甘肅省蘭州市城關(guān)區(qū)第一中學(xué)2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

甘肅省蘭州市城關(guān)區(qū)第一中學(xué)2024年高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知，，則（）A． B． C． D．2．如圖，直角的斜邊長(zhǎng)為2，，且點(diǎn)分別在軸，軸正半軸上滑動(dòng)，點(diǎn)在線段的右上方．設(shè)，（），記，，分別考察的所有運(yùn)算結(jié)果，則（）A．有最小值，有最大值 B．有最大值，有最小值C．有最大值，有最大值 D．有最小值，有最小值3．不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B．C． D．4．若函數(shù)，則的值為（）A． B． C． D．5．圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則的值是（）A． B． C． D．6．已知向量，且為正實(shí)數(shù)，若滿(mǎn)足，則的最小值為（）A． B． C． D．7．函數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．8．?dāng)?shù)列，，，，，，的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A． B．C． D．9．?dāng)?shù)列中，，，則()．A． B． C． D．10．在等比數(shù)列中，，，則數(shù)列的前六項(xiàng)和為（）A．63 B．－63 C．－31 D．31二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．等腰直角中，，CD是AB邊上的高，E是AC邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿CD翻折成直二面角，則異面直線DE與AB所成角的大小為_(kāi)_______.12．設(shè)變量x、y滿(mǎn)足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為_(kāi)______.13．若角是第四象限角，則角的終邊在_____________14．方程組的增廣矩陣是________.15．已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則的值是__________.16．用數(shù)學(xué)歸納法證明“”，在驗(yàn)證成立時(shí)，等號(hào)左邊的式子是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知點(diǎn)，圓．（1）求過(guò)點(diǎn)M的圓的切線方程；（2）若直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的長(zhǎng)為，求的值．18．已知數(shù)列中，，．（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿(mǎn)足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證．19．在△ABC中，AC=4，，．（Ⅰ）求的大??；（Ⅱ）若D為BC邊上一點(diǎn)，，求DC的長(zhǎng)度．20．如圖，在處有一港口，兩艘海輪同時(shí)從港口處出發(fā)向正北方向勻速航行，海輪的航行速度為20海里/小時(shí)，海輪的航行速度大于海輪．在港口北偏東60°方向上的處有一觀測(cè)站，1小時(shí)后在處測(cè)得與海輪的距離為30海里，且處對(duì)兩艘海輪，的視角為30°．（1）求觀測(cè)站到港口的距離；（2）求海輪的航行速度．21．記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知（1）求an（2）求Sn，并求S

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

由，代入運(yùn)算即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了兩角差的正切公式，屬基礎(chǔ)題.2、B【解析】

設(shè)，用表示出，根據(jù)的取值范圍，利用三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)，進(jìn)而求得最值的情況.【詳解】依題意，所以.設(shè)，則，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值為.，所以，所以，當(dāng)時(shí)，有最小值為.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.3、C【解析】

不等式的解集為，為方程的兩根，則根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可得，.故選C.考點(diǎn)：一元二次不等式；根與系數(shù)關(guān)系.4、D【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的定義域與函數(shù)解析式的關(guān)系，代值進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：由已知，又，又，所以：．

故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的函數(shù)值計(jì)算問(wèn)題，抓住定義域的范圍，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解析】圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以圓心(1,1)在直線上，得.故選B.6、A【解析】

根據(jù)向量的數(shù)量積結(jié)合基本不等式即可．【詳解】由題意得，因?yàn)?，為正?shí)數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等．所以選擇A【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積以及基本不等式，在用基本不等式時(shí)要滿(mǎn)足一正二定三相等．屬于中等題7、D【解析】

令，即有，則，運(yùn)用基本不等式即可得到所求最小值，注意等號(hào)成立的條件.【詳解】令，即有，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最小值.故選：【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式，配湊法求解，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

首先注意到數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，其次數(shù)列各項(xiàng)絕對(duì)值構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，從而易求出其通項(xiàng)公式．【詳解】∵數(shù)列{an}各項(xiàng)值為，，，，，，∴各項(xiàng)絕對(duì)值構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，∴|an|＝2n﹣1又∵數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，∴an＝（﹣1）n（2n﹣1）．故選：C．【點(diǎn)睛】本題給出數(shù)列的前幾項(xiàng)，猜想數(shù)列的通項(xiàng)，挖掘其規(guī)律是關(guān)鍵．解題時(shí)應(yīng)注意數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，否則會(huì)錯(cuò)．9、B【解析】

通過(guò)取倒數(shù)的方式可知數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由得：，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用遞推關(guān)系式求解數(shù)列中的項(xiàng)的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)遞推關(guān)系式的形式，確定采用倒數(shù)法得到等差數(shù)列.10、B【解析】

利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出公式，由此能求出數(shù)列的前六項(xiàng)和.【詳解】在等比數(shù)列中，，，解得數(shù)列的前六項(xiàng)和為：.故選：【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解基本量，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

取的中點(diǎn)，連接，則與所成角即為與所成角，根據(jù)已知可得，，可以判斷三角形為等邊三角形，進(jìn)而求出異面直線直線DE與AB所成角.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，則，直線DE與AB所成角即為與所成角，，，，，，即三角形為等邊三角形，異面直線DE與AB所成角的大小為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中的翻折問(wèn)題，考查了異面直線所成的角，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.12、3【解析】

