不等關(guān)系教學案例

“不等關(guān)系”教學案例

萊陽市榆科頂初級中學戰(zhàn)義良

教學內(nèi)容：

魯教版〈《義務(wù)教育課程標準實驗教科書*數(shù)學》七年級下冊第十

一章“一元一次不等式和一元一次不等式組”第一節(jié).

背景分析：

1.不等式是解決實際問題的一種教學模式，它不僅是初中階段學

習的重要內(nèi)容，而且也是后面學習函數(shù)等知識的基礎(chǔ).它是學生學習

了一元一次方程、二元一次方程組之后的后續(xù)內(nèi)容，貫穿于數(shù)學學習

的始終，具有承上啟下的作用.

本節(jié)是本章的第一課時，主要學習一個概念：不等式.同時滲透數(shù)

學建模、類比、分類等思想方法.

2.學生情況分析：

學生在小學時對不等量關(guān)系，數(shù)量大小的比較等知識已經(jīng)有所了

解，但對含有未知數(shù)的不等式還是第一次接觸，本節(jié)課就是要對“不

等”這一概念得到進一步明確，對不等式要有較完整的認識，使它成為

一種有效的數(shù)學工具.學生在列不等式時，對“不大于”、“不小于”

、“負數(shù)”、“非負數(shù)”等數(shù)學術(shù)語的含義不能準確理解，在把用文

字語言表述的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為用符號表示的不等式時有一定的困難.

教學目標：

依據(jù)《數(shù)學課程標準》對七-九年級“不等式”學段的目標要求

和學生的實際情況，確定如下目標：

1.知識與技能目標

(1)能夠從現(xiàn)實問題中抽象出不等式，理解不等式的意義，會根

據(jù)給定條件列不等式；

(2)正確理解“負數(shù)”、“非負數(shù)”、“不大于”、“不小于”等數(shù)

學術(shù)語；

2.過程與方法目標

從學生身邊的生活實例出發(fā)，體會由實際問題上升為數(shù)學知識的

過程，經(jīng)歷“情境---探索--猜想---驗證---歸納”的過程，最后由具

體實例建立不等式模型，進一步發(fā)展學生的符號感和數(shù)學化的能力，

體會知識的動態(tài)生成和在解決問題的過程中與他人合作的重要性.

3.情感，態(tài)度和價值觀目標

讓學生獲得合作互助克服困難，運用知識解決困難的成功體驗,

樹立學好數(shù)學的自信心；在獨立分析思考的基礎(chǔ)上，引導學生積極參

與討論，在合作互助中有一定成功收獲.

教學重點：

理解不等式的意義，能正確列出不等式.

教學難點：

準確應(yīng)用不等號連接關(guān)系式.

教法：

創(chuàng)設(shè)情境，目標導學--差異啟發(fā)，引領(lǐng)探究

—-分層講練，巡視評價---檢測回饋，鼓勵創(chuàng)新

學法：

情境激勵，合作探索一一感悟新知，互助提高

-一分層練習，反思歸納--自查共享，樂于創(chuàng)新

教學媒體：

“不等式”的概念比較抽象，需要淡化定義的嚴格性，可用直觀演

示和生活實例為學生提供豐富的智力背景，適合用多媒體課件輔助教

學.

教學組織形式：

教室雙人桌四列，從北向南依次為A、B、B、C層，每列前后兩張

桌為層內(nèi)合作小組，每行左右兩張桌為層間互助小組.限于本節(jié)課的

內(nèi)容難度，側(cè)重于將展示機會讓給A、B層學生.

教學過程：

本節(jié)課是概念課，依據(jù)七年級學生的心理特點和新授課的主要特

征,安排如下五個教學活動步驟：

一.情境導學，發(fā)現(xiàn)新知

數(shù)學教育必須基于學生“教學現(xiàn)實”，現(xiàn)實情境問題是數(shù)學教學

的平臺，數(shù)學教師的任務(wù)之一就是幫助學生構(gòu)造數(shù)學現(xiàn)實，并在此基

礎(chǔ)上發(fā)展它們得數(shù)學現(xiàn)實.基于此，設(shè)置如下情境，并指導學生積極參

與，增強趣味性.

情境1:布置層內(nèi)合作小組作掰手腕游戲，比出同組內(nèi)的腕力王，并

做記錄.

【設(shè)計意圖】：讓各層學生在輕松愉快的氛圍中開始新的課程.

學生在意想不到疑惑中，饒有興趣的進行了比賽，興高采烈的氣氛

為本堂課提供了個好前奏.

