2019-2020學年山東省濟寧市高三（上）期末數學試卷

2019-2020學年山東省濟寧市高三（上）期末數學試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.（5分）設集合M={x|-IWXWI},/V={x|l<2x<4},則MCIN=（）

A.{x|-l<x<0}B.{x[0<x<l}C.{x|lWx<2}D.{_r|-lWx<2}

2.（5分）若a=2°Lh=lnl,c=log2工，則（）

5

A.b>c>aB.b>a>cC.c>a>bD.a>b>c

3.（5分）在△ABC中，AB=1,AC=3,標?菽=-1,則△ABC的面積為（）

A.AB.1C.\[2D.返

22

4.（5分）已知A,B,C為不共線的三點，則“|互+菽|=|而-菽I”是“△ABC為直

角三角形”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.（5分）函數y=-2cos2x+cosx+l,x€[--2L,2_]的圖象大致為（）

6.（5分）已知奇函數f（x）在R上單調，若正實數a,b滿足/（4a）+f（b-9）=0,則工4A

ab

的最小值是（）

A.1B.2C.9D.18

2

22

7.（5分）已知尸i,尸2是雙曲線弓■一3l（a>0,b>0）的左、右焦點，若點尸2關于雙

曲線漸近線的對稱點A滿足/FiAO=/AOFi（0為坐標原點），則雙曲線的漸近線方程

為（）

A.y—+2xB.y=±V3xC.y=±亞XD.y=±x

8.（5分）己知函數f（x）=lnx+（1-a）x+a（a>0）,若有且只有兩個整數尤1,%2使得了

（xi）>0,且/（也）>0,則a的取值范圍是（）

A.（0,^±13.）B.（0,2+勿2）

C.庫羅，2+ln2）nr21n2+43+ln3

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.（5分）下列命題中的真命題是（）

A.V.reR,2x-|>0B.VxGN*.（x-1）2>0

C.3x6R,lgx<1D.tanx=2

10.（5分）將函數/（x）=sin2x的圖象向右平移工個單位后得到函數g（x）的圖象，則

4

函數g（x）具有性質（）

A.在（0,上單調遞增，為偶函數

B.最大值為1,圖象關于直線乂=①對稱

2

C.在（弓二，專）上單調遞增，為奇函數

D.周期為m圖象關于點（型_,0）對稱

4

11.（5分）已知〃?、〃為兩條不重合的直線，a、0為兩個不重合的平面，則下列說法正確

的是（）

A.若加〃a,拉〃0且a〃0,則〃7〃/?

B.若〃z_La,則a〃0

C.若nua,a//p,〃?仁0,則加〃0

D.若加〃〃，〃_La,a±p,則相〃0

12.（5分）設等比數列｛〃〃｝的公比為,，其前〃項和為金，前幾項積為T”，并滿足條件m

>1?。2019。202（）>1,*259_L<0,下列結論正確的是（）

a2020~1

A.S2019Vs2020

B.S2019s2021-IVO

C.72019是數列｛7"｝中的最大值

D.數列｛T“｝無最大值

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（5分）在6_、歷y）8的展開式中，含x%4項的系數是.

14.（5分）已知拋物線C：b=8x的焦點為產，準線為/,尸是/上一點，Q是直線PP與C

的一個交點，若屈=3而，則|。用=.

15.（5分）2019年7月，中國良渚古城遺址獲準列入世界遺產名錄，標志著中華五千年文

明史得到國際社會認可.良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例，實證了中華五千年

文明史.考古科學家在測定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質因衰變而減少”這一

t

規(guī)律.已知樣本中碳14的質量N隨時間t（單位：年）的衰變規(guī)律滿足N=NQ?2一版"

（M）表示碳14原有的質量），則經過5730年后，碳14的質量變?yōu)樵瓉淼?；經過

測定，良渚古城遺址文物樣本中碳14的質量是原來的工至S,據此推測良渚古城存在的

25

時期距今約在年到5730年之間.（參考數據：log23比1.6,log25心2.3）

16.（5分）如圖是兩個腰長均為10cm的等腰直角三角形拼成的一個四邊形ABCQ,現(xiàn)將四

邊形ABCD沿BD折成直二面角A-8。-C,則三棱錐4-BCD的外接球的體積為

d.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）已知等差數列｛板｝滿足〃2+〃4=6,前7項和S7=28.

