高中數(shù)學(xué)必修第2冊(cè) 教材習(xí)題答案

教材習(xí)題答案

教材習(xí)題答案

第六章平面向量模為1的相等向建有18對(duì)(其中與A—崛向

Ty/『

及其應(yīng)用的共有6對(duì)，與A—M反向的也有6對(duì)，與后同“#ar

向的共有3對(duì)，與布反向的也有3對(duì));模]bf'

為

6.1平面向量的概念圖1

2的相等向量有4對(duì)；模為2的相等向量有

向量的實(shí)際背景與概念

6.1.12對(duì).當(dāng)a,b魁時(shí)，作圖如圖2所示，顯然一(a+

b)=-a—b.

6.1.2向量的幾何表示

平面向量的運(yùn)算i

6.2__山

6.3相等向量與共線向量

1.向量的加法運(yùn)算

6.2.1To出(或TI-BI

練習(xí)

練習(xí)

1-解析懸掛物受到的拉力，摩擦力，加速度.圖2

1.瞬斤(D

2.解析圖①中的有向線段表示一個(gè)豎直向

6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算

下、大小為18N的力，圖②中的有向線段表

練習(xí)

示一個(gè)水平向左、大小為的力.

28N1.解析如圖.

圖②

2.44

圖①

3.角新(1)b=2a.(2)b=一—a.

3.|A?I=2,ICffI=2.5,|Et|=3.|」|b9產(chǎn)

(3)b=--La.(4)b=JLa.

=22.

4.解析⑴終點(diǎn)M、N的位置相同.練習(xí)

⑵由題意可知，當(dāng)0置飄同向時(shí)，如圖1.1.解析(1)因?yàn)閍=-b,所以a,b爆.

0(2)因?yàn)閎=-2a,所以a,b共線.

m段

圖12.解析當(dāng)a與b共線且方向相反時(shí).2.(1)=3a—2b.

3.答案(1)c(2)f(3)f(4)g(2)酎=-Ua+J_b.

―=^-1”t

?「|0M|=2|ON|=1,/.|MN|4.⑴X⑵4(3)X

(3)原式=2ya.

如圖，麗表示小船的速度，同表示

向量irt與川的方向相反.5.解析3.解析a與b是共線向量，

河水的速度，以布、力為鄰邊作平行四邊形存年數(shù)入，使b=4a,

反向時(shí)，如圖2.

(61-262).

ABCD,則此就是小船實(shí)際航行的速度.BP2e1+ke2=A

kit

圖2k=-4.

\3(A1—九

->.—?—>3

向量的數(shù)量積

|0M|=2|0N|=1,|MN|=—B6.2.4

練習(xí)

向量irt與通的方向相同.由已知條件可得

1,153|p||q|cos60°=8x6x,=24.

?習(xí)題6.1IAC|=15cos30°=---------

復(fù)習(xí)鞏固2

2.撕a-b=|a||b|cos0=|花||A^|cosA.

1.解析如圖.小船實(shí)際航行速度的大小為--km/h,

當(dāng)ab<0時(shí)，cosA<0,A為鈍角，AABC為

鈍角三角形；

方向與河水的速度間的夾角為90°.

當(dāng)ab=0時(shí)，cosA=0,A為直角，AABC為

6.2.2向量的減法運(yùn)算直角三角形.

練習(xí)3.解析當(dāng)6=45°時(shí)，向量a在向量e上白時(shí)殳

1.斤

景狗量為|a|cos45°e=6x-^-e=32e；

當(dāng)0=90°時(shí)，向量a在向量e上的投影向量

為|a|cos90°e=0；

當(dāng)6=135°時(shí)，向量a在向量e上的投影向量

2.解析與a相等的向量有而T值就;

與b噫晌S卸fl,L0；為Ia|cos135°e=6xe=-32e.

與c相等的向量有病，雨.、；.練習(xí)

綜合運(yùn)用1.解析設(shè)向量a與b的夾角為0,向量b與c

2.答案D?；CX;A?;希；Bt

3.級(jí)(1)X(2)?(3)X(4)X的夾角為a.

⑸r(6)r理由略.3.瞬斤當(dāng)a,為0時(shí)，一(a+b)=

(1)a'b=|a||b|cos0=1x2xcos一=

拓廣探索—a-b;?

4,解析相等的向量共有24對(duì).當(dāng)a,b不共線時(shí)，作圖如圖1所示，顯然一a一3,(a-b)c=3c.

b=(B^=—?=—(a+b)；

249

;必修?第二冊(cè)

所以四邊形ABCD為平行四邊形.

⑵b?c=|b||c|cosa=2x3x-Jl=32,

又I花|=|利,

a(b-c)=32a.所以四邊形ABCD為菱形.

2證明a-b與a+2b垂直，14.解析如圖，f=_Lb,Tc=b-a,f=

(a-b)-(a+2b)=0,.

