安徽省馬鞍山市2024屆高三年級下冊教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題（含答案與解析）

2024年馬鞍山市高三教學質(zhì)量監(jiān)測

皿I、、九

數(shù)學

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘

注意事項：

1.答卷前，務(wù)必將自己的姓名和考號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，務(wù)必擦凈后再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1,已知集合A=W-0}1=&5＞0},則低A"（）

A.（0,4）B.（0,4]C.（1,4]D.[1,4]

2.已知平面向量C],e,不共線，a=（2左一1）G+2e、,Z?=q—e?，且a!lb，則左=（）

13

A——B.0C.1D.-

22

3.已知數(shù)列{q}是公差為2等差數(shù)列，若4+2,%+2嗎4成等比數(shù)列，則[4=（）

B.12C.18D.27

4.已知角a則數(shù)據(jù)sin/sin（?！猘）,cosa,cos（兀一c）,tan2的中位數(shù)為（）

A.sinaB.cos（兀一2）C.cosaD.tana

5.已知函數(shù)＞=/（%）的大致圖象如圖所示，則＞=/（%）的解析式可能為（）

x-3x

B./（x）=

9l+l

ln(|x|+l-X

cD/(功=

-f(x)=.(x?+l)ln(國+2)

x2+l

6.甲、乙等5名學生參加學校運動會志愿者服務(wù)，每個人從“檢錄組”“計分組”“宣傳組”三個崗位中隨機選

擇一個崗位，每個崗位至少有一名志愿者，則甲、乙兩人恰選擇同一崗位的概率為()

39612

B.——C.—D.

20502525

7.已知函數(shù)/(%)=sin20x+cos2a?x3>l)的一個零點是巴，且/(尤)在||上單調(diào)，則①=

2I616J

27911

A.B.D.

4444

8.已知點A,B,C,D,P,。都在同一個球面上，A3CD為正方形，若直線尸。經(jīng)過球心，且

工平面A3CD.則異面直線E4，所成的角最小為()

A.30°B.45°C.60°D.75°

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知四棱錐P—A6CD,平面ABCQ,則()

A若尸CLBZ),則AC13DB.若ACLBD,則依=PD

C.若PB=PD,則AB=ADD.若AB=A￡),則PCLBD

10.已知點P,A,8在拋物線犬=2。尤(Q。)上，線段48,PA,P8的中點分別為。，M,N,線段M,N

的中點為E,若直線力，尸8的斜率之和為0,則()

A.點跖N不在x軸上B.點E在x軸上

C.點。與點尸的橫坐標相等D.點。與點P的縱坐標互為相反數(shù)

11.已知函數(shù)/(x),g(x)是定義在R上的可導函數(shù)，其導函數(shù)分別為1(x),g'(x),其中/⑴的圖象關(guān)于點

(1,0)對稱，g(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，/(x)—g(x+l)=2,g(l)=—3,則()

A.廣。)+/(-%)=0B.g，(2024)=0

2024

c.g(2024)=-2D.￡f(k)=0

k=l

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知復數(shù)z滿足z-5=2(z+刃=4,若z在復平面內(nèi)對應的點不在第一象限，貝|z=.

22

13.已知雙曲線「：鼻―==1(?！?力〉0)的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,過點心的直線與「的右支交于

A,8兩點，若|時|=8,忸耳|=5,NA73=60°,則”.

14.已知不等式(％+1)2＜幾(九2+1)(無2—2%+5)對任意龍€區(qū)恒成立，則實數(shù)丸的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(x)=31nx+a(x2+25)—B，直線/在＞軸上截距為3,且/與曲線y=/(1)相切于點

(1,7(1)).

(1)求實數(shù)。的值；

(2)求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間與極值.

16.如圖，在四面體ABCD中，DA,DB,DC兩兩垂直，DA=DB—DC,M是線段AD的中點，

P是線段的中點，點。在線段AC上，且AQ=3QC.

