22.1.4 二次函數(shù)y＝ax^2＋bx＋c的圖象和性質（第2課時） 教學設計

22.1.4二次函數(shù)y＝ax^2＋bx＋c的圖象和性質（第2課時）教學內容解析教學流程圖地位與作用在前面學習中，都是先知道二次函數(shù)的解析式再分析其圖象與性質，本節(jié)課逆向思考，如何根據(jù)圖象特征確定二次函數(shù)解析式.求函數(shù)解析式的常用方法是待定系數(shù)法，本課是二次函數(shù)圖象和性質學習的深入，也是用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的延續(xù)，通過基本量的分析與對比，使學生進一步理解兩點確定一條直線，不在一直線上的三點確定一條拋物線的道理，為后續(xù)學習積累觀念性的認識經(jīng)驗.概念解析二次函數(shù)解析式有三種不同形式的表達方式：一般式、頂點式、兩根式，一般式中含三個待定系數(shù)，因此需要三個點的坐標或三組對應值；頂點式中雖含三個待定系數(shù)，但只要已知頂點坐標及任意一個點的坐標即可；若已知拋物線與橫軸的兩個交點坐標，就可以選擇兩根式.選用合適的表達式可以快速簡便地求出解析式.其中不在同一直線上的三點確定一條拋物線是根本，其它幾種都在此基礎上派生，不同類型的解析式可以相互轉化.思想方法類比一次函數(shù)解析式的求法，設定合適的解析式，用待定系數(shù)法去求得二次函數(shù)解析式，體會不同類型的解析式之間的轉化；同時體會數(shù)形結合思想，利用函數(shù)性質解決問題.知識類型用待定系數(shù)法求解析式屬于原理與規(guī)則的知識，選擇快速簡便的方法求出解析式.教學重點基于以上分析，可以確定本節(jié)課的教學重點：用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.教學目標解析教學目標：1．給定不共線三點的坐標，能求出一個二次函數(shù)的解析式.2．理解二次函數(shù)的兩根式、頂點式y(tǒng)=a（x-h）2+k能說明兩根式、頂點式與一般式之間的關系．3．能根據(jù)問題信息合理使用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,并從中體會數(shù)形結合思想，培養(yǎng)學生解決問題的能力.目標解析：達成目標1的標志是：能通過設一般式，用待定系數(shù)法列方程組求二次函數(shù)的解析式.達成目標2的標志是：能通過設兩根式、頂點式，并運用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式.達成目標3的標志：經(jīng)歷探索由已知條件的特點，靈活選擇二次函數(shù)三種形式的過程，明確正確選擇合理的方法能使計算簡化和三種形式是可以互相轉化的.教學問題診斷分析具備的基礎學生已經(jīng)掌握了待定系數(shù)法求解析式的基本步驟：設、代、解、寫，并能運用待定系數(shù)法列出方程組，學生也已經(jīng)具備解三元一次方程組的能力.與本課目標的差距分析從知識層面看，學生在一次函數(shù)學習中曾學過待定系數(shù)法，但面對多變的二次函數(shù)還是有一定的差距，學生對兩根式與一般式之間的關系不夠清楚，什么情況下選用頂點式、兩根式更加方便等問題；從能力層面看，學生雖然已經(jīng)學習了一次函數(shù)解析式與圖象的相互轉換，但對二次函數(shù)的圖象向解析式的轉換（即數(shù)形結合思想的運用）還存在困難.可能存在的問題存在的問題：當已知三個點中有兩個點在橫軸上時，學生可能依然采用一般式，未能體現(xiàn)兩根式的優(yōu)越性；當已知對稱軸或頂點坐標時，學生可能依然采用一般式，沒有優(yōu)化解題策略.應對策略：針對以上情況，利用一題多變的模式，讓學生從中體會三種方法的相互關系，數(shù)形結合，靈活運用三種方法求解析式.教學難點基于以上分析，本節(jié)課的教學難點是：選擇合理的方法求解析式.教學支持條件分析利用PPT自定義動畫進行變式訓練，逐步認識利用各種不同設法求解析式，總結出一般式、頂點式、交點式的特征；利用希沃助手，連接上平板，展示學生的練習，及時鞏固練習；利用教學軟件統(tǒng)計顯示測評結果，并對沒有達標的學生推送相應的內容，真正讓學生學有所得.