《預(yù)測與決策教程 第2版》 課件 李華第4章 隨機(jī)型時間序列分析方法

主要內(nèi)容：

隨機(jī)型時間序列預(yù)測概述隨機(jī)型時間序列基本模型

ARMA模型的相關(guān)分析模型的識別ARMA序列的參數(shù)估計模型的檢驗與預(yù)報第四章隨機(jī)型時間序列分析方法知識點1：隨機(jī)型時間序列預(yù)測概述一、引例 ——7個不同類型的時間序列實例二、時間序列三種基本類型 ——平穩(wěn)、非平穩(wěn)、季節(jié)三、時間序列的幾個基本概念 ——隨機(jī)時間序列、平穩(wěn)序列、白噪聲序列四、隨機(jī)型時間序列的基本模型 ——ARMA模型、求和自回歸模型、季節(jié)性模型五、隨機(jī)型時間序列預(yù)測方法的基本思想4.1隨機(jī)型時間序列模型現(xiàn)實生活中，時間序列廣泛存在于各個領(lǐng)域。在農(nóng)業(yè)領(lǐng)域，我們觀測全球糧食的產(chǎn)量與全球的糧食消費量等。一、引例1-農(nóng)業(yè)圖4.1全球糧食的供給與消費時序圖

在社會領(lǐng)域，我們研究年度出生率、死亡率、事故發(fā)生率和各種犯罪率等。圖4.2中國人口的出生率、死亡率和自然增長率變化時序圖一、引例2-社會領(lǐng)域

在商業(yè)和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，我們觀測股票的日收盤價格、周利息率、月價格指數(shù)、季銷售額和年利潤等。圖4.3深圳成指及成交量時序圖一、引例3-商業(yè)和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域

在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，我們測量腦電圖和心電圖，追蹤、計算某種疾病的發(fā)病率等。圖4.4疾病發(fā)病率時序圖一、引例4-醫(yī)學(xué)領(lǐng)域

在工程領(lǐng)域，我們觀測聲音、電信號和電壓等。圖4.5信號采樣點時序圖一、引例5-工程領(lǐng)域在地球物理領(lǐng)域，我們記錄洋流，一個地區(qū)的海浪和地球噪音等。圖4.6海浪信號時序圖一、引例6-地球物流領(lǐng)域

在氣象領(lǐng)域，我們觀測每小時風(fēng)速、每日溫度和年降雨量等。圖4.7月平均溫度時序圖一、引例7-氣象領(lǐng)域

如此眾多的時間序列，可將其歸為三類：平穩(wěn)時間序列、非平穩(wěn)時間序列及季節(jié)性時間序列。圖4.8卡車裝配線末端每輛卡車的平均故障數(shù)時序圖圖4.8所示某年11月4日到1月10日卡車生產(chǎn)車間裝配線末端檢驗出的每輛卡車的平均故障數(shù)時序圖（平穩(wěn)時間序列）二、時間序列的三種基本類型——平穩(wěn)時間序列圖4.9美國1871-1984年煙草生產(chǎn)量的年度數(shù)據(jù)時序圖圖4.9所示美國1871年—1984年煙草生產(chǎn)量時序圖（非平穩(wěn)時間序列）二、時間序列的三種基本類型——非平穩(wěn)時間序列圖4.10所示某地1935-1945年月平均氣溫時序圖（季節(jié)性時間序列）。圖4.10某地1935-1945年月平均氣溫時序圖二、時間序列的三種基本類型——季節(jié)性時間序列隨機(jī)時間序列是指這里對每個n，Xn都是一個隨機(jī)變量。以下簡稱為時間序列。例1在統(tǒng)計研究中，常用按時間順序排列的一組隨機(jī)變量來表示一個隨機(jī)事件的時間序列，簡記為比如把北京市城鎮(zhèn)居民1990-1999年每年的消費支出按照時間順序記錄下來，就構(gòu)成了一個序列長度為10的消費支出（樣本）時間序列（單位：億元）：1686，1925，2356，3027，3891，4874，5430，5796，6217，6796三、時間序列的幾個基本概念——時間序列定義4.1時間序列稱為平穩(wěn)的，如果它滿足：