即la^+ab-21bl2=o.1=t-3=k.3=^-1

(b—a),DBp--aEC=^~；bDN=——(b

又|a|=2,|b|=1,

(2)不一定能構(gòu)成三角形.結(jié)合向量加法的

ab=0,a±b.—a)得y-(a+b).

三角形法則知，當(dāng)三個(gè)非零向量的和為零向

3.證明證法一：(a+b)2-(a—b)2

量，且這三個(gè)向量不共線時(shí)，表示這三個(gè)向

=(a+b+a-b)-(a+b-a+b)

量的有向線段一定能構(gòu)成三角形.本題不一

=2a-2b=4a-b.

定能構(gòu)成三角形.

證法二:(a+b)2—(a—b)2=(a2+2a-b+b2)-

7.解析⑴如圖.

(a2—2a-b+b2)=4a-b.

?習(xí)題6.2

復(fù)習(xí)鞏固?J\ttwT

1.解析(1)向東走10km,再向東走10km,

15.證明,,1T&=TEA+TAB+-用

即向東走20km.aEF=ED+DC4--CF,

(2)向東走10km,再向西走5km,即向東走⑵當(dāng)a、b成垂直的位置關(guān)系時(shí)，Ia+b|=

/.ZTF=CEASED)+AB-KDC+("BF-KCF).

5km.Ia-b|.

又、分別為、的中點(diǎn)，

(3)向東走10km,再向北走10km,即向東8.解析(1)-2a-2b.(2)10a-22b+10c.EFADBC

.-.^EA+ED=O,"BF+CF=O,

北走102km.⑶3a+jb.(4)2(x-y)b.

(4)向西走5km,再向南走5km,即向西南PEF^AB+DC,

走52km.9.證明因?yàn)镸TN=TAN-ATM,艮而版=2EF.

向西走再向北走再向西走11=4-解析如圖，丙地在甲地的北偏東方

(5)5km,10km,AN=——ACAM=——AB16.45°

5km,即向西北走102km.33向，距甲地1400km.

(6)向南走5km,再向東走10km,再向南走所以M節(jié)JT而二1-^B=J(->AC-^AB)

ail

5km,即向東南走102km.

2.解析飛機(jī)飛行的路程為700km；兩次位移

V-|

的合成是向北偏西約53°方向飛行500km.

10.馥(1)5；1⑵|a|=|b|

3.解析如圖，設(shè)‘AD表示船垂直于對(duì)岸的速

11.解析(1)a-b=-63,(a+b)2=|a|2+2a—￡i____

度,三船表示水流的速度，以AD、AB為鄰邊作in>ti.

-b+|b|2=25-123,|a+b|=725-123.

aABCD,則Tc就是船實(shí)際航行的速度，在17.解析⑴1陽+—監(jiān)+—0人=0.

(2)|a+b|=7a2+2a-b+b2=23,

RtAABC中，|-桁=4,|書|=16,(2)AB+BC+CD+DA=0.

Ia-b|=i/a2—2a?b+bz=35.

即=/，7丁=417,(3)Ai陽+人2號(hào)+八3/4H-hAn_1A^-FAnA7=0.

12.證明設(shè)a與b的夾角為0.

tanZCAB=4,晚:磔=不+可+-+^T+廠

(1)當(dāng)；I=0時(shí)，等式顯然成立.

J.ZCAB=76°.

⑵當(dāng)；I〉0時(shí)，Aa與b,a與;lb的夾角都=A1N+…+A—1An+\A]

故船實(shí)際航行的速度大小為417km/h,為,則=^,+^=0.

方向與水流速度間的夾角約為

76°.(Aa)-b=|Aa||b|cosQ=X\a||b|cos6,18.解析(2a-3b)-(2a+b)=4a2-4a-b-

久---1(a'b)=A|a||b|cos0,

3b2=61,于是可得ab=-6,

a1(Ab)=|a||Ab|cos0=A|a||b|cos0,

a.h1

豳二者用一，喇

所以(入a)b=A(ab)=a?(Ab).cosg8=120°.

⑶當(dāng)入<0時(shí)，Aa與b,a與Ab的夾角都19.蹣|a+b|2=a2+b2+2a-b=64+100+

--------

為180°-0,則

4.m(DO.⑵一瓦(3)國(guó)(4)0.160cos0=256,cos6^-,0=55°.

(Aa)-b=|Aa||b|cos(180°-0)=—|1IIa|40

(5)0.(6)毋(7)0.■|b|cos620.證明a-b=a-c<=>a'b—a-c=0<=>a-

5.證明如圖所示，在平行四邊形ABCD中，1(a'b)=1|a||b|cos0=—|A||a||b|-(b—c)=0<=>a_L(b—c).

cos0拓廣探索

a1(lb)=|a||Ab|cos(180°-9)=—|A||a|

21.A由2fo=一用十一用，得點(diǎn)。為BC的中

-|b|cos0點(diǎn)，，BC為夕忖妾圓的直徑，

所以(入a)力=入(a-b)=a-(Ab).ZBAC=90°,OA=OB=OC.