教學支持條件分析課前檢測1．已知點A（2，5），B（4，5）是拋物線y＝4x2＋bx＋c上的兩點，則這條拋物線的對稱軸為_____________________．2．將拋物線y＝－(x－1)2＋3先向右平移1個單位，再向下平移3個單位，則所得拋物線的解析式為____________________．3．拋物線的形狀、開口方向都與拋物線y＝－x2相同，頂點在（1，－3），則拋物線的解析式為_____________________．設計意圖：初步了解學生對對稱軸與頂點坐標的掌握程度.第一個問題是考查拋物線的對稱性，第二個問題是考查平移規(guī)律，第三個問題是對頂點式的考查，為本課利用頂點式求解析式的教學打下伏筆，并探究其它方法求解析式.復習回顧已知二次函數(shù)的解析式，我們已經(jīng)研究了它的圖象和性質，反過來，若已知二次函數(shù)的圖象與性質，你能求出解析式嗎？問題1已知一次函數(shù)圖象經(jīng)過點（3,5）與（-4，-9），如何求這個一次函數(shù)的解析式？學生活動：回憶求一次函數(shù)解析式的方法----待定系數(shù)法，并說出待定系數(shù)法的一般步驟，及需知兩個點的坐標才能求出解析式.師生活動設計：對學生的回答進行評價，并進行追問.追問1：一個二次函數(shù)的解析式，需要由幾個點的坐標來確定呢？學生活動：學生思考并回答，估計學生會脫口而出：三個點.師生活動設計：針對學生的回答，教師在黑板上畫出在同一直線上的三個點，并開始追問.追問2：經(jīng)過A、B、C三個點能畫出拋物線嗎？學生回答不能，此時教師接著追問.追問3：這幾個點應滿足什么條件？學生不難發(fā)現(xiàn)：不在同一直線上的三個點能確定一條拋物線（二次函數(shù)）.設計意圖：從利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式出發(fā)，探究確定二次函數(shù)的點的個數(shù)及特征著手，得出不在同一直線上的三個點可以確定一個二次函數(shù)，繼而探究已知三個點的坐標求解析式的問題.探究新知問題2如果二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（-1，10）（1，4）（2，7）三個點，你能求出這個二次函數(shù)的解析式嗎？學生活動：學生嘗試著做，先設二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c，再把三個點的坐標代入解析式，求出a、b、c的值，從而寫出解析式.師生活動設計：總結出待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的一般步驟：①設一般式②代坐標③解方程組④寫解析式，明確已知三個點的坐標可以求出二次函數(shù)的解析式.設計意圖：讓學生回憶待定系數(shù)法的一般步驟，并類比求一次函數(shù)解析式，嘗試求出二次函數(shù)的解析式，歸納總結待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的步驟.目標1檢測：已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（0，-3）（4,5）（-1,0）三點，求這個函數(shù)的解析式.設計意圖：如果學生能順利解答目標檢測，則說明學生已經(jīng)掌握了一般式求二次函數(shù)解析式；如果只有個別學生不能順利解決，可以進行課后單獨輔導；如果大部分學生不能回答正確，則說明目標還沒有達成，分析原因，若是計算錯誤，則進行強化訓練；若是代入錯誤，則指出錯誤，并及時糾正.問題3已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（3，0）（4，5）（-1，0）三點，你能用更為簡便的方法求出這個函數(shù)的解析式嗎？學生活動：觀察發(fā)現(xiàn)這三個點的坐標特征或通過畫圖象發(fā)現(xiàn)點的位置，其中（3,0）（-1,0）在x軸上.師生活動設計：引導學生發(fā)現(xiàn)其中兩個點（3，0）（-1，0）在x軸上，則二次函數(shù)圖象與x軸的交點坐標為（3，0）（-1，0），所以可以設y=a(x-3)(x+1)，再將點（4，5）代入這個解析式，于是可以求出a的值.