云南省玉溪市通海一中2024屆高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題含解析

云南省玉溪市通海一中2024屆高三3月份模擬考試數(shù)學(xué)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線(xiàn)內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，則（）A．∥ B．⊥ C．∥() D．⊥()2．已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，若對(duì)，恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知直線(xiàn)：與圓：交于，兩點(diǎn)，與平行的直線(xiàn)與圓交于，兩點(diǎn)，且與的面積相等，給出下列直線(xiàn)：①，②，③，④.其中滿(mǎn)足條件的所有直線(xiàn)的編號(hào)有（）A．①② B．①④ C．②③ D．①②④4．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)（設(shè)點(diǎn)位于第一象限），過(guò)點(diǎn)，分別作拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)，，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)交軸于點(diǎn)，若，則直線(xiàn)的斜率為A．1 B． C． D．5．函數(shù)的圖像大致為（）.A． B．C． D．6．已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足約束條件，若的最大值為2，則實(shí)數(shù)k的值為（）A．1 B． C．2 D．7．已知盒中有3個(gè)紅球，3個(gè)黃球，3個(gè)白球，且每種顏色的三個(gè)球均按，，編號(hào)，現(xiàn)從中摸出3個(gè)球（除顏色與編號(hào)外球沒(méi)有區(qū)別），則恰好不同時(shí)包含字母，，的概率為（）A． B． C． D．8．復(fù)數(shù)的虛部是()A． B． C． D．9．若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值是（）A． B． C． D．410．已知集合，，則（）A． B．C． D．11．設(shè)是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，若雙曲線(xiàn)右支上存在一點(diǎn)，使（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，為的零點(diǎn)，為圖象的對(duì)稱(chēng)軸，且在區(qū)間上單調(diào)，則的最大值是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知全集，，則________.14．若滿(mǎn)足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為_(kāi)_____.15．已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值是______________.16．已知向量，，，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知?jiǎng)訄AQ經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，且與定直線(xiàn)相切（其中a為常數(shù)，且）.記動(dòng)圓圓心Q的軌跡為曲線(xiàn)C．（1）求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線(xiàn)？（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)P作曲線(xiàn)C的切線(xiàn)，切點(diǎn)為A，若過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)m與曲線(xiàn)C交于M，N兩點(diǎn)，則是否存在直線(xiàn)m，使得？若存在，求出直線(xiàn)m斜率的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.18．（12分）在中，角的對(duì)邊分別為，且滿(mǎn)足.（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若的面積為，，求和的值.19．（12分）已知曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程與直線(xiàn)的普通方程；（2）已知點(diǎn)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，求.20．（12分）已知，，函數(shù)的最小值為.（1）求證：；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.21．（12分）在世界讀書(shū)日期間，某地區(qū)調(diào)查組對(duì)居民閱讀情況進(jìn)行了調(diào)查，獲得了一個(gè)容量為200的樣本，其中城鎮(zhèn)居民140人，農(nóng)村居民60人.在這些居民中，經(jīng)常閱讀的城鎮(zhèn)居民有100人，農(nóng)村居民有30人.（1）填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān)？城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計(jì)經(jīng)常閱讀10030不經(jīng)常閱讀合計(jì)200（2）從該地區(qū)城鎮(zhèn)居民中，隨機(jī)抽取5位居民參加一次閱讀交流活動(dòng)，記這5位居民中經(jīng)常閱讀的人數(shù)為，若用樣本的頻率作為概率，求隨機(jī)變量的期望.附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）已知函數(shù)，，且．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的減區(qū)間；（2）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（3）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，試比較，與的大小，并說(shuō)明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

由題意利用兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，兩個(gè)向量平行、垂直的性質(zhì)，得出結(jié)論.【詳解】∵向量（1，﹣2），（3，﹣1），∴和的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)不成比例，故、不平行，故排除A；顯然，?3+2≠0，故、不垂直，故排除B；∴（﹣2，﹣1），顯然，和的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)不成比例，故和不平行，故排除C；∴?（）＝﹣2+2＝0，故⊥（），故D正確，故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，兩個(gè)向量平行、垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

先根據(jù)函數(shù)奇偶性求得，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)是偶函數(shù).，即，又，所以，.函數(shù)的定義域?yàn)?，所以，則函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù).又在上，，所以為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.由，可得，對(duì)恒成立，則，對(duì)恒成立，，得，所以的取值范圍是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式，根據(jù)方程組法求函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，屬壓軸題.3、D【解析】