（I）求數列｛〃〃｝的通項公式；

（II）設b=------------------------——，求數列｛為｝的前〃項和Tn.

n1、/a.+1、

（2"+1）（2"+1）

18.（12分）己知/（x）=J^in（TI-x）sin（2L.+x）-cos2x.

2

(】)石求cos(2a的值；

XUo

(II)在△ABC中，角A,B,C所對應的邊分別a,h,c,若有(筋-c)cosB=bcosC,

求角8的大小以及/(A)的取值范圍.

19.(12分)如圖，在平行四邊形ABC。中，AB=\,8C=2,/B4￡>=120°,四邊形ACEF

為正方形，且平面ABCDJ_平面4CEF.

(I)證明：ABLCF,

(II)求平面8EF與平面8CF所成銳二面角的余弦值.

20.(12分)如圖，某市三地A,B,C有直道互通.現(xiàn)甲交警沿路線A8、乙交警沿路線ACB

同時從A地出發(fā)，勻速前往B地進行巡邏，并在B地會合后再去執(zhí)行其他任務.已知AB

=10km,AC=6h〃，BC=8km,甲的巡邏速度為5h"/〃，乙的巡邏速度為10h“〃?.

(I)求乙到達C地這一時刻的甲、乙兩交警之間的距離；

(II)已知交警的對講機的有效通話距離不大于3h〃，從乙到達C地這一時刻算起，求

經過多長時間，甲、乙方可通過對講機取得聯(lián)系.

比為2：1.直線/：)，="+〃?與橢圓E交于尸、Q兩點，其中2為直線/的斜率.

(I)求橢圓E的方程；

(II)若以線段PQ為直徑的圓過坐標原點O,問：是否存在一個以坐標原點O為圓心

的定圓O,不論直線/的斜率k取何值，定圓。恒與直線/相切？如果存在，求出圓O

的方程及實數機的取值范圍；如果不存在，請說明理由.

22.(12分)已知函數/(x)=x-tzsirir,g(x)=x+mlnx.

(I)求證：當間時，對任意在(0,+8),f(x)>0恒成立；

(II)求函數g(x)的極值；

(III)當。=工0寸，若存在川，X2G(0,+8)且X1WX2,滿足/(XI)+g(XI)=f(X2)

2

X|X

+g(X2),求證：---

2Q

2019-2020學年山東省濟寧市高三（上）期末數學試卷

參考答案與試題解析

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.（5分）設集合M={x|-IWXWI},N={x[l<2'<4},則MCN=（）

A.{x\-l^x<0}B.{x[0<xWl}C.{x|lWx<2}D.{x|-lWx<2}

【分析】解不等式求出集合N,根據交集的定義寫出MAN.

【解答】解：集合M={x|-IWXWI},N={x\1<2X<4}={^|0<x<2},

則MnN={x[O<x〈l}.

故選：B.

【點評】本題考查交集的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意交集定義的合理運

用.

2.（5分）若a=2°,，h=ln2,c=log2—,則（）

5

A.b>c>aB.b>a>cC.c>a>bD.a>b>c

【分析】利用指數對數函數的的單調性即可得出.

【解答】解：：a=2°」>l,b=ln2€（0,1）,c-log2A<0,

5

則a>b>c.

故選：D

【點評】本題考查了指數對數函數的的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎

題.

3.（5分）在△ABC中，AB=\,AC=3,AB-AC="1,則△ABC的面積為（）

A.AB.1C.D.返

22

【分析】由已知AB?AC=-1，結合數量積定義可得cosA,進而求出sinA,代入AABC

的面積即可求.

