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文檔簡介
江蘇省淮安市觀音寺中學(xué)新高考仿真卷數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)(其中,,)的圖象關(guān)于點成中心對稱,且與點相鄰的一個最低點為,則對于下列判斷:①直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸;②點是函數(shù)的一個對稱中心;③函數(shù)與的圖象的所有交點的橫坐標之和為.其中正確的判斷是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為則()A. B. C. D.3.已知圓:,圓:,點、分別是圓、圓上的動點,為軸上的動點,則的最大值是()A. B.9 C.7 D.4.設(shè)拋物線上一點到軸的距離為,到直線的距離為,則的最小值為()A.2 B. C. D.35.如圖,在中,,是上的一點,若,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.6.記的最大值和最小值分別為和.若平面向量、、,滿足,則()A. B.C. D.7.已知角的終邊與單位圓交于點,則等于()A. B. C. D.8.已知函數(shù)()的部分圖象如圖所示.則()A. B.C. D.9.已知命題:,,則為()A., B.,C., D.,10.關(guān)于函數(shù),有下列三個結(jié)論:①是的一個周期;②在上單調(diào)遞增;③的值域為.則上述結(jié)論中,正確的個數(shù)為()A. B. C. D.11.歷史上有不少數(shù)學(xué)家都對圓周率作過研究,第一個用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德,他用圓內(nèi)接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界,開創(chuàng)了圓周率計算的幾何方法,而中國數(shù)學(xué)家劉徽只用圓內(nèi)接正多邊形就求得的近似值,他的方法被后人稱為割圓術(shù).近代無窮乘積式、無窮連分數(shù)、無窮級數(shù)等各種值的表達式紛紛出現(xiàn),使得值的計算精度也迅速增加.華理斯在1655年求出一個公式:,根據(jù)該公式繪制出了估計圓周率的近似值的程序框圖,如下圖所示,執(zhí)行該程序框圖,已知輸出的,若判斷框內(nèi)填入的條件為,則正整數(shù)的最小值是A. B. C. D.12.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增,則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位),則________14.已知a,b均為正數(shù),且,的最小值為________.15.已知函數(shù)若關(guān)于的不等式的解集為,則實數(shù)的所有可能值之和為_______.16.“石頭、剪子、布”是大家熟悉的二人游戲,其規(guī)則是:在石頭、剪子和布中,二人各隨機選出一種,若相同則平局;若不同,則石頭克剪子,剪子克布,布克石頭.甲、乙兩人玩一次該游戲,則甲不輸?shù)母怕适莀_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)記數(shù)列的前項和為,已知成等差數(shù)列.(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列,并求的通項公式;(2)記數(shù)列的前項和為,求.18.(12分)已知數(shù)列,,數(shù)列滿足,n.(1)若,,求數(shù)列的前2n項和;(2)若數(shù)列為等差數(shù)列,且對任意n,恒成立.①當數(shù)列為等差數(shù)列時,求證:數(shù)列,的公差相等;②數(shù)列能否為等比數(shù)列?若能,請寫出所有滿足條件的數(shù)列;若不能,請說明理由.19.(12分)如圖,己知圓和雙曲線,記與軸正半軸、軸負半軸的公共點分別為、,又記與在第一、第四象限的公共點分別為、.(1)若,且恰為的左焦點,求的兩條漸近線的方程;(2)若,且,求實數(shù)的值;(3)若恰為的左焦點,求證:在軸上不存在這樣的點,使得.20.(12分)某大學(xué)生在開學(xué)季準備銷售一種文具套盒進行試創(chuàng)業(yè),在一個開學(xué)季內(nèi),每售出1盒該產(chǎn)品獲利50元,未售出的產(chǎn)品,每盒虧損30元.根據(jù)歷史資料,得到開學(xué)季市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.該同學(xué)為這個開學(xué)季進了160盒該產(chǎn)品,以(單位:盒,)表示這個開學(xué)季內(nèi)的市場需求量,(單位:元)表示這個開學(xué)季內(nèi)經(jīng)銷該產(chǎn)品的利潤.(1)根據(jù)直方圖估計這個開學(xué)季內(nèi)市場需求量的平均數(shù)和眾數(shù);(2)將表示為的函數(shù);(3)以需求量的頻率作為各需求量的概率,求開學(xué)季利潤不少于4800元的概率.21.(12分)某動漫影視制作公司長期堅持文化自信,不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動漫題材,創(chuàng)作出一批又一批的優(yōu)秀動漫影視作品,獲得市場和廣大觀眾的一致好評,同時也為公司贏得豐厚的利潤.該公司年至年的年利潤關(guān)于年份代號的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表(已知該公司的年利潤與年份代號線性相關(guān)).年份年份代號年利潤(單位:億元)(Ⅰ)求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測該公司年(年份代號記為)的年利潤;(Ⅱ)當統(tǒng)計表中某年年利潤的實際值大于由(Ⅰ)中線性回歸方程計算出該年利潤的估計值時,稱該年為級利潤年,否則稱為級利潤年.