八年級數(shù)學(xué)下冊 第18章 平行四邊形（教師版）

2023-2024學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級下冊章節(jié)知識講練1.掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念,了解它們之間的關(guān)系.2.探索并掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的有關(guān)性質(zhì)和常用判別方法,并能運用這些知識進行有關(guān)的證明和計算.3.掌握三角形中位線定理.知識點01：平行四邊形【高頻考點精講】1．定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.2．性質(zhì)：（1）對邊平行且相等；（2）對角相等；鄰角互補；（3）對角線互相平分；（4）中心對稱圖形.3．面積：4．判定：邊：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．角：（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；（5）任意兩組鄰角分別互補的四邊形是平行四邊形．邊與角：（6）一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形；對角線：（7）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.【易錯點剖析】平行線的性質(zhì)：（1）平行線間的距離都相等；（2）等底等高的平行四邊形面積相等.知識點02：矩形【高頻考點精講】1．定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.2．性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；（2）四個角都是直角；（3）對角線互相平分且相等；（4）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3．面積：４．判定：（1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形.（2）對角線相等的平行四邊形是矩形.（3）有三個角是直角的四邊形是矩形.【易錯點剖析】由矩形得直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（2）直角三角形中，30度角所對應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半．知識點03：菱形【高頻考點精講】1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2．性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)；（2）四條邊相等；（3）兩條對角線互相平分且垂直，并且每一條對角線平分一組對角；（4）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3．面積：4．判定：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四邊相等的四邊形是菱形.知識點04：正方形【高頻考點精講】1.定義：四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形.2．性質(zhì)：（1）對邊平行；（2）四個角都是直角；（3）四條邊都相等；（4）對角線互相垂直平分且相等，對角線平分對角；（5)兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形；（6）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3．面積：邊長×邊長＝×對角線×對角線4．判定：（1）有一個角是直角的菱形是正方形；（2）一組鄰邊相等的矩形是正方形；（3）對角線相等的菱形是正方形；（4）對角線互相垂直的矩形是正方形；（5）對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；（6）四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形是正方形.檢測時間：120分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.54一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023秋?楚雄州期末）如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點，BF平分∠ABC交DE于點F，AB＝8，則DF的長是（）A．2 B．3 C．4 D．5解：∵D，E分別是AB，AC的中點，AB＝8，∴DE是△ABC的中位線，BD＝4，∴DE∥BC，∴∠FBC＝∠BFD，∵BF平分∠ABC，∴∠FBC＝∠FBD，∴∠FBD＝∠BFD，∴DF＝BD＝4，故選：C．2．（2分）（2023秋?