§7-4-向量的數(shù)量積

§7.4平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律問(wèn)題其中力F和位移s是向量，是F與s的夾角，而功是數(shù)量.從力所做的功出發(fā)，我們引入向量“數(shù)量積”的概念.θ

一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生的位移s，那么力F所做的功應(yīng)當(dāng)怎樣計(jì)算？一、向量的數(shù)量積概念平面向量的數(shù)量積的定義規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即

0．（1）兩向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量，符號(hào)由夾角決定

（2）

a·

b不能寫成

a×b，a×b

表示向量的另一種運(yùn)算．已知兩個(gè)非零向量

和

，它們的夾角為

，我們把數(shù)量

叫做

與

的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作

，

即向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，那么它什么時(shí)候?yàn)檎?，什么時(shí)候?yàn)樨?fù)？思考：a·b=|a||b|cosθ當(dāng)0°≤θ＜

90°時(shí)a·b為正；當(dāng)90°＜θ≤180°時(shí)a·b為負(fù)。當(dāng)θ=90°時(shí)a·b為零。重要性質(zhì):設(shè)是非零向量，方向相同的單位向量，的夾角，則特別地OABθ

abB1解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10。例1已知|a|=5，|b|=4，a與b的夾角θ=120°，求a·b。例2已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。解：

|a|=√2,|b|=2,θ=45°∴a·b=|a||b|cosθ=√2×2×cos45°

=

2例題講解例2.已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，求（1）（2）（3）ACB例題講解例2.已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，求（1）（2）（3）ACB例題講解例2.已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，求（1）（2）（3）ACB例題講解例2.已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，求（1）（2）（3）ACB向量的數(shù)量積的幾何意義（1）投影的概念如圖所示：B過(guò)B作垂直O(jiān)A，垂足為,則，在方向上的投影

叫做向量

OA

叫做向量

在方向上的投影BOAab投影是向量還是數(shù)量？θ為鈍角時(shí)，|b|cosθ＜0OABabθ為銳角時(shí)，|b|cosθ＞0OABabθ為直角時(shí)，|b|cosθ=0向量的數(shù)量積的幾何意義（2）數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積等于的長(zhǎng)度的幾何意義是

與在方向上的投影的乘積例3、，，與的夾角為，則在方向上的投影為。平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：數(shù)量積的運(yùn)算律：其中，是任意三個(gè)向量，注：例3：求證：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.證明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.討論總結(jié)性質(zhì)：（4）(判斷兩向量垂直的依據(jù))設(shè)與都是非零向量，為與的夾角(2)當(dāng)與同向時(shí)，當(dāng)與反向時(shí)，（3）或（5）平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律已知向量，，和實(shí)數(shù)，則（1）。（交換律）（2）

=。（3）。（與數(shù)乘的結(jié)合律）（分配律）例題講解例：

已知向量與的夾角為，且求：（1）（2）（3）例題講解

例：

已知非零向量與，滿足，且與垂直，求證：證明：原式=課堂檢測(cè)1、若，則與的夾角的取值范圍是（）A、B、C、D、A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)2、下列等式中正確的個(gè)數(shù)是（）①②③④CB課堂檢測(cè)3、若，與的夾角為，則=。

4、，與的夾角為，則在方向上的投影為。課堂檢測(cè)5、已知，，當(dāng)（1）（2）時(shí)，求解：（1）時(shí)當(dāng)與同向時(shí)當(dāng)與反向時(shí)（2）時(shí)有以下兩種情況例題講解例：

已知非零向量與，滿足，求與的夾角二、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)向量a=ax+ay，b=bx+by，由于，，（7-7）公式（7-7）稱為向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示式，即兩向量數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積之和.所以特別于是（7-8）由式（7-7）及式（7-8）可得：即（7-9）式（7-9）稱為兩非零向量，夾角余弦的坐標(biāo)表示式.設(shè)向量

，若，有，則.故即：兩個(gè)向量垂直的充要條件是它們對(duì)應(yīng)分量坐標(biāo)乘積之和等于0.

鞏固知識(shí)例2設(shè)，，求解：=5×(

6)+(

7)×(

4)=

30+28=

2例3已知，，則a與b的夾角是多少?解：由于，，有，，記與的夾角為θ，則又因?yàn)?/p>