（1）對任一，，是與無關(guān)的常數(shù)；

（2）對任意的和，

其中和無關(guān)。稱為時間序列的自協(xié)方差函數(shù)；

稱為自相關(guān)函數(shù)。三、時間序列的幾個基本概念——平穩(wěn)序列平穩(wěn)性定義中的兩條，指時間序列的均值和自協(xié)方差函數(shù)不隨時間的變化而變化。顯然，不失一般性，對一個平穩(wěn)時間序列，假設(shè)其均值為零。若不然，運用零均值化方法對序列進(jìn)行一次平移變換，是一個零均值的平穩(wěn)序列。三、時間序列的幾個基本概念——平穩(wěn)序列定義4.2

白噪聲序列即序列的均值為0，方差為，且互不相關(guān)。三、時間序列的幾個基本概念——白噪聲序列白噪聲序列是一種特殊的平穩(wěn)序列。四、隨機(jī)型時間序列基本模型本課程討論隨機(jī)型時間序列的幾種常用模型。從實用觀點來看，這些模型能夠表征任何模式的時間序列數(shù)據(jù)。這幾類模型是：1)自回歸(AR)模型；2)移動平均(MA)模型；4)求和自回歸移動平均(ARIMA)模型；5)季節(jié)性模型3)自回歸移動平均(ARMA)模型；隨機(jī)型時間序列預(yù)測方法的基本思想可以分為四個階段：

第一階段：根據(jù)建模的目的和數(shù)據(jù)模式，確定模型的基本類型。第二階段：進(jìn)行模型識別，即從一大類模型中選擇出一類試驗?zāi)Ｐ汀５谌A段：將所選擇的模型應(yīng)用于所取得的歷史數(shù)據(jù)，求得模型的參數(shù)。第四階段：檢驗得到的模型是否合適。若合適，則可以用于預(yù)測或控制；若不合適，則返回到第二階段重新選擇模型。五、隨機(jī)型時間序列預(yù)測方法的基本思想

圖4.11時間序列分析建模流程合適不合適確定基本模型形式模型識別(選擇一個試驗性模型)參數(shù)估計(估計試驗性模型參數(shù))診斷檢驗利用模型預(yù)測五、隨機(jī)型時間序列預(yù)測方法的基本思想小結(jié)：時間序列預(yù)測概述時間序列三種基本類型 ——平穩(wěn)、非平穩(wěn)、季節(jié)時間序列的幾個基本概念 ——隨機(jī)時間序列、平穩(wěn)序列、白噪聲序列隨機(jī)型時間序列的基本模型 ——ARMA模型、求和自回歸模型、季節(jié)性模型隨機(jī)型時間序列預(yù)測方法的基本思想知識點1

隨機(jī)性時間序列分析方法概述知識點2時間序列的基本模型知識點3

AR模型的相關(guān)分析知識點4

MA模型的相關(guān)分析知識點5

ARMA模型的相關(guān)分析知識點6

時間序列模型的識別知識點7

時間序列模型的參數(shù)估計知識點8

時間序列模型的檢驗4.1隨機(jī)型時間序列模型

若是獨立的，相互間沒有任何依賴關(guān)系，其統(tǒng)計規(guī)律就是事物獨立地隨機(jī)變動。若隨機(jī)變量之間有一定的依存性，最簡單的，與相關(guān)，其中是白噪聲序列，即（如一個患者服藥）知識點2：時間序列的基本模型自回歸模型(AutoRegressivemodel)的形式為：式中，為模型參數(shù)；為“因變量”，為“自”變量。是白噪聲序列，即假定即隨機(jī)影響與數(shù)據(jù)值無關(guān)。AR(p)反映了系統(tǒng)對自身過去狀態(tài)的記憶一、自回歸（AR）模型令A(yù)R()

