高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 核心素養(yǎng)提升練五十四 10.8 拋物線 理（含解析）新人教A-新人教A高三數(shù)學(xué)試題

核心素養(yǎng)提升練五十四拋物線(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知拋物線的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程,焦點(diǎn)在x軸上,其上點(diǎn)P(-3,m)到焦點(diǎn)的距離為5,則拋物線方程為 ()A.y2=8x B.y2=-8xC.y2=4x D.y2=-4x【解析】選B.設(shè)拋物線方程為y2=-2px(p>0),則-(-3)=5,即p=4,所以拋物線方程為y2=-8x.【變式備選】(2018·玉溪模擬)若拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)P(2,y0)到其準(zhǔn)線的距離為4,則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ()A.y2=4x B.y2=6xC.y2=8x D.y2=10x【解析】選C.因?yàn)閽佄锞€y2=2px,所以準(zhǔn)線為x=-.因?yàn)辄c(diǎn)P(2,y0)到其準(zhǔn)線的距離為4,所以2+=4,即p=4,所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=8x.2.已知拋物線的方程為y2=2px(p>0),過(guò)拋物線上一點(diǎn)M(p,p)和拋物線的焦點(diǎn)F作直線l交拋物線于另一點(diǎn)N,則|NF|∶|FM|= ()A.1∶ B.1∶C.1∶2 D.1∶3【解析】選C.由已知直線l的方程為y=2x-,聯(lián)立得N,-p,所以|NF|=+=p,|MF|=p+=p,所以|NF|∶|FM|=1∶2.3.已知雙曲線C1:-=1(a>0,b>0)的離心率為2.若拋物線C2:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2,則拋物線C2的方程為 ()A.x2=y B.x2=yC.x2=8y D.x2=16y【解析】選D.因?yàn)?=1的離心率為2,所以=2,即==4,所以=.x2=2py的焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,,-=1的漸近線方程為y=±x,即y=±x.由已知=2,即p=8.所以C2的方程為x2=16y.4.若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2),F是拋物線y2=2x的焦點(diǎn),點(diǎn)M在拋物線上移動(dòng)時(shí),使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐標(biāo)為 ()A.(0,0) B.,1C.(1,) D.(2,2)【解析】選D.過(guò)M點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線,垂足是N,則|MF|+|MA|=|MN|+|MA|,當(dāng)A,M,N三點(diǎn)共線時(shí),|MF|+|MA|取得最小值,此時(shí)M(2,2).5.已知點(diǎn)M是拋物線C:y2=2px(p>0)上一點(diǎn),F為C的焦點(diǎn),MF的中點(diǎn)坐標(biāo)是(2,2),則p的值為 ()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選D.F,0,那么M4-,4在拋物線上,即16=2p4-,即p2-8p+16=0,解得p=4.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2018·西安模擬)如圖,過(guò)拋物線y=x2的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線和圓x2+(y-1)2=1交于A,B,C,D四點(diǎn),則·=________.

【解析】不妨設(shè)直線AB的方程為y=1,聯(lián)立解得x=±2,所以A(-2,1),D(2,1),因?yàn)锽(-1,1),C(1,1),所以=(1,0),=(-1,0),所以·=-1.答案:-17.(2018·正定模擬)如圖,正方形ABCD和正方形DEFG的邊長(zhǎng)分別為a,b(a<b),原點(diǎn)O為AD的中點(diǎn),拋物線y2=2px(p>0)經(jīng)過(guò)C,F兩點(diǎn),則=________.

【解析】|OD|=,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,所以C,-a,F+b,b,又拋物線y2=2px(p>0)經(jīng)過(guò)C,F兩點(diǎn),所以即所以b2=a2+2ab,2-2·-1=0,又>1,所以=1+.答案:1+8.已知正△AOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的頂點(diǎn)A,B在拋物線y2=3x上,則△AOB的邊長(zhǎng)是________.