渝中區(qū)校級期末）如圖，菱形ABCD，∠B＝60°，E，F(xiàn)分別是CB，CD上兩點，連接AE，AF，EF，且∠EAF＝60°，如果∠BAE＝α，則下列說法錯誤的是（）A．∠CEF＝α B．∠FAD＝60°﹣α C．∠EFC＝60°﹣α D．∠AFD＝90°﹣α解：連接AC，EF，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AB∥CD．∴∠B+∠BCD＝180°．∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∠BCD＝120°．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．∠CAD＝60°，∵∠EAF＝60°，∴∠BAC﹣∠CAE＝∠EAF﹣∠CAE．∴∠BAE＝∠CAF＝α．∴△ABE≌△ACF（ASA）．∠FAD＝60°﹣α，∴∠B＝∠ACF＝60°，AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等邊三角形，∴∠AFE＝60°，∴△AEF是等邊三角形，∴∠AFE＝60°，∵∠AFC＝∠FAD+∠D，∴∠EFC＝∠FAD＝60°﹣α，∴∠CEF＝α，不能證出∠AFD＝90°﹣α，故選：D．3．（2分）（2023秋?昌圖縣期末）如圖，菱形ABCD中，E、F分別是AB、AC的中點，若EF＝3，則菱形ABCD的周長為（）A．24 B．18 C．12 D．9解：∵E、F分別是AB、AC的中點，∴BC＝2EF＝6，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∴菱形ABCD的周長＝4×6＝24，故選：A．4．（2分）（2023秋?駐馬店期末）如圖，在△ABC中，點D，E分別是邊AB，AC的中點，點F是線段DE上的一點．連接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，則EF的長是（）A．2 B．3 C．4 D．5解：∵點D，E分別是邊AB，AC的中點，∴DE是△ABC的中位線，∵BC＝14，∴DE＝BC＝7，∵∠AFB＝90°，AB＝8，∴DF＝AB＝4，∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，故選：B．5．（2分）（2023秋?海淀區(qū)校級期末）小雨在參觀故宮博物院時，被太和殿窗欞的三交六惋菱花圖案所吸引，他從中提取出一個含角的菱形ABCD（如圖1所示）．若AB的長度為a，則菱形ABCD的面積為（）A． B． C．a(chǎn)2 D．解：過A作AH⊥BC于H，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝a，∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AH＝AB＝a，∴菱形ABCD的面積＝BC?AH＝a2．故選：B．6．（2分）（2023秋?東河區(qū)期末）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，AB＝3，BC＝4，過點O作OE⊥AC，交AD于點E，過點E作EF⊥BD，垂足為F，則OE+EF的值為（）A． B． C． D．解：∵AB＝3，BC＝4，∴矩形ABCD的面積為12，AC＝，∴AO＝DO＝AC＝，∵對角線AC，BD交于點O，∴△AOD的面積為3，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即3＝AO×EO+DO×EF，∴3＝××EO+×EF，∴5（EO+EF）＝12，∴EO+EF＝，故選：C．7．（2分）（2023秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，?ABCD的對角線AC、BD交于點O，?ABCD的周長為30，直線EF過點O，且與AD，BC分別交于點E．F，若OE＝5，則四邊形ABFE的周長是（）A．30 B．25 C．20 D．15解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD交于點O，∴AB＝CD，AD＝CB，AD∥CB，OA＝OC，∴∠OAE＝∠OCF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF＝5，AE＝CF，∴EF＝OE+OF＝5+5＝10，AE+BF＝CF+BF＝CB，∵?ABCD的周長為30，∴2AB+2CB＝30，∴AB+CB＝15，∴AB+AE+BF+EF＝AB+CB+EF＝15+10＝25，∴四邊形ABFE的周長是25，故選：B．8．（2分）（2023秋?杜爾伯特縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點N是BC邊上一點，點M為AB邊上的動點，點D、E分別為CN，MN的中點，則DE的最小值是（）A．2 B． C．3 D．解：連接CM，當(dāng)CM⊥AB時，CM的值最?。ù咕€段最短），此時DE有最小值，理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∴AC?BC＝，∴＝，∴CM＝，∵點D、E分別為CN，MN的中點，∴DE＝CM＝＝，即DE的最小值是，故選：B．9．（2分）（2023秋?