模型可寫為如：一階模型二階模型注：稱為向后推移算子由模型AR(

)知，如果：（1）能夠證明AR()的確是恰當(dāng)?shù)姆匠?；?）能夠確定的數(shù)值；（3）能夠確定模型參數(shù)那么，在AR(

)模型表達(dá)式中去掉隨機(jī)影響項后就得到預(yù)測公式由此進(jìn)行預(yù)測就很容易了。對于AR系統(tǒng)，系統(tǒng)在n時刻的響應(yīng)

僅與其以前時刻的響應(yīng)有關(guān)，而與其以前時刻進(jìn)入系統(tǒng)的擾動無關(guān)。而若系統(tǒng)與其以前時刻的響應(yīng)無關(guān)，而與進(jìn)入系統(tǒng)的擾動存在一定的相關(guān)關(guān)系，那么這類系統(tǒng)為移動平均(MA）系統(tǒng)。二、移動平均（MA）模型其中

是白噪聲序列。MA(

)記MA(

)模型可寫成反映了系統(tǒng)對過去時刻進(jìn)入系統(tǒng)的噪聲的記憶如：一階模型二階模型例2.1一個關(guān)于產(chǎn)科醫(yī)院的例子。設(shè)是第t天新住院的病員人數(shù)，且假設(shè)這個病員的人數(shù)構(gòu)成的序列是白噪聲序列。則某一天的住院病員人數(shù)與第二天的病員住院人數(shù)是無關(guān)的。再假設(shè)典型的情形：10％的病人住院一天，50％的病人住院兩天，30％的病人住院三天，10％的病人住院四天。則第t天住院的病員人數(shù)

被引入了的表達(dá)式中。這樣，它不僅直接影響到的值，并且對所有將來值都產(chǎn)生影響。AR(p)序列與MA(q)序列的差異：從對序列的影響來看，對AR(p)

序列（當(dāng)前值）=自身過去值的線性組合+（當(dāng)前值）

僅對

個的將來值產(chǎn)生影響。對MA(q)序列（當(dāng)前值）=有限個過去值的線性組合+（當(dāng)前值）三、自回歸移動平均（ARMA）模型在建立一個實際時間序列模型時，可能既有自回歸部分，又有移動平均部分，如：階的自回歸移動平均模型

反映了系統(tǒng)對自身過去狀態(tài)及各時刻進(jìn)入系統(tǒng)的噪聲的記憶如：ARMA(1,1)ARMA(2,1)AR(

)MA()實際應(yīng)用中、的值很少超過3。對ARMA(,)模型，總假定和（作為變量為

的多項式）無公共因子。四、ARMA模型的平穩(wěn)與可逆性條件本段討論上述三種模型參數(shù)的有關(guān)約束條件，即自回歸模型的平穩(wěn)性條件和移動平均模型的可逆性條件。1.AR(p)模型的平穩(wěn)性條件如平方并取數(shù)學(xué)期望若平穩(wěn)，的根在單位圓外。定義稱多項式方程為模型的特征方程，它的個根稱為模型的特征根。如果這

個特征根都在單位圓外，即，則稱模型

是穩(wěn)定的或平穩(wěn)的。稱上式為平穩(wěn)性條件。1.AR(p)

模型的平穩(wěn)性條件Note穩(wěn)定的AR()

模型有一些很好的性質(zhì)。如1）保證了的存在，從而，2)模型參數(shù)可以由相關(guān)函數(shù)惟一確定。例2.2求穩(wěn)定域及逆算子。穩(wěn)定域：穩(wěn)定域：設(shè)

可負(fù)向趨于無窮，且有界。由于從而AR(1)

表明存在定義稱多項式方程為模型的特征方程，它的個根稱為模型的特征根。如果這

個特征根都在單位圓外，即，則稱模型是可逆的。2.MA(q)

模型的可逆性條件的歷史值對雖有影響，但隨著時間的推移越來越小。否則，不合理?？赡嫘詶l件的直觀解釋：Note可逆的MA(

)

