2024高考數(shù)學(xué)九省聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.樣本數(shù)據(jù)16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位數(shù)為（）

A.14B.16C.18D.20

【考查目標(biāo)】樣本數(shù)據(jù)中位數(shù)

【解題思路】排序再找中位數(shù)

【命題考向趨勢(shì)】樣本數(shù)據(jù)涉及到的概念【備考復(fù)習(xí)建議】樣本數(shù)據(jù)相關(guān)概念

1.B【解析】將這些數(shù)據(jù)從小到大排列可得：10,12,14,14,16,20,24,30,40,則

其中位數(shù)為16.

-1

2.橢圓+/=1（?！?）的禺心率為彳，則（）

a2

A.—B.V2C.V3D.2

3

【考查目標(biāo)】橢圓性質(zhì)、離心率

【解題思路】a、b、c關(guān)系及離心率公式

【命題考向趨勢(shì)】橢圓的基本性質(zhì)

【備考復(fù)習(xí)建議】靈活掌握橢圓基本性質(zhì)

2.A【解析】由題意得6=必三1=工，解得。=哀1,

a23

【知識(shí)鏈接】橢圓離心率專題

求離心率常用公式公式1：e=9

r22

公式3:已知橢圓方程為二+a=1（。〉b〉0），兩焦點(diǎn)分別為斗巴，設(shè)焦點(diǎn)三角形3乙

a

B，則橢圓的離心率e=4需靠

證明：/尸片用=%/尸7￥；=力,

5四1^1

由正弦定理得:

sin(180°—a—夕)sinasin/3

I^l+I^l2c2a

由等比定理得:，即Bn一

sin(a+/?)sina+sm/?sin(a+/?)sina+sm/3

c_sin(a+,)

asina+sin(3

22

公式4:以橢圓十方小小。)兩焦點(diǎn)耳片及橢圓上任一點(diǎn)尸(P余長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)外)為

a+萬(wàn)

cos......-

2

頂點(diǎn)MM/PG用=a/PFE=0，則e=

cos…

2

證明：由正弦定_理_^\有PF.\第\P=F7島I\F=.F需,I=\號(hào)F.F,%I

c.a+Ba+Ba+B

2sin----—?cos-----cos-----

|FXF2I_sin(a+/?)22.§二2

a+a-P'aa-B

|PFX|+1PF21sina+sin°。

2sin......--cos......-cos......-

222

jr

公式5:點(diǎn)尸是橢圓的焦點(diǎn)，過(guò)E的弦AB與橢圓焦點(diǎn)所在軸的夾角為6,eeO,Q,后為直線

A—1

AB的斜率，且萬(wàn);=2麗(2>0),則e=W+左之當(dāng)曲線焦點(diǎn)在軸上時(shí),e=

2+1y

注'=卷或者2=與而不是《或答

3.記等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為5,%+。7=6嗎2=17,則醯=()

A.120B.140C.160D.180

【考查目標(biāo)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式

【解題思路】公式應(yīng)用

【命題考向趨勢(shì)】等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式綜合運(yùn)用

【備考復(fù)習(xí)建議】對(duì)等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的理解

3.C【解析】因?yàn)?+。7=2%=6,所以%=3,所以%+%2=3+17=20,

LLf(a+^,,)x16々

所以S]6—------------=8(。5+。12)=160

【知識(shí)鏈接】

1.等差數(shù)列的前"項(xiàng)和公式

公式一■=〃（％;""）

Sa

證明：（倒序相加法）n=i+a2+a3+.??+an_x+an①+an_x+an_2++a2+ax②，由①+

②得2S〃=（%+%）+（&+%"）+（&+?！ㄒ?）+…+（%+?）,因?yàn)?+勺=&+an-\=a3+an-2=…=%+%,

所以2S”〃m+a”），由此得"J"*

公式二：凡=嗎+丫

證明：將+代入.="（"「）可得s“=嗎+吟皿.

2.前〃項(xiàng)和與函數(shù)關(guān)系

由S,=叫+.（；-1）d=3"+1q_[>，令A(yù)=^B=ai；

5?=An2+Bn（A,B為常數(shù)）.

（1）當(dāng)d=0即/=0時(shí),S”=3〃="%,s”是關(guān)于〃的一個(gè)一次函數(shù);它的圖像是在直線y=4x

上的一群孤立的點(diǎn).

（2）當(dāng)d力0即/#0時(shí),S”是關(guān)于〃的一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為零的二次函數(shù);它的圖像是在拋物線

y=Ax2+Bx上的一群孤立的點(diǎn).

①當(dāng)d>0時(shí),S,有最小值；

②當(dāng)1<0時(shí),S“有最大值.