【解答】解：AC=3,AB-AC=-1-

cosA=AB-AC-1

IABIIACIT

則△ABC的面積S=LlBXACXsinA=Lx1X3X^-=V2.

223

故選：C.

【點評】本題主要考查了向量數量積的定義及同角三角函數基本關系，三角形的面積公

式的簡單應用，解題中要注意向量夾角定義的應用.

4.（5分）已知A,B,C為不共線的三點，則“|互+菽|=|AB-AC|”是“AABC為直

角三角形”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【分析】根據向量數量積與向量長度的關系，結合充分條件和必要條件的定義進行判斷

即可.

【解答】解：若|AB+AC|=|AB-AC|，則平方得AB?+2AB?AC+AC?=研2一

2AB-AC+AC2.

得4族=0,即亞?正=0,則為直角，則“A4BC為直角三角形成立,

反之當NB為直角，滿足△4BC為直角三角形成立，但|族+菽|=|至-菽|,不成立,

故“|謠+菽|=|靛-菽|”是“△4BC為直角三角形”的充分不必要條件，

故選：A.

【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合向量數量積的應用進行轉化是

解決本題的關鍵，難度中等.

5.（5分）函數y=-2COS2X+COSX+1,XG［-――,3-］的圖象大致為（）

22

yy

節(jié)^、［/1

1r

A.B.

【分析】根據函數的奇偶性和函數的最值即可求出答案.

【解答】解：因為函數y=-2COS2X+COSX+1,X&[-―,2L],

22

所以函數為偶函數，故排除A,D

y--2COS2X+COSX+1--2(COSJC-—)2+—,xE[-,-ZL],

4822

因為cosxWl,

所以當COSX=Jj寸，ymar=—>當COSX=1時，ymin=0,

48

故排除C,

故選：B.

【點評】本題考查了函數圖象的識別，關鍵掌握函數的單調性和函數的最值，屬于基礎

題.

6.（5分）己知奇函數/（無）在R上單調，若正實數a,b滿足八4“）+f（b-9）=0,則

的最小值是（）

A.1B.9C.9D.18

2

【分析】利用“乘1法”與基本不等式的性質即可得出.

【解答】解：因為奇函數/（x）在R上單調，且正實數mb滿足/（4a）+于（b-9）=0,

所以/（4。）=-f（b-9）=f（9-b）,

所以4以=9-/?BP4。+6=9,

則工4A=工（_!_J）（4〃+Z?）=—（5+—》^（5+4）=1，

ab9ab9ab9

當且僅當且上且44+6=9即a=3,/>=3時取等號，此時取得最小值1.

ab2

故選：A.

【點評】本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質，屬于基礎題

22

7.（5分）已知尸1,七是雙曲線Zy-E^lQ>。，b>0）的左、右焦點，若點放關于雙

曲線漸近線的對稱點A滿足/FiAO=/AOFi(0為坐標原點)，則雙曲線的漸近線方程

為()

A.y=±2xB.y=±V3xC.y=±亞xD.y=±x

【分析】設Fl(-c,0),Fi(c,0),漸近線方程為對稱點為A(m,〃)，運

a

用中點坐標公式和兩直線垂直的條件：斜率之積為-1,求出對稱點4的坐標，A滿足/

F\AO—ZAOF\,可得|AFi|=|OFi|=c,由兩點的距離公式，可得所求漸近線方程.

【解答】解：設為(-c,0),F2(c,0),

漸近線方程為y=X,

a

放的對稱點為AGn,〃)，

即有U_=-A,

m-cb

日上?n=—?b(m+c),

22a

22

解得〃『軟一b,n—2ab

cc

A滿足NFiAO=NAOFi,可得|AFi|=|OFi|=c,

即有(_dai+c)2+4aV=c25

cc2

結合(P'—c^+b2,

化為c=2a,即b=

可得雙曲線的漸近線方程為＞=土標.

故選：B.

【點評】本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用中點坐標公式和兩直線垂直的條件:

斜率之積為-1,以及等腰三角形的性質和兩點的距離公式，考查化簡整理的運算能力，

屬于中檔題.

