2024年廣東省深圳市南山部分學(xué)校中考三模數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024年深圳市南山部分學(xué)校中考三模數(shù)學(xué)模擬試題

說明：

1.答題前，請將姓名、準(zhǔn)考證號和學(xué)校用黑色字跡的鋼筆或簽字筆填寫在答題卡指定的位置

上，并將條形碼粘貼好.

2,全卷共6頁，考試時間90分鐘，滿分100分.

3.作答選擇題1?10,選出每題答案后，用23鉛筆把題卡上對應(yīng)題目答案標(biāo)號的信息點(diǎn)框涂

黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案.作非選擇題11-22,用黑色字跡的鋼筆

或簽字筆將答案（含作輔助線）寫在題卡指定區(qū)域內(nèi).寫在本試卷或草稿紙上，其答案一律無

效.

4.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.

第一部分選擇題

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選項，其中只有一個

是正確的）

1.下列實(shí)數(shù)中是無理數(shù)的是（）

A.3.14B.囪C.V3D.；

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根、無理數(shù)的定義即可得.

【詳解】A、3.14是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)，此項不符題意；

B、內(nèi)=3,是有理數(shù)，此項不符題意；

C、&是無理數(shù)，此項符合題意；

D、；是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，此項不符題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根、無理數(shù)，熟記定義是解題關(guān)鍵.

2.銅鼓是我國古代南方少數(shù)民族使用的打擊樂器和禮器，世界上最重的銅鼓王出土于廣西、如圖是銅鼓的

實(shí)物圖，它的左視圖是（）

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【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了簡單組合體的三視圖用到的知識點(diǎn)為：主視圖指從物體的正面看，左視圖是指從物

體的左面看，俯視圖是指從物體的上面看.準(zhǔn)確掌握定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)從左邊看得到的圖形是左視圖，可得答案.

【詳解】解：從左邊看，可得選項B的圖形，

故選：B.

3.某班30位同學(xué)的安全知識測試成績統(tǒng)計如表，其中有兩個數(shù)據(jù)被遮蓋，下列關(guān)于成績的統(tǒng)計量中，與

被遮蓋的數(shù)據(jù)無關(guān)的是（）

成

24252627282930

績

人

■■33679

數(shù)

A.平均數(shù)，方差B.中位數(shù)，方差

C,中位數(shù)，眾數(shù)D.平均數(shù)，眾數(shù)

【答案】C

【解析】

【分析】通過計算成績?yōu)?4、25分的人數(shù)，進(jìn)行判斷，不影響成績出現(xiàn)次數(shù)最多的結(jié)果，因此不影響眾

數(shù)，同時不影響找第15、16位數(shù)據(jù)，因此不影響中位數(shù)的計算，進(jìn)而進(jìn)行選擇.

【詳解】解?：由表格數(shù)據(jù)可知，成績?yōu)?4分、25分的人數(shù)為30-3-3-6-7-9=2（人），

成績?yōu)?0分的，出現(xiàn)次數(shù)最多，因此成績的眾數(shù)是30,

成績從小到大排列后處在第15、16位的兩個數(shù)都是29分，因此中位數(shù)是29,

第2頁/共28頁

因此中位數(shù)和眾數(shù)與被遮蓋的數(shù)據(jù)無關(guān)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】考查中位數(shù)、眾數(shù)、方差、平均數(shù)的意義和計算方法，理解各個統(tǒng)計量的實(shí)際意義，以及每個統(tǒng)

計量所反應(yīng)數(shù)據(jù)的特征，是正確判斷的前提.

4.如圖，已知三角板ABC,ZACB=90c,ZA=60°,AC=2,將三角板繞直角頂點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)，

當(dāng)點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A落在邊的起始位置上時即停止轉(zhuǎn)動，則B點(diǎn)轉(zhuǎn)過的路徑長為（）

A71百「2

A?幾兀C?D?九

3333

【答案】D

【解析】

【分析】本題根據(jù)30度所對直角邊等于斜邊的一半，得到A8,根據(jù)勾股定理求得8c的長度，再根據(jù)題

意得到△A4C是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)確定轉(zhuǎn)動的角度，最后運(yùn)用弧長公式即可解題.