模型有一些很好的性質(zhì)。如1）保證了的存在，從而，2)模型參數(shù)可以由相關(guān)函數(shù)唯一確定。若，的根均在單位圓外，且這兩個特征多項式無公共因子，則稱此模型為平穩(wěn)可逆的自回歸移動平均模型。3.ARMA(p,q)

模型的平穩(wěn)可逆性條件如，ARMA(1,1)模型參數(shù)的平穩(wěn)可逆域為小結(jié)：時間序列的基本模型我們把隨機(jī)型時間序列分為三種基本類型：平穩(wěn)、非平穩(wěn)及季節(jié)性序列。后兩種類型常?？梢赞D(zhuǎn)化為第一種類型。平穩(wěn)的時間序列的基本模型有三種：自回歸(AR)模型、移動平均（MA）模型、自回歸移動平均（ARMA）模型。

通常模型中的參數(shù)是需要滿足一些條件的：模型的所有特征根均需在單位園外。主要內(nèi)容：

隨機(jī)型時間序列預(yù)測概述隨機(jī)型時間序列基本模型

ARMA模型的相關(guān)分析模型的識別ARMA序列的參數(shù)估計模型的檢驗與預(yù)報第四章隨機(jī)型時間序列分析方法/LH6/zh_CN/index.htm

4.2

ARMA模型的相關(guān)分析知識點1

隨機(jī)性時間序列分析方法概述知識點2

時間序列的基本模型知識點3

AR模型的相關(guān)分析知識點4

MA模型的相關(guān)分析知識點5

ARMA模型的相關(guān)分析知識點6

時間序列模型的識別知識點7

時間序列模型的參數(shù)估計知識點8

時間序列模型的檢驗由此定義的自相關(guān)函數(shù)為：設(shè)是一個零均值的平穩(wěn)時間序列，定義的自協(xié)方差函數(shù)為：ARMA模型的相關(guān)分析用乘上式兩邊，并取均值，則對于任意k>0，有一、AR(p)序列的自相關(guān)函數(shù)“拖尾”性

設(shè)滿足AR(p)模型，我們稱為AR(p)序列，即有：知識點3

AR(p)模型的相關(guān)分析因此又有（兩邊同除以）一、AR(p)序列的自相關(guān)函數(shù)如，取k=1,2，可求得AR(2)過程最初由G.Y.Yule在1921年用于描述單擺行為遞推可求出自相關(guān)函數(shù)序列。問題：對于一般的AR(p)序列，其自相關(guān)函數(shù)序列是否隨著k的增大，其絕對值越來越小？設(shè)該特征方程有p個不同的特征根，則線性微分方程的通解為【常微分方程】若其特征方程的根互不相同，則該差分方程的通解為【差分方程】被負(fù)指數(shù)函數(shù)所控制（平穩(wěn)性條件）事實上，不管特征根是否有重根，式均成立。滿足上式的序列稱為“拖尾”的，即的尾部不全為0，但又被負(fù)指數(shù)函數(shù)所控制。由右圖該序列的自相關(guān)函數(shù)可知，的尾部不全為0，但又被負(fù)指數(shù)函數(shù)所控制，故稱該序列“拖尾”。例3.1

如序列，其值如下表所示時間1234567Xn0.4040241.4239482.0337712.4621422.3429311.8792721.568859時間891011121314Xn1.994431.687680.8438550.8353750.2056040.2603910.229003時間15161718192021Xn0.5278770.47358-0.59037-0.67663-0.5875-0.49507-0.62679

……

二、AR(p)模型中參數(shù)的計算已知模型參數(shù)，可求出自相關(guān)系數(shù)。反之，若已知自相關(guān)系數(shù)，也可以求出模型參數(shù)。這是參數(shù)估計的基礎(chǔ)。取

可求得參數(shù)的估計值，稱其為Yule-Walker方程，它是參數(shù)估計的基本方程。例3.2對于AR(1)和AR(2)，求模型參數(shù)。令令一般地，對于白噪聲序列，其關(guān)鍵數(shù)值特征為。小結(jié)：AR模型的相關(guān)分析我們希望尋找AR模型的特征。發(fā)現(xiàn)該AR序列的自相關(guān)函數(shù)序列具有“拖尾性”。進(jìn)一步，從自相關(guān)函數(shù)序列的關(guān)系式，可以得到模型參數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系式，這樣，就有可能通過對時間序列自相關(guān)函數(shù)的估計求得模型的參數(shù)。一、MA(q)序列的自相關(guān)函數(shù)