4.設(shè)a4是兩個(gè)平面，加,/是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）

A.若a_L民加〃aj〃4，則加_L/B.若mua,lu。,功〃1,則cr〃尸

C.若aCB=m,l〃a,l〃B，則相〃/D.若mLa,l工0,m〃l,則a_L尸

【考查目標(biāo)】空間線面的位置關(guān)系

【解題思路】空間線面位置關(guān)系簡(jiǎn)圖或利用周邊環(huán)境想象思考【命題考向趨勢(shì)】空間線面

的位置關(guān)系

【備考復(fù)習(xí)建議】理解空間線面位置關(guān)系

4.C【解析】對(duì)于A,/可能平行，相交或異面，故A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,d4可能相交或平行，故B錯(cuò)誤，

對(duì)于D,d4可能相交或平行，故D錯(cuò)誤，

由線面平行性質(zhì)得C正確，

5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有

()

A.20種B.16種C.12種D.8種

【考查目標(biāo)】排列組合

【解題思路】先排乙丙，再排甲

【命題考向趨勢(shì)】排列組合應(yīng)用【備考復(fù)習(xí)建議】排列組合靈活應(yīng)用

5.B【解析】因?yàn)橐液捅g恰有2人，所以乙丙及中間2人占據(jù)首四位或尾四位，

①當(dāng)乙丙及中間2人占據(jù)首四位，此時(shí)還剩末位，故甲在乙丙中間，

排乙丙有A；種方法，排甲有出種方法，剩余兩個(gè)位置兩人全排列有A；種排法，

所以有A：xA；xA；=8種方法；

②當(dāng)乙丙及中間2人占據(jù)尾四位，此時(shí)還剩首位，故甲在乙丙中間，

排乙丙有A；種方法，排甲有㈤種方法，剩余兩個(gè)位置兩人全排列有A：種排法，

所以有A"A；x8=8種方法；

由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，一共有8+8=16種排法，

【知識(shí)鏈接】

一、分類與計(jì)數(shù)原理

1、分類加法計(jì)數(shù)原理的概念

完成一件事可以有n類方案，各類方案相互獨(dú)立，在第一類方案中mi種不同方法，在第二

類方案中種不同方法…在第九類方案中nin種不同方法，那么完成這個(gè)件事共有

N=7H1+Tn2H----1"爪71種方法.

2、分步乘法計(jì)數(shù)原理的概念

完成一件事需要經(jīng)過(guò)n個(gè)步驟，缺一不可，做第一步有mi種方法，做第二步有瓶2種方法…

做第n步有血兀種方法，那么，完成這個(gè)件事共有N=7HiXni2X…X血0種方法.

3、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別

原理分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理

聯(lián)系兩個(gè)計(jì)數(shù)原理都是對(duì)完成一件事的方法種數(shù)而言

區(qū)別一每類方法都能獨(dú)立完成這件每一步得到的只是中間結(jié)果，

事，它是獨(dú)立的、一次的，且每任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，

次得到的是最后結(jié)果，只需一種只有各個(gè)步驟都完成了才能完成這

方法就可完成這件事.件事.

區(qū)別二各類方法之間是互斥的、并各步之間是相互依存，并且既

列的、獨(dú)立的.不能重復(fù)也不能遺漏.

二、排列與排列數(shù)

1.排列與排列數(shù)：一般地，從71個(gè)不同元素中取出7nmiW71)個(gè)元素，按一定順序排成一列,

叫作從72個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列，所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫作從72個(gè)不同元素中

取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)2祟表示.

2.排列數(shù)公式：A^=n(n—l)(n—2)(n——m+1)=^n_'mymeN*且m￡n).n

個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫作71個(gè)的一個(gè)全排列.這個(gè)公式中TH=71,即有

線=n\=n(n—l)(n—2)(n—3)…2x1.規(guī)定：0!=l.

三、組合與組合數(shù)

1.組合與組合數(shù)：一般地，從律個(gè)不同元素中取出rn(7nW71)個(gè)元素合成一組，叫作從幾個(gè)

不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合，所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫作從71個(gè)不同元素中取出m個(gè)

元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示.

2.組合數(shù)公式：C^g-W(n-1)(n-2)(ra；3)-(W-m+1)-—^―(n.771€M且血工71)入個(gè)不同元

UliIILJ.

素全部取出的一個(gè)排列，叫作n個(gè)的一個(gè)全排列.這個(gè)公式中m=n,規(guī)定：C°=l.

