22,接近175cm.故選B.

【點睛】本題考查類比歸納與合情推理，滲透了邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).采取類比法，利

用轉(zhuǎn)化思想解題.

一地乙sinx+x.

5.函數(shù)尤）=--------^在［-兀，兀］圖像大致為

【答案】D

【解析】

分析】

先判斷函數(shù)的奇偶性，得是奇函數(shù)，排除A,再注意到選項的區(qū)別，利用特殊值得正

確答案.

sin(-x)+(-x)—sinx—x

【詳解】由/（一幻=------------F=—/（%），得/（%）是奇函數(shù)，其圖象關

cos(_X)+(_x)?cosx+x

jro4+27r7T

于原點對稱.又/"（一）=-----=3—>1,/（不）=------7>0?故選D.

2（巧271一1+12

【點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與圖象，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).采取性

質(zhì)法或賦值法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題.

6.某學校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學生編號為1,2,1000,從這些新生

中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽取100名學生進行體質(zhì)測驗，若46號學生被抽到，則下面4名學

生中被抽到的是

A.8號學生B.200號學生C.616號學生D.815號

學生

【答案】C

【解析】

【分析】

等差數(shù)列的性質(zhì).滲透了數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).使用統(tǒng)計思想，逐個選項判斷得出答案.

【詳解】詳解：由已知將1000名學生分成100個組，每組10名學生，用系統(tǒng)抽樣，46號學

生被抽到，

所以第一組抽到6號，且每組抽到的學生號構(gòu)成等差數(shù)列{4},公差d=10,

所以a0=6+10〃（HGN*）,

若8=6+10〃，則〃=工，不合題意；若200=6+10〃，則“=19.4,不合題意；

5

若616=6+10”,則”=60,符合題意；若815=6+10”，則〃=80.9,不合題意.故選

C.

【點睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣.

7.tan255°=

A.-2一6B.—2+百C.2一百D.2+6

【答案】D

【解析】

【分析】

本題首先應用誘導公式，將問題轉(zhuǎn)化成銳角三角函數(shù)的計算，進一步應用兩角和的正切公式

計算求解.題目較易，注重了基礎知識、基本計算能力的考查.

【詳解】詳解：

t°=an°+2°=：=

tan45?+tan30°^T=2+^

1-tan45tan30]也

-T

【點睛】三角函數(shù)的誘導公式、兩角和與差的三角函數(shù)、特殊角的三角函數(shù)值、運算求解能

力.

8.已知非零向量”，占滿足同=2網(wǎng)，且（a-b）1b,則a與方的夾角為

it?n-2兀八57r

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】B

【解析】

【分析】

本題主要考查利用平面向量數(shù)量積數(shù)量積計算向量長度、夾角與垂直問題，滲透了轉(zhuǎn)化與化

歸、數(shù)學計算等數(shù)學素養(yǎng).先由3-?，人得出向量。力的數(shù)量積與其模的關系，再利用向

量夾角公式即可計算出向量夾角.

【詳解】因為（a—力_Lb,所以（a—b）為/=0,所以所以

a-b|/?|21式

CO^=]III=2=7所以。與人的夾角為彳，故選B.

\a\-\b\2\b\23

【點睛】對向量夾角的計算，先計算出向量的數(shù)量積及各個向量的摸，在利用向量夾角公式

求出夾角的余弦值，再求出夾角，注意向量夾角范圍為[0/].

]

9.如圖是求2+」了的程序框圖，圖中空白框中應填入

2+-

2

C開始）

而a云/輸出彳/

B.A=2+—

A

【答案】A

【解析】

【分析】

本題主要考查算法中的程序框圖，滲透閱讀、分析與解決問題等素養(yǎng)，認真分析式子結(jié)構(gòu)特

征與程序框圖結(jié)構(gòu)，即可找出作出選擇.

1-J—1

【詳解】執(zhí)行第1次，4=二次=1<2是，因為第一次應該計算c1=-~:,k=k+l=2,

循環(huán)，執(zhí)行第2次，k=2<2,是，因為第二次應該計算2+」T=」一，k=k+l=3,

2+12+A

2

循環(huán)，執(zhí)行第3次，k=2<2,否，輸出，故循環(huán)體為A=^^,故選A.