截尾性知識點4

MA(q)模型的相關(guān)分析注意到是白噪聲序列，一、MA(q)序列的自相關(guān)函數(shù)即，在之后全為0?！匚残裕ㄌ赜校┒?、MA(q)模型參數(shù)的估計取，亦可求出參數(shù)。小結(jié)：MA模型的相關(guān)分析AR序列的自相關(guān)函數(shù)具有“拖尾性”,而MA序列的自相關(guān)函數(shù)序列則具有“截尾性”。進(jìn)一步，從自相關(guān)函數(shù)序列的關(guān)系式，可以得到模型參數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系式，這樣，就有可能通過對時間序列自相關(guān)函數(shù)的估計求得模型的參數(shù)。當(dāng)

時（對所有的）一、ARMA(p,q)序列的自相關(guān)函數(shù)拖尾即，k>q時，對所有的i=0,1,2,…,q,知識點5

ARMA(p,q)模型的相關(guān)分析于是，時這樣，ARMA(p,q)序列具有拖尾性。自相關(guān)函數(shù)具有拖尾性

ARMA序列，AR(p)序列自相關(guān)函數(shù)具有截尾性

MA(q)序列一、ARMA(p,q)序列的自相關(guān)函數(shù)在中，令得一方程組，從中求出。1）的求法2）及的求法令，為MA(q)序列。若已知自協(xié)方差函數(shù)，即可求出及。二、ARMA(p,q)模型參數(shù)的求法小結(jié)：ARMA模型的相關(guān)分析ARMA序列的自相關(guān)函數(shù)具有“拖尾性”

。而當(dāng)k>q時，令，為MA(q)序列。這樣，就可以通過對時間序列自相關(guān)函數(shù)的估計求得ARMA模型的參數(shù)。謝謝！主要內(nèi)容：

隨機(jī)型時間序列預(yù)測概述隨機(jī)型時間序列基本模型

ARMA模型的相關(guān)分析模型的識別ARMA序列的參數(shù)估計模型的檢驗與預(yù)報第四章隨機(jī)型時間序列分析方法/LH6/zh_CN/index.htm4.3模型的識別知識點1

隨機(jī)性時間序列分析方法概述知識點2

時間序列的基本模型知識點3AR模型的相關(guān)分析知識點4

MA模型的相關(guān)分析知識點5

ARMA模型的相關(guān)分析知識點6

時間序列模型的識別知識點7

時間序列模型的參數(shù)估計知識點8

時間序列模型的檢驗一、偏自相關(guān)函數(shù)已介紹了AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的自相關(guān)函數(shù)，MA(q)模型的自相關(guān)函數(shù)截尾，AR(p)與ARMA(p,q)模型均具有拖尾性質(zhì)。這樣，尚不足于識別序列的實在模型，還須尋找序列另外的統(tǒng)計特征。思路：對于AR(p)模型，設(shè)想用一個自回歸過程擬合序列的觀察數(shù)據(jù)。知識點6時間序列模型的識別若很小，則滯后變量附加在模型中毫無意義，即模型AR(k-1)比較合適，否則，就應(yīng)包含在模型中，其相應(yīng)的系數(shù)就是我們要尋找的另一個統(tǒng)計特征，稱為偏自相關(guān)函數(shù)。一、偏自相關(guān)函數(shù)

是在模型中已經(jīng)包含了滯后期較短的滯后值之后再增加一期滯后

所增加的模型的解釋能力。換言之，偏自相關(guān)函數(shù)是對與之間未被所解釋的相關(guān)的度量。求對各參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，并令其為零，得方程組