3.組合數(shù)性質(zhì):

(1)C^=C^m(幾、mdV*且TH工九)；

(2)C；1I=C：+C：T(律、meN*且mWn)；

【變式】在某種信息傳輸過(guò)程中，用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列(數(shù)字允許重復(fù))表示一個(gè)信息，

不同排列表示不同信息，若所有數(shù)字只有0和1則與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字

相同的信息個(gè)數(shù)為()

A.10B.llC.12D.15

【答案】B

【解析】當(dāng)與信息0110對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字各不相同時(shí)，這樣的信息個(gè)數(shù)只有1個(gè)；當(dāng)與

信息0110對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字只有1個(gè)相同時(shí)，這樣的信息個(gè)數(shù)只有4個(gè)；當(dāng)與信息0110對(duì)應(yīng)

位置上的數(shù)字只有2個(gè)相同時(shí)，只需從四個(gè)位置中選出兩個(gè)位置使相應(yīng)的數(shù)字相同，有盤種

方法，剩下的兩個(gè)位置上的數(shù)字對(duì)應(yīng)不相同，只有1種可能，故此時(shí)共有窗個(gè)不同的信息.根

據(jù)分類原理知共有：1+4+盤=11個(gè)不同信息.故選B.

6.已知。為直線/：x+2y+l=0上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸滿足方=(1,-3),記尸的軌跡為E,貝|

()

A.E是一個(gè)半徑為指的圓B.E是一條與/相交的直線

C.E上的點(diǎn)到/的距離均為&D.E是兩條平行直線

【考查目標(biāo)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平行線間的距離公式

【解題思路】先確定動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再設(shè)點(diǎn)P,利用向量坐標(biāo)運(yùn)算建立等量關(guān)系，求出P的

軌跡E再用平行線間的距離公式求解即可

【命題考向趨勢(shì)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平行線間的距離公式【備考復(fù)習(xí)建議】平面向量

的坐標(biāo)運(yùn)算、點(diǎn)到直線距離公式

6.C【解析】設(shè)P(x,y),由存=(1,—3),則Q(x—1/+3),

由0在直線/：x+2,v+l=0上，故x—1+2(>+3)+1=0,

化簡(jiǎn)得x+2y+6=0,即尸的軌跡為E為直線且與直線/平行，

E上的點(diǎn)到/的距離d=尸1=人,故A、B、D錯(cuò)誤，C正確.

Vl2+22

【點(diǎn)評(píng)】將軌跡方程、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、直線與直線的位置關(guān)系、兩條平行直線間的距

離公式等知識(shí)綜合起來(lái)，考查直線與直線的位置關(guān)系、兩條平行直線間的距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)、

基本方法的理解和掌握。該題立足基礎(chǔ)知識(shí)，計(jì)算量小，強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間的綜合和應(yīng)用，很好檢

測(cè)了考生的知識(shí)體系和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有良好導(dǎo)向性，發(fā)揮了服務(wù)選才功能。

7.已知辛/}tan29=_4tan|e+?

)

【考查目標(biāo)】三角函數(shù)誘導(dǎo)公式

【解題思路】三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，注意定義域【命題考向趨勢(shì)】三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化

【備考復(fù)習(xí)建議】三角函數(shù)誘導(dǎo)公式靈活運(yùn)用

7.A【解析】由題6e[+，7r],tan2，=_4tan[6+￡],

-4(tan6+1)

得2tan6n-4(tan6+1)2=2tan8,

1-tan201-tan0

貝ij(2tan8+1)(tan8+2)=0ntan8=—2或tan0——

2

因?yàn)閇彳,兀卜an?！辏?1,0）,所以tan。=一；,

l+sin28sin2O+cos+2sin^cos3tan2^+l+2tan^二+1-1i

2cos2e+sin282cos2^+2sin^cos02+2tan6-2^-1）-Z

【點(diǎn)評(píng)】以簡(jiǎn)單三角恒等變換公式和同角三角函數(shù)關(guān)系為載體，該題題干簡(jiǎn)潔，注重基礎(chǔ),

難度適中，考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解、掌握及靈活應(yīng)用。

【知識(shí)鏈接】

1.兩角和與差的余弦

cos(cr+,)=cosacos/3-sinasin(3變形cosacos夕一sinasin[3=cos(a+B)

cos(a—P)=cosacos萬(wàn)+sinasin/3變形cosacos/3+sinasin0=cos(a-')

2.兩角和與差的正弦

sin(cr+(3)=sinacos/?+cosasin(3變形sinacos/3+cosasin/3=sin(a+0)

sin(a—/?)=sinacosP-cosasin/3變形sinacos°-cosasin/3=sin(a-')

3.兩角和與差的正切

/八、tana+tan6八、tana-tanS、.

tan(a+Z?)=--------------—,tan(z6z-B)=--------變形?

1-tanatan°、1+tanatan［3"

tana+tan/3=tan(a+/?)(1-tanatan/?)；tana+tanp+tanatan/3tan(a+/?)=tan(a+/3)?

八tana+tanB

tancrtanp=1-------------------

tan(6z+B).