高青縣期末）如圖，?ABCD中，AB＝22cm，BC＝8cm，∠A＝45°，動點E從A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點B運動，動點F從點C出發(fā)，以1cm/s的速度沿著CD向D運動，當(dāng)點E到達點B時，兩個點同時停止．則EF的長為10cm時點E的運動時間是（）A．6s B．6s或10s C．8s D．8s或12s解：在?ABCD中，CD＝AB＝22cm，AD＝BC＝8cm，如圖，過點D作DG⊥AB于點G，∵∠A＝45°，∴△ADG是等腰直角三角形，∴AG＝DG＝AD＝8，過點F作FH⊥AB于點H，得矩形DGHF，∴DG＝FH＝8cm，DF＝GH，∵EF＝10cm，∴EH＝＝6cm，由題意可知：AE＝2tcm，CF＝tcm，∴GE＝AE＝AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE+EH＝（2t﹣8）+6＝（2t﹣2）cm，∴2t﹣2＝22﹣t，解得t＝8，當(dāng)F點在E點左側(cè)時，由題意可知：AE＝2tcm，CF＝tcm，∴GE＝AE﹣AG＝（2t﹣8）cm，DF＝CD﹣CF＝（22﹣t）cm，∴GH＝GE﹣EH＝（2t﹣8）﹣6＝（2t﹣14）cm，∴2t﹣14＝22﹣t，解得t＝12，∵點E到達點B時，兩點同時停止運動，∴2t≤22，解得t≤11．∴t＝12不符合題意，舍去，∴EF的長為10cm時點E的運動時間是8s，故選：C．10．（2分）（2023春?鎮(zhèn)江期中）數(shù)學(xué)家笛卡爾在《幾何》一書闡述了坐標幾何思想，主張取代數(shù)和幾何中最好的東西以長補短．如圖，在直角坐標系中，矩形OABC，點B的坐標是（1，3），則AC的長是（）A．3 B． C． D．4解：連接OB，過B作BM⊥x軸于M，∵點B的坐標是（1，3），∴OM＝1，BM＝3，由勾股定理可得：∴，∵四邊形OABC為矩形，∴OB＝AC，∴．故選：C．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023秋?嶗山區(qū)期末）如圖，在長方形ABCD中放入八個形狀、大小相同的小長方形，有關(guān)尺寸如圖所示，則長方形ABCD的面積為352cm2．解：設(shè)小長方形的長為x，寬為y，則：，解得，∴長方形ABCD的長為22cm，寬為16cm，∴長方形ABCD的面積為22×16＝352（cm2），故答案為：352．12．（2分）（2023秋?建鄴區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的邊長為2，∠DAO＝60°，則點C的坐標為（，1+）．解：過點C作CE⊥x軸，CF⊥y軸，如圖：∵正方形ABCD的邊長為2，∠DAO＝60°，∴∠ADO＝30°，∴AO＝1，DO＝，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ADO＝∠DCF，∴△AOD≌△DFC（AAS），∴AO＝DF＝1，DO＝CF＝，∴CE＝1+，∴點C的坐標為：（，1+）．故答案為：（，1+）．13．（2分）（2023秋?綏化期末）在平面直角坐標系中，四邊形AOBC是菱形．若點A的坐標是（3，4），點C的坐標是（8，4）．解：過A、C作AE⊥x軸，CF⊥x軸，∵點A的坐標是（3，4），∴AO＝5，∵四邊形AOBC是菱形，∴AO＝AC＝BO＝BC＝5，AO∥BC，∴∠AOB＝∠CBF，∵AE⊥x軸，CF⊥x軸，∴∠AEO＝∠CFO＝90°，在△AOE和△CBF中，∴△AOE≌△CBF（AAS），∴EO＝BF＝3，∵BO＝5，∴FO＝8，∴C（8，4）．故答案為：（8，4）．14．（2分）（2023秋?錦江區(qū)校級期末）如圖，在∠MON的兩邊上分別截取OA，OB，使OA＝OB；分別以點A，B為圓心，OA長為半徑作弧，兩弧交于點C；連接AC，BC，AB，OC．若AB＝2cm，四邊形OACB的面積為4cm2．則OC的長為4cm．解：根據(jù)作圖方法，可得AC＝BC＝OA，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝BC＝AC，∴四邊形OACB是菱形．∵AB＝2cm，四邊形OACB的面積為4cm2，∴AB×OC＝×2×OC＝4，解得OC＝4．故答案為：4．15．（2分）（2023秋?寧陽縣期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC＝12，P為AB邊上一動點，以PA，PC為邊作平行四邊形PAQC，則對角線PQ的長度的最小值為6．解：如圖所示：∵四邊形PAQC是平行四邊形，∴AO＝CO，OP＝OQ，∵PQ最短也就是PO最短，過點O作OE⊥AB，當(dāng)點P與E重合時，OP最短，OE即為所求，∵∠BAC＝30°，∴OE＝OA，∵AB＝AC＝12，∵AO＝AC＝×12＝6，∴OE＝3，∴PQ的最小值＝2OE＝6，故答案為：6．16．（2分）（2023秋?同安區(qū)期末）邊長分別為3a和2a的兩個正方形按如圖的樣式擺放，記圖中陰影部分的面積為S1，沒有陰影部分的面積為S2，則＝．解：根據(jù)圖形可知：沒有陰影部分的面積為S2＝?3a?（3a+2a）＝a2，陰影部分的面積為S1＝3a?3a+2a?2a﹣S2＝13a2﹣a2＝a2，∴＝＝．故答案為：．17．（2分）（2023秋?