2+A

【點睛】秒殺速解認真觀察計算式子的結(jié)構(gòu)特點，可知循環(huán)體為A=

2+A

10.雙曲線C:=-[=l（a〉O,b〉O）的一條漸近線的傾斜角為130。，則C的離心率為

A.2sin40°B.2cos40°

sin50°

cos50°

【答案】D

【解析】

【分析】

由雙曲線漸近線定義可得上=tanl300,.-.-=tan50°，再利用e=￡=+求雙曲

aaa'(aJ

線的離心率.

bb

【詳解】由已知可得——=tan130°=tan50°,

aa

2

e=^=Jl+f-T=A/1+tan50°=卜in2500+cos250°_1

?yUJVcos250°Vcos250°cos50°

故選D.

22

【點睛】對于雙曲線:__211(。>0,z?>o)對于橢圓

/b-

□.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知asinA—6sinB=4csinC,cosA=——,

4

b

貝|J—=

c

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

【解析】

【分析】

利用余弦定理推論得出。，b,c關系，在結(jié)合正弦定理邊角互換列出方程，解出結(jié)果.

【詳解】詳解：由已知及正弦定理可得標—加=4°2,由余弦定理推論可得

1,b2+c2-a2c2-4c213c1b3.,,,?

——=cosA=------------,二---------=——,一=一,;.—=—x4=6,故選A.

42bc2bc42b4c2

【點睛】本題考查正弦定理及余弦定理推論的應用.

12.已知橢圓C的焦點為4(-1,0)，心(1,0),過B的直線與C交于A,8兩點.若

IAgl=2|F2B\,|AB\=\BF],則C的方程為

22222

,X21

A.——+y=1B.土+匕=1C.土+匕=1D.

23243

54

【答案】B

【解析】

【分析】

可以運用下面方法求解：如圖,由已知可設叵用=〃，則叫=2〃,防=即=3〃,

由橢圓的定義有2〃=忸周+忸司=4〃,.\|AZ^|=2a—\AF2\=2n.在/\AFXF2和

4孔2+4-2?2〃?2?cos44工K=4n2,

中，由余弦定理得＜又互補,

2

/+4-2?〃?2?cosZBF2F1=An

兩式消去用片，瑪耳，得

/.cosZAF2FX+cosZBF2Fr=0,cosNAcosNB3/+6=11/，

解得n=./.2〃=4〃=2A/3，.二a=y/3,/.b2=a2—c2=3—1=2,/.所求橢圓方程為

2

22

—+^=1,故選B.

32

【詳解】如圖，由已知可設|與目="，則=忸E|=|AB|=3"，由橢圓的定義有

2a=\BF^\BF^=^n,:.\AF\=2a-\AF^=2n.在45中，由余弦定理推論得

4n2+9n2-9n21

cosZEAB―—~.在△MB中，由余弦定理得

12-2n-3n3

4n2+4/22-2-2n-2n--=4,解得“=止

32

2a=4n=2乖）,a—A/3,b2=a~—c2—3—1—2,所求橢圓方程為--1-=1,故

32

選B.

【點睛】本題考查橢圓標準方程及其簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸的能力,

很好的落實了直觀想象、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng).

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.曲線y=3(/+x)］在點(0,0)處的切線方程為.

【答案】3x7=0.

【解析】

【分析】

本題根據(jù)導數(shù)幾何意義，通過求導數(shù)，確定得到切線的斜率，利用直線方程的點斜式求得

切線方程

【詳解】詳解：y=3(2x+V)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+l)ex,

所以，k=y'|x=0=3

所以，曲線y=3(f+x)ex在點(0,0)處的切線方程為y=3x,即3x-y=0.

【點睛】準確求導數(shù)是進一步計算的基礎，本題易因為導數(shù)的運算法則掌握不熟，二導致計

算錯誤.求導要“慢”，計算要準，是解答此類問題的基本要求.