【變式】已知cos［t+a)=2cos(>-a),則tan5-a卜()

A.-4B.4C.--D.—

33

［答案］C

［解析】因?yàn)閏osH+a)=2cos(?-a),所以一sina=-2cosa=tana=2,所以

(n11-tana

tan----oc------------=-g,故選?.

(4)1+tana

22

8.設(shè)雙曲線C:4-5=1伍〉0）〉0）的左、右焦點(diǎn)分別為公,鳥，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與C

ab

交于48兩點(diǎn)，陽(yáng)3=2陽(yáng)4項(xiàng).亭=4/,則。的離心率為（）

A.V2B.2C.V5D.V7

【考查目標(biāo)】雙曲線離心率與向量的結(jié)合

【解題思路】雙曲線與向量的結(jié)合

【命題考向趨勢(shì)】雙曲線與平面向量有機(jī)結(jié)合

【備考復(fù)習(xí)建議】雙曲線與平面向量有機(jī)結(jié)合

8.D【解析】由雙曲線的對(duì)稱性可知陽(yáng)1=|月

\F{B\=\F^,有四邊形/大8月為平行四邊形，

令陽(yáng)a=i且卻=冽,則陽(yáng)理=優(yōu)，=2冽,

由雙曲線定義可知舊聞-陽(yáng)聞=2a,故有2加-加=2a,

即加=2a,即閨/|=優(yōu)0=加=2a,閨4=內(nèi)/|=4a,

2

F2A-F2B="2卜"5卜0$4用8=2ax4acosZAF2B=4?,則cosNAF?B=—,gpZAF^B=y,

2兀陽(yáng)軒+優(yōu)軒-|單球（4不+（2療-（2域j_

故/為明=§,則有cos/48￡=-9

2|M-M2x4ax2a2

20a2—4°2

即----，則e?=7,由e>1,故e=V7.

16<7222

【點(diǎn)評(píng)】以雙曲線為載體，考查雙曲線、向量的基本概念和性質(zhì)。該題深入考查邏輯思維能

力、運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想，強(qiáng)調(diào)對(duì)知識(shí)的綜合理解和靈活應(yīng)用的能力。試題符合高中

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的基本要求，很好引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)。需要從雙曲線的定義出發(fā)進(jìn)行分析，對(duì)直觀想

象與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力有一定要求。

【知識(shí)鏈接】雙曲線的離心率專題

求離心率常用公式公式1：e='

a

公式2:e=Jl+3

Va

22

公式3:已知雙曲線方程為A-4=1伍〉0,b〉0）兩焦點(diǎn)分別為耳心設(shè)焦點(diǎn)三角形

ab

PFANPg=a,APF2Fx=0，貝IJe=5吆%

\sma-smp\

證明：/尸片6二2/尸6片=人

由正弦定理得:

2c2acsin(a+/3)

由等比定理得：即

sin(a+/?)sina-sin/?’a\sina-sinp\

22

公式4:以雙曲線5-==1（。〉0,b〉0）的兩個(gè)焦點(diǎn)片、鳥及雙曲線上任意一點(diǎn)P（除實(shí)軸

ab

.B+a

sin-----

上兩個(gè)端點(diǎn)外)為頂點(diǎn)的轉(zhuǎn)尸鳥,/產(chǎn)片用=a/PFE=，，則離心率e=

sm------

2

證明：由正弦定^理,有焉\P=F,品I\F=.F,媼I=\F."F,^I

??sgsina..H-LK專

sinJ3-sinasin(a+6)

即

.B+a

asin—

B+a.B-a.B+a尸+aXo<a+/?<%,cosa+B豐0,「，=2

cos——-sin2―sin——-cos2―2a-P-a

2222sin------

2

7T

公式5:點(diǎn)F是雙曲線焦點(diǎn)，過(guò)尸弦$AB$V雙曲線焦點(diǎn)所在軸夾角為，,6e0,-,k為直線

AB斜率，/=X而(2〉0),則e=J1+MA-l

2+1

當(dāng)曲線焦點(diǎn)在了軸上時(shí)，e=1+Ffcr

注”=$或者2=答而不是籍或籌

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符

合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

已知函數(shù)/(x)=sin[2x+與

9.+COS2X+T，貝U()

函數(shù)

A./(x―7為偶函數(shù)B.曲線＞=/(%)的對(duì)稱軸為》=左肛左eZ

7171

在區(qū)間〃的最小值為

C./(x)丁5單調(diào)遞增D.x)-2

【考查目標(biāo)】三角函數(shù)化簡(jiǎn)、三角函數(shù)圖像性質(zhì)

【解題思路】三角函數(shù)化簡(jiǎn)再結(jié)合圖象分析【命題考向趨勢(shì)】三角函數(shù)的圖象性質(zhì)

