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文檔簡介
高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省涼山州安寧河聯(lián)盟2023-2024學年高二下學期期中聯(lián)考數(shù)學試題本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.考試時間共120分鐘,滿分150分注意事項:1.答題前,務必將自己的姓名、考籍號填寫在答題卡規(guī)定的位置上.2.答選擇題時,必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的〖答案〗標號涂黑,如需改動,用橡皮擦擦干凈后,再選涂其它〖答案〗標號.3.答非選擇題時,必須使用0.5毫米黑色簽字筆,將〖答案〗書寫在答題卡規(guī)定的位置上.4.所有題目必須在答題卡上作答,在試題卷上答題無效.5.考試結(jié)束后,只將答題卡交回.第Ⅰ卷(選擇題,共58分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知首項為1的數(shù)列中,則()A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗∵,,,,.故選:B.2.已知等差數(shù)列中,,公差,如果,,成等比數(shù)列,那么等于()A.2或 B. C.2 D.3〖答案〗C〖解析〗因為,,成等比數(shù)列,所以,即,因為,所以,解得:d=2(d=0舍去).故選:C3.已知,若,則等于()A.0 B.1 C.e D.2e〖答案〗B〖解析〗因為,由于時,均為單調(diào)遞增函數(shù),且函數(shù)值均為正,故在上單調(diào)遞增,又,而當時,,故,則,故選:B4.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由的定義域為,,令,解得,當,則,所以的單調(diào)遞減區(qū)間為,故選:A5.若數(shù)列滿足,則數(shù)列的通項公式為()A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因為①,當時,,當時②,①②得,所以,當時也成立,所以;故選:D6.已知函數(shù),若數(shù)列滿足,且是遞增數(shù)列,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為函數(shù),,且是遞增數(shù)列,則,解得.故選:C7.已知函數(shù),,若,且關于x不等式在上恒成立,其中e是自然對數(shù)的底數(shù),則m的取值范圍是()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由,得,令,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故;由,得,令,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故.因為在上恒成立,所以在上恒成立,即,解得,即實數(shù)m的取值范圍為.故選:D8.數(shù)列滿足,則等于()A.2565 B.2575 C.2585 D.2595〖答案〗D〖解析〗當時,①;當時,②,①+②,可得.所以,,…,所以.故選:D.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.已知數(shù)列是等比數(shù)列,則下列結(jié)論中正確的是()A.數(shù)列是等比數(shù)列B.若,,則C.若,則數(shù)列是遞增數(shù)列D.若數(shù)列的前和,則〖答案〗AC〖解析〗設等比數(shù)列的公比為,則,且.對于A選項,,所以,數(shù)列等比數(shù)列,A選項正確;對于B選項,由等比中項的性質(zhì)可得,又因為,則與同為正數(shù),則,B選項錯誤;對于C選項,若,由可得,可得,解得,則,,則,此時,數(shù)列為遞增數(shù)列;若,由可得,可得,解得,則,,則,此時,數(shù)列為遞增數(shù)列.綜上所述,C選項正確;對于D選項,,,,由于數(shù)列是等比數(shù)列,則,即,解得,D選項錯誤.故選:AC.10.已知在處取得極大值1,則下列結(jié)論正確的是()A. B.對稱中心為C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由題意可得,且是函數(shù)的極大值點,即,可得,又極大值為1,所以,解得或;當時,,此時,時,,時,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;此時函數(shù)在處取得極小值,與題意不符,即舍去,故C錯誤;當時,,此時,時,,時,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;此時函數(shù)在處取得極大值,符合題意,所以,,即,所以A正確,此時,由于函數(shù)為奇函數(shù),圖象關于原點對稱,所以關于對稱,故對稱中心為,B正確,即D正確.故選:ABD11.下列判斷正確的是()A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對于A,設,,則,所以當時,當時,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,即恒成立,則恒成立,當且僅當時取等號,又,所以當時,當時,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,所以恒成立,即恒成立,當且僅當時取等號,綜上可得當且僅當時取等號,所以,故A正確;對于B,設,則,當時,即單調(diào)遞增,當時,即單調(diào)遞減,所以,即,故,故B正確;對于C,令,則,所以在上單調(diào)遞增,則,即任意,,又,所以,故C錯誤;對于D,令,則,又,,所以,則在上單調(diào)遞增,所以,即在上恒成立,所以,故D正確.