8.(5分)已知函數/(x)^lnx+(1-a)x+a(a>0),若有且只有兩個整數xi,%2使得了

（xi）>0,且『（.）>0,則a的取值范圍是（）

A.（0,史賢■）B.(0,2+伍2)

產+￡n「21n2+43+ln3

C.,2+ln2)

【分析】由f(x)=lnx+(1-a)x+q>0,得bvc>{a-1)x-a,作出函數y=bvc與y

=（〃-1）的圖象，數形結合得答案.

【解答】解：由/（x）=lnx+（1-a）x+〃>0,得lnx>（a-1）x-a,

作出函數丫=加工與〉=（a-1）x-a的圖象如圖：

直線y=（a-1）x-〃過定點（1,-1）,

當n=2時，曲線y=//tr上的點為（2,勿2）,當x=3時，曲線y=/nx上的點為（3,妨3）.

過點（1,-1）與（2,/〃2）的直線的斜率％=ln2+l=52+1，

2~1

過點（1,-1）與（3,/〃3）的直線的斜率Z=ln3+1=ln3+l

3-12

由a-l=/"2+l,得a=/〃2+2,由a-1=）■+/得“二！11"』..

22

...若有且只有兩個整數XI,X2使得了（XI）>0,且/（X2）>0,則a的取值范圍是

芳）

[3+,2+ln2.

故選：C.

【點評】本題考查函數零點與方程根的關系，考查數學轉化思想方法與數形結合的解題

思想方法，屬難題.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得（）分.

9.（5分）下列命題中的真命題是（）

A.VxeR,2xl>0B.VxGN*,(x-1)2>0

C.3xGR,lgx<1D.3xGR,tanx=2

【分析】根據指數函數的值域，得到A項正確；根據一個自然數的平方大于或等于0,

得到B項不正確；根據對數的定義與運算，得到C項正確；根據正弦函數y=tanx的值

域，得力項正確.由此可得本題的答案.

【解答】解：???指數函數>=2,的值域為(0,+8)

...任意X6R,均可得到2、T>0成立，故A項正確；

?.?當xCN*時，x-1GN,可得(x-1)2>0,當且僅當x=l時等號

存在xCN*,使(x-1)2>0不成立，故B項不正確；

,當x=l時，/gx=0Vl

存在xCR,使得/gx<l成立，故C項正確；

?正切函數y=tanx的值域為R

...存在銳角x，使得tanr=2成立，故￡>項正確

故選：ACD.

【點評】本題給出含有量詞的幾個命題，要求找出其中的假命題.著重考查了基本初等

函數的值域、對數的運算和不等式的性質等知識，屬于基礎題.

10.(5分)將函數/(x)=sin2x的圖象向右平移三個單位后得到函數g(x)的圖象，則

4

函數g(無)具有性質()

A.在(0,子)上單調遞增，為偶函數

B.最大值為1,圖象關于直線乂=旦?對稱

2

C.在(丹匚，專)上單調遞增，為奇函數

D.周期為TT,圖象關于點(等，0)對稱

【分析】根據函數圖象變換求出函數g(x)的解析式，結合三角函數的性質分別進行判

斷即可.

【解答】解：將函數/(x)=sin2x的圖象向右平移工?個單位后得到函數g(x)的圖象,

4

則g(x)=sin2(x--2E_)=sin(2x--ZL.)=-cos2x,

42

則函數g(x)為偶函數，當0<工<2叫，0<2X<2L,此時g(x)為增函數，故4正

42

確，

函數的最大值為1,當x=-3兀時，g(x)=-cos(-3n)=-COSTT=1,為最大值，則

2

函數圖象關于直線乂=且匕對稱，故2正確，

2

函數為偶函數，故c錯誤，

函數的周期7=空^兀，g(12L)=-cos(1ZLX2)=-COS§2L=0,即圖象關于

2442

點(2三，0)對稱，故。正確

4

故正確的是A8D,

故選：ABD.