【備考復(fù)習(xí)建議】三角函數(shù)圖象性質(zhì)靈活運(yùn)用

3兀

9.AC【解析】/(x)=sin|2x+—|+cos|2x+—

44

sin2xcos—+sin—cos2x+cos2xcos--sin2xsin—

4444

--sin2x+—cos2x--cos2x——sin2x=-V2sin2x,

2222

即f(x)--V2sin2x,

對(duì)于A,-V2sin|^2x-1j=V2cos2x,易知為偶函數(shù)，所以A正確；

對(duì)于B,/(x)=-V5sin2x對(duì)稱軸為2x=]+E,左eZ=>x=：+g,左eZ,故B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,y=sin2x單調(diào)遞減，貝！|

/(x)=-Min2x單調(diào)遞增，故C正確；

對(duì)于D,/(x)=-V2sin2x,貝！|sin2xe[-1,1],所以/(x)e卜行,后],故D錯(cuò)誤;

故選：AC

10.已知復(fù)數(shù)z,w均不為0,則()

,,,,ZZ2-------—Zz

A.z=zB.==-~~-yC.z-w=z-wD.一=一

ZIZrWW

10.BCD

【考查目標(biāo)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共輒復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模

【解題思路】靈活運(yùn)用復(fù)數(shù)的運(yùn)算、共輒復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模解決問(wèn)題【命題考向趨勢(shì)】較復(fù)雜

的復(fù)數(shù)的有關(guān)運(yùn)算

【備考復(fù)習(xí)建議】靈活掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、復(fù)數(shù)的模、共輒復(fù)數(shù)

【解析】設(shè)2=°+歷(a,6eR)、w=c+di(c,deR)；

對(duì)A：設(shè)2=a+6ieR),貝！Jz?=(a+bi)~=a?+Zabi—b?=a?—b2+2aZ?i,

\z\2=(^la2+b2^=a2+b2,故A錯(cuò)誤；

22

對(duì)B：2=L,又2-z=，，即有===，故B正確；

zz-zZ|z|

對(duì)C：z—w=u+bi—c—di=ci—c+(b—d^i,貝！Jz—w=a—c—(6—d)i,

z=a—bi，w=c—di，則z—w=a—M—c+di=a—c—0—d)i,

即有z-w=z-iv,故C正確；

za+/?i(a+Z?i)(c-di)ac+bd-(ad-bc)i

對(duì)D：

wc+di(c+di)(c-di)c2+d2

ac+bdad-bcy_Iac'+Zabcd+b2d2+a2d2_2abcd+b2cl

C2+^J—d1+屋)2

c1+d2

_la2c2+b2d2+a2d~+b2c2_yla2c2+b~d2+a2d2+b~c~

(c2+d2f~c2+d2;

且=但+右=〃2+/2xJc2+/=J/+/)卜2+/)

222222

Hyjc+dc+dc+d

='a2c2+b2c2+bQ[,故二=旦，故口正確.

c2+d2ww

【點(diǎn)評(píng)】以復(fù)數(shù)為載體，考查復(fù)數(shù)、共輾復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的模的概念及復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，強(qiáng)調(diào)

對(duì)高中數(shù)學(xué)基本概念、基本運(yùn)算的掌握，體現(xiàn)了課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)復(fù)數(shù)學(xué)習(xí)的要求，較好引導(dǎo)復(fù)數(shù)教

學(xué)，考查學(xué)生邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力。

【知識(shí)鏈接】

1.復(fù)數(shù)的定義

形如a+萬(wàn)(a,6eR)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中。叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，6叫復(fù)數(shù)的虛部，，為虛數(shù)單位且規(guī)定i?=-1.

要點(diǎn)詮釋：(1)因?yàn)閷?shí)數(shù)?？蓪懗伞?Oxi,所以實(shí)數(shù)一定是復(fù)數(shù)；

(2)復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合叫復(fù)數(shù)集，記為C

2.虛數(shù)單位i的周期性

計(jì)算得「=11=不2=_1"3=_"繼續(xù)計(jì)算可知i具有周期性，且最小正周期為4,故

有如下性質(zhì)：

(1)i"=覃4向=i,i"'+2=_革4"+3=_i(〃eN*)；

(2)i4),+i4,,+1+i“"+2+i-,+3=0eN)

3.復(fù)數(shù)核心運(yùn)算

1*運(yùn)算律:(l)z城-z"=zm+";(2)3")"=Zmn-(3)(Z]?Z2廣?zf(嘰n&N).

=W;(3)|z-|=|zr；(4)z-z=|z|2.