將(Ⅰ)中預(yù)測的該公司年的年利潤視作該年利潤的實際值,現(xiàn)從年至年這年中隨機抽取年,求恰有年為級利潤年的概率.參考公式:,.22.(10分)已知函數(shù),且.(1)求的解析式;(2)已知,若對任意的,總存在,使得成立,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分析:根據(jù)最低點,判斷A=3,根據(jù)對稱中心與最低點的橫坐標求得周期T,再代入最低點可求得解析式為,依次判斷各選項的正確與否.詳解:因為為對稱中心,且最低點為,所以A=3,且由所以,將帶入得,所以由此可得①錯誤,②正確,③當時,,所以與有6個交點,設(shè)各個交點坐標依次為,則,所以③正確所以選C點睛:本題考查了根據(jù)條件求三角函數(shù)的解析式,通過求得的解析式進一步研究函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.2、B【解析】
求得復(fù)數(shù),結(jié)合復(fù)數(shù)除法運算,求得的值.【詳解】易知,則.故選:B【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)及其坐標的對應(yīng),考查復(fù)數(shù)的除法運算,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】試題分析:圓的圓心,半徑為,圓的圓心,半徑是.要使最大,需最大,且最小,最大值為的最小值為,故最大值是;關(guān)于軸的對稱點,,故的最大值為,故選B.考點:圓與圓的位置關(guān)系及其判定.【思路點睛】先根據(jù)兩圓的方程求出圓心和半徑,要使最大,需最大,且最小,最大值為的最小值為,故最大值是,再利用對稱性,求出所求式子的最大值.4、A【解析】
分析:題設(shè)的直線與拋物線是相離的,可以化成,其中是點到準線的距離,也就是到焦點的距離,這樣我們從幾何意義得到的最小值,從而得到的最小值.詳解:由①得到,,故①無解,所以直線與拋物線是相離的.由,而為到準線的距離,故為到焦點的距離,從而的最小值為到直線的距離,故的最小值為,故選A.點睛:拋物線中與線段的長度相關(guān)的最值問題,可利用拋物線的幾何性質(zhì)把動線段的長度轉(zhuǎn)化為到準線或焦點的距離來求解.5、B【解析】
變形為,由得,轉(zhuǎn)化在中,利用三點共線可得.【詳解】解:依題:,又三點共線,,解得.故選:.【點睛】本題考查平面向量基本定理及用向量共線定理求參數(shù).思路是(1)先選擇一組基底,并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式,再通過向量的運算來解決.利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.(2)直線的向量式參數(shù)方程:三點共線?(為平面內(nèi)任一點,)6、A【解析】
設(shè)為、的夾角,根據(jù)題意求得,然后建立平面直角坐標系,設(shè),,,根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算得出點的軌跡方程,將和轉(zhuǎn)化為圓上的點到定點距離,利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)果.【詳解】由已知可得,則,,,建立平面直角坐標系,設(shè),,,由,可得,即,化簡得點的軌跡方程為,則,則轉(zhuǎn)化為圓上的點與點的距離,,,,轉(zhuǎn)化為圓上的點與點的距離,,.故選:A.【點睛】本題考查和向量與差向量模最值的求解,將向量坐標化,將問題轉(zhuǎn)化為圓上的點到定點距離的最值問題是解答的關(guān)鍵,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于中等題.7、B【解析】
先由三角函數(shù)的定義求出,再由二倍角公式可求.【詳解】解:角的終邊與單位圓交于點,,故選:B【點睛】考查三角函數(shù)的定義和二倍角公式,是基礎(chǔ)題.8、C【解析】
由圖象可知,可解得,利用三角恒等變換化簡解析式可得,令,即可求得.【詳解】依題意,,即,解得;因為所以,當時,.故選:C.【點睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解析式和已知函數(shù)值求自變量,考查三角恒等變換在三角函數(shù)化簡中的應(yīng)用,難度一般.9、C【解析】
根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,即得答案.【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,且命題:,,.故選:.【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
利用三角函數(shù)的性質(zhì),逐個判斷即可求出.【詳解】①因為,所以是的一個周期,①正確;②因為,,所以在上不單調(diào)遞增,②錯誤;③因為,所以是偶函數(shù),又是的一個周期,所以可以只考慮時,的值域.當時,,在上單調(diào)遞增,所以,的值域為,③錯誤;綜上,正確的個數(shù)只有一個,故選B.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用.11、B【解析】
初始:,,第一次循環(huán):,,繼續(xù)循環(huán);第二次循環(huán):,,此時,滿足條件,結(jié)束循環(huán),所以判斷框內(nèi)填入的條件可以是,所以正整數(shù)的最小值是3,故選B.12、C【解析】
