正、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)

正、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)[知識回憶]2、角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，那么稱為第幾象限角．第一象限角的集合為第二象限角的集合為第三象限角的集合為第四象限角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在坐標軸上的角的集合為3、與角終邊相同的角的集合為4、是第幾象限角，確定所在象限的方法：先把各象限均分等份，再從軸的正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標上一、二、三、四，那么原來是第幾象限對應(yīng)的標號即為終邊所落在的區(qū)域．5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做弧度．6、半徑為的圓的圓心角所對弧的長為，那么角的弧度數(shù)的絕對值是．7、弧度制與角度制的換算公式：，，．8、假設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，周長為，面積為，那么，，．PvxyAOMT9、設(shè)是一個任意大小的角，的終邊上任意一點的坐標是，它與原點的距離是，那么，，PvxyAOMT10、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正．11、三角函數(shù)線：，，．12、同角三角函數(shù)的根本關(guān)系：；．13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：口訣：奇變偶不變，符號看象限．函數(shù)函數(shù)性質(zhì)圖象定義域值域最值當時，；當時，．當時，；當時，．周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．對稱性對稱中心對稱軸對稱中心對稱軸[考點例題精講]考點一：正余弦函數(shù)圖象的應(yīng)用例1利用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象，求滿足以下條件的x的集合：解：作出正弦函數(shù)y=sinx，x∈[0，2π]的圖象：由圖形可以得到，滿足條件的x的集合為：解：作出余弦函數(shù)y=cos，x∈[0，2π]的圖象：由圖形可以得到，滿足條件的x的集合為：考點二：求與正余弦函數(shù)有關(guān)的定義域問題例2求以下函數(shù)的定義域：(1)y＝1+(2)y＝解：(1)由1＋sinx≠0，得sinx≠－1即x≠＋2kπ(k∈Z)∴原函數(shù)的定義域為｛x｜x≠＋2kπ，k∈Z｝(2)由cosx≥0得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)∴原函數(shù)的定義域為［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)方法小結(jié)：求三角函數(shù)的定義域?qū)嵸|(zhì)就是解三角不等式〔組〕．一般可用三角函數(shù)的圖象或三角函數(shù)線確定三角不等式的解．列三角不等式，既要考慮分式的分母不能為零；偶次方根被開方數(shù)大于等于零；對數(shù)的真數(shù)大于零及底數(shù)大于零且不等于1，又要考慮三角函數(shù)本身的定義域；變式訓(xùn)練21：求以下函數(shù)的定義域和值域解

(1)要使lgsinx有意義，必須且只須sinx＞0，解之，得

2kπ＜x＜(2k+1)π，k∈Z．又∵0＜sinx≤1，∴-∞＜lgsinx≤0．∴定義域為(2kπ，(2k+1)π)(k∈Z)，值域為(-∞，0]．變式訓(xùn)練22〔選做〕：求函數(shù)y＝的值域解：由：cosx＝｜｜＝｜cosx｜≤1()2≤13y2＋2y－8≤0∴－2≤y≤∴ymax＝，ymin＝－2求三角函數(shù)的值域的常用方法：①化為求代數(shù)函數(shù)的值域；②化為求的值域；③化為關(guān)于〔或〕的二次函數(shù)式；考點三：求正余弦函數(shù)的周期例3求以下函數(shù)的周期：(1)y＝3cosx，x∈R；(2)y＝sin2x，x∈R；(3)y＝2sin(x－)，x∈R解：(1)∵y＝cosx的周期是2π∴只有x增到x＋2π時，函數(shù)值才重復(fù)出現(xiàn)∴y＝3cosx，x∈R的周期是2π(2)令Z＝2x，那么x∈R必須并且只需Z∈R，且函數(shù)y＝sinZ，Z∈R的周期是2π即Z＋2π＝2x＋2π＝2(x＋π)．只有當x至少增加到x＋π，函數(shù)值才能重復(fù)出現(xiàn)∴y＝sin2x的周期是π(3)令Z＝x－，那么x∈R必須并且只需Z∈R，且函數(shù)y＝2sinZ，Z∈R的周期是2π，由于Z＋2π＝(x－)＋2π＝(x＋4π)－，所以只有自變量x至少要增加到x＋4π，函數(shù)值才能重復(fù)取得，即T＝4π是能使等式2sin［(x＋T)－］＝2sin(x－)成立的最小正數(shù)從而y＝2sin(x－)，x∈R的周期是4π從上述可看出，這些函數(shù)的周期僅與自變量x的系數(shù)有關(guān)方法小結(jié)：三角函數(shù)的周期問題一般利用的周期為即可。考點四：求正余弦函數(shù)的最值例4求使以下函數(shù)取得最大值的自變量x的集合，并說出最大值是什么(1)y＝cosx＋1，x∈R；(2)y＝sin2x，x∈R解：(1)使函數(shù)y＝cosx＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函數(shù)y＝cosx，x∈R取得最大值的x的集合｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝函數(shù)y＝cosx＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2(2)令Z＝2x，那么x∈R必須并且只需Z∈R，且使函數(shù)y＝sinZ，Z∈R取得最大值的Z的集合是｛Z｜Z＝＋2kπ，k∈Z｝由2x＝Z＝＋2kπ，得x＝＋kπ即使函數(shù)y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝＋kπ，k∈Z｝函數(shù)y＝sin2x，x∈R的最大值是1變式訓(xùn)練41：求以下函數(shù)的最大值與最小值：(2)y=2cos2x+5sinx-4=-2sin2x+5sinx-2∵sinx∈[-1，1]，變式訓(xùn)練42〔選做〕：求函數(shù)y＝sin2x＋acosx＋a－(0≤x≤)的最大值解：∵y＝1－cos2x＋acosx＋a－＝－(cosx－)2＋＋a－∴當0≤a≤2時，cosx＝，ymax＝＋a－當a＞2時，cosx＝1，ymax＝a－當a＜0時，cosx＝0，ymax＝a－考點五：利用單調(diào)性，比擬正余弦函數(shù)值的大小例5：比擬以下各組數(shù)的大?。治龌癁橥瘮?shù)，進而利用增減性來比擬函數(shù)值的大?。?/p>