(1)求證：PQ〃平面5cD；

(2)若點G在平面ABC內(nèi)，且DGL平面BMC,求直線MG與平面ABC所成角的正弦值.

17.如果X,丫是兩個離散型隨機變量，X的所有可能取值為：xpx2,.,xn,則稱

E(x\y=y)=￡x『(x="y=y)為x在y=y事件下的條件期望.已知甲每次投籃的命中率均為

P,其中。設(shè)隨機變量X是甲第一次命中時的投籃次數(shù)，隨機變量y是甲第二次命中時的投籃次

(1)若p=g,求尸(X=4),尸(y=4)；

(2)已知”22,“eN,求E(X|Y=n).

2r24

18.己知橢圓C:二v+±=l(a〉6〉0)的離心率為點PQ5)在橢圓C上，過點T(OJ)?#±5)的直

線/與橢圓C交于A,B兩點，直線B4,PB與直線V=f分別交于點M,N

(1)求橢圓C的方程；

(2)若T為橢圓。的上焦點，求面積取得最大值時直線/的方程；

(3)若一PMN的外接圓經(jīng)過原點。，求，的值.

19.已知S是全體復數(shù)集C的一個非空子集，如果總有x+y,x—則稱S是數(shù)

%

環(huán).設(shè)F是數(shù)環(huán)，如果①尸內(nèi)含有一個非零復數(shù)；②尸且ywO,有一eF,則稱歹是數(shù)域.由

定義知有理數(shù)集Q是數(shù)域.

(1)求元素個數(shù)最小數(shù)環(huán)S；

(2)證明：記Q(6)={a+J0|a,AeQ},證明：Q(、后)是數(shù)域；

(3)若可，鳥是數(shù)域，判斷耳門巴是否是數(shù)域，請說明理由.

參考答案

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1已知集合A3爐一曲叫刈小小〉。},則&A)c3=()

A.(0,4)B.(0,4]C.(1,4]D.[1,4]

【答案】C

【解析】

【分析】本題先解不等式求出集合A、B,再結(jié)合補集和交集的定義即可求解.

【詳解】因為集合A={巾2-4x>0)={小>4或x<0},

B=|x|lnx>0}={x|x>l},

所以為4={司0<%<4},

故為AC3={M<X<4}=（1,4]

故選：C.

_,??-imuii

2.已知平面向量,，G不共線，。=（2左一1）,+262，b=ex-e2,且〃〃。，貝?。┳?（

13

A.---B.0C.1D.一

22

【答案】A

【解析】

【分析】依題意可得a=防，根據(jù)平面向量基本定理得到方程組，解得即可.

【詳解】因為〃二（2左一l）q+24，b=q—4且。〃Z?，

所以〃二仍，即（2左一l）q+2e2=一心），

又6,G不共線，

t——2

2k—l=t

所以《c，解得《

2=-tk=--'

、2

故選：A

3.已知數(shù)列{4}是公差為2的等差數(shù)列，若6+2,4+2,14成等比數(shù)列，則。14=（

A.9B.12C.18D.27

【答案】D

【解析】

【分析】利用等比中項列式，借助等差數(shù)列通項公式求解即得.

【詳解】由4+2,4+2,%成等比數(shù)列，得（%+2『=（%+2）x%,

所以（q+gAHa+ZHa+ZG）,解得q=l,

所以%=1+2x13=27.

故選：D

4.已知角則數(shù)據(jù)sin。,sin（兀一。）,cosc,cos（兀-c）,tantz的中位數(shù)為（

A.sinaB.cos（兀一0C.cosaD.tana

【答案】A

【解析】

【分析】結(jié)合誘導公式對己知式子進行化簡，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)判斷各式的大小，結(jié)合中位數(shù)的概念

即可判斷.