【詳解】解：???NAC5=90。，ZA=60°,AC=2,

/.4=30。，

AB=4,

BC=\lAB2-AC2=2x/3，

當(dāng)A'落在AB邊時，NA=60。，AC=AfC,

.EAAC是等邊三角形，

.?□AA'C轉(zhuǎn)動了60。，

B點(diǎn)轉(zhuǎn)過的路徑長BB'=60小BC=空1,

1803

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定、30度所對直角邊等于斜邊的一

半、弧長公式，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理即可解題。

5.下列計算正確的是（）

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A.a~a=aB.a^a4=a

C.2/+3/=6/D.[-3ay=-9a2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)同底數(shù)塞的乘法，同底數(shù)幕的除法，合并同類項，積的乘方逐項分析判斷即可求解.

26

【詳解】解：A.a-a=a^故該選項正確，符合題意；

B./+故該選項不正確，不符合題意；

C.2/+3/=5/,故該選項不正確，不符合題意；

D.（-3。）2=9。2,故該選項不正確，不符合題意；

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)昂的乘法，同底數(shù)鼎的除法，合并同類項，積的莢方，正確的計算是解題的關(guān)

鍵.

6.光在不同介質(zhì)中的傳播速度是不同的，因此光從水中射向空氣時，要發(fā)生折射.已知在水中平行的光線

射向空氣中時也是平行的.如圖，Zl=40°,Z2=120°,則N3+N4的值為（）

A.160°B.150°C.100°

【答案】c

【解析】

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握平行線的性質(zhì).根據(jù)平行線的性質(zhì),

兩直線平行，同位角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，即可求出答案.

【詳解】解：如圖所示，AB//CD,光線在空氣中也平行，

/.Zl=Z3,Z2+Z4=180°,

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VZ1=40°,Z2=120°,

.?"二40。，Z4=180°-120°=60°.

Z3+Z4=40O4-60°=100°.

故選：C.

7.下列命題中是假命題的是（）

A.三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半

B.平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

C.從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角

D.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了命題與定理的知識.利用三角形的中位線定理、垂徑定理、切線長定理以及直角三角

形斜邊上的中線的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項.

【詳解】解：A、三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半，是真命題，故此選項

不符合題意；

B、平分弦（弦不是更徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧，故原命題是假命題，本選項符合

題意；

C、從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角，是

真命題，故此選項不符合題意；

D、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，是真命題，故此選項不符合題意；

故選：B.

8.如圖，在中，NA—45。.利用尺規(guī)在3C,上分別截取BF，使=分別

以點(diǎn)E,尸為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧在NC8A的內(nèi)部交于點(diǎn)O：作射線8。交DC于點(diǎn)

2

A.72-1B.72C.近+1D.2

【答案】C

【解析】

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【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，過H作HE上BC,根據(jù)平行四邊形得到

ZC=A=45°,ABDCD,結(jié)合//EJ.8。得到=CE=〃C?cos45。，結(jié)合角平分線得到

ZABH=?BH,即可得到NC5”=NC〃6,得到C〃=C8,即可得到即可得到答案；

【詳解】解：過"作HE_LBC,

???四邊形ABC。是平行四邊形，ZA=45°,

，NC=A=45。，AB口CD,

'：HELBC,

AHE=CE=HC-cos45°=—HCf/ABH=NCHB,

2

???BH平分/ABC,

???AABH=NCBH,

???NCBH=NCHB,

???CH=CB,

???BE=HC-CE=HC--HC=^—^HC^

22

HF-HC

：.tanNCHB=tanNCBH=—=———=拒+1,

BE”心

2

故選：C.

3

9.如圖，在RtZXABC中，AB=10cm,sinA=-,ZACB=90°,過點(diǎn)C向A3作垂線，垂足為O.直

線相，“垂直于AB,直線團(tuán)分別與相交于點(diǎn)M,N,直線〃分別與AB,3C相交于點(diǎn)尸、Q.直線

從點(diǎn)4出發(fā)，沿方向以lcm/s的速度向點(diǎn)。運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)￡)時停止運(yùn)動；同時，直線〃從點(diǎn)8出發(fā)，

沿6A方向以相同的速度向點(diǎn)。運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)。時停止運(yùn)動.若運(yùn)動過程中直線〃?、〃及DABC圍成的多

邊形MNCQP的面積是y(cn?)，直線機(jī)的運(yùn)動時間是x(s),則y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象大致是()

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【答案】A

【解析】

【分析】本題考查的是動點(diǎn)圖象問題，涉及到解直角三角形等知識，此類問題關(guān)鍵是：弄清楚不同時間段,

圖象和圖形的對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而求解.分別求出當(dāng)0<“<三和■時的y與x之間函數(shù)關(guān)系式即可

判斷.