情境2：從現(xiàn)實生活中找出不等關(guān)系的十個例子，可舉手搶答，最好

前后內(nèi)容不同.

【設(shè)計意圖】：感受現(xiàn)實生活中的大量不等關(guān)系，由實際問題入手,

體現(xiàn)數(shù)學知識的實用性，激發(fā)學生的學習興趣.

【組織提示】：在舉例過程中，教師要予以引導.如側(cè)重A層搶答,B

、C層注意辨別并記錄.搶答的氣氛體現(xiàn)了本堂課內(nèi)容現(xiàn)實性.

教師可引導學生比較一些有趣的事物，如：姚明的身高，劉翔的速

度，同學的體重，教師的胖瘦，吃飯的多少，長的丑俊，穿的好壽，上學

的遠近等.

情境3:（投影儀圖文展示）如圖，天平左盤放三個玻璃球，右盤放

20克碳碼，天平傾斜.設(shè)每個玻璃球的質(zhì)量為x克，怎樣表示x與20

之間的關(guān)系？

現(xiàn)場演示實驗：可讓A層一生操作天平進行實驗，先將三個

玻璃珠放于左盤，然后將20克重的碳碼放入天平的右盤，得到結(jié)果:

天平傾斜。

【設(shè)計意圖】：通過以上情境，讓學生切實經(jīng)歷不等式的產(chǎn)生過程，

體驗到不等式是由于表示不等關(guān)系的需要而產(chǎn)生的數(shù)學模型.

教師啟發(fā)學生思考交流，合作互助，再根據(jù)實際情況出示如下思考

題（投影儀展示）：

（1）天平哪邊托盤重？

（2）如何用含x的代數(shù)式表示天平左盤中的三個玻璃球的總質(zhì)

量？

（3）應(yīng)該用怎樣的符號才能把表示天平左右兩邊的代數(shù)式連接

起來？

【組織提示】:在答案的提供上，（1）可由A層、（2）可由B層、（3）

可由C層完成.

答案：3x>20或20V3x

情境4：（投影儀圖文展示）如圖，正方形的邊長和圓的直徑都是a

厘米，正方形和圓的周長如何表示？

（1）如果要求正方形的周長不大于25厘米，那么正方形的邊長a

應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系？

（2）如果要求圓的周長不小于100厘米，那么圓的直徑a應(yīng)滿足

怎樣的關(guān)系？

（3）當a=8時，正方形和圓的周長哪一個比較長？a=12呢？

（4）你能得到什么猜想？改變a的取值再試一試？

【設(shè)計意圖】：通過問題（1）和問題（2）直接建立不等關(guān)系；通

過問題（3）體會同類量之間的最常見的比較大小問題；通過問題（4）

繼續(xù)發(fā)展學生的歸納猜想能力。在解決這一連串問題的過程之中，讓

學生體會不等式與方程、函數(shù)一樣也是刻畫事物變化規(guī)律的重要模

型。

教師對于問題（1）和（2）中的“不大于”、“不小于”可先舉

例說明這個詞語的含義和符號表示；對于問題（4）可以讓得到猜想

的學生試著進一解釋其合理性。教師仍要啟發(fā)學生思考交流，合作互

助.

【組織提示】：在答案的提供上，（1）、（2）、（3）可由對應(yīng)互助B

層協(xié)助A層完成；（4）可由對應(yīng)B、C層互助完成.

答案:（1）4aW25

（2）Tla^lOO

（3）25.12V32此時正方形的周長比較長

37.68<48此時還是正方形的周長比較長

（4）對于邊長a為的正方形和直徑為a的圓，無論a取何

值，正方形的周長總是大于圓的周長，即4a>na

接著教師引導學生觀察上面問題得到的幾個關(guān)系式：

3x>2020<3x4a^25Ha^lOO25.12<3237.68<48

4a>TIa

教師提問：它們有什么共同特點？是等式嗎？

【設(shè)計意圖】：引導學生回憶等式的概念，類比得出不等式的概

念.

一般地，用不等號（或“（”）、（或“2”）

連接的式子，叫做不等式。

此時很自然的引出本節(jié)課的課題：不等關(guān)系，并出示

表一（投影儀展示），要求學生盡量自己獨立完成：

等式不等式

概用等號連接表示相等關(guān)系的用不等號連接表示不等關(guān)系的

念式子式子

符“>”“<”“2”“W”

號

出示表二（投影儀展示），加深不等號的印象：

不等號讀法表示的意義

>大于左邊的量比右邊的量大

<小于左邊的量比右邊的量小

2大于或等于左邊的量不小于右邊的量

小于或等于左邊的量不大于右邊的量

【設(shè)計意圖】：類比是學習數(shù)學的一種重要方法.通過以上探索類

比，學生能很自然地理解不等式的意義，知道常見的不等號的讀法和

用法，本節(jié)課的教學重點和教學難點初步獲得突破.