(1)sin194°=sin(180°+14°)=-sin14°cos160°=cos(180°-20°)=-cos20°=-sin70°∵0＜14°＜70°＜90°，∴sin14°＜sin70°，從而-sin14°＞-sin70°，即sin194°＞cos160°．而y=cosx在[0，π]上是減函數(shù)，故由0＜1.39＜1.47＜1.5＜π可得cos1.5＜cos1.47＜cos1.39變式訓(xùn)練51：不通過求值，指出以下各式大于0還是小于0(1)sin(－)－sin(－)；(2)cos(－)－cos(－)．解：(1)∵－＜－＜－＜．且函數(shù)y＝sinx，x∈［－，］是增函數(shù)∴sin(－)＜sin(－)即sin(－)－sin(－)＞0(2)cos(－)＝cos＝coscos(－)＝cos＝cos∵0＜＜＜π且函數(shù)y＝cosx，x∈［0，π］是減函數(shù)∴cos＜cos即cos－cos＜0∴cos(－)－cos(－)＜0考點六：求正余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例6：函數(shù)y＝sin(x＋)在什么區(qū)間上是增函數(shù)?解：函數(shù)y＝sinx在以下區(qū)間上是增函數(shù)：2kπ－＜x＜2kπ＋(k∈Z)∴函數(shù)y＝sin(x＋)為增函數(shù)，當且僅當2kπ－＜x＋＜2kπ＋即2kπ－＜x＜2kπ＋(k∈Z)為所求變式訓(xùn)練61：求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解(1)設(shè)u=2x當u∈[(2k-1)π，2kπ](k∈Z)時，cosu遞增；當u∈[2kπ，(2k+1)π](k∈Z)時，cosu遞減．變式訓(xùn)練62〔選做〕：求函數(shù)y＝－cosx的單調(diào)區(qū)間解：由y＝－cosx的圖象可知：單調(diào)增區(qū)間為［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)單調(diào)減區(qū)間為［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)變式訓(xùn)練63〔選做〕：求函數(shù)y＝sinπ的單調(diào)增區(qū)間誤解：令ｕ＝π∵y＝sinｕ在［2kπ－，2kπ＋］(k∈Z)上遞增∴2kπ－≤π≤2kπ＋解得－4k≤x≤－4k＋2∴原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為［－4k，－4k＋2］(k∈Z)分析：上述解答貌似正確，實那么錯誤，錯誤的原因是，令ｕ＝π，無視了ｕ是x的減函數(shù)，未考慮復(fù)合后單調(diào)性的變化正解如下：解法一：令ｕ＝π，那么u是x的減函數(shù)又∵y＝sinｕ在［2kπ＋，2kπ＋］(k∈Z)上為減函數(shù)，∴原函數(shù)在［2kπ＋，2kπ＋］(k∈Z)上遞增設(shè)2kπ＋≤π≤2kπ＋解得－4k－2≤x≤－4k(k∈Z)∴原函數(shù)在［－4k－2，－4k］(k∈Z)上單調(diào)遞增解法二：將原函數(shù)變形為y＝－sinπ因此只需求sinπ＝y(tǒng)的減區(qū)間即可∵ｕ＝π為增函數(shù)∴只需求sinｕ的遞減區(qū)間∴2kπ＋≤π≤2kπ＋解之得：4k+2≤x≤4k+4(k∈Z)∴原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為［4k＋2，4k＋4］(k∈Z)考點七：其他方面的應(yīng)用〔選做〕例7以下函數(shù)中是奇函數(shù)的為∴(D)為奇函數(shù)，應(yīng)選(D)．函數(shù)不具有奇偶性．說明：奇(偶)函數(shù)的定義域必須對稱于原點，這是奇(偶)函數(shù)必須滿足的條件，解題時不可無視．[拓展與提高]1、函數(shù)的局部圖象是2、函數(shù)y=－x·cosx的局部圖象是()3、4、5、方程2sin2x=x－