【詳解】解：RtZ\ABC中，NACB=90。，過點(diǎn)C向A8作垂線,

:.ZCDB=90°,

.?.乙4+NACD=90。,N8co+NACD=90°,

:.4=NBCD，

同理N3=N4CO

3

VAB=10cm,sinA=g

:.BC=AB?sinA=6,

在RlZXABC中，運(yùn)用勾股定理得AC=8,

*：-ABCD=-ACBC,ACD=

22y

344

由sinA=一得：cosA=—,tanA=—

553

IQ

當(dāng)時，AM=BP=x,

第7頁/共28頁

A334321X

由SnA=—，tan3=?得：MN=-x,QP=-x,AD=——，BD=—,

344355

:.MD=----xDP-------x,

5y5

：?y=S五邊形小尸+CD).M。+；(QP+CQ).OP

1<24332If244「18252?

——+—x-----x+——+—x-----x-----x+24；

2(5452153(524

825

25，“(八181

-----k+240<x<——

24I5)

=<,根據(jù)函數(shù)解析式判斷A選項符合題意,

故選：A.

10.如圖，ZMBC中，NABO45。，ZBAC=75°,BC=E點(diǎn)P是3c上一動點(diǎn)，PD_LAC于

。，于E,在點(diǎn)尸的運(yùn)動過程中.線段OE的最小值為（）

A.373-3B.辿C.逋D.-

352

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)PO1AC,PE_LA8可以確定4。,尸,￡四點(diǎn)共圓,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理確定NB4C=60。,

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進(jìn)而確定當(dāng)AP_L8c時，線段OE取得最小值，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和圓周角定理的推論確定

40DE

N4OE=45。，根據(jù)相似三角形的判定定理和性質(zhì)可一=「；，設(shè)AE=2x,根據(jù)等角對等邊和勾股定理

ABBC

表示出AB和AP,根據(jù)30°所對的直角邊是斜邊的一半，圓周角定理和勾股定理表示出AO,最后代入比

例式中計算即可.

【詳解】解：???PO_LAC于。，于日

???Z4O尸=NAE尸二90。，

AZXDP+ZAEP=180°,

???A、。、P、￡四點(diǎn)共圓，且直徑為4P,

VZBAC=75°,是定值，所以直徑4P最小時，NDAE所對的弦0E最小，此時AP1BC,

在Rt/XPBE中，ZB=45°

???△P5E是等腰更角三角形，ZAPE=45°,

???△APE也是等腰直角三角形，

NP4E=45。，

NPBE=NPAE=45。,

???ZADE=45°,

???AADE=/B，

■:ZEAD=NCAB,

/.△ADEcoAABC,

ADDE

??——=——,

ABBC

設(shè)4E=2%,則PE=EB=2x?AP=2\l2x，

B

則40=。。=。尸=岳，

,/ZDAP=ZBAC-ZPAE=30°,

???ZDOP=2ZDAO=60°,

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過。作OM_LAP于M,

???NODM=30。，OM=—x^

2

,DM=yl0D2-0M2=—x，

2

?仙3夜

??AM=----x>

2

由勾股定理得：AD=ylAM?+DM2=顯，

?瓜DE

式=而

.rn3V2+V6

4

3

則線段DE的最小值為；

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查確定圓的條件，圓周角定理及其推論，勾股定理，相似三角形的判定定理和性質(zhì)，含

30°的直角三角形，正確確定何時DE取得最小值是解題關(guān)鍵.

第二部分非選擇題

二、填空題(本大題共5小題，每小題3分，共15分)

11.因式分解：X2-4/=.

【答案】(x+2)，)(x-2y)

【解析】

【分析】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.

直接運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解即可.

【詳解】解：x2-4y2=(x+2y)(x-2j),

故答案為：(x+2y)(x—2y).