【詳解】因為角

cos（兀一a）=-cosa￡-1,----,tana￡（0,1）,

l2）

所以0Vsin。VCOSa,0<sinavtana,

按照從小到大的順序排列時，前3個數(shù)為cos（兀一a）,Sina,sin（兀一a）,

則中位數(shù)為sina（或sin（兀-a））.

71

其中當0<%<大時sinx<x<tanx的證明過程如下：

2

則A（l,0）,設(shè)=弓J,則P（cosx,sinx）,

過點A作直線AT垂直于九軸，交0P所在直線于點T，

AT

由萬彳二tanx,得AT二tanx,所以T（l,tanx）,

由圖可知SOPA<S扇形°尸A<Sma,

即工x1xsin冗〈工x

l2xx<-xlxtanx,

222

即sinx<x<tanx.

故選：A.

5.已知函數(shù)>=/(%)的大致圖象如圖所示，貝!!>=/(%)的解析式可能為()

x-3'v

A./(%)=B./(x)=A^

9A-19"+1

ln(|x|+l一龍

D./(x)=

c-f(x)=(必+l)ln(|x|+2)

x2+l

【答案】D

【解析】

【分析】利用排除法，取特值，求/⑴即可判斷結(jié)果.

3

【詳解】對于選項A：因為/(1)二—〉0,與圖象不符，故A錯誤;

8

3

對于選項B：因為/(1)=而>0,與圖象不符，故B錯誤;

對于選項C：因為/'(1)='>0,與圖象不符,

故C錯誤;

故選：D.

6.甲、乙等5名學生參加學校運動會志愿者服務(wù),每個人從“檢錄組”“計分組”“宣傳組”三個崗位中隨機選

擇一個崗位，每個崗位至少有一名志愿者，則甲、乙兩人恰選擇同一崗位的概率為()

39612

A.—B.—C.—D.——

20502525

【答案】C

【解析】

【分析】分類討論人數(shù)的配比情況，分別求總共不同的安排方法和甲、乙兩人恰選擇同一崗位時不同的安排

方法，結(jié)合古典概型運算求解.

【詳解】若人數(shù)配比為3:1:1時，則有C；A；=60種不同安排方法;

若人數(shù)配比2:2:1時，則有C；C；Cj=90種不同安排方法；

所以共有60+90=150種不同安排方法.

若甲、乙兩人恰選擇同一崗位且人數(shù)配比為3:1:1時，則有C；A；=18種不同安排方法;

若甲、乙兩人恰選擇同一崗位且人數(shù)配比為2:2:1時，則有C；蜀=18種不同安排方法;

所以共有18+18=36種不同安排方法.

所以甲、乙兩人恰選擇同一崗位的概率為。=曳=包.

15025

故選：C.

TT

7.已知函數(shù)/(無)=51112。%+＜：052。%(0＞1)的一個零點是一，且/(無)在上單調(diào)，則刃=

2

()

579

A.—B.-C.一

444

【答案】B

【解析】

【分析】整理可得/(x)=0sin120x+；],以+：為整體，根據(jù)單調(diào)性分析可得1＜。W2,再結(jié)合

零點分析求解.

【詳解】因為/(x)=sin2a)x+cos2a)x=A/2sinIIcox+：J，

，且外＞1時,

一,口,7171兀兀?！肛Ｘ０素?1

可得2&)XH---E-------CD~\---,一CDH---,且-----CD-\---<0<一(t)~\-----,

413484)3484

71兀、兀

——G+—2——

(7171]342

若“%)在一工，77上單調(diào)，則，解得1<刃《2,

I616；71兀,兀

一①+一V—

〔842

兀71I

又因為了(尤)的一個零點是一，則兀①+―=E，左wZ,解得口=左一一,keZ,

244

7

所以左=2,。=一.

4

故選：B.