【點評】本題主要考查三角函數的圖象和性質，求出函數的解析式以及利用三角函數的

性質是解決本題的關鍵.難度中等.

11.(5分)已知〃人“為兩條不重合的直線，a、0為兩個不重合的平面，則下列說法正確

的是()

A.若M〃a,〃〃口且。〃0,則機〃〃

B.若加〃小"z_La,貝!ja〃。

C.若加〃〃，〃ua,a〃,則加〃0

D.若機〃〃，〃_La,a±p,則〃2〃0

【分析】根據線面平行的判定定理，性質定理以及有關結論即可判斷各選項的真假.

【解答】解：對A,若加〃a,〃〃0且a〃0,則加〃〃或者加與〃相交，或者相與〃異

面，所以A錯誤；

對8,若m〃n,m±a,則〃J_a,又幾_L0,所以a〃仇正確；

對C,若〃ua,a〃0,則〃〃0,又加〃〃，加仁仇所以加〃0,正確；

對。，若加〃"，〃_La,則用_La,又a_L0,所以m〃0或〃zu0,所以。錯誤.

故選：BC.

【點評】本題主要考查利用線面平行的判定定理，性質定理以及有關結論判斷命題的真

假，屬于基礎題.

12.(5分)設等比數列｛〃〃｝的公比為,，其前〃項和為金，前幾項積為T”，并滿足條件m

>1?。2019。202()>1,*259_L<0,下列結論正確的是()

a2020-1

A.S2019Vs2020

B.S2019s2021-IVO

C.72019是數列｛7"｝中的最大值

D.數列｛T“｝無最大值

【分析】本題由題意根據題干可得〃2019>1,<12020<1.從而有0<^<1,則等比

數列｛加｝為正項的遞減數列.再結合等比數列的性質逐一核對四個命題得答案即可得到

正確選項.

【解答】解：等比數列｛“"｝的公比為4,其前〃項和為S”,前"項積為7”，并滿足條件

6T1>1,

〃2019。2020>1，~-<0,.??。2019>1，0V〃2020V1，/.0<9<l.

a2020-1

根據m>l,0<^<1,可知

等比數列｛?！保秊檎椀倪f減數列.

即1>。2020>

*/52020-S2019=Q2020>0,

.*.52019<52020,故選項A正確；

VS2019=?H-672+***+i72019>L

S2019*S2021=52019*(52019+。2020+〃2021)

=s2+52019*(02020+42021)

b2019

>c2>1.

>2019

即52019*52021-l>0.故選項8錯誤；

根據…>。2020>…>0.可知

及019是數列｛力?｝中的最大項，故選項C正確、選項。錯誤.

故選：AC.

【點評】本題考查了等比數列的通項公式及其性質、遞推關系、不等式的性質，考查了

推理能力與計算能力，屬于中檔題.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.(5分)在@_我了)8的展開式中，含/丫4項的系數是280.

【分析】寫出二項展開式的通項，由x的指數等于4求得r值，則答案可求

【解答】解：由小1=（/產，（-亞y）r=產V；

88

令8-r=0,得r=4.

,展開式中含/y4的系數為：「&）4c4=280.

8

故答案為：280.

【點評】本題考查二項式系數的性質，關鍵是熟記二項展開式的通項，是基礎題

14.（5分）已知拋物線C：/=8x的焦點為F,準線為/,尸是/上一點，Q是直線PF與C

的一個交點，若屈=3屈，則|。用=_&_.

-3_-

【分析】求得直線PF的方程，與）2=心聯(lián)立可得x=l,利用|Qf]=d可求.

【解答】解：設。到/的距離為d,則|QQ=d,

VPF=3QF.

：.\PQ\=2d,

???不妨設直線PF的斜率為愿，

'：F（0,2）,

直線PF的方程為、=我（x-2）,

與V=8x聯(lián)立可得x=2,

3

：.\QF\=d^—,

3

故答案為：1.