12.袋中裝有9個黑球和〃個白球，經(jīng)過若干次試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)“若從袋中任摸出一個球，恰是黑球的概率為

0.75”，則這個袋中白球大約有個.

【答案】3

【解析】

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【分析】此題考查了概率公式的應(yīng)用，注意用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

用黑球的個數(shù)除以球的總個數(shù)等于0.75列出關(guān)于〃的方程，解之即可.

9

【詳解】解：根據(jù)題意知—=0.75,

解得巾=3,

經(jīng)檢驗(yàn)，〃=3是該分式方程的解，

???這個袋中白球大約有3個，

故答案為：3.

xm

13.關(guān)于”的分式方程--=2——二的解為非正數(shù)，則加的取值范圍是________.

x+3x+3

【答案】m46且加w3

【解析】

【分析】本題考查分式方程的解，分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，表示出力根據(jù)分式方程的解為正

數(shù)，得到x大于0,列出關(guān)于根的不等式，求出不等式的解集即可得到用的范圍.

rm

【詳解】解：解——=2-----得x=m-6,

x+3x+3

xni

???關(guān)于x的分式方程一-=2——-的解為非正數(shù)，

x+3x+3

zn-6<0,

解得：m<6,

vx+3*0,

JV#-3，

tn-6^-3,

，加H3,

In的取值范圍是加工6且mw3,

故答案為：加《6且

14.如圖，在RtZ\A6C中，^CBA=90°,ZBCO=Z.DCO,4c交x軸于點(diǎn)。，AD=-CD,。點(diǎn)坐

3

標(biāo)為（0,-3）,點(diǎn)A在雙曲線y=：（Z>（U>0）上，則&=.

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77

【解析】

【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，綜合利用相似三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)求A

的坐標(biāo)，依據(jù)A在反比例函數(shù)的圖象上的點(diǎn)，根據(jù)坐標(biāo)求出女的值.綜合性較強(qiáng)，注意轉(zhuǎn)化思想方法的應(yīng)

用.要求女的值，通常可求A的坐標(biāo)，可作x軸的垂線，構(gòu)造相似三角形，利用AO二，CO和。(0,-3)可

3

以求出A的縱坐標(biāo)，再利用三角形相似，設(shè)未知數(shù)，由相似三角形對應(yīng)邊成比例，列出方程，求出待定未知

數(shù)，從而確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而確定人的值.

【詳解】解：過A作軸，垂足為E，

0C=3,

?/ZAED=NCOD=90°,^ADE=NCDO,

.\DAQEs口。。。，

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.AEDEAD_I

"'cd~~0D~~CD~3f

AE=\x

又?，y軸平分/ACB，CO±BD,

BO=OD,

ZABC=90%

NOCD=NDAE=ZABE,

.PABEs口DCO,

AEBE

——=——,

ODOC

設(shè)OE=〃，則BO=OO=3〃，BE=1n,

,17〃

"3n=~6f

7

：.OE=4n=—,

7

.477.4x/7

/.k=-----xl=---

77

故答案為：也.

7

15.如圖，在△Q1BC中，AC=AB,ZBAC=90°,短是AC邊上一點(diǎn)，連接80,A"_L8。于點(diǎn)

3

“，點(diǎn)E在3尸上，連接AE,CE,ZEAF=45°若tanNECO=18c=6,則BE的長為一.

f4

【解析】

【分析】如圖，作4〃_L￡4交8。的延長線于H,連接C”,根據(jù)余角的性質(zhì)得到N1=N2,求得

△4E”是等腰直角三角形，得到4E=AH,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=CH,延長CE交AE于

第13頁/共28頁

T,根據(jù)三角函數(shù)的定義得到A7=迪，CT=謹(jǐn),tan/CL4=:，作ELJ.48于L,設(shè)EL=4a,

443

TL=3afET=5a,BL=BT+71=—+3tz?AL=AT-TL=^--3a在RtQ8￡L和RtZ\AEL

44

中，根據(jù)勾股定理得BE?,AE2^進(jìn)而可得CW?,的值，進(jìn)而可得上”2,由

ZAHC=ZAEB=180°-ZAEF=135°,可知NE〃C=NAHC—NAH/=135。-45。=90。，在RtZkCE”中，

由勾股定理得CE2=CH2+E“2,計算求解可得。值，進(jìn)而可得BE的值.