可通過(guò)限定條件作出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域圖，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)特點(diǎn)進(jìn)行求值【詳解】可行域如圖所示;則可化為,由圖象可知,當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，有最大值，則其最大值為:故答案為:3.【點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問(wèn)題關(guān)鍵是能正確畫(huà)出可行域，目標(biāo)函數(shù)可由幾何意義確定具體含義（最值或斜率）13、第二或第四象限【解析】

根據(jù)角是第四象限角，寫(xiě)出角的范圍，即可求出角的終邊所在位置．【詳解】因?yàn)榻鞘堑谒南笙藿?，所以，即有，?dāng)為偶數(shù)時(shí)，角的終邊在第四象限；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，角的終邊在第二象限，故角的終邊在第二或第四象限．【點(diǎn)睛】本題主要考查象限角的集合的應(yīng)用．14、【解析】

理解方程增廣矩陣的涵義，即可由二元線性方程組，寫(xiě)出增廣矩陣.【詳解】由題意，方程組的增廣矩陣為其系數(shù)以及常數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的矩陣，故方程組的增廣矩陣是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組與增廣矩陣的關(guān)系，需理解增廣矩陣的涵義，屬于基礎(chǔ)題.15、1【解析】

根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式，由可得，通過(guò)化簡(jiǎn)可得，代入的值即可得結(jié)果.【詳解】∵，∴，顯然，∴，∴，∴，∴，故答案為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，本題解題的關(guān)鍵是看出數(shù)列的公比的值，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

根據(jù)左邊的式子是從開(kāi)始，結(jié)束，且指數(shù)依次增加1求解即可.【詳解】因?yàn)樽筮叺氖阶邮菑拈_(kāi)始，結(jié)束，且指數(shù)依次增加1所以，左邊的式子為，故答案為.【點(diǎn)睛】項(xiàng)數(shù)的變化規(guī)律，是利用數(shù)學(xué)歸納法解答問(wèn)題的基礎(chǔ)，也是易錯(cuò)點(diǎn)，要使問(wèn)題順利得到解決，關(guān)鍵是注意兩點(diǎn)：一是首尾兩項(xiàng)的變化規(guī)律；二是相鄰兩項(xiàng)之間的變化規(guī)律.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）或．（2）【解析】

(1)分切線的斜率不存在與存在兩種情況分析.當(dāng)斜率存在時(shí)設(shè)方程為,再根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求解即可.(2)利用垂徑定理根據(jù)圓心到直線的距離列出等式求解即可.【詳解】解：（1）由題意知圓心的坐標(biāo)為,半徑,當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線的斜率不存在時(shí),方程為．由圓心到直線的距離知,此時(shí),直線與圓相切．當(dāng)過(guò)點(diǎn)M的直線的斜率存在時(shí),設(shè)方程為,即．由題意知,解得,∴方程為．故過(guò)點(diǎn)M的圓的切線方程為或．（2）∵圓心到直線的距離為,∴,解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓相切與相交時(shí)的求解.注意直線過(guò)定點(diǎn)時(shí)分析斜率不存在與存在兩種情況.直線與圓相切用圓心到直線的距離等于半徑列式,直線與圓相交用垂徑定理列式.屬于中檔題.18、（1）證明見(jiàn)解析；；（2）【解析】

（1）先證明數(shù)列是以3為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，從而，由此能求出的通項(xiàng)公式；（2）由（1）推導(dǎo)出，從而，利用錯(cuò)位相減法求和，利用放縮法證明．【詳解】由，，得，，數(shù)列是以3為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列，從而，數(shù)列滿(mǎn)足，，，，兩式相減得：，，，【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式與求和公式，以及錯(cuò)位相減法的應(yīng)用，是中檔題．一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，可采用“錯(cuò)位相減法”求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解,在寫(xiě)出“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“”的表達(dá)式.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）或【解析】

（Ⅰ）由正弦定理得到，在結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)即可的大??；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得的大小，在中，利用余弦定理即可求出邊的長(zhǎng)．【詳解】（Ⅰ）在中，由正弦定理得，所以．因?yàn)?，所以，所以．（Ⅱ）在中，．在中，由余弦定理，得，即，解得或．?jīng)檢驗(yàn)，都符合題意．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理與余弦定理，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）海里；（2）速度為海里/小時(shí)【解析】

（1）由已知可知,所以在中，運(yùn)用余弦定理易得OA的長(zhǎng)．（2）因?yàn)镃航行1小時(shí)到達(dá)C，所以知道OC的長(zhǎng)即可，即求BC的長(zhǎng)．在中，由正弦定理求得，在中，再由正弦定理即可求出BC．【詳解】（1）因?yàn)楹惖乃俣葹?0海里/小時(shí)，所以1小時(shí)后，海里又海里，，所以中，由余弦定理知：即即，解得：海里（2）中，由正弦定理知：解得：中，，，所以所以在中，由正弦定理知：，解得：所以答：船的速度為海里/小時(shí)【點(diǎn)睛】三角形中一般已知三個(gè)條件可求其他條件，用到