【解析】由拋物線的對(duì)稱(chēng)性得∠AOx=30°,所以直線OA的方程為y=x,聯(lián)立,解得A(9,3).所以|AO|==6.答案:6三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知點(diǎn)A(2,1)在拋物線E:x2=ay上,直線l1:y=kx+1(k∈R,且k≠0)與拋物線E相交于B,C兩點(diǎn),直線AB,AC分別交直線l2:y=-1于點(diǎn)S,T.(1)求a的值.(2)若|ST|=2,求直線l1的方程.【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)A(2,1)在拋物線E:x2=ay上,所以a=4.(2)由(1)得拋物線E的方程為x2=4y.設(shè)點(diǎn)B,C的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),依題意得=4y1,=4y2,由消去y,得x2-4kx-4=0,解得x1,2==2k±2.所以x1+x2=4k,x1x2=-4.直線AB的斜率kAB===,故直線AB的方程為y-1=(x-2).令y=-1,得x=2-(由題意知x1+2≠0),所以點(diǎn)S的坐標(biāo)為.同理可得點(diǎn)T的坐標(biāo)為.所以|ST|=====,因?yàn)閨ST|=2,所以|x1-x2|=2|k|.由|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2,得20k2=16k2+16,解得k=2或k=-2,所以直線l1的方程為y=2x+1或y=-2x+1.10.(2019·衡水模擬)已知拋物線C:y2=ax(a>0)上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為2t. (1)求拋物線C的方程.(2)拋物線上一點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為1,過(guò)點(diǎn)Q(3,-1)的直線與拋物線C交于M,N兩個(gè)不同的點(diǎn)(均與點(diǎn)A不重合),設(shè)直線AM,AN的斜率分別為k1,k2,求證:k1·k2為定值.【解析】(1)由拋物線的定義可知|PF|=t+=2t,則a=4t,由點(diǎn)P在拋物線上,則at=.所以a×=,則a2=1,由a>0,則a=1,故拋物線的方程為y2=x.(2)因?yàn)锳點(diǎn)在拋物線上,且yA=1.所以xA=1,所以A(1,1),設(shè)過(guò)點(diǎn)Q(3,-1)的直線l的方程x-3=m(y+1).即x=my+m+3,代入y2=x得y2-my-m-3=0.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則y1+y2=m,y1y2=-m-3,所以k1·k2=·===-,為定值.(20分鐘40分)1.(5分)(2018·哈爾濱模擬)已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P是l上一點(diǎn),Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn),若=4,則|QF|等于 ()A. B.3 C. D.2【解析】選B.設(shè)Q到l的距離為d,則|QF|=d,因?yàn)?4,所以|PQ|=3d,不妨設(shè)直線PF的斜率為-=-2,因?yàn)镕(2,0),所以直線PF的方程為y=-2(x-2),與y2=8x聯(lián)立得x=1,所以|QF|=d=1+2=3.2.(5分)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).若|AF|=3,則△AOB的面積為 ()A. B. C. D.2【解析】選C.焦點(diǎn)F(1,0),設(shè)A,B分別在第一、四象限,則點(diǎn)A到準(zhǔn)線l:x=-1的距離為3,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2,縱坐標(biāo)為2,AB的方程為y=2(x-1),與拋物線方程聯(lián)立得2x2-5x+2=0,所以B的橫坐標(biāo)為,縱坐標(biāo)為-,S△AOB=×1×(2+)=.3.(5分)(2018·正定模擬)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線l過(guò)F且與C交于A,B兩點(diǎn).若|AF|=3|BF|,則l的方程為 ()A.y=x-1或y=-x+1B.y=(x-1)或y=-(x-1)C.y=(x-1)或y=-(x-1)D.y=(x-1)或y=-(x-1)【解析】選C.如圖所示,作出拋物線的準(zhǔn)線l1及點(diǎn)A,B到準(zhǔn)線的垂線段AA1,BB1,設(shè)直線l交準(zhǔn)線于點(diǎn)M,|BF|=m,由拋物線的定義知|BB1|=m,|AA1|=|AF|=3m,由BB1∥AA1知=,即=,所以|MB|=2m,|MA|=6m,所以∠AMA1=30°,∠AFx=∠MAA1=60°.4.(12分)設(shè)直線l的方程為x=m(y+2)+5,該直線交拋物線C:y2=4x于P,Q兩個(gè)不同的點(diǎn). (1)若點(diǎn)A(5,-2)為線段PQ的中點(diǎn),求直線l的方程.(2)證明:以線段PQ為直徑的圓M恒過(guò)點(diǎn)B(1,2).【解析】(1)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),聯(lián)立,消去x得y2-4my-4(2m+5)=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-8m-20,因?yàn)锳為線段PQ的中點(diǎn),所以=2m=-2,解得m=-1,所以直線l的方程為x+y-3=0.(2)因?yàn)閤1+x2=m(y1+y2)+2(2m+5)=4m2+4m+10,x1x2=·==(2m+5)2,所以·=(x1-1)(x2-1)+(y1-2)(y2-2),即·=[x1x2-(x1+x2)+1]+[y1y2-2(y1+y2)+4],所以·=[(2m+5)2-(4m2+4m+10)+1]+[-8m-20-2(4m)+4]=0,所以BP⊥BQ,即以線段PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)B(1,2).5.(13分)(2016·全國(guó)卷Ⅲ)已知拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)為F,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于P,Q兩點(diǎn). (1)若F在線段AB上,R是PQ的中點(diǎn),證明:AR∥FQ.(2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,求AB中點(diǎn)的軌跡方程.【解析】(1)由題意可知F,設(shè)l1:y=a,l2:y=b且ab≠0,A,B,P,Q,R,記過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線方程為l,由點(diǎn)A,B可得直線方程為2x-(a+b)y+ab=0,因?yàn)辄c(diǎn)F在線段AB上,所以ab+1=0,記直線AR的斜率為k1,直線FQ的斜率為k2,所以k1=,k2==-b,又因?yàn)閍b+1=0,所以