【詳解】解：如圖，作A”_LE4交8。的延長線于“，連接c〃，

?/NEAH=N8AC=90。，

Zl=Z2,

VAFLEF,NEA尸=45。,

.?.NAEH=45。，

???△八四是等腰直角三角形，

/.AE=AH,

在口ABE和口AC”中，

AD-AC

????Nl=N2,

AE=AH

???口ABE?ACH(SAS),、

:.BE=CH,

如圖，延長CE交AB于T,

3

tanZ.ECD=tanZ.TCA=-,AC=AB=3>/2，

.972515>/2_4

??AT=---9CT=--------9tanN/CrT/AA——,

443

第14頁/共28頁

?RTAHATOF）9及3叵

??B「=AB—AT=342—'=，

44

如圖，作ELJ.A8于L，

設(shè)包=4。，則7L=3a,ET=5atBL=BT+TL=^~+3a，AL=AT-TL=^--3a

44

CE=CT-ET=^^-5a，

4

（手+3a）2+（4a）2,

在RtOBEL中，由勾股定理得8爐=出？+現(xiàn)?

在RtAAEL中，由勾股定理得AE2=AI:+El3=（乎-3a）2+（4a）2,

12

CH=BE=（乎+3o）2+（4〃）2,Aff2=AE2=（等-302+（甸2,

gj2

EH2=2[（—-3a）2+（4a）2],

4

zlAHC=NAEB=180°-乙AEF=135°,

JZ.EHC=ZAHC-NAHr=135。-45°=90°,

在RtZiCE”中，由勾股定理得Of?=C“2+E〃2,即

-5。）2=（乎+34）2+（442+2［（孚-34）2+（加產(chǎn)］,

解得：a=—,

20

:.BE=嗎

5

故答案為：2叵.

5

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，正切，勾股定理等知識.解題

的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用.

三、解答題（本題共7小題，共55分）

16.計算:

【答案】3-&

【解析】

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，分別化簡絕對值，零指數(shù)次寒，負(fù)整數(shù)指數(shù)轅的運(yùn)算、二次根式的化

簡，再進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算即可，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

第15頁/共28頁

【詳解】解：原式=2-垃+工一」+1,

33

=3—\/2?

17.酚獻(xiàn)試液是化學(xué)實(shí)驗(yàn)室中一種常見的酸堿指示劑，廣泛應(yīng)用于酸堿滴定過程中，通常情況下，酚酣遇

酸性和中性溶液不變色，遇堿性溶液變紅色.一次化學(xué)實(shí)驗(yàn)課上，老師讓學(xué)生用酚釀溶液檢測4瓶因標(biāo)簽

污損無法分辨的無色溶液的酸堿性，已知這4種溶液分別是：A鹽酸（呈酸性）、8硝酸鉀溶液（呈中

性）、C氫氧化鈉溶液（呈堿性）、。碳酸訥溶液（呈堿性）中的一種，小明和小亮從中各選1瓶溶液滴入

酚儆試液進(jìn)行檢測.

（1）小明檢測的溶液變成紅色的概率為:

（2）用列表或畫樹狀圖的方法，表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，并求小明和小亮檢測的兩瓶溶液都變成紅

色的概率.

【答案】（1）\

（2）見解析，\

【解析】

【分析】本題考查了用列表或畫樹狀圖的方法求概率，熟記用列表或畫樹狀圖的方法及概率公式是解題的

關(guān)鍵.

（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；

（2）將A鹽酸（呈酸性）、B硝酸鉀溶液（呈中性）、C氫氧化鈉溶液（呈堿性）、。碳酸鈉溶液（呈堿性）

分別記作列表得出所有可能的結(jié)果，再根據(jù)概率公式求解即可.