東河區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，E為對角線AC上與A，C不重合的一個動點，過點E作EF⊥AB于點F，EG⊥BC于點G，連接DE，F(xiàn)G，下列結(jié)論：①DE＝FG；②∠BFG＝∠ADE；③DE⊥FG；④FG的最小值為2．其中正確結(jié)論的有①②③④．（填序號）解：如圖所示，連接BE，交FG于點O，∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠EFB＝∠EGB＝90°，∵∠ABC＝90°，∴四邊形EFBG為矩形，∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°，在△ABE和△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE，∴DE＝FG，即①正確；∵△ABE≌△ADE，∴∠ABE＝∠ADE，∵OB＝OF，∴∠OFB＝∠ABE，∴∠BFG＝∠ADE，即②正確，延長DE，交FG于M，交FB于點H，由①得，∠ABE＝∠ADE，∵OB＝OF，∴∠OFB＝∠ABE，∴∠OFB＝∠ADE，∵∠BAD＝90°，∴∠ADE+∠AHD＝90°，∴∠OFB+∠AHD＝90°，即∠FMH＝90°，∴DE⊥FG，即③正確；∵E為對角線AC上的一個動點，∴當(dāng)DE⊥AC時，DE最小，∵AB＝AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，∴AC＝＝4，∴DE＝AC＝2，由①知，F(xiàn)G＝DE，∴FG的最小值為2，即④正確，綜上，①②③④正確，故答案為：①②③④．18．（2分）（2023秋?臨淄區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD頂點A的坐標為（0，4），B點在x軸上，對角線AC，BD交于點M，OM＝6，則點C的坐標為（12，8）．解：過點C作CE⊥x軸于點E，過點M作MF⊥x軸于點F，連接EM，如圖所示：∴∠MFO＝∠CEO＝∠AOB＝90°，AO∥MF∥CE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，AM＝CM，∴∠OAB＝∠EBC，OF＝EF，∴MF是梯形AOEC的中位線，∴MF＝（AO+EC），∵MF⊥OE，∴MO＝ME．∵在△AOB和△BEC中，，∴△AOB≌△BEC（AAS），∴OB＝CE，AO＝BE．∴MF＝（BE+OB），又∵OF＝FE，∴△MOE是直角三角形，∵MO＝ME，∴△MOE是等腰直角三角形，∴OE＝＝12，∵A（0，4），∴OA＝4，∴BE＝4，∴OB＝CE＝OE﹣BE＝8．∴C（12，8）．故答案為：（12，8）．19．（2分）（2023秋?蓮湖區(qū)期末）如圖，∠MON＝90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON上，當(dāng)B在邊ON上運動時，A隨之在OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB＝6，BC＝2．運動過程中點D到點O的最大距離是3+．解：如圖：取線段AB的中點E，連接OE，DE，OD，∵AB＝6，點E是AB的中點，∠AOB＝90°，∴AE＝BE＝3＝OE，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，∠DAB＝90°，∴DE＝＝，∵OD≤OE+DE，∴當(dāng)點D，點E，點O共線時，OD的長度最大．∴點D到點O的最大距離＝OE+DE＝3+，故答案為：3+．20．（2分）（2023秋?伊金霍洛旗期末）如圖，在正方形ABCD中，AB＝3cm，延長BC到點E，使CE＝1cm，連接DE，動點P從點A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿AB→BC→CD→DA向終點A運動．設(shè)點P的運動時間為t秒，當(dāng)△PBC和△DCE全等時，t的值為2或7．解：∵△DCE是直角三角形，∴△PBC為直角三角形，∴點P只能在AB上或者CD上，當(dāng)點P在AB上時，有BP＝CE，∴BP＝CE＝1，∴AP＝2，∴t＝2÷1＝2，當(dāng)點P在CD上時，有CP＝CE＝1，∴t＝（3+3+1）÷1＝7，故答案為：2或7．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023秋?余江區(qū)期末）如圖，矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于O，E，F(xiàn)分別是OC，BC的中點．若EF＝5cm，求AC的長．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴，∵點E、F分別是OC、BC的中點，∴EF是△COB的中位線，∴，∴OB＝10cm，∴AC＝2OB＝20（cm）．22．（6分）（2023秋?錦江區(qū)校級期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，點G，H分別是AB，CD的中點，點E、F在對角線AC上，且AE＝CF．（1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形；（2）連接BD交AC于點O，若BD＝14，AE+CF＝EF，求EG的長．