設計意圖：通過變式將一般式引到兩根式，得出第二種方法求解析式，并發(fā)現(xiàn)利用兩根式的前提條件是已知與x軸的兩個交點的坐標，通過師生互動，總結出解題步驟.目標2檢測：已知一個二次函數(shù)的圖象與x軸交于兩點（2，0）（-4，0），又經(jīng)過點（-1，1），求這個函數(shù)的解析式.設計意圖：如果學生能順利解答目標檢測，則說明學生已經(jīng)掌握了利用兩根式求二次函數(shù)解析式；如果只有個別學生不能順利解決，可以進行課后單獨輔導；如果大部分學生不能回答正確，則說明目標還沒有達成，分析原因，若是計算錯誤，則進行強化訓練；若是代入錯誤，則指出錯誤，并及時糾正.歸納：當已知三個點的坐標或三組對應的值時采用一般式求解析式；當三個點中已知兩個點在橫軸上時，可選用兩根式求解析式更為方便.下面若已知兩個點的坐標，你還能求出解析式嗎？問題4已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（0，-3）B(4，5），且B為頂點，你能求出這個二次函數(shù)的解析式嗎？師生活動設計：共同分析條件，充分利用條件：B為頂點，并發(fā)現(xiàn)頂點式y(tǒng)=a（x-h）2+k中的待定系數(shù)h與k的值，所以設解析式為y=a（x-4）2+5，只含有一個字母a，再把點A的坐標代入解析式，求出a的值.設計意圖：借助本題由一般式向頂點式過渡，先確定頂點式中的h和k的值，再利用另一點的坐標求出待定系數(shù)a，靈活運用待定系數(shù)法求解析式，讓學生學會選擇合理的方法解決問題.變式1已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（0，-3）B（4，5），且對稱軸為直線x=1，求這個二次函數(shù)的解析式.變式2已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（0，-3）B（4，5），且有最大值為–4，求這個二次函數(shù)的解析式.學生活動：小組討論，選用合理的方法求解析式.師生活動設計：總結方法，兩個變式可以選擇多種方法解決.變式1、2可以用一般式，也可以用頂點式，頂點式更為簡便.設計意圖：通過變式訓練，發(fā)現(xiàn)已知對稱軸或最值或頂點坐標都可以選用頂點式求解析式.目標3檢測：如圖為拋物線y=ax2+bx+c的圖象，求其解析式.設計意圖：如果學生能順利解答目標檢測，則說明學生已經(jīng)掌握了頂點式求二次函數(shù)解析式；如果只有個別學生不能順利解決，可以進行課后單獨輔導；如果大部分學生不能回答正確，則說明目標還沒有達成，分析原因，若是計算錯誤，則進行強化訓練；若是代入錯誤，則指出錯誤，并及時糾正.應用新知例如圖，直角△ABC的兩條直角邊OA、OB的長分別是1和3，將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉90°至△DOC的位置，求過點C、B、A的二次函數(shù)解析式.師生活動設計：共同分析，不難發(fā)現(xiàn)此問題是“已知A、B、C三點的坐標，求經(jīng)過這三點的拋物線的解析式”，因此可以選用一般式；另外，又發(fā)現(xiàn)A、C兩點在橫軸上，可以選用兩根式；并且可以求出對稱軸，利用頂點式解決.綜上，選用兩根式更為簡便.設計意圖：通過本例教學，可以讓學生合理地選用待定系數(shù)法求解析式.課堂小結結合下面的結構圖，回答以問題：（1）二次函數(shù)的解析式一般有幾種不同的形式？（2）如何根據(jù)條件求二次函數(shù)的解析式？（3）二次函數(shù)不同形式的解析式各有什么特點？它們之間有什么聯(lián)系？已知不在同一直線上的三個點的坐標時可以選用一般式；已知與橫軸的兩個交點的坐標時選用兩根式；已知對稱軸或頂點坐標或最值時都可以選用頂點式解決；有時有多種解法，注意選擇最簡單的方法求解.三種表達式的特點及聯(lián)系：目標檢測設計1．已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，當x＝1時，有最大值8，其圖象的形狀、開口方向與拋物線y＝－2x2相同，則這個二次函數(shù)的解析式是()A．y＝－2x2－x＋3B．y＝－2x2＋4C．y＝－2x2＋4x＋8