【小問1詳解】

解：4種溶液中，有2瓶呈堿性，

21

則檢測的溶液變成紅色的概率為二=7，

42

故答案為：；

【小問2詳解】

將A鹽酸（呈酸性）、B硝酸鉀溶液（呈中性）、C氫氧化鈉溶液（呈堿性）、。碳酸鈉溶液（呈堿性）分別

記作ABCD,列表如下:

ABCD

A(84(CA)(2A)

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B(A,B)(CB)(D,B)

C(AC)(AC)(DC)

D(")（A。）（C，。）

由表知，共有12種可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中小明和小亮檢測的兩瓶溶液都變成紅色的有（DC）,（C,。）共

2種結(jié)果，

21

小明和小亮檢測的兩瓶溶液都變成紅色的概率為：—

126

18.以下各圖均是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，A、B、C、。均在格點(diǎn)上.

圖①圖②圖③

（1）在圖①中，絲的值為；

PA

（2）利用網(wǎng)格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法.

①如圖②，在A8上找一點(diǎn)P,使4P=3；

②如圖③，在8。上找一點(diǎn)P,使AAPBs

【答案】（1）（2）①見解析；②見解析.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)兩條直線平行，對應(yīng)線段成比例即可得結(jié)論；

（2）①根據(jù)勾股定理得AB的長為5,利用格點(diǎn)，再根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)即可找到點(diǎn)P：

②作點(diǎn)A的對稱點(diǎn)A，，連接AC與BD的交點(diǎn)即為要找的點(diǎn)P,使△APBs^CPD.

【詳解】解：（1）圖1中，

VAB^CD,

:.——PD=——CD=-1，

PAAB3

（2）在網(wǎng)格圖中，A8=次？+4、=5

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①如圖2所示，連接CD,交AB于點(diǎn)P,

VBC/7AD,

.APAD_3AP3

"'BP~CB2*5-AP2

解得：AP=3

???點(diǎn)P即為所要找的點(diǎn)；

②如圖3所示，作點(diǎn)A的對稱點(diǎn)A，，

連接AC,交BD于點(diǎn)P,

?.?AB〃CD,

AAAPB^ACPD.

???點(diǎn)P即為所要找的點(diǎn)，

【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-相似變換，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法.

19.去年夏天，全國多地出現(xiàn)了極端高溫天氣，某商場抓住這一商機(jī)，先用3200元購進(jìn)一批防紫外線太陽

傘，很快就銷售一空，商場又用8000元購進(jìn)了第二批這種太陽傘，所購數(shù)量是第一批的2倍，但單價貴了

4元，商店在銷售這種太陽傘時，每把定價都是50元，每天可賣出20把.

(1)求兩次共購進(jìn)這種太陽傘多少把：

(2)商場為了加快資金的回籠速度，打算對第二批太陽傘進(jìn)行降價銷售，經(jīng)市場調(diào)查，如果這種太陽傘

每把降價1元，則每天可多售出2把，這種太陽傘降價多少元時，才能使商場每天的銷售額最大？每天最

大的銷售額是多少元？

【答案】(1)兩次共購進(jìn)這種太陽傘600把

(2)太陽傘每把降價20元時，才能使商場每天的銷售額最大，商場每天的最大銷售額是1800元

【解析】

【分析】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，理解題意，確定相等關(guān)系建立方程與函數(shù)關(guān)系式

是解本題的關(guān)鍵；

(1)設(shè)第一次購進(jìn)x把這種太陽傘，則第二次購進(jìn)2x把這種太陽傘.利用所購數(shù)量是第一批的2倍，但單

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價貴了4元，再建立方程求解即可;

（2）設(shè)商場每天的銷售額為y元，太陽傘每把降價x元.由總利潤等于每件利潤乘以銷售量建立函數(shù)關(guān)系

式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題即可.

【小問1詳解】

解：設(shè)第一次購進(jìn)x把這種太陽傘，則第二次購進(jìn)2x把這種太陽傘.

3200/8000

由題意得,-------+4=--------

x2x

解得K=200,

經(jīng)檢驗(yàn)x=200是原方程的解，貝iJx+2x=600,

答：兩次共購進(jìn)這種太陽傘600把；

【小問2詳解】

設(shè)商場每天的銷售額為y元，太陽傘每把降價上元.

由題意得y=(50-x)(20+2x),

化簡得：y=-2x2+80x4-1000=-2（x-20）2+1800,

當(dāng)x=20時.），有最大值，y最大值=1800,

答：太陽傘每把降價20元時，才能使商場每天的銷售額最大，商場每天的最大銷售額是1800元.