3

14.記5為等比數(shù)列｛斯｝的前〃項和.若％=1,S3,則S4=.

【答案】|.

8

【解析】

【分析】

本題根據(jù)已知條件，列出關于等比數(shù)列公比q的方程，應用等比數(shù)列的求和公式，計算得到

54.題目的難度不大，注重了基礎知識、基本計算能力的考查.

【詳解】詳解：設等比數(shù)列的公比為4,由已知

31

§3=4+%q+%q2=1+q+,即+^+—=0

解得q二一;，

1-(-；廣

所以S4=qa—d)5

1—q1-(-^)8

【點睛】準確計算，是解答此類問題的基本要求.本題由于涉及幕的乘方運算、繁分式分式

計算，部分考生易出現(xiàn)運算錯誤.

一題多解：本題在求得數(shù)列的公比后，可利用己知計算

33

S4=S3+a4=S3+aiq=^+(-1)=|,避免繁分式計算.

15.函數(shù)f(x)=sin(2%+—)-3cos%的最小值為

【答案】-4.

【解析】

【分析】

本題首先應用誘導公式，轉(zhuǎn)化得到二倍角余弦，進一步應用二倍角的余弦公式，得到關于

27Z-J—的二次函數(shù)?題目有一定的綜合性，注重了基礎知識、數(shù)學式子的變形及運算求解

Ko

能力的考查.

【詳解】

//3兀、2

/(=-x)+sx

=-2x+—2+一，

48

-1<COSX<1,，當COSX=1時，Znin(X)=-4,

故函數(shù)/(元)的最小值為T.

【點睛】解答本題的過程中，部分考生易忽視-KcosxWl的限制，而簡單應用二次函數(shù)

的性質(zhì)，出現(xiàn)運算錯誤.

16.己知/ACB=90°,尸為平面ABC外一點，PC=2,點尸到/ACB兩邊AC,BC的距離均

為百，那么P到平面ABC的距離為.

【答案】V2.

【解析】

【分析】

本題考查學生空間想象能力，合理畫圖成為關鍵，準確找到P在底面上的射影，使用線面

垂直定理，得到垂直關系，勾股定理解決.

【詳解】作分別垂直于P。，平面ABC,連CO,

知CDLPD,CD工PO,PDOD=P,

\CDA平面PD。，ODu平面PDO,

:.CDLOD

:PD=PE=6PC=2.sinZPCE=sinZPCD)

2

NPCB=NPCA=60°，

.-.PO1CO,CO為NACB平分線，

ZOCD=45°<9D=CD=1,OC=0,又PC=2,

PO=44^2=42-

【點睛】畫圖視角選擇不當，線面垂直定理使用不夠靈活，難以發(fā)現(xiàn)垂直關系，問題即很難

解決，將幾何體擺放成正常視角，是立體幾何問題解決的有效手段，幾何關系利于觀察，解

題事半功倍.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21

題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答。

（-）必考題：60分。

17.某商場為提高服務質(zhì)量，隨機調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的

服務給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：

滿意不滿意

男顧客4010

女顧客3020

（1）分別估計男、女顧客對該商場服務滿意的概率；

（2）能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異？

n{ad-bcf

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

p(X2^)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

43

【答案】（1）—；

（2）能有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異.

【解析】

【分析】

（1）從題中所給的2x2列聯(lián)表中讀出相關的數(shù)據(jù)，利用滿意的人數(shù)除以總的人數(shù)，分別算

出相應的頻率，即估計得出的概率值；

（2）利用公式求得觀測值與臨界值比較，得到能有95%的把握認為男、女顧客對該商場服

務的評價有差異.

【詳解】(1)由題中表格可知，50名男顧客對商場服務滿意的有40人,

404

所以男顧客對商場服務滿意率估計為《=*=g，

50名女顧客對商場滿意的有30人，

303

所以女顧客對商場服務滿意率估計為鳥

100(40x20—30x10)2

(2)由列聯(lián)表可知K?=——?4.762>3,841,

70x30x50x5021

所以能有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務的評價有差異.