故選:ABD第Ⅱ卷(非選擇題,共77分)三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.在等差數(shù)列中,,則________.〖答案〗20〖解析〗在等差數(shù)列中,,所以,所以.故〖答案〗為:2013.已知函數(shù)在上存在遞減區(qū)間,則實數(shù)a的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗由題意得的定義域為,所以,因為函數(shù)在區(qū)間上存在遞減區(qū)間,即在區(qū)間上能成立.設,,開口向上,對稱軸為,所以當時,單調(diào)遞增,所以,所以,則,即實數(shù)a的取值范圍為.故〖答案〗為:.14.已知,關于x的方程有三個不同實數(shù)根,則m的取值范圍為______.〖答案〗〖解析〗,當時,,函數(shù)單調(diào)遞增;當時,,函數(shù)單調(diào)遞減;故當時函數(shù)有最小值.當時,,且時,;當時,,且時,.作出函數(shù)的圖象如圖所示:令,則所求等價于有兩個不同實根,則.不妨設,當時,不滿足,舍去.則或.當時,可得,與矛盾,故舍去;當,設,因為,所以,即,所以.故〖答案〗為:.四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知是數(shù)列的前n項和,是以1為首項1為公差的等差數(shù)列.(1)求的表達式和數(shù)列的通項公式;(2)證明:解:(1)因為是以1為首項1為公差的等差數(shù)列,所以,即,當時,,即,經(jīng)檢驗,當時,滿足上式,所以通項公式是.(2)由(1)知:,所以,即16.設數(shù)列滿足:,,且,對成立.(1)證明:是等比數(shù)列;(2)求和的通項公式.解:(1)移項得到,,相加得,所以,因為,所以是首項為5,公比為的等比數(shù)列;(2),,所以對成立,解得,對成立,故和.17.已知函數(shù),(1)討論的單調(diào)性;(2)若函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為,求a的范圍.解:(1)函數(shù)的定義域為R,求導得,①當時,,在上單調(diào)遞增;②當時,由得或,由得,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;③當時,由得或,由得,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以當時,在上單調(diào)遞增;當時,在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;當時,在,上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,(2)由(1)知,①當時,在上單調(diào)遞增,此時在上的最大值為;②當時,在單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,在上的最大值只有可能是或,由在上的最大值為,得,則,③當時,在單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,在上的最大值可能是或,由在上的最大值為,得,則,綜上,a的范圍.18.雪花是一種美麗的結(jié)晶體,放大任意一片雪花的局部,會發(fā)現(xiàn)雪花的局部和整體的形狀竟是相似的,如圖是瑞典科學家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案,其作法如下:將圖①中正三角形的每條邊三等分,并以中間的那一條線段為一邊向形外作正三角形,再去掉底邊,得到圖②;將圖②的每條邊三等分,重復上述的作圖方法,得到圖③;……按上述方法,所得到的曲線稱為科赫雪花曲線(Kochsnowflake).現(xiàn)將圖①、圖②、圖③、…中的圖形依次記為、、…、、….小明為了研究圖形的面積,把圖形的面積記為,假設a1=1,并作了如下探究:P1P2P3P4…Pn邊數(shù)31248192…從P2起,每一個比前一個圖形多出的三角形的個數(shù)31248…從P2起,每一個比前一個圖形多出的每一個三角形的面積…根據(jù)小明的假設與思路,解答下列問題.(1)填寫表格最后一列,并寫出與的關系式;(2)根據(jù)(1)得到的遞推公式,求的通項公式;(3)從第幾個圖形開始,雪花曲線所圍成的面積大于.參考數(shù)據(jù)(,)解:(1)圖形、、…、、…的邊數(shù)是以3為首項,4為公比的等比數(shù)列,則圖形的邊數(shù)為;從P2起,每一個比前一個圖形多出的三角形的個數(shù)是以3為首項,4為公比的等比數(shù)列,則比前一個圖形多出的三角形的個數(shù)為;從P2起,每一個比前一個圖形多出的每一個三角形的面積是以為首項,為公比的等比數(shù)列,則比前一個圖形多出的每一個三角形的面積是.P1P2P3P4…Pn邊數(shù)31248192…從P2起,每一個比前一個圖形多出的三角形的個數(shù)31248…從P2起,每一個比前一個圖形多出的每一個三角形的面積…所以,即.(2)當時,,又因為,符合上式,所以.(3)由,得,則,所以,故,由,,故,又因為,所以,所以從第7個圖形開始雪花曲線所圍成的面積大于.19.已知函數(shù)(1)當時,求在處切線方程.(2)設分別為的極大值點和極小值點,記,;①證明:直線與曲線交于另一個點C;②在①的條件下,判斷是否存在常數(shù),使得,若存在,求n;若不存在,說明理由.附:,解:(1)當時,,故,所以當時,,所以在處的切線方程是,即(2)因為,則,令得或,當與時,;當時,;所以在,
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