8.己知點A,B,C,D,P,。都在同一個球面上，A3CD為正方形，若直線尸。經(jīng)過球心，且

PQ1平面A3CD.則異面直線Q4，所成的角最小為（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)球的半徑為火（火>0），記A3CD中心為。，依題意可得PQ過點。且PQ的中點為球心，設(shè)

球心為G,建立空間直角坐標，設(shè)Q4=r（r>0）,G（0,0/）（—利用空間向量法表示出

cosPA,QB,求出cosPA,Q3的最大值，即可得到.

【詳解】設(shè)球的半徑為火（火>0）,記A3CD中心為。，

因為A3CD為正方形，直線尸。經(jīng)過球心，且PQ工平面A3CD，

所以P。過點。且P。的中點為球心，設(shè)球心為G,

以。為原點，OB、OC,0P分別為一兀z軸正半軸，建立空間直角坐標系。一孫z,

設(shè)6M=O6=OC=OD=r（r>0）,G（0,0,t）［-R<t<R）,

則4（0,—r,0）,B（r,0,0）,P（0,0,7?+r）,Q（0,0,H—r）,

所以叢=（0,-r,—HT）,QB=（r,0,t-R），

所以弱.而=_(/+H)?_R)\=R2-t2,

所以(

PA=Jr2+R+“2,g網(wǎng)=J/+(RT)2,

又OG°+OB?=K，即/+產(chǎn)=R2,

PA.0B__________R2T2__________

所以cosQB=?口r=

J/+(R+/)2XJ/+(R_02

_火2"_J-2一/<j?1

-=當且僅當/=0時等號成立,

一產(chǎn)一2R一2R2

設(shè)直線上4,所成的角為1，貝i]costz=kosR4,Qqwg,

又0°WaW90°，所以4nhi=60°.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答是建立空間直角坐標，利用空間向

量法求出cosPA,QB的最大值.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.己知四棱錐P—ABCD,上4_L平面ABC。，則()

A.若PCLHD,則AC13DB.若AC上BD,則必=9

C.若PB=PD,則A3=ADD.若A3=A￡),則尸

【答案】AC

【解析】

【分析】對于AD：根據(jù)線面垂直分析可知：？。，加＞等價于4。13。，結(jié)合選項分析判斷；對于BC：

根據(jù)三角形全等可得PB=PD等價于AB=AD,進而結(jié)合選項分析判斷.

【詳解】因為PA_L平面ABCD45,4。,8。(=平面48。。，則PA_LAB,PA_LAD,PA_L8。,

對于選項AD：若PCLBD,且。APC=P,PA,PCu平面B4C,

可得5D工平面B4C,且ACu平面B4C,所以AC13D,

同理：若AC，BD,可得尸CLBD,

即PC±BD等價于AC1BD,

由A3=A。不能推出AC/即A3=A。不能推出尸CLBD,

故A正確；故D錯誤；

對于選項BC：若PB=PD,可知Rt-BABNRJM）,所以AB=A￡）,

反之，AB=AD,可知RtK45MRt所以PB=PD,

即PB=PE）等價于A3=A。，

由AC1BD不能推出A3=A￡>,即AC18D不能推出尸3=如，

故B錯誤，故C正確；

故選：BC.

10.已知點P,A,8在拋物線儼=20尤（p>0）上，線段48,PA,P8的中點分別為。，M,N,線段N

的中點為E,若直線力，尸8的斜率之和為0,則（）

A.點、M,N不在x軸上B.點E在x軸上

C.點。與點尸的橫坐標相等D.點。與點尸的縱坐標互為相反數(shù)

【答案】ABD

【解析】

【分析】令尸（七,%）,A（x,,%）,3（七，%）且引00,則0A+KPB=上互+上1=0,且

一x2-Xx冗3一%

代=2Pxi

<yi=2pX],結(jié)合坐標的中點公式判斷名項正誤.