求出圓心到直線(xiàn)的距離為：，得出，根據(jù)條件得出到直線(xiàn)的距離或時(shí)滿(mǎn)足條件，即可得出答案.【詳解】解：由已知可得：圓：的圓心為（0,0），半徑為2，則圓心到直線(xiàn)的距離為：，∴，而，與的面積相等，∴或，即到直線(xiàn)的距離或時(shí)滿(mǎn)足條件，根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)距離可知，①②④滿(mǎn)足條件.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，涉及點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式.4、C【解析】

根據(jù)拋物線(xiàn)定義，可得，，又，所以，所以，設(shè)，則，則，所以，所以直線(xiàn)的斜率．故選C．5、A【解析】

本題采用排除法:由排除選項(xiàng)D；根據(jù)特殊值排除選項(xiàng)C;由,且無(wú)限接近于0時(shí),排除選項(xiàng)B；【詳解】對(duì)于選項(xiàng)D:由題意可得,令函數(shù),則,;即.故選項(xiàng)D排除;對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?故選項(xiàng)C排除;對(duì)于選項(xiàng)B:當(dāng),且無(wú)限接近于0時(shí),接近于,，此時(shí).故選項(xiàng)B排除;故選項(xiàng):A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式較復(fù)雜的圖象的判斷;利用函數(shù)奇偶性、特殊值符號(hào)的正負(fù)等有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行逐一排除是解題的關(guān)鍵;屬于中檔題.6、B【解析】

畫(huà)出約束條件的可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,求出最優(yōu)解,轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】可行域如圖中陰影部分所示，，，要使得z能取到最大值，則，當(dāng)時(shí)，x在點(diǎn)B處取得最大值，即，得；當(dāng)時(shí)，z在點(diǎn)C處取得最大值，即，得（舍去）.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查由目標(biāo)函數(shù)最值求解參數(shù)值,數(shù)形結(jié)合思想,分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.7、B【解析】

首先求出基本事件總數(shù)，則事件“恰好不同時(shí)包含字母，，”的對(duì)立事件為“取出的3個(gè)球的編號(hào)恰好為字母，，”，記事件“恰好不同時(shí)包含字母，，”為，利用對(duì)立事件的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：從9個(gè)球中摸出3個(gè)球，則基本事件總數(shù)為（個(gè)），則事件“恰好不同時(shí)包含字母，，”的對(duì)立事件為“取出的3個(gè)球的編號(hào)恰好為字母，，”記事件“恰好不同時(shí)包含字母，，”為，則.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型及其概率計(jì)算公式，考查了排列組合的知識(shí)，解答的關(guān)鍵在于正確理解題意，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解析】因?yàn)椋缘奶摬渴?，故選C.9、D【解析】

模擬程序運(yùn)行，觀(guān)察變量值的變化，得出的變化以4為周期出現(xiàn)，由此可得結(jié)論．【詳解】；如此循環(huán)下去，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不滿(mǎn)足，循環(huán)結(jié)束，輸出的值是4.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，考查循環(huán)結(jié)構(gòu)．解題時(shí)模擬程序運(yùn)行，觀(guān)察變量值的變化，確定程序功能，可得結(jié)論．10、C【解析】

求出集合，計(jì)算出和，即可得出結(jié)論.【詳解】，，，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查交集和并集的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

利用向量運(yùn)算可得，即，由為的中位線(xiàn)，得到，所以，再根據(jù)雙曲線(xiàn)定義即可求得離心率.【詳解】取的中點(diǎn)，則由得，即；在中，為的中位線(xiàn)，所以，所以；由雙曲線(xiàn)定義知，且，所以，解得，故選：D【點(diǎn)睛】本題綜合考查向量運(yùn)算與雙曲線(xiàn)的相關(guān)性質(zhì)，難度一般.12、B【解析】

由題意可得，且，故有①，再根據(jù)，求得②，由①②可得的最大值，檢驗(yàn)的這個(gè)值滿(mǎn)足條件．【詳解】解：函數(shù)，，為的零點(diǎn)，為圖象的對(duì)稱(chēng)軸，，且，、，，即為奇數(shù)①．在，單調(diào)，，②．由①②可得的最大值為1．當(dāng)時(shí)，由為圖象的對(duì)稱(chēng)軸，可得，，故有，，滿(mǎn)足為的零點(diǎn)，同時(shí)也滿(mǎn)足滿(mǎn)足在上單調(diào)，故為的最大值，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的特征，正弦函數(shù)的周期性以及它的圖象的對(duì)稱(chēng)性，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用集合的補(bǔ)集運(yùn)算即可求解.【詳解】由全集，，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了集合的補(bǔ)集運(yùn)算，需理解補(bǔ)集的概念，屬于基礎(chǔ)題.14、-1【解析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線(xiàn)方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【詳解】由約束條件作出可行域如圖，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可得，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)在軸上的截距最大，由得即，則有最大值，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫(huà)、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線(xiàn)還是虛線(xiàn)）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.15、【解析】