3

【點評】本題考查拋物線的簡單性質，考查直線與拋物線的位置關系，屬于基礎題.

15.（5分）2019年7月，中國良渚古城遺址獲準列入世界遺產名錄，標志著中華五千年文

明史得到國際社會認可.良渚古城遺址是人類早期城市文明的范例，實證了中華五千年

文明史.考古科學家在測定遺址年齡的過程中利用了“放射性物質因衰變而減少”這一

t

規(guī)律.已知樣本中碳14的質量N隨時間，（單位：年）的衰變規(guī)律滿足N=NO.2一亍而

（M）表示碳14原有的質量），則經過5730年后，碳14的質量變?yōu)樵瓉淼?；經過

—2—

測定，良渚古城遺址文物樣本中碳14的質量是原來的工至3,據此推測良渚古城存在的

25

時期距今約在4011年到5730年之間.（參考數據：log23七1.6,log25比2.3）

【分析】根據生物體內碳14的質量N與死亡年數/之間的函數關系式，1=5730代入，

得N=迎,故每經過5730年衰減為原來的一半；

2

利用碳14的殘余量約占原來的上至3,建立不等式，即可推算良渚古城的年代.

25

t

【解答】解：：生物體內碳14的量N與死亡年數f之間的函數關系式為：脂距?2-而而'；

*1N

f=5730時,N=N0.2T=號o；

所以每經過5730年衰減為原來的工；

2

由于良渚古城遺址文物樣本中碳14的質量是原來的上至3,

25

兩邊同時取以2為底的對數，得：

-1WW(log23-log25)=-0.7

5730

.?.4011^^5730；

故推測良渚古城存在的時期距今約在4011年到5730年之間.

故答案為：.1,4011.

2

【點評】本題考查利用數學知識解決實際問題，考查學生的計算能力，屬于中檔題.

16.(5分)如圖是兩個腰長均為10c相的等腰直角三角形拼成的一個四邊形4BC￡>,現(xiàn)將四

邊形ABCD沿BD折成直二面角A-BD-C,則三棱錐A-BCD的外接球的體積為

500A/^on3.

【分析】先確定三棱錐A-BCD的外接球直徑為AC,再根據圖中數據求出外接球的半徑

R,從而求得體積.

【解答】解：四邊形ABCD中，ZABD^ZBDC=90°,

：.ABLBD,CD1.BD-,

?.?沿8。折成直二面角A-BO-C,如圖所示；

平面5CQ,(?。_1平面48。,

：.AB±BC,CDIDA；

三棱錐A-BCD的外接球的直徑為AC,

且q2=■8F+|BDF+|=102+102+1（）2=3oo

.?.外接球的半徑為R=5ye,它的體積為空■,（1后）3=500標.

3

故答案為：500J丁.

B

【點評】本題考查了幾何體外接球的體積計算問題，解題的關鍵是確定外接球的直徑.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（10分）已知等差數列｛的｝滿足及+以=6,前7項和57=28.

（I）求數列｛處｝的通項公式；

9n

（II）設bn=-----—a+1——，求數列｛為｝的前n項和Tn.

n（2%+1）（2&。+1）

【分析】（/）設等差數列｛祈｝的公差為詭運用等差數列的通項公式和求和公式，計算可

得首項和公差，進而得到所求通項公式；

（〃）由（/）知，b=------------------=---------.......=~—---------

n（2%+1）（2%7+1）（2n+l）（2n+1+l）2n+l2ttH+1

由數列的裂項相消求和，計算可得所求和.

【解答】解：（/）設等差數列｛的｝的公差為",由42+04=6可知03=3,前7項和S7=28.，

6/4=4,解得41=1,d=l,

/.d/?=1+l(n-1)=〃；

(//)由(/)矢口，b=-------------------=---------——----=~----—，

n(2%+1)(2^-1+1)(2n+l)(2n+1+l)2n+l211H+1

?.[bn]前〃項和L?=b]+bl+.............+bn=

z11-11sz11s_11

(-i2―)+^~23)+…+(F而)―Q一面,

2+12+12+12+12+12+132+1

【點評】本題考查等差數列的通項公式和求和公式，數列的裂項相消求和，屬于中檔題.