滿足上述方程組的序列稱為的偏自相關(guān)函數(shù)。

偏自相關(guān)函數(shù)的定義選定k，考慮用對作最小方差估計，即選擇系數(shù)，使達(dá)到最小?？梢宰C明，MA(q)、ARMA(p,q)序列的偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾的。AR(p)序列的偏自相關(guān)函數(shù)是“截尾”的。AR(p)序列的偏自相關(guān)函數(shù)根據(jù)定義，是把用線性表示時的系數(shù)。自然，對AR(p)序列，當(dāng)k>p

時，，即特有！MA(q)、ARMA(p,q)序列的偏自相關(guān)函數(shù)ARMA序列的分類性質(zhì)一覽表二、ARMA序列的分類特征自相關(guān)函數(shù)（ACF）偏相關(guān)函數(shù)（PACF）拖尾截尾AR(p)拖尾截尾MA(q)拖尾拖尾ARMA(p,q)例依據(jù)：若的自相關(guān)函數(shù)截尾，可斷言此序列是移動平均序列；若的偏自相關(guān)函數(shù)截尾，可斷言此序列是自回歸序列；若兩者均拖尾，則為自回歸移動平均序列。已知：時間序列的一段樣本值問題：以樣本值估計自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)；以所估計的數(shù)值特征判別序列屬何種類型，并判斷模型階數(shù)；估計模型參數(shù)。三、模型識別核心：1）樣本自相關(guān)函數(shù)和樣本偏自相關(guān)函數(shù)的定義；2）如何根據(jù)樣本的數(shù)值特征判別截尾性和拖尾性。

或1、樣本自相關(guān)函數(shù)與樣本偏相關(guān)函數(shù)當(dāng)N遠(yuǎn)大于k時，兩種定義值近似相等。而當(dāng)N足夠大時，為確定階數(shù)只需對并不太大的k估計出自相關(guān)函數(shù)即可。2、

AR(p)模型的識別方法原理：的偏自相關(guān)函數(shù)在p步后截尾，即當(dāng)k>p

時，由于樣本的隨機(jī)性，免不了有誤差。當(dāng)k>p時，樣本偏自相關(guān)函數(shù)不會全為零，而是在零的上下波動?？梢宰C明，當(dāng)k>p時，服從漸近正態(tài)分布，即近似有判別：若由計算樣本得到的滿足或則可判斷在k>p后截尾。實際上只要統(tǒng)計出k>p以后的，若數(shù)的4.5%，就可認(rèn)為是截尾的。的個數(shù)不超過總例

下表是在卡車生產(chǎn)車間裝配線末端從11月4日到1月10日45個工作日檢驗出的每輛卡車的平均故障數(shù)。1.21.51.542.71.952.43.442.831.7622.091.891.81.251.582.252.52.051.461.541.421.571.41.511.081.271.181.391.422.081.851.822.072.321.232.911.771.611.251.151.371.791.681.781.84

注：數(shù)據(jù)出自Burr的報告（1976，p.134）實際上當(dāng)k>1以后所有，且在零值附近波動，我們可以認(rèn)為于k=1后截尾。

從時序圖可初步斷定序列是平穩(wěn)的。序列共有45個數(shù)據(jù)，故。時序圖ACF和PACF圖3、MA(q)模型的識別方法原理：的自相關(guān)函數(shù)在q步后截尾，即當(dāng)k>q

時，由于樣本的隨機(jī)性，免不了有誤差。當(dāng)k>p時，樣本自相關(guān)函數(shù)不會全為零，而是在零的上下波動。可以證明，當(dāng)k>q以后，服從漸近正態(tài)分布，即近似有判別：若由計算樣本得到的滿足或則可判斷在k>q