先畫(huà)出不等式組對(duì)應(yīng)的可行域，再利用數(shù)形結(jié)合分析解答得解.【詳解】畫(huà)出不等式組表示的可行域如圖陰影區(qū)域所示.由題得y=-3x+z,它表示斜率為-3,縱截距為z的直線(xiàn)系，平移直線(xiàn)，易知當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)的縱截距最小，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，且.故答案為：-8【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析能力.16、3【解析】

由題意得，，再代入中，計(jì)算即可得答案.【詳解】由題意可得，，∴，解得，∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量模的計(jì)算，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意向量數(shù)量積公式的運(yùn)用.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），拋物線(xiàn)；（2）存在，.【解析】

（1）設(shè)，易得，化簡(jiǎn)即得；（2）利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可得，要使，只需.聯(lián)立直線(xiàn)m與拋物線(xiàn)方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可解決.【詳解】（1）設(shè)，由題意，得，化簡(jiǎn)得，所以動(dòng)圓圓心Q的軌跡方程為，它是以F為焦點(diǎn)，以直線(xiàn)l為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn).（2）不妨設(shè).因?yàn)?，所以，從而直線(xiàn)PA的斜率為，解得，即，又，所以軸.要使，只需.設(shè)直線(xiàn)m的方程為，代入并整理，得.首先，，解得或.其次，設(shè)，，則，..故存在直線(xiàn)m，使得，此時(shí)直線(xiàn)m的斜率的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)位置關(guān)系的應(yīng)用，涉及拋物線(xiàn)中的存在性問(wèn)題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道中檔題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解析】

（Ⅰ）運(yùn)用正弦定理和二角和的正弦公式，化簡(jiǎn)，即可求出角的大?。唬á颍┩ㄟ^(guò)面積公式和，可以求出，這樣用余弦定理可以求出，用余弦定理求出，根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系，可以求出，這樣可以求出,最后利用二角差的余弦公式求出的值.【詳解】（Ⅰ）由正弦定理可知：,已知，所以，,所以有.（Ⅱ），由余弦定理可知：,,.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理、面積公式、二倍角公式、二角差的余弦公式以及同角的三角函數(shù)關(guān)系，考查了運(yùn)算能力.19、(1).(2)【解析】

（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式，以及消去參數(shù)，即可求解；（2）設(shè)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，將直線(xiàn)的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）對(duì)于曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為，可得，又由，可得，即，所以曲線(xiàn)的普通方程為.由直線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去參數(shù)可得，即直線(xiàn)的方程為，即.（2）設(shè)兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，，將直線(xiàn)的參數(shù)方程（為參數(shù)）代入曲線(xiàn)中，可得.化簡(jiǎn)得：，則.所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了參數(shù)方程與普通方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，以及直線(xiàn)的參數(shù)方程的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）見(jiàn)解析；（2）最大值為.【解析】

（1）將函數(shù)表示為分段函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求出該函數(shù)的最小值，進(jìn)而可證得結(jié)論成立；（2）由可得出，并將代數(shù)式與相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求得的最小值，進(jìn)而可得出實(shí)數(shù)的最大值.【詳解】（1）.當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，則；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則.綜上所述，，所以；（2）因?yàn)楹愠闪?，且，，所以恒成立，?因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，實(shí)數(shù)的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查含絕對(duì)值函數(shù)最值的求解，同時(shí)也考查了利用基本不等式恒成立求參數(shù)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.21、（1）見(jiàn)解析，有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān).（2）【解析】

（1）根據(jù)題意填寫(xiě)列聯(lián)表，利用公式求出，比較與6.635的大小得結(jié)論；（2）由樣本數(shù)據(jù)可得經(jīng)常閱讀的人的概率是，則，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式計(jì)算可得；【詳解】解：（1）由題意可得：城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計(jì)經(jīng)常閱讀10030130不經(jīng)常閱讀403070合計(jì)14060200則，所以有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān).（2）根據(jù)樣本估計(jì)，從