4=2川3

【詳解】解：如圖所示：

令尸&,%）,4々,為），3（%,為）且%￥°，

則kpA+kpB=三二互+為二&=0,

寸=2Pxi_

又相=2庶2，貝U五R2P%-%=2P

,X,-X]%+%七一%X+%

%=2庶3一

而加工”宥

所以q=￡,q=3，

%一%yM與一石yN

則2+J,

yMyN

故y“+yN=o,而％=加;=o,則B選項正確；

若點M或N在％軸上，則＞“=)^=0，即％+%=%+%=。，

故為=%=。與題設(shè)矛盾，

所以點M或N不在無軸上，A選項正確；

由上+=X+=x+V。=0，

則點。與點尸的縱坐標互為相反數(shù)，D選項正確；

顯然。不可能在拋物線上，點。與點尸的橫坐標不相等，C選項錯誤.

故選：ABD.

11.已知函數(shù)/(x),g(x)是定義在R上的可導函數(shù)，其導函數(shù)分別為了'(x),g'(x),其中/(x)的圖象關(guān)于點

(1,0)對稱，g(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，/(x)—g(x+l)=2,g(l)=—3,則()

A.r(x)+/J)=0B.g，(2024)=0

2024

c.g(2024)=-2D.E/W=0

k=\

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)/(%)與g(x)的對稱性得到周期性，利用導數(shù)法則求導判斷A,利用g(x)的周期性判

斷C,利用/(%)的周期性求和判斷D,利用g'(x)的周期性判斷D.

【詳解】由/⑴的圖象關(guān)于點(1,0)對稱，則/(l—x)+/(x+l)=o,

即“2—x)+/(x)=0,所以/(X)=—/(2—%),又g(x)的圖象關(guān)于直線％=1對稱，

則g(l+x)=g(l_%),又/(x)_g(x+l)=2,所以/(-x)_g(_x+l)=2,

所以/(x)=/(一X),兩邊同時求導得/'(%)=—/'(—X),即/'(X)+/'(一%)=。，故A正確；

由/(九)=—〃2-力，可得/(—%)=—"2—X),即/(X)=-/(2+力,

所以/(x+4)=-y(x+2)=/(x),所以函數(shù)/(力的周期為4，

又/⑴=0，/(—1)=-/(1)=0,/(2)=-/(0),結(jié)合/(0)—g⑴=2,g⑴=一3,

得/(。)=一1,〃2)=1，又函數(shù)/(%)的周期為4,所以/(3)=/(-1)=0,f(4)=/(0)=-l,

2024

所以/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=0,則￡f(k)=506[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]=0,故D正確；

k=\

再/(x)—g(x+l)=2,所以/(x+4)—g(x+5)=2,

結(jié)合了(%+4)=/(%)得8(%+1)=8(%+5),即g(x+4)=g(x),所以函數(shù)g(x)的周期為4，

所以g(2024)=g(0),

又g(0)=/(T)—2=0—2=—2,所以g(2024)=-2,故C正確；

由A選項知:fXx)+f\-x)=0,所以尸(0)+/(0)=0,即尸(0)=0,

再/(x)—g(x+l)=2,所以r(x)—g'(x+l)=。，所以/'(O)-g'⑴=0,/'(0)—g'⑴=0,即

/'(0)=g'(l)=。，又g(x+4)=g(x),所以g'(x+4)=g'(x),

所以g'(2024)=g'(0)豐g"),故B錯誤.

故選：ACD

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要是研究抽象函數(shù)的性質(zhì)，以及導數(shù)運算問題，本題的關(guān)鍵是以條件等式為

橋梁，發(fā)現(xiàn)函數(shù)“X)與g(x)的性質(zhì)關(guān)系，以及解析式的關(guān)系.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知復數(shù)z滿足z?彳=2(z+刃=4,若z在復平面內(nèi)對應的點不在第一象限，貝|z=

【答案】1-V3i

【解析】

【分析】設(shè)2=。+4,。/611,結(jié)合復數(shù)的運算以及共軌復數(shù)求4力，并結(jié)合復數(shù)的幾何意義取舍.