18.(12分)已知/(x)=J^in(IT-x)sin(---+x)-cos2x.

(I)若求cos(2ClH；)的值；

/J.Uo

(II)在AABC中，角A,B,C所對應的邊分別a,b,c,若有(2d-c)cosB=hcosC,

求角8的大小以及/(A)的取值范圍.

【分析】(I)利用三角函數恒等變換的應用可求函數解析式“x)=sin(2x-專)總，

由已知可求sin(a-卷)=菅，利用三角函數恒等變換的應用化簡所求即可求值得解.

(〃)由正弦定理，三角函數恒等變換的應用化簡已知等式，結合siM>0,可求cosB的

值，可求B的值，進而可求范圍A的范圍，利用正弦函數的值域即可求解7(A)的取值

范圍.

【解答】解：(I)f(x)W^sinxcosx-cos'q^sinZx-^cosZx-^"=

.ni

sin(2x-

所以sin(a

65

所以cos(2a+”)=-cos(2a-^?~)=2sin2(a-^-)-l=2X(-1-)2-l=

oobbZo

(〃)因為(2a-c)cos3=〃cosC,

由正弦定理得：(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,

所以2sin4cosB-sinCcosB=sinBcosC,

即2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,

因為sinA>0,

所以cosB3^，所以B二

所以等，AES,等)，2A-￡(玲，子)，

33666

所以sin(2A-^~)CI],

所以/(A)的取值范圍是(-1,1].

【點評】本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，正弦定理，正弦函數的性質的綜合

應用，考查了轉化思想和函數思想，屬于中檔題.

19.(12分)如圖，在平行四邊形ABC。中，AB=1,BC=2,ZBAD=120°,四邊形ACEF

為正方形，且平面ABC。，平面ACEF.

(I)證明：ABVCF-,

(II)求平面BEF與平面BC尸所成銳二面角的余弦值.

(分析】(/)由余弦定理求出AC=V3,推導出AB±AC,AFLAC,推導出平面ABCD,

AF1AB,從而AB_L平面4CE凡由此能證明A8J_CF.

(//)由AB,AC,AF兩兩垂直，分別以A8,AC,AF所在直線為x,?z軸，建立空

間直角坐標系，由此能求出平面BEF與平面BCF所成銳二面角的余弦值.

【解答】解：(/)證明：在平行四邊形ABCD中，/ABC=180°-120°=60°,

在△A8C中，由余弦定理得：AC^-^A^+BC1-2AB?BCcos60°=3,

即AC=V3，

EtlBC2=AC2+AB2,得NB4C=90°,：.ABLAC,

又四邊形4CE尸為正方形，凡L4C,

又平面ABCQ_L平面ACEF,平面ABCQCl平面ACEF=AC

.?.AF_L平面ABC。，：.AF±AB,

又AFA4C=A,：.ABmACEF,

CFu平面ACEF,J.ABVCF.

(〃)解：由(/)得AB,AC,AF兩兩垂直,

分別以A8,AC,AF所在直線為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則

A(0,0,0),B(l,0,0),C(0,V3)0)，F(xiàn)(0,0,“)，E(0,對，班),

設平面BEF的一個法向量3=(x,y,z)，BF=(-1,0,V3),而=(0,0)，

n,BF=-x+V3z=0

則w，取z=l,得n=G/§,0,1A

n*EF=-V3y=0

同理可得平面BCF的一個法向量為'=(?,i,i),

設平面BE尸與平面8c尸所成銳二面角的平面角為0,

...平面BEF與平面BCF所成銳二面角的余弦值為旭.

5

【點評】本題考查線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線

面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

20.(12分)如圖，某市三地A,B,C有直道互通.現(xiàn)甲交警沿路線4B、乙交警沿路線AC8

同時從A地出發(fā)，勻速前往8地進行巡邏，并在B地會合后再去執(zhí)行其他任務.已知AB

=10h",AC=6km,BC=8km,甲的巡邏速度為5hw/〃，乙的巡邏速度為10h“〃?.