2.模的性質(zhì)：⑴歸匐=|馬閆;⑵五

Z2lZ2i

3.重要結(jié)論：

222

⑴匕1-Z2「+h+z『=2(|z『+|z2|j;z-z=|z|=|zI

(2)(1±z)2=±2z;---==i;

1+11-i

1n

(3)方=1o(①—1)(療+0+i)=0o①=]或啰=——±-^-i

11.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,且卜0,若/(x+v)+〃x)/3=4孫，則()

B.=

C.函數(shù)/(x-￡|是偶函數(shù)D.函數(shù)/(x+[是減函數(shù)

【考查目標(biāo)】抽象函數(shù)性質(zhì)

【解題思路】特殊值帶入尋找解題路徑【命題考向趨勢(shì)】抽象函數(shù)變化

【備考復(fù)習(xí)建議】理清抽象函數(shù)的特點(diǎn)屬性

11.ABD【解析】令x=：、了=0,則有+⑼=/g][l+/(0)]=0,

又/g，0,故1+/(0)=0,即/(0)=—1,

令XjT，則有/1-口+/圖/|-)=4'“3

即/(o)+/[KT]=—1,由/(0)=—1,可得]=°，

又/g，0,故/1-￡|=0,故A正確；

令N=-；，則有—1+=

即/[-1=-2x,故函數(shù)/]x-g]是奇函數(shù)，

有/1x+1一)]=一2(%+1)=-2x-2,即/[x+J=-2x—2,

即函數(shù)/\+￡|是減函數(shù)，

令x=l,有/[：]=-2xl=-2,

故B正確、C錯(cuò)誤、D正確.

【點(diǎn)評(píng)】解答過(guò)程應(yīng)該是由題目條件得到川尸-1,再進(jìn)一步得到於1/2)=0,由此導(dǎo)出道x-1⑵

的表達(dá)式，最后得到小)的表達(dá)式。有關(guān)抽象函數(shù)的試題很多都是在奇偶性、周期性的基礎(chǔ)上

設(shè)計(jì)，類似題目多了難以避開程式化的誤區(qū)。第11題設(shè)計(jì)新穎，敘述簡(jiǎn)潔，選項(xiàng)設(shè)置符合題

目?jī)?nèi)在邏輯，且形式優(yōu)美對(duì)稱，是試題規(guī)范性的極好示例。

【知識(shí)鏈接】

1.周期概念理解

1.定義:設(shè)/⑴的定義城為D，若對(duì)VxeD，存在一個(gè)非零常數(shù)T，有/(x+T)=〃x),則稱函數(shù)

/(x)是一個(gè)周期函數(shù)，稱T為/(x)的一個(gè)周期.

2.若/(x)是一個(gè)周期函數(shù)，則/(x+T)=/(x)，那么/(x+2T)=f(x+7)=〃x),即27也是/(x)的

一個(gè)周期，進(jìn)而可得kT(keZ,左片0)也是/(%)的一個(gè)周期.

3.最小正周期:若T為/(X)的一個(gè)周期，WeZ,^0)也是/(x)的一個(gè)周期，則在某些周期

函數(shù)中，往往存在周期中最小的正數(shù)，稱為最小正周期.然而并非所有的周期函數(shù)都有最小正

周期,比如常值函數(shù)〃x)=C就沒(méi)有最小正周期.

2.常見周期性結(jié)論

序號(hào)函數(shù)式滿足關(guān)系(xeA)周期

(1)〃x+T)=/(x)T

(2)/(x+n=-/?2T

/(x+r)=-^-；/(x+r)=--l-

IT

(3)〃x)/(x)

(4)f(x+T)=f(x-T)2T

f(x+a)="x+b)或_a)=f(x-b)\a-b\

函(5)

數(shù)(6)f(x+T)=-f(x-T)4T

周rf(a+x)=f{a-x)

(7)2a

J(x)為偶函數(shù)

期

性"(a+x)=/(a-x)

2,-,

(8)J(b+x)=f(b-x)

的

'/(a+x)=_/("x)

(9)2a

些/(x)為奇函數(shù)

結(jié)y(a+x)=-f(a-x)

2,

(10)JS+x)=-〃I)

論

7(a+x)=/("x)

4。

(11)J(x)為奇函數(shù)

7(a+x)=_/("x)

(12)4。

/(x)為偶函數(shù)

7(。+x)=/(。-x)

4|?-6|

(13)[f(b+X)=-f(b-X)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合/={—2,0,2,4},8={x||x—3|<加},若/c5=Z,則〃？的最小值為.

【考查目標(biāo)】集合交集運(yùn)算、不等式

【解題思路】集合交集運(yùn)算、不等式【命題考向趨勢(shì)】集合相關(guān)運(yùn)算

【備考復(fù)習(xí)建議】靈活掌握集合相關(guān)運(yùn)算

12.5【解析】由/口8=2,故Z=由卜一3|〈加，得-加+3<x4加+3,

f4<m+3[m>1

故有1,>即<、<，即加》5,即加的最小值為5.