【詳解】設(shè)2=4+歷,4361<,貝！|5=。一歷，

z?zz=(a+Z?i)(a—歷)=。2+Z?2=4

因為Z?乞=2(z+N)=4,則＜

2(z+z)=2[(〃+bi)+(〃-Z?i)]=4〃=4

a=la—1

解得《廠或＜

b=6b=-C

a—\

又因為z在復平面內(nèi)對應的點不在第一象限，可知/?<0,可知<

b=-A/3

所以Z=1—.

故答案為：1-6i.

13.己知雙曲線「：二一2=l（a〉O力〉0）的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)],過點4的直線與「的右支交于

ab

A,8兩點，若|A耳|=8,忸周=5,/4片5=60°,則。=.

3

【答案】一##1.5

2

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的定義表示出|短|典即可得到|AB|,再由余弦定理計算可得.

【詳解】依題意過點工的直線與r的右支交于A,5兩點,

且防二8,忸耳1=5,NA￡3=60。,

則0<a<5,|9|=8—2a,忸6|=5—2a,

所以|AB|=|A閭+忸閭=13—4a,

W（13-4A）2=82+52-2X5X8COS60°,

3

解得〃=一或〃=5（舍去）.

2

14.已知不等式（％+1）2<4（尤2+1）（尤2—2%+5）對任意工€區(qū)恒成立，則實數(shù)X的取值范圍是

【答案】

【解析】

(X+l)2

【分析】參變分離可得<2對任意xeR恒成立，換元令x+1=7,整理得

x*2+l)(x?-2x+5

(X+1)21

x2+l)(x2-2%+5,結(jié)合對勾函數(shù)性質(zhì)分析求解.

t+--3I+1

【詳解】因為（工+1）2?/1（尤2+1）（x2-2x+5),>%2+1>0,X2-2%+5>0,

(X+l)2

可得三彳對任意工6區(qū)恒成立,

x2+1)(—-2x+5

令％+1=1,則％=

(X+If

二0

若x=—1,貝卜=0,可得x2+l)(x?-2x+5

(X+l)2,2

若XW—1,貝卜a0,可得X2+1)(X2-2X+5

211

?-6z3+18r-24/+16戶+11_6”24+18Z+4-3I+1

4

由對勾函數(shù)M=/+—可知“24或"WY,

2

則/H--4-321或/H--4-3<—7,可得(/'+'—3|>1,

(X+l)2

則(/+1)卜2-2x+5)

=2x+5廣旭

綜上所述:

(X+l)2

即(無2+1)(^2-2%+5)的最大值為則JN—,

2

所以實數(shù)彳的取值范圍是g,+8

故答案為：-,+°°j,

【點睛】方法點睛：兩招破解不等式的恒成立問題

(1)分離參數(shù)法

第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；

第二步：利用導數(shù)求該函數(shù)的最值；

第三步：根據(jù)要求得所求范圍.

(2)函數(shù)思想法

第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問題；

第二步：利用導數(shù)求該函數(shù)的極值；

第三步：構(gòu)建不等式求解.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(x)=31nx+a(x2+25)—苧，直線/在＞軸上的截距為3,且/與曲線y=/(x)相切于點

(1,/(D).

(1)求實數(shù)。的值；

(2)求函數(shù)“X)的單調(diào)區(qū)間與極值.

【答案】(1)-

4

⑵單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2),(3,^o),單調(diào)遞減區(qū)間為(2,3),〃尤)極大值=31n2+；,極小值=31n3+l

【解析】

【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)導數(shù)的幾何意義得到切線方程，由切線過點（0,3）代入計算可得;

（2）由（1）可得了（%）的解析式，利用導數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可求出極值.