【點睛】該題考查的是有關概率與統(tǒng)計的知識，涉及到的知識點有利用頻率來估計概率，利

用列聯(lián)表計算K?的值，獨立性檢驗，屬于簡單題目.

18.記S,為等差數(shù)列｛3｝的前"項和，已知S9=-a5.

(1)若。3=4,求｛斯｝的通項公式；

(2)若ai>Q,求使得SE的n的取值范圍.

【答案】(1)a?=-2n+10；

(2)l<n<10(neN*).

【解析】

【分析】

(1)首項設出等差數(shù)列的首項和公差，根據(jù)題的條件，建立關于4和d的方程組，求得為

和d的值，利用等差數(shù)列的通項公式求得結(jié)果；

(2)根據(jù)題意有%=0,根據(jù)％〉0,可知d<0,根據(jù)S“〉a”，得到關于”的不等式，

從而求得結(jié)果.

【詳解】設等差數(shù)列｛4｝的首項為4，公差為d,

c9x87.…

9a,+-----d=-(CL+4d)

根據(jù)題意有《“2",

q+2d=4

a=8

解答《,所以=8+(〃—l)x(—2)=-2〃+10,

a=-2

所以等差數(shù)列｛4｝的通項公式為4=-2〃+10；

(2)由條件39=-。5，得9%=-。5，即。5=0，

因為q>0,所以d<0,并且有的=4+4d=。，所以有。i=-4d,

由Sn2a“得叫+”(<)d>ai+(n-v)d,整理得(/_9md>(2〃-10)d,

因為d<0,所以有〃2—9/<2〃—10，即A?—n〃+10<0，

解得1?九《10,

所以〃的取值范圍是：

【點睛】該題考查的是有關數(shù)列的問題，涉及到的知識點有等差數(shù)列的通項公式，等差數(shù)列

的求和公式，在解題的過程中，需要認真分析題意，熟練掌握基礎知識是正確解題的關鍵.

19.如圖，直四棱柱ABC。-AiBiC。/的底面是菱形,AAi=4,AB=2,ZBAD=60°,E,M,

N分別是BC,BBi,ALD的中點.

(1)證明：MN〃平面CiDE；

(2)求點C到平面ODE的距離.

【答案】(1)見解析;

【解析】

【分析】

(1)利用三角形中位線和AC可證得ME/JND，證得四邊形MNDE為平行四邊形,

進而證得ACV//DE,根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；

(2)根據(jù)題意求得三棱錐G-CDE的體積，再求出ACQE的面積，利用VCi_CDE=Vc_CiDE

求得點c到平面C]DE的距離，得到結(jié)果.

【詳解】（1）連接ME,B￡

M,E分別為34，BC中點為M8C的中位線

ME//BC且ME=工BC

12

又N為4。中點，且4?！?。:.NDIIB?且ND=LB0

MEHND四邊形MNDE為平行四邊形

:.MN!/DE,又肱Vz平面GOE，DEI平面G^E

:.MN//平面C0E

（2）在菱形A3CD中，￡為中點，所以

根據(jù)題意有DE=6，C[E=后,

因為棱柱為直棱柱，所以有DEL平面3CG4,

所以DELEG，所以%EGJX百xg'

設點C到平面CQE的距離為d,

x

根據(jù)題意有VC『CDE=VC-GDE>貝!1有一x—義xd——x—xlxy/3x4,

3232

解得［=厘=""7,

歷17

所以點C到平面C.DE的距離為生叵.

17

【點睛】該題考查的是有關立體幾何的問題，涉及到的知識點有線面平行的判定，點到平面

的距離的求解，在解題的過程中，注意要熟記線面平行的判定定理的內(nèi)容，注意平行線的尋

找思路，再者就是利用等積法求點到平面的距離是文科生?？嫉膬?nèi)容.

20.已知函數(shù)無)=2sinr—尤cos尤一無，f(x)為/(x)的導數(shù).

(1)證明：，(無)在區(qū)間(0,%)存在唯一零點；

(2)若xd