綜合運(yùn)用

設(shè)TAB=a,—M=b,XVF°AI=7』|,AABO為等邊三角形.

13.解析(1)四邊形ABCD為平行四邊形，證

⑴Af￡+b)，信白a-b).1

明略.B=60°,|AB|=—|BC|.

(2)四邊形ABCD為梯形.

因?yàn)槿蠥布TAB,所以!(a+b)+1-(a-b)=a.的招琉>刊珈券狗轂)I1%|

證明如下：因?yàn)镴-Tc,

41—1?cos60°吃生R.

②A0=/a+b),0B=y-ea-b),所以AD〃BC,且ADWBC,

所以四邊形ABCD為梯形.

因?yàn)檎d一三蟲三蟲)，所以」_(a+b)a-b)22解朽0D—0A-AD—0AM-BC—0AH-OCi-0B?

(3)四邊形ABCD為菱形.

證明如下：因?yàn)橐煌叨c瞅

=b.

所以AB//DC,且AB=DC,

250

教材習(xí)題答案

23.解析「.君^^二》.當(dāng)刃p=_Lf5耐劉二招+次二二刃+」刊

(1)金牛)=(—)'■

(2)CD與EF垂直.

/9?——/

證明：a-b=|a||b|cos60°=2|b||b|x」0二

/即點(diǎn)P喇示為(%1).

—a=-i-|a12--La

----------itF(一三當(dāng)許=2刊時(shí),刊=刊+F=J_，A+.EfB

?M)

(2)四邊形ABCD為平行四邊形.

-b=11b|2-1|b|2=0,

證明：而C=ft+?),

22

.,.^OA^OB="OD^OC,

TCDLEF,即CD與EF垂直.即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(\-1).

.?.飛A=布，

6.3.2平面向量的正交

四邊形ABCD為平行四邊形.綜上，點(diǎn)P是線段AB的三等分點(diǎn)時(shí)，坐標(biāo)為

分解及坐標(biāo)表示(4)或(J)

24.解析三AB—Ac的值只與弦AB的長(zhǎng)度有

關(guān)，與圓的半徑無關(guān).6.3.3平面向量加、減運(yùn)算

如圖，取AB的中點(diǎn)M,連接CM,6.3.5平面向量數(shù)量積

的坐標(biāo)表示

則CM_L陽，練習(xí)的坐標(biāo)表示

1.蹣(1)a+b=(-2,4)+(5,2)=(3,6),練習(xí)

aT=(-2,4)-(5,2)=(-7,2).

1.解析Ia|=a2=J9+I6=5,|b|=b2=

②a+b=(4,3)+(-3,8)=(1,11),

心W=29,ab=(-3,4)-(5,2)=

af=(4,3)-(-3,8)=(7.-5).

-15+8=-7.

③a+b=(2,3)+(-2,-3)=(0,0),

2.解析a=(2,3),b=(-2.4),c=(-1,-2),

af=(2,3)-(-2,-3)=(4,6).

ab=2x(—2)+3x4=8.

又危A百|(zhì)南||'cosZBAC,(4)a+b=(3,0)+(0,4)=(3,4),

a+b=(0,7),a-b=(4,—1),

aT=(3,0)-(0,4)=(3,-4).

/RAPIA。|

cosZBAC-----(a+b)>(a—b)=Ox4+7x(—1)=-7.

2.解析⑴通=(3,4),^BA=(-3,T).

「AC|b+c=(-3,2),

⑵ABM9,-1),B-1).a1(b+c)=2x(-3)+3x2=0.

瞅TrT0|T加|H|=J-I^BP.

,⑶An(0,2),BQQ-2).a+b=(O,7),(a+b)2=1+72=49.

⑷2(5,0),BAM—5,0).3.解析a=(3,2),b=(5,-7),

6.3平面向量基本定理3.解析AB〃CD.ab=3x5+2x(-7)=1,|a|=□)...—

及坐標(biāo)表示證明：由點(diǎn)A(0,1),B(1,0),C(1,2),D(2,13,|bI==74,

1)，得飛=(L-1),f=(1,-1),所以飛二cos0=^~~——----!------,8=88°.

6.3.1平面向量基本定理

fD,所以AB//CD.it.11

練習(xí)?習(xí)題6.3

6.3.4平面向量數(shù)乘運(yùn)算

1,撕TAB二TCB-TCA=b—a；復(fù)習(xí)鞏固

的坐標(biāo)表示

44411.解析司二刊一fC=1^AB^Ac=J_a-b,

AD=CD-CA=pb-a；練習(xí)1,1

,。-11.解析一2a+4b=-2(3,2)+4(0,-1)=TE=TCLCE『*S+，怔b+](]—[))=

BE=CE-CB=y-a-b；(-6,-4)+(0,-4)=(-6,-8).

4a+3b=4(3,2)+3(0,-1)=(12,8)+(0,工4