湖南省湖湘教育三新探索協(xié)作體2025屆高一下數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)試題含解析

湖南省湖湘教育三新探索協(xié)作體2025屆高一下數(shù)學(xué)期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．2．已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a8=12，S8A．-2 B．2 C．-1 D．13．設(shè)函數(shù)（為常實(shí)數(shù)）在區(qū)間上的最小值為，則的值等于（）A．4 B．-6 C．-3 D．-44．設(shè)，則使函數(shù)的定義域是，且為偶函數(shù)的所有的值是（）A．0，2 B．0，-2 C． D．25．在中，設(shè)角，，的對(duì)邊分別是，，，且，則一定是（）A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形6．函數(shù)，當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值，則（）A． B． C． D．7．若拋物線(xiàn)上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是該點(diǎn)到軸距離的3倍，則（）A． B． C． D．78．等差數(shù)列中，，則().A．110 B．120 C．130 D．1409．已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為18，若S3=1，aA．9 B．21 C．27 D．3610．在△ABC中，，,．的值為()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，則=________.12．若數(shù)列滿(mǎn)足，則_____.13．實(shí)數(shù)2和8的等比中項(xiàng)是__________．14．某公司調(diào)查了商品的廣告投入費(fèi)用（萬(wàn)元）與銷(xiāo)售利潤(rùn)（萬(wàn)元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，如下表：廣告費(fèi)用（萬(wàn)元）銷(xiāo)售利潤(rùn)（萬(wàn)元）由表中的數(shù)據(jù)得線(xiàn)性回歸方程為，則當(dāng)時(shí)，銷(xiāo)售利潤(rùn)的估值為_(kāi)__．（其中：）15．一湖中有不在同一直線(xiàn)的三個(gè)小島A、B、C，前期為開(kāi)發(fā)旅游資源在A、B、C三島之間已經(jīng)建有索道供游客觀賞，經(jīng)測(cè)量可知AB兩島之間距離為3公里，BC兩島之間距離為5公里，AC兩島之間距離為7公里，現(xiàn)調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，游客對(duì)在同一圓周上三島A、B、C且位于（優(yōu)弧）一片的風(fēng)景更加喜歡，但由于環(huán)保、安全等其他原因，沒(méi)辦法盡可能一次游覽更大面積的湖面風(fēng)光，現(xiàn)決定在上選擇一個(gè)點(diǎn)D建立索道供游客游覽，經(jīng)研究論證為使得游覽面積最大，只需使得△ADC面積最大即可.則當(dāng)△ADC面積最大時(shí)建立索道AD的長(zhǎng)為_(kāi)_____公里.（注：索道兩端之間的長(zhǎng)度視為線(xiàn)段）16．已知中內(nèi)角的對(duì)邊分別是，，，，則為_(kāi)____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在平面立角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)的圓的圓心在軸上，且與過(guò)原點(diǎn)傾斜角為的直線(xiàn)相切.(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)在直線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)、，切點(diǎn)分別為、，求經(jīng)過(guò)、、、四點(diǎn)的圓所過(guò)的定點(diǎn)的坐標(biāo).18．已知三棱錐中，，.若平面分別與棱相交于點(diǎn)且平面.求證:（1）；（2）.19．已知圓的圓心在線(xiàn)段上，圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與軸相切.（1）求圓的方程；（2）若直線(xiàn)與圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，求直線(xiàn)的方程及的最小值.20．（1）計(jì)算：;（2）化簡(jiǎn)：.21．已知數(shù)列的首項(xiàng).（1）證明:數(shù)列是等比數(shù)列；（2）數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

分別將選項(xiàng)中的區(qū)間端點(diǎn)值代回,利用零點(diǎn)存在性定理判斷即可【詳解】由題函數(shù)單調(diào)遞增,,,則,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查利用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間,屬于基礎(chǔ)題2、B【解析】

直角利用待定系數(shù)法可得答案.【詳解】因?yàn)镾8=8a1+a82【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本量的相關(guān)計(jì)算，難度不大.3、D【解析】試題分析：，，，當(dāng)時(shí)，，故.考點(diǎn)：1、三角恒等變換；2、三角函數(shù)的性質(zhì).4、D【解析】

根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題中條件，即可得出結(jié)果.【詳解】若函數(shù)的定義域是，則；又函數(shù)為偶函數(shù)，所以只能使偶數(shù)；因?yàn)?，所以能取的值?.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，熟記冪函數(shù)的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.5、C【解析】

利用二倍角公式化簡(jiǎn)已知表達(dá)式，利用余弦定理化角為邊的關(guān)系，即可推出三角形的形狀．【詳解】解：因?yàn)椋?，即，由余弦定理可知：，所以．所以三角形是直角三角形．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的形狀的判斷，余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．6、A【解析】

根據(jù)三角恒等變換的公式化簡(jiǎn)得，其中，再根據(jù)題意，得到，求得，結(jié)合誘導(dǎo)公式，即可求解.【詳解】由題意，根據(jù)三角恒等變換的公式，可得，其中，因?yàn)楫?dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值，即，即，可得，即，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角恒等變換的應(yīng)用，以及誘導(dǎo)公式的化簡(jiǎn)求值，其中解答中熟記三角恒等變換的公式，合理利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】由題意，焦點(diǎn)坐標(biāo)，所以，解得，故選A。8、B【解析】

直接運(yùn)用等差數(shù)列的下標(biāo)關(guān)系即可求出的值.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，所以，因此，故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列下標(biāo)性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.9、C【解析】