20.如圖，在RtZ\48C中，ZACB=90°,。為AC邊上一點(diǎn)，連結(jié)。B,以O(shè)C為半徑的半圓與邊相

切于點(diǎn)D,交AC邊于點(diǎn)E.

（1）求證：BC=BD；

（2）若OB=OA,AE=2,①求半圓。的半徑；②求圖中陰影部分的面積.

【答案】（1）證明過程見解析

(2)?2；?2A/3--

3

【解析】

【分析】（1）連接。。，由切線的性質(zhì)得出/。。3=90。，證明R/DOOBgR匯1。。3,再由全等三角形的

判定即可得出結(jié)論；

（2）①證出NOBO=NO8C=N4=30。，再由直角三角形的性質(zhì)即可求解；

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②由勾股定理求出AO=26，4400=60。，由三角形面積公式和扇形的面積公式求解即可.

【小問1詳解】

證明：如圖，連接OO,

???3。是口。的切線，點(diǎn)。為切點(diǎn)，

???NOOB=90。，

VZAC5=90°,OC=OD,OB=OB,

???RtUODBgRmOCB(HL),

:.BC=BD：

【小問2詳解】

解：①,：OB=OA,

???NOBD=N4,

VRtnOOBgRtflOCB,

???20BD=/0BC,

???Z.0BD=NOBC=NA,

又???NOB。+ZOBC+ZA=90。，

:.ZOBD=ZOBC=ZA=30°,

在R/OODA中，sinZA=—,

OA

:.OD=-OA,

2

???OD=OE,

???OE=-OA,

2

???OE=AE=2,

??.半圓。的半徑為2；

②在EAOOA中，0。=2,OA=4,

：?AD=y]OA2-OD2=2y/3.

:.S0A?！箈2x26=25

一UAU22

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???NA=30。，

???400=60。，

s660萬x2?

s陰影=sODAmoDE~360=2號手

【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、扇形的面積公式、銳角三角函數(shù)及勾股定理，

熟練掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

21.釣魚傘設(shè)計：戶外釣魚是一項獨(dú)特的休閑娛樂活動，已經(jīng)吸引了越來越多的人.

圖解：圖1是某釣魚俱樂部設(shè)計了一款新型釣傘，傘面可近似看成弧線.圖2是其側(cè)面示意圖.已知遮陽

傘由傘面弧AB、支架CO和支架DE組成，。為兩個支架的連接點(diǎn)，其中支架CO垂直于A8且可在。

處任意旋轉(zhuǎn)，。為AB中點(diǎn)，支架OE垂直于地面且可以適當(dāng)調(diào)整長度.傳統(tǒng)的釣傘在連接點(diǎn)。處需要手

動旋轉(zhuǎn)支架C。，使弦A3與光線垂直以達(dá)到最大遮陽目的.新型遮陽傘在D處設(shè)置了光線傳感器，自動

旋轉(zhuǎn)支架CO以保持始終與光線垂直.圖3-5為在不同太陽高度下的情況，其中AM、BN為光線方

向，MN為在地面形成的影子.僅考慮光線由右上到左下的情況.

定義變量：設(shè)?！?力米，米，AC=C8=8米，太陽高度角定義為光線與地面夾角6（6為銳

角）.

問題?：如圖4,若人=1.5/=0.9,當(dāng)傘面端點(diǎn)8的影子剛好與E點(diǎn)重合時，求影子MN的長度.

問題二：根據(jù)圖3-圖5,為了最大程度利用遮陽傘，假設(shè)釣魚人坐在N點(diǎn)，面朝陽光方向，設(shè)NE的距離

為丁米，請利用相關(guān)變量力，。力，。表示

問題三：在圖5中，該俱樂部的某場釣魚比賽定在上午九點(diǎn)，此時太陽光線與地面夾角為45。，俱樂部選

擇。=0.6,人=0.9型號的釣傘.假設(shè)E點(diǎn)剛好在岸邊，座椅在N處，為了滿足最大舒適性，選手距離

岸邊距離NE（N在E點(diǎn)左側(cè)）不超過1米，且為了滿足視野不影響比賽，要求8點(diǎn)離地面的垂直距離不

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小于1.5米，根據(jù)此要求，該俱樂部應(yīng)如何設(shè)置力的高度以滿足比賽，求，的取值范圍.(精確到0.1米,