【組織提示】:表一中“不等式”的填法可由A層完成，提示類比后,A

層可完成“等式”的填法；表二中“>”除“表示的意義”和“2”

的“讀法”、”表示的意義”外可由B或C層完成，其余仍可由A層經(jīng)提

示類比后完成.

二.啟發(fā)感悟，再探新知

情境5：（投影儀圖文展示）如圖，某公園的票價是：每人5元；一次

購票滿30張，每張可少收1元。某班有27名少先隊員去公園進行活動。

當領(lǐng)隊小華準備好了零錢到售票處買27張票時，愛動腦筋的小敏同學

喊住了小華，提議買30張票。但有的同學不明白，明明我們只有27

個人，為什么要買30張票，豈不是“浪費”嗎？

那么，究竟小敏的提議對不對呢？是不是真的“浪費”呢？我們

先來看一段表演：

1.問題再現(xiàn)（直接進行學生模擬表演）（本問題可視教學

時間而定取舍）：

領(lǐng)隊小華上臺，緊跟其后的是小敏.

華：今天天氣真好.我和班上一共27名同學來到公園，進

行集體活動。我來買27張門票.

敏：哦，小華，售票處在那里！

華：那，我們來看看怎么買票.票價每人5元；一次購票

滿30張，每張票可少收1元.

敏：嗯……

華：27人，每人5元，共135元.師傅，我買27張票……

敏：小華，別忙，買30張.

華：我們只有27人，買30張票，豈不是浪費嗎？

敏：你聽我說，……（邊走邊說走下講臺）

2、問題提出：

【組織提示】：問題1可由對應(yīng)B層協(xié)助A層互助完成；問題2可集體

回答，目的在于調(diào)節(jié)氣氛；問題3、4可由B層完成；問題5可由C層完成.

（以下問題上一5均由投影儀展示）

問題1：小華和小敏的建議，到底誰的比較合算？為什么？

學生的探索過程如下：

小華：買30張票，要付款：4義30=120（元）

小敏：買27張票，要付款：5義27=135（元）

顯然135>120o

這就是說，買30張票比買27張票付的款要少，表面上看是“浪

費”了3張票，而實際上反而節(jié)省了。

問題2：買30張票，我們不僅省了錢，而且多買了票，那么剩下的

3張票如何處理呢？

此時，學生們暢所如欲言，有的說“賣掉”，有的說“退掉”，有

的說“送給經(jīng)濟困難的游客”……相互啟迪的發(fā)言，體現(xiàn)了發(fā)散性思

維和思想教育的有機結(jié)合.

問題3：買30張票比買27張票付款的要少，這是不是任何情況

下都是多買票發(fā)而花錢少？如果你們一家三口人去參觀，是不是也買

30張票？為什么去的人少了，買30張票就不合算了呢？

問題4：至少要有多少人去參觀，買30張票才合算呢？

設(shè)有x人去公園參觀，此時重點啟發(fā)學生從兩個方面進行探索,

滲透分類思想：

(1)如果x230,顯然按實際人數(shù)買票，每張票只要付4元；

(2)如果x<30,那么按實際人數(shù)買票x張，要付款5x(元)

【設(shè)計意圖】：引導學生形成新的認知沖突

如果買30張票合算，那么應(yīng)有4X30<5x,即120<5x成立

問題5：x取哪些數(shù)值時，120<5x成立？

【設(shè)計意圖】：讓學生意識到探索不等式的解的必要性，為今后的

學習奠定基礎(chǔ).

為便于思考讓學生借助表三進行探索.

出示表三(投影儀展示)：前面已經(jīng)算過，當x=27時，上式成立.

讓我們再取一些值試一試，將結(jié)果填入下表。

人數(shù)30張票的比較120與5x的大120<5x是否

需付款5x

X價格小成立

21105120120>5x不成立

22120

23120

24120

25120

26120

27135120120<5x成立

28120

29120

???.????????

由上表可見，當x=25,26,27,……時，也就是說，至少要有

人進公園時，買30張票合算.