【小問1詳解】

因為/（x）=31nx+a（^x2+25）—當,則廣（無）=。+2公一：,

所以廣⑴=2o+g,/（1）-26?-|,

故直線/：y=[2a+；]（x-l）+26a-g,

又直線/在丁軸上的截距為3,所以j2a+H+26a-g=3,解得

I24

【小問2詳解】

由⑴得〃x）=31nx+J-弓+?，"％）的定義域為（。,+“），

又廣（2+各|=―誓—3）,

由/<x）>0,解得0<%<2或x>3；由/'（x）<0,解得2<x<3,

所以函數(shù)4％）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,2）,（3,+8）；單調(diào)遞減區(qū)間為（2,3）,

所以〃力在x=2處取得極大值，即/（%）極大值=〃2）=31112+1,

在X=3處取得極小值,即〃尤）極小值="3）=31n3+1.

16.如圖，在四面體ABCD中，DA,DB,。。兩兩垂直，DA=DB=DC,M是線段AD的中點,

產(chǎn)是線段8M的中點，點。在線段AC上，且AQ=3QC.

（1）求證：PQ〃平面5Q）；

（2）若點G在平面ABC內(nèi)，且。G,平面BMC,求直線MG與平面ABC所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵邁

3

【解析】

【分析】⑴PEYBD,交BD于點E，作Qb_LC。，交CD于點、F,證明四邊形EFQP為平行四邊形,

然后證明PQ〃平面5CD.

（2）以。為原點，分別以DC,ZM為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標系，根據(jù)Ge平面

L4LU11IIIBI

ABC,可設(shè)AG=2A8+〃AC,4,〃eR,即可表示出G點坐標，再由DG_1_平面BMC,由

8c-DG=MC-OG=0求出X、〃，從而確定G點坐標，再由空間向量法求出直線MG與平面ABC所成

角的正弦值.

【小問1詳解】

作尸瓦），交5D于點E，作Q歹J_C。，交CD于點P，

因為又是線段A。的中點，P是線段雨的中點，AD±BD，

所以PE〃AD且，

4

QAQ=3QC,ADLCD,所以。尸〃AD且QP=工AD,

4

PE//QF且PE=，所以四邊形EFQP為平行四邊形，

：.PQHEF,又PQ<Z平面3C。，石戶匚平面呂^^二尸0“平面臺。.

【小問2詳解】

以。為原點，分別以03,DC,DA為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標系，

不妨設(shè)DA=DB=DC=2,則4（0,0,2）,B（2,0,0）,C（0,2,0）,M（0,0,1）,

設(shè)G（x,y,z）,則AB=（2,0,-2）,AC=（0,2,-2）,AG=（九,y,z—2）,

ULHJ,LILIUILILUJ

Ge平面ABC,可設(shè)AG=2A8+〃AC,2,〃eR,

即(x,y,z-2)=(22,2//,-22-2//),

x=22

則y=2〃，即G(2/l,2〃,2—24—2〃)，則￡>G=(2/l,2〃,2-22—2〃),

z—2—24—2從

DG,平面BMC,又BC=(—2,2,0),MC=(0,2,-1),

〃

C—4X++24"2==0?！獾冒恕ǘ?’所以點G坐標為

?'?BCDG=MCDG=0,即<

MG=IT0r

設(shè)平面ABC的法向量為〃=dc),

n-AB=2a-2c=0

則〈令a=l,則b=c=l,得〃

n-AC=2b-2c=Q

所“1?

故直線MG與平面ABC所成角的正弦值為亞

3

17.如果X,F是兩個離散型隨機變量，X的所有可能取值為：xl,x2,--,xn,則稱

n

E(X\y=y)=Zx『(x=xJ丫=丁)為乂在丫=丁事件下的條件期望.己知甲每次投籃的命中率均為

Z=1

P，其中。設(shè)隨機變量X是甲第一次命中時的投籃次數(shù)，隨機變量F是甲第二次命中時的投籃次

(1)若P=g，求P(X=4),P(y=4)；

(2)已知“22,〃eN,求E(X|Y=n).