-2>-m+3[m>5

【點(diǎn)評(píng)】將集合、不等式、最值等知識(shí)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，不僅考查了考生對(duì)集合的表示方法、

集合的交集運(yùn)算性質(zhì)、集合間的關(guān)系、絕對(duì)值不等式等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，而且考查了數(shù)學(xué)

中重要的分類和數(shù)形結(jié)合思想。該題題面簡(jiǎn)潔，內(nèi)涵豐富，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系與融合。

【知識(shí)鏈接】

L集合技巧全攻略

交集4cB屋4AcBjBAr>A=A=04cB=B

并集AuB衛(wèi)AAuB江BAYJA=AA<J0=AA<JB=B<JA

補(bǔ)集

C(j(Q/4)=/CyU=0Cu0=U(C/)c/=(CumuA=U

2.集合的互異性

對(duì)于一個(gè)給定的集合，它的任意兩個(gè)元素是不能相同的.凡是出現(xiàn)含參數(shù)的集合，必須首先

考慮集合的互異性,即集合中元蘇不相等，例如集合/={。力}，則有"6

3.集合相等

對(duì)于兩個(gè)集合Z與3,如果Zq3,且8。/,那么集合Z與3相等，記作2=3.

4.集合子集個(gè)數(shù)

真子集有（2〃-1）個(gè),非空真子集有（2"-2）個(gè).

5.子集與交集

若則Zc8=Z;若Zc8=Z,則ZqB.

6.子集與并集

若/08,則Zu8=3;若Zu3=8,則Z口3.

7.子集與空集

題目中若有條件80Z,則應(yīng)分5=0和5w0兩種情況進(jìn)行討論.

8.并集與空集

由于Zu0=Z,因止匕,Zu8=8中的Z可以為0.

9.反演律（德摩根定律）

G（ACB）=（C/Z）D（C/）（交的補(bǔ)等于補(bǔ)的并）

“AuBXGAWS）（并的補(bǔ)等于補(bǔ)的交）

10.容斥原理

用card（Z）表示集合Z中的元素個(gè)數(shù)（有資料中用|/|或其他符號(hào)），則通過(guò)維恩圖可理解其

具備的二維運(yùn)算性質(zhì)card(ZuB)=card(Z)+card(5)-card(/cB).

13.已知軸截面為正三角形的圓錐的高與球O的直徑相等，則圓錐W的體積與球

O的體積的比值是,圓錐的衣而積與球。的表面積的比值是

【考查目標(biāo)】圓錐軸截面概念、圓錐表面積、體積公式、球體表面積、體積公式

【解題思路】根據(jù)題設(shè)條件建立等量關(guān)系

【命題考向趨勢(shì)】圓錐軸截面概念、表面積、體積公式，球體體積、表面積公式

【備考復(fù)習(xí)建議】球體、錐體表面積、體積公式運(yùn)用

13.答案：①.；②.1

【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為「，球的半徑為R,

因?yàn)閳A錐的軸截面為正三角形，所以圓錐的高力=6廠，母線/=2r,

由題可知：h=2R,所以球的半徑尺=立外

2

所以圓錐的體積為匕=；x（7txr2）x=^y-7tr3,

3

球的體積匕=3成3=37rx-^-r=—7ir,

圓錐的表面積H=nrl+nr2=3nr2,

r/?V

2

球的表面積S,=4成2=47rx——r=3TV,

2

【點(diǎn)評(píng)】以圓錐和球?yàn)檩d體，考查簡(jiǎn)單幾何體的體積和表面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)。該題背景

熟悉，計(jì)算量不大，要求考生能在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行推理、運(yùn)算，融合考查了空間想象、

邏輯思維、運(yùn)算求解等數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力。

【知識(shí)鏈接】

1.多面體的表面積和體積公式

名稱側(cè)面積s側(cè)全面積s全體積修

棱棱柱直截面周長(zhǎng)X/S底x〃或S直截面x1

S側(cè)+2S底

柱直棱柱chS底?用

棱錐各側(cè)面面積之和

棱底坊

s側(cè)+s底

錐17,

正棱錐—chS側(cè)

2

棱臺(tái)各側(cè)面面積之和

棱

g/S上底+S下底+Js上底.S下底）

1ffS側(cè)+S上底+S下底

臺(tái)正棱臺(tái)5（c+c）〃

要點(diǎn)詮釋：表中S表示面積，C；c分別表示上、下底面周長(zhǎng)，〃表示高，”表示斜高，/表示側(cè)

棱長(zhǎng)

2.旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積公式

名稱側(cè)面積s側(cè)全面積s全體積廠

圓柱2兀rl2%7?（/+F）Tir^h（即兀r?l）

圓錐兀rl7ir（l+r）—Tir^h

3

圓臺(tái)"（勺+校）/"（勺+0）/+乃（7f+4）

士兀R3

球4萬(wàn)R?