三.分層講練，應(yīng)用新知

例1：用不等式表示下列關(guān)系：

(l)x的一半小于-1(2)y與4的和大于0.5(3)a是負數(shù)(4)b

是非負數(shù)；

【設(shè)計意圖】：讓學生根據(jù)文字描述的數(shù)量關(guān)系正確列出不等式.

【組織提示】：前三個小題，放手讓A層學生獨立思考完成后，由對

應(yīng)互助B層學生點評.重點啟發(fā)最后一個小題并給出規(guī)范的書寫過程,

由對應(yīng)互助B層協(xié)助A層完成.可變式為“b是非正數(shù)''，"b不大

于零”，讓學生反復體會不等號的用法和意義，可由B層完成，對應(yīng)C

層點評.

答案：(1)1/2x<-l(2)y+4>0.5(3)a<0(4)b20

結(jié)束后，可啟發(fā)學生用兩方面進行歸納：

1.列不等式的基本步驟：

(1)確定不等式兩邊的代數(shù)式；

(2)根據(jù)所給條件中的關(guān)系，選擇合適不等號.

【設(shè)計意圖】：將課本的重點又一次強化.

【組織提示】：集體回答，教師補充即可.

2.出示表四(投影儀展示)：常用的表示不等關(guān)系的詞語和對應(yīng)

的不等號.

第一類：明確表明數(shù)量的不等關(guān)系

關(guān)鍵不大于不小于

大于小于

詞語不超過不低于

比???大比…小

至多至少

不等號

關(guān)鍵第二類:明確表明數(shù)量的范圍特征

詞語正數(shù)負數(shù)非正數(shù)非負數(shù)

不等號

【設(shè)計意圖】：通過歸納，加深對不等號的用法和意義的理解，再

次突破難點.【組織提示】：A層可提供答案.

答案：略

3.隨堂練習：(課本第94頁第2題)

【設(shè)計意圖】：通過練習，鞏固列不等式的基本步驟，再次突破重

難點.

【組織提示】：A層可提供答案.

答案：略

四.自查檢測，回饋新知

第一關(guān)火眼金睛

例2：下列各式中的不等式有-----個

(1)8<9(2)a+b=O(3)a+l>0(4)3x-IWx(5)llx-46

(6)74

【設(shè)計意圖】：強化本節(jié)課重點，檢測學生識別不等式的水平.

【組織提示】：A層提供答案，對應(yīng)互助B層學生指正.

答案：3

第二關(guān)判斷改錯

例3：下列說法中，那些是正確的？哪些是錯誤的？請把錯誤的加以

改正.

(1)“2x與1的和是負數(shù)”用不等式表示為：2x+lV0

(2)“a與b的差是非負數(shù)”用不等式表示為：a-b>0

(3)“a的2倍與4的差不小于5”用不等式表示為：2a-4>5

(4)“x的相反數(shù)與3的和是正數(shù)”用不等式表示為：3-x>0

【設(shè)計意圖】：再次幫助學生辨析關(guān)鍵詞.

【組織提示】：A層提供答案，對應(yīng)互助B層學生指正.

答案：⑴、(4)正確；(2)、(3)錯誤

改正如下：(2)a-b^O(3)2a-425

第三關(guān)學以致用

例4：冬天到了，小方準備用自己平時節(jié)約的30元錢為爺爺奶奶

和自己買手套和襪子.已知一付手套5元錢，一雙襪子4元錢.他先買

了3雙襪子，問：他最多還能買幾付手套？

解：設(shè)他還能買x付手套，根據(jù)題意，得到的不等式應(yīng)該是：

(A)5x+4*3>30

(B)5x+4*3<30

(C)5x+4*3N30

(D)5x+4*3W30

教師先放手讓學生分組討論，并出示引導思考題：

(1)3雙襪子和x付手套總共需要多少錢？

(2)應(yīng)該用哪個不等號才能準確的表示其中的數(shù)量關(guān)系？

答案:D

例5：從1、3、5、7、9中任取兩個數(shù)就組成一個數(shù)組，寫出其中

兩數(shù)之和小于10的所有數(shù)組.

答案：1、31、51、73、5

【設(shè)計意圖】：考查學生對列不等式的掌握情況.例4還暗引學生

對中華民族“尊老愛幼”的光榮傳統(tǒng)，例5還考查了學生的發(fā)散思維.

【組織提示】：以上兩題答案可由B層完成，對應(yīng)互助C層指正.

以上各題，教師可利用多媒體對學生在課堂上的精彩表現(xiàn)及時鼓

勵、肯定.

五.共享評價,整合新知