13

【答案】(1)p(x=4)=—,p(y=4)=—；

1616

⑵

2

【解析】

【分析】(1)根據(jù)獨立事件的乘法公式求解即可；

(2)先求出X的所有可能取值，然后利用條件概率求得分布列，進而利用期望公式求解即可.

【小問1詳解】

X=4時，前三次投籃都不中，且第四次投籃命中，

j11

所以P(X=4)=[1—gIX2-16

F=4時，前三次投籃命中一次，且第四次投籃命中,

所以(；1|2

Py=4)=Cxgx(l—g?X2-16

2

【小問2詳解】

在y=〃的條件下X的所有可能取值為1,2,3,

X=i,y="時，第i次和第〃次命中，其余〃—2次均未命中，

所以p(x=，,y=")=(l—0"~.p2,i=i,2,3,,n-l,

y=〃時，第九次命中，前n—l次只有一次命中，

所以P(y=〃)=c；,_ljP(i-p)-2?p=5—I)p2(I-p廠2,

/.、P(X=i,Y=n)1

所以P(Xy=〃)=----――---------=-----,1,2,3,,n-l,

P\Y=〃)n—l

ii1n(n~

故有E(X|y=〃)=lx——+2x——++(n-l)x——=-^-

n—1n—ln—l2

2r24

18.已知橢圓C：二v+》=l（a〉6〉0）的離心率為二，點尸（。,5）在橢圓。上，過點T（OJ）Q，±5）的直

線/與橢圓。交于A,8兩點，直線B4,PB與直線y=Z分別交于點M,N

（1）求橢圓C的方程；

（2）若T為橢圓。的上焦點，求面積取得最大值時直線/的方程；

（3）若二？MN的外接圓經(jīng)過原點。，求才的值.

22

【答案】（1）^+―=1

259

（2）?叵x4

3

⑶竺

16

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合離心率可得a=5,c=4,進而可得即可求橢圓方程;

（2）設(shè)直線/：y=Ax+4,聯(lián)立方程可得韋達定理，結(jié)合面積關(guān)系運算求解;

（3）設(shè)直線4x+5,直線PB:y=&x+5,可得的坐標，聯(lián)立方程結(jié)合韋達定理可得

25”5)

,再根據(jù)圓的性質(zhì)列式求解.

9”+5)

【小問1詳解】

「4

由題意可知：e=—=—,a—5,則。=4,//=一，=9,

a5

所以橢圓C的方程為工+三=1.

259

【小問2詳解】

由題意可知：直線/的斜率存在，設(shè)/:丁=辰+/,4（%,%）,6（%2，%），

由⑴可知：T（0,4）,貝葉PT|=1,且直線/:丁=履+4與橢圓°必相交,

y=Ax+4

聯(lián)立方程1y2%2,7肖去y得(9左2+25)尤2+72區(qū)一81=0,

—+—=1

〔259

12k81

則％+X,=-,X|X='O，

1-9k29+25129r+25

可得s2冊中「讓"需加4x81_45A/r+l

+9)t2+25—942+25

4515

9g8,

展2+1

當且僅當9,左2+1=*,即左=±且時,

等號成立，

所以.Q4B面積取得最大值時直線/的方程為y=?—x4.

3

【小問3詳解】

1t—5t—5

設(shè)直線P4:y=%x+5,直線PB:y=&x+5，則M,t,N,t

I!)l)

yk

P

uO—x

y=kx+t

聯(lián)立方程《,2冗2,消去y得(9左之+25)x?+18左比+9卜2—25)=0,

-----1-----1

[259

則△=(188)2_36(9左2+25),2_25)=900(9左2+25-產(chǎn))>0,

可得%+々=―5=9￡-25),

9k2+25-9k2+25

則左芯=『.21^=向+/—5.區(qū)2+1—5

左2元]%2+左，一5)(%]+元2)+(%—5)

%九2

9F(r-25)18F?(?-5)

+"5)一_25"5)

9公+25—94+25

至―25)—9,+5)，

9k2+25

(t-5、

又因為70