后截尾。實際上只要統(tǒng)計出k>q以后的，若的個數(shù)不超過總數(shù)的4.5%，就可認(rèn)為是截尾的。4、ARMA(p,q)模型的識別方法若時間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)均不截尾，但較快地收斂到零，則序列很可能是ARMA序列。不過，這時其中的p、q比較難以判別。識別p、q，可以從低階到高階逐個取為(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2,2)……等值進(jìn)行嘗試，直到選出合適的模型，定出階數(shù)p,q。所謂合適，是指在選定p,q后進(jìn)行參數(shù)估計，再根據(jù)所估計的參數(shù)對模型進(jìn)行檢驗。如果檢驗合格，則模型合適。否則，繼續(xù)嘗試。小結(jié)：時間序列模型的識別識別依據(jù)：然而，我們所擁有的數(shù)據(jù)只是隨機(jī)型時間序列的一個樣本序列，可以計算出樣本自相關(guān)函數(shù)及樣本偏自相關(guān)函數(shù)，可根據(jù)其服從漸進(jìn)正態(tài)分布的特性檢驗序列的自相關(guān)函數(shù)及偏自相關(guān)函數(shù)是否截尾。謝謝！主要內(nèi)容：

隨機(jī)型時間序列預(yù)測概述隨機(jī)型時間序列基本模型

ARMA模型的相關(guān)分析模型的識別ARMA序列的參數(shù)估計模型的檢驗與預(yù)報第四章隨機(jī)型時間序列分析方法/LH6/zh_CN/index.htm4.4

ARMA模型的參數(shù)估計知識點1

隨機(jī)性時間序列分析方法概述知識點2

時間序列的基本模型知識點3AR模型的相關(guān)分析知識點4

MA模型的相關(guān)分析知識點5

ARMA模型的相關(guān)分析知識點6

時間序列模型的識別知識點7時間序列模型的參數(shù)估計知識點8

時間序列模型的檢驗

AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)模型的參數(shù)估計方法比較多，大體上分為3類：

（1）矩估計（2）最小二乘估計（3）極大似然估計我們只介紹矩估計方法。

知識點7

時間序列模型的參數(shù)估計

在AR(p)模型的識別中，曾得到利用，得到方程組：

稱為YuleWalker方程組。該方程組建立了AR(p)模型的模型參數(shù)與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系。一、AR(p)模型的YuleWalker方程估計利用實際時間序列提供的信息，首先求得自相關(guān)函數(shù)的估計值然后利用YuleWalker方程組，求解模型參數(shù)的估計值由于

于是

從而可得

的估計值二、MA(q)模型的矩估計

將MA(q)模型的自協(xié)方差函數(shù)中的各個量用估計量代替，得到：

首先求得自協(xié)方差函數(shù)的估計值，(*)是一個包含(q+1)個待估參數(shù)的非線性方程組，可以用直接法或迭代法求解。(*)三、ARMA(p,q)模型的矩估計

在ARMA(p,q)中共有(p+q+1)個待估參數(shù)與以及

，其估計量計算步驟及公式如下：

是總體自相關(guān)函數(shù)的估計值，可用樣本自相關(guān)函數(shù)代替。第一步，估計

第二步，改寫模型，求以及

的估計值將模型改寫為：

令于是(*)可以寫成：(*)

構(gòu)成一個MA模型。按照估計MA模型參數(shù)的方法，可以得到以及的估計值。

需要說明的是，在上述模型的平穩(wěn)性、識別與估計的討論中，ARMA(p,q)模型中均未包含常數(shù)項。

如果包含常數(shù)項，該常數(shù)項并不影響模型的原有性質(zhì)，因為通過適當(dāng)?shù)淖冃?，可將包含常?shù)項的模型轉(zhuǎn)換為不含常數(shù)項的模型。方程兩邊同減，則可得到其中以ARMA(p,q)模型為例。對含有常數(shù)項的模型小結(jié)：時間序列模型的參數(shù)估計時間序列模型有多種參數(shù)估計方法，可以利用相關(guān)的軟件求得。最簡單的為矩估計方法，即在ARMA模型的相關(guān)性分析所得到的模型自相關(guān)函數(shù)序列表達(dá)式中，將自相關(guān)函數(shù)以樣本序列自相關(guān)函數(shù)替代，反求模型參數(shù)即可。

ARMA(p,q)模型的建立是一個反復(fù)適應(yīng)的過程，從模型識別和參數(shù)估計開始，在進(jìn)