參考數(shù)據(jù)：72?1.4)

bh

【答案】問題一：影長2.25米；問題二：y=--——問題三：1.74〃(2.3

sin。lan。

【解析】

【分析】問題一：過點(diǎn)D作DFJ.BN,交BE于點(diǎn)F,過點(diǎn)N作交AM于點(diǎn)H,則可得四

邊形AHEB為矩形，則有”N=1.8；在RtODFN中,由勾股定理求得/N,則可求得sin。的值，在在

R/QMM7中，利用正弦函數(shù)關(guān)系則可求得MN；

問題二：延長CO交ME于點(diǎn)G,由平行線分線段成比例定理得G點(diǎn)是MN中點(diǎn)；在R&MNH及

R仙DGE中,利用三角函數(shù)分別求出GN、GE,分點(diǎn)N在點(diǎn)E右側(cè)、點(diǎn)N在點(diǎn)E左側(cè)、點(diǎn)N與點(diǎn)E重合

三種情況，即可求解；

問題三：過點(diǎn)尸作尸尸_LOE,交DE于P,過點(diǎn)8作6Q_LM/V交P尸延長線于Q,交MN延長線于H,

利用解宜角三角形知識分別求出8R、NE,由＜八am,即可求得力的范圍.

【詳解】問題一

解：當(dāng)點(diǎn)七和點(diǎn)N重合時，過點(diǎn)。作。/J.8N,交BE于點(diǎn)尸，過點(diǎn)N作M7_L4M,交AM于點(diǎn)H,

vAM0BN.AB1AM,HNIAM,

:.AB〃HN,

二?四邊形為矩形，HN=A8=2C8=28=1.8米，

?:DE1MN,DF1BN,

:.NDNF=90。-仇ZNDF=0,

由題可知，。/=BC=〃=0.9米，DN=h=\5米,

在RrOORV中，由勾股定理得產(chǎn)」=，0汽2_°尸2=1.2米，

第22頁/共28頁

FN1.24

貝ijsin。

L5-5

HN184

在R/OMN〃中，NNMH-0,sin^NMH-sinO-——一^一一

MNMN5

解得MN=2.25米，即影長為2.25米，

問題二

解：

AMUCGQBN,

ACMG,即NG」MN,

——=-----=1,

CBNG2

HN_2b2b

在RCMNH中,sinO=則MN

sinO

b

GN=

sinO

在R捫。GE中,NDGE=@,

電”.一h,h

則GE=

GEGEtanO

當(dāng)點(diǎn)、在點(diǎn)E右側(cè)時，EN=GN—GE,

bh

則y

sinOtanO

當(dāng)點(diǎn)"在點(diǎn)E左側(cè)時,EN=GE—GN,

第23頁/共28頁

hb

則y

tanOsinO

bh

當(dāng)點(diǎn)"與點(diǎn)E重合時,即y=0,

sinOtanO

bh

綜上所述,

sin3tanO

問題三

解：過點(diǎn)尸作尸尸_LOE,交DE于P,過點(diǎn)8作3。J.MN交PF延長線于Q,交MN延長線于R,

當(dāng)6=45。時，口。尸尸63尺2都為等腰直角三角形,

/.DF=CB=0.9,BF=CD=0.6,

入?yún)nhb.95/2

tanOsinO10

，DP=cosNFDP?DF=旦09=，

220

95/2

PE=DE-DP=h--—?

20

BQ=cosNFBQBF=與0.6=^^，

BR=PE+BQ=h—吟+嚕=h—率

BRN1.5

由題可知:

OWNER

/i-->1.5

20

0</?--<1

10

第24頁/共28頁

當(dāng)&k1.4時，解得:

h>\.7

[3<h<23,

即1.74。W2.3.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的判

定，構(gòu)造適當(dāng)輔助線得到直角三角形是解題的關(guān)鍵.

22.【問題呈現(xiàn)】

（1）如圖①，在凸四邊形A3CD中，DA=DB,ABD=60°,連接AC,ZDCB=300,某數(shù)學(xué)

小組在進(jìn)行探究時發(fā)現(xiàn)CO?