3

要點(diǎn)詮釋

表中/，力分別表示母線、高，表示圓柱圓錐的底面半徑，外,-2分別表示圓臺(tái)的上下底面半徑，R

表示球的半徑.

3.公式法

(1)柱體的體積公式：％=勖

(2)錐體的體積公式：曝

⑶臺(tái)體的體積公式：V臺(tái)=；(S+S+用)h

(4)球的體積：％=%甯

5.正四面體與球的組合

正四面體力-BCD的棱長(zhǎng)為%它的高為ga,體積為普外接球半徑為￡入內(nèi)接半

徑為將.

6.表面積和體積最值問(wèn)題

1.求棱長(zhǎng)或高為定值的幾何體的體積或表面積的最值.

2.求表面積一定的空間幾何體的體積最大值和求體積一定的空間幾何體的表面積的最小

值.

3.組合體中的最值問(wèn)題一般思路：

(1)根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征和體積、表面積的計(jì)算公式，將體積或表面積的最值轉(zhuǎn)化為平

面圖形中的有關(guān)最值，根據(jù)平面圖形的有關(guān)結(jié)論直接進(jìn)行判斷；

(2)利用基本不等式或建立關(guān)于表面積和體積的函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)或者導(dǎo)數(shù)方法

解決.

14.以maxM表示數(shù)集/中最大的數(shù).設(shè)0<a<b<c<l,已知b22a或a+bW1,則

max{b-a,c-b,l-c}的最小值為.

1?

14.1或0.2

【考查目標(biāo)】不等式

【解題思路】最大值變量中的最小值辯證關(guān)【命題考向趨勢(shì)】不等式的靈活運(yùn)用【備考復(fù)

習(xí)建議】注重概念深層次理解。

b=l-n-p

【解析】令6-。=加,。一/?=〃,1一。=夕,其中m,n,p>0,所以

a=l-m-n-p，

若622a,貝!|6=1—〃一夕之2（1—加一〃一夕），故2陰+〃+夕》1,

M=max{b-a,c-b,l-c}=max{加,，，7},

2M>2m

因此，故4M22〃z+〃+)21,則M2工，

M>p

若a+6<l,貝!|1一〃一)+1—加一”一PVI,即加+2〃+2夕21,

Af=max[b-a,c-b,l-c]=max{加，，，,},

M>m

則<2M>2n，故5M2加+2〃+2夕21,貝[|M2—，

2M>2p'

當(dāng)加=2〃=20時(shí)，等號(hào)成立，

綜上可知max{b-a,c-b,l-c}的最小值為1,

故答案為：—

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.（13分）已知函數(shù)/（切=向+/+依+2在點(diǎn)（2,/（2））處的切線與直線2工+3>>=0垂

直.

（1）求。；

（2）求〃x）的單調(diào)區(qū)間和極值.

【考查目標(biāo)】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

【解題思路】導(dǎo)數(shù)、切線、直線斜率垂直條件、利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性、極值

【命題考向趨勢(shì)】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，求單調(diào)性、極值

【備考復(fù)習(xí)建議】利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性、極值

【知識(shí)鏈接】

1.導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與丞數(shù)的單調(diào)性

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則在這個(gè)區(qū)間上，

(1)若/(x)>0,則/(x)在這個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)；

(2)若/(x)<0,則/G)在這個(gè)區(qū)間上為減函數(shù)；

(3)若恒有/(x)=0,則/(X)在這一區(qū)間上為常函數(shù).

反之，若/G)在某區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有/(x)K)恒成立(但不恒等于0)；

若f3在某區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有/(x)2)恒成立(但不恒等于0).

要點(diǎn)詮釋：

(1)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線切線的斜率，故當(dāng)在某區(qū)間上了'(X)>0,即切線斜率為

正時(shí)，函數(shù)/⑴在這個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)；當(dāng)在某區(qū)間上/'⑴<0,即切線斜率為負(fù)時(shí)，函數(shù)/⑴

在這個(gè)區(qū)間上為減函數(shù)；即導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)決定了原函數(shù)的增減.

(2)若在某區(qū)間上有有限個(gè)點(diǎn)使廣⑴=0,在其余點(diǎn)恒有廠(x)>0,則/(x)仍為增函數(shù)

(減函數(shù)的情形完全類似)，即在某區(qū)間上，f,M>0n/(x)在這個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)：

/⑴<0n/(x)在這個(gè)區(qū)間上為減函數(shù)，但反之不成立.

(3)/⑴在某區(qū)間上為增函數(shù)n在該區(qū)間廣⑴汽)；/⑴在某區(qū)間上為減函數(shù)n在