（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠GAE＝∠HCF，∵點G，H分別是AB，CD的中點，∴AG＝CH，在△AGE和△CHF中，，∴△AGE≌△CHF（SAS），∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，∴∠GEF＝∠HFE，∴GE∥HF，又∵GE＝HF，∴四邊形EGFH是平行四邊形；（2）解：連接BD交AC于點O，如圖：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BD＝14，∴OB＝OD＝7，∵AE＝CF，OA＝OC，∴OE＝OF，∵AE+CF＝EF，AE＝CF，∴2AE＝EF＝2OE，∴AE＝OE，又∵點G是AB的中點，∴EG是△ABO的中位線，∴EG＝OB＝．23．（8分）（2023秋?河口區(qū)期末）如圖①?ABCD的對角線AC和BD相交于點O，EF過點O且與邊AB，CD分別相交于點E和點F．（1）求證：OE＝OF（2）如圖②，已知AD＝1，BD＝2，AC＝2，∠DOF＝∠α，①當(dāng)∠α為多少度時，EF⊥AC？②在①的條件下，連接AF，求△ADF的周長．證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，AB∥CD．∴∠EBO＝∠FDO．又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF（ASA）．∴OE＝OF；（2）①∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OD＝BD＝1，OA＝AC＝，又AD＝1，∴AD2+OD2＝OA2．∴∠ADO＝90°，∠AOD＝45°．∴∠α＝90°﹣45°＝45．②由（1）可得：EF垂直平分AC，∴AF＝FC，又AB＝＝＝CD，∴△ADF的周長＝AD+DF+FA＝AD+CD＝1+．24．（8分）（2023秋?巨野縣期末）如圖，正方形ABCD的對角線AC與BD交于點O，過點C作CE∥BD，過點D作DE∥AC，CE與DE交于點E．求證：四邊形OCED是正方形．證明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四邊形CODE是平行四邊形，∵正方形ABCD的對角線AC與BD交于點O，∴OD＝OC，∠DOC＝90°，∴四邊形CODE是正方形．25．（8分）（2023秋?武侯區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，延長BC至點E，使得，連接AC，AE，AE交CD于點F．（1）試探究△ACE的形狀；（2）求∠AFD的度數(shù)．解：（1）△ACE是等腰三角形，理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝AB＝BC，∠B＝∠D＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＝45°，∴AD：AC＝1：，∵，∴CA＝CE，∴△ACE是等腰三角形；（2）∵CA＝CE，∴∠CAE＝∠E，∵∠CAE+∠E＝∠ACB，∴∠E+∠E＝45°，∴∠E＝22.5°，∵∠FCE＝∠BCD＝90°，∴∠AFD＝∠EFC＝90°﹣22.5°＝67.5°．26．（8分）（2023秋?高青縣期末）在?ABCD中，點O是對角線BD的中點，點E在邊BC上，EO的延長線與邊AD交于點F，連接BF、DE如圖1．（1）求證：四邊形BEDF是平行四邊形；（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，過點C作DE的垂線，與DE、BD、BF分別交于點G、H、P如圖2．①當(dāng)CD＝6．CE＝4時，求BE的長；②求證：CD＝CH．（1）證明：∵在平行四邊形ABCD中，點O是對角線BD的中點，∴AD∥BC，BO＝DO，∴∠ADB＝∠CBD，在△BOE與△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（ASA），∴DF＝BE且DF∥BE，∴四邊形BEDF是平行四邊形；（2）①解：如圖，過點D作DN⊥EC于點N，∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，CE＝4，∴EN＝CN＝2，∴DN＝＝＝4，∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，∴∠DBC＝∠BDN＝45°，∴DN＝BN＝4，∴BE＝BN﹣EN＝4，②證明：∵DN⊥EC，CG⊥DE，∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，∴∠EDN＝∠ECG，∵DE＝DC，DN⊥EC，∴∠EDN＝∠CDN，∴∠ECG＝∠CDN，∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，∴∠CDB＝∠DHC，∴CD＝CH．27．（8分）（2023秋?定邊縣期末）如圖，正方形ABCD邊長為4，點E在邊AB上（點E與點A、B不重合），過點A作AF⊥DE，垂足為G，AF與邊BC相交于點F．（1）求證：△DAE≌△ABF；（2）若△DEF的面積為，求AF的長；（3）在（2）的條件下，取DE，AF的中點M，N，連接MN，求MN的長．（1）證明