利用前n項(xiàng)和Sn的性質(zhì)可求n【詳解】因?yàn)镾3而a1所以6Snn【點(diǎn)睛】一般地，如果an為等差數(shù)列，Sn為其前（1）若m,n,p,q∈N*,m+n=p+q，則am（2）Sn=n（3）Sn=An（4）Sn10、B【解析】

由正弦定理列方程求解?！驹斀狻坑烧叶ɡ砜傻茫?，所以，解得：.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，屬于基礎(chǔ)題。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由已知得f（）=f（）+sin=f（）+sin+sin=f（）+sin+sin+sin，由此能求出結(jié)果．【詳解】∵函數(shù)f（x）（x∈R）滿(mǎn)足f（x+π）=f（x）+sinx，當(dāng)0≤x＜π時(shí)，f（x）=0，∴f（）=f（）+sin=f（）+sin+sin=f（）+sin+sin+sin=0+=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．12、【解析】

由遞推公式逐步求出.【詳解】.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推公式，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】所求的等比中項(xiàng)為：.14、12.2【解析】

先求出，的平均數(shù)，再由題中所給公式計(jì)算出和，進(jìn)而得出線(xiàn)性回歸方程，將代入，即可求出結(jié)果.【詳解】由題中數(shù)據(jù)可得：，，所以，所以，故回歸直線(xiàn)方程為，所以當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)性回歸方程，需要考生掌握住最小二乘法求與，屬于基礎(chǔ)題型.15、【解析】

根據(jù)題意畫(huà)出草圖，根據(jù)余弦定理求出的值，設(shè)點(diǎn)到的距離為，可得，分析可知取最大時(shí)，取最大值，然后再對(duì)為中點(diǎn)和不是中點(diǎn)兩種情況分析，可得的最大值為，然后再根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)和正弦定理，即可求出結(jié)果．【詳解】根據(jù)題意可作出及其外接圓，連接，交于點(diǎn)，連接，如下圖：在中，由余弦定理,由為的內(nèi)角，可知，所以.設(shè)的半徑為，點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)到的距離為，則,故取最大時(shí)，取最大值.①當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，由垂徑定理知，即，此時(shí)，故；②當(dāng)不是中點(diǎn)時(shí)，不與垂直，設(shè)此時(shí)與所成角為，則，故；由垂線(xiàn)段最短知，此時(shí);綜上，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，到的距離最大，最大值為；由圓周角定理可知，,由垂徑定理知，此時(shí)點(diǎn)為優(yōu)弧的中點(diǎn)，故，則，在中，由正弦定理得所以.所以當(dāng)△ADC面積最大時(shí)建立索道AD的長(zhǎng)為公里.故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理、余弦定理在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，屬于中檔題．16、【解析】

根據(jù)正弦定理即可．【詳解】因?yàn)?，，；所以，由正弦定理可得【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理：,屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）經(jīng)過(guò)、、、四點(diǎn)的圓所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)為、【解析】

(1)先算出直線(xiàn)方程，根據(jù)相切和過(guò)點(diǎn)，圓心在軸上聯(lián)立方程解得答案.(2)取線(xiàn)段的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)、、、四點(diǎn)的圓是以線(xiàn)段為直徑的圓，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，將圓方程表示出來(lái)，聯(lián)立方程組解得答案.【詳解】(1)由題意知，直線(xiàn)的方程為，整理為一般方程可得由圓的圓心在軸上，可設(shè)圓的方程為，由題意有，解得：，，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)由圓的幾何性質(zhì)知，，，取線(xiàn)段的中點(diǎn)，由直角三角形的性質(zhì)可知，故經(jīng)過(guò)、、、四點(diǎn)的圓是以線(xiàn)段為直徑的圓，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為有則以為直徑的圓的方程為：，整理為可得.令，解得或，故經(jīng)過(guò)、、、四點(diǎn)的圓所過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)為、.【點(diǎn)睛】本題考查了圓的方程，切線(xiàn)問(wèn)題，四點(diǎn)共圓，定點(diǎn)問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，技巧性高，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】

（1）利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可得線(xiàn)線(xiàn)平行，最后利用平行公理可以證明出；（2）利用線(xiàn)面垂直的判定定理可以證明線(xiàn)面垂直，利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可以證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，利用平行線(xiàn)的性質(zhì)，最后證明出.【詳解】證明（1）因?yàn)槠矫?，平面平?平面，所以有,同理可證出,根據(jù)平行公理，可得；（2）因?yàn)椋?平面，所以平面,而平面,所以,由（1）可知,所以.【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理，線(xiàn)面垂直的判定定理、以及平行公理的應(yīng)用.19、（1）（2）的方程為，最小為【解析】

（1）設(shè)圓的方程為，由題意可得，求解即可得到圓的方程；（2）過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直時(shí)，直線(xiàn)被圓截得的弦最小，求解即可.【詳解】解：（1）設(shè)圓的方程為，所以，解得所以圓的方程為.（2）直線(xiàn)的方程可化為點(diǎn)斜式，所以過(guò)定點(diǎn)．又點(diǎn)在圓內(nèi)，當(dāng)直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直時(shí)，直線(xiàn)被圓截得的弦最?。?yàn)?，所以的斜率，所以的方程為，即，因?yàn)?，，所以．【點(diǎn)睛】求圓的弦長(zhǎng)的常用方法幾何法：設(shè)圓的半徑為r，弦心距為d，弦長(zhǎng)為l，則；②代數(shù)方法：運(yùn)用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式：＝＝.20、（1）-2（2）【解析】

（1）利用特殊角的三角函數(shù)值求得表達(dá)式的值.（2）利用