(I)求乙到達C地這一時刻的甲、乙兩交警之間的距離；

(II)已知交警的對講機的有效通話距離不大于弘祖，從乙到達C地這一時刻算起，求

經過多長時間，甲、乙方可通過對講機取得聯(lián)系.

【分析】(/)由題意設當乙到達C地時甲處在。點，利用余弦定理求得CQ的值即可；

(〃)設乙到達C地后，經過f小時，甲、乙兩交警之間的距離為/G)km,根據題意求

出/(f)的解析式，利用了。)>3求得f的取值范圍，從而求得結果.

【解答】解：(/)由48=106,AC=6kmBC=8km,知NAC5=90°,A=—?

fC0S5

設當乙到達C地時，甲處在。點，則AD*X5=3km；

所以在△ACC中，由余弦定理得：

CD2=AC2+AD2-2AC*AD*cosA—^-2X6X3X—=>

+55

解得CD用匝；

5

即此時甲、乙兩交警之間的距離為名⑥kir

5

(〃)設乙到達C地后，經過，小時，甲、乙兩交警之間的距離為了(，)km,

在aBCD中，BC=8km,BD=7km,cosZABC

5

乙從C地到達8地，用時t-Sj、時，甲從D處到達8地，用時土工、時，

工5x5

所以當乙從C地到達B地，此時，甲從。處行進到E點處，且DE=lx5=4km,BE=3kn>

5

所以當時，f(t)=J(8-10t)2+(7-5t)2-2(8-10t)(7-5t)暫=

b

55

又當匡4t《工時，甲、乙兩交警間的距離為了⑺=7-5*3m,

55

因為甲、乙間的距離不大于3km時方可通過對講機取得聯(lián)系；

所以從乙到達C地這一時刻算起，經過2小時，甲、乙可通過對講機取得聯(lián)系.

5

B

D

【點評】本題考查了解三角形的應用問題，也考查了函數思想與運算求解能力，是中檔

題.

22

21.（12分）已知橢圓E：的一個焦點為（°，蟲），長軸與短軸的

比為2：1.直線/：），=區(qū)+〃?與橢圓￡交于尸、Q兩點，其中2為直線/的斜率.

（I）求橢圓E的方程；

（II）若以線段PQ為直徑的圓過坐標原點O,問：是否存在一個以坐標原點O為圓心

的定圓O,不論直線/的斜率&取何值，定圓。恒與直線/相切？如果存在，求出圓O

的方程及實數，〃的取值范圍；如果不存在，請說明理由.

【分析】（/）由題意可得：c=J52a：2b—2：1,a2=/?2+c2.解得：a,b,即可得出

桶圓E的方程.

（〃）解法一：假設存在定圓O,不論直線/的斜率A取何值時，定圓。恒與直線/相切.這

時，只需證明坐標原點。到直線/的距離為定值即可.設PGn,yi）,Q（x2,”），聯(lián)

立方程，消去y整理得：（4+F）7+2癡%+/-4=0,△>（）,得：必-序+4>0,根據以

線段PQ為直徑的圓過坐標原點O,可得xix2+yi”=0,I利用根與系數的關系化簡得：

4必=5川-4,此時可得坐標原點O到直線/距離d.由坐標原點O到直線/的距離d='等

為定值知，所以存在定圓O,不論直線/的斜率k取何值時，定圓。恒與直線/相切，定

22

圓。的方程為：x+y=l.即可得出得加的取值范圍是.

解法二：假設存在定圓O,不論直線/的斜率上取何值時，定圓。恒與直線/相切.這時，

只需證明坐標原點。到直線/的距離為定值即可.設直線OP的方程為：y=tx,P點的

坐標為（即，和），則加=的,聯(lián)立方程組可得|0P|2=xn+yn=（l+t2）xn=4（1+t