根據(jù)題意,由函數(shù)的奇偶性可得,,又由,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分析可得答案.【詳解】根據(jù)題意,函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),則,,有,又由在上單調(diào)遞增,則有,故選C.【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用,注意函數(shù)奇偶性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
直接根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運算法則計算即可.【詳解】,.【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運算法則的應(yīng)用.14、【解析】
本題首先可以根據(jù)將化簡為,然后根據(jù)基本不等式即可求出最小值.【詳解】因為,所以,當且僅當,即、時取等號,故答案為:.【點睛】本題考查根據(jù)基本不等式求最值,基本不等式公式為,在使用基本不等式的時候要注意“”成立的情況,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.15、【解析】
由分段函數(shù)可得不滿足題意;時,,可得,即有,解方程可得,4,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的圖象即可得到所求和.【詳解】解:由函數(shù),可得的增區(qū)間為,,時,,,時,,當關(guān)于的不等式的解集為,,可得不成立,時,時,不成立;,即為,可得,即有,顯然,4成立;由和的圖象可得在僅有兩個交點.綜上可得的所有值的和為1.故答案為:1.【點睛】本題考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì),考查不等式的解法,注意運用分類討論思想方法,考查化簡運算能力,屬于中檔題.16、【解析】
用樹狀圖法列舉出所有情況,得出甲不輸?shù)慕Y(jié)果數(shù),再計算即得.【詳解】由題得,甲、乙兩人玩一次該游戲,共有9種情況,其中甲不輸有6種可能,故概率為.故答案為:【點睛】本題考查隨機事件的概率,是基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析,;(2)【解析】
(1)由成等差數(shù)列,可得到,再結(jié)合公式,消去,得到,再給等式兩邊同時加1,整理可證明結(jié)果;(2)將(1)得到的代入中化簡后再裂項,然后求其前項和.【詳解】(1)由成等差數(shù)列,則,即,①當時,,又,②由①②可得:,即,時,.所以是以3為首項,3為公比的等比數(shù)列,,所以.(2),所以.【點睛】此題考查了數(shù)列遞推式,等比數(shù)列的證明,裂列相消求和,考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力,屬于中檔題.18、(1)(2)①見解析②數(shù)列不能為等比數(shù)列,見解析【解析】
(1)根據(jù)數(shù)列通項公式的特點,奇數(shù)項為等差數(shù)列,偶數(shù)項為等比數(shù)列,選用分組求和的方法進行求解;(2)①設(shè)數(shù)列的公差為,數(shù)列的公差為,當n為奇數(shù)時,得出;當n為偶數(shù)時,得出,從而可證數(shù)列,的公差相等;②利用反證法,先假設(shè)可以為等比數(shù)列,結(jié)合題意得出矛盾,進而得出數(shù)列不能為等比數(shù)列.【詳解】(1)因為,,所以,且,由題意可知,數(shù)列是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列,數(shù)列是首項和公比均為4的等比數(shù)列,所以;(2)①證明:設(shè)數(shù)列的公差為,數(shù)列的公差為,當n為奇數(shù)時,,若,則當時,,即,與題意不符,所以,當n為偶數(shù)時,,,若,則當時,,即,與題意不符,所以,綜上,,原命題得證;②假設(shè)可以為等比數(shù)列,設(shè)公比為q,因為,所以,所以,,因為當時,,所以當n為偶數(shù),且時,,即當n為偶數(shù),且時,不成立,與題意矛盾,所以數(shù)列不能為等比數(shù)列.【點睛】本題主要考查數(shù)列的求和及數(shù)列的綜合,數(shù)列求和時一般是結(jié)合通項公式的特征選取合適的求和方法,數(shù)列綜合題要回歸基本量,充分挖掘題目已知信息,細思細算,本題綜合性較強,難度較大,側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).19、(1);(2);(2)見解析.【解析】
(1)由圓的方程求出點坐標,得雙曲線的,再計算出后可得漸近線方程;(2)設(shè),由圓方程與雙曲線方程聯(lián)立,消去后整理,可得,,由先求出,回代后求得坐標,計算;(3)由已知得,設(shè),由圓方程與雙曲線方程聯(lián)立,消去后整理,可解得,,求出,從而可得,由,可知滿足要求的點不存在.【詳解】(1)由題意圓方程為,令得,∴,即,∴,,∴漸近線方程為.(2)由(1)圓方程為,,設(shè),由得,(*),,,,所以,即,解得,方程(*)為,即,,代入雙曲線方程得,∵在第一、四象限,∴,,∴.(3)由題意,,,,,設(shè)由得:,,由得,解得,,,所以,,,當且僅當三點共線時,等號成立,∴軸上不存在點,使得.【點睛】本題考查求漸近線方程,考查圓與雙曲線相交問題.考查向量的加法運算,本題對學(xué)生的運算求解能力要求較高,解題時都是直接求出交點坐標.難度較大,屬于困難題.20、(1),眾數(shù)為150;(2);(3)【解析】
(1)由頻率直方圖分別求出各組距內(nèi)的頻率,由此能求出這個開學(xué)季內(nèi)市場需求量的眾數(shù)和平均數(shù);(2)由已知條件推導(dǎo)出當時,,當時,,由此能將表示為的函數(shù);(3)利用頻率分布直方圖能求出利潤不少于4800元的概率.【詳解】(1)由直方圖可估計需求量的眾數(shù)為150,由直方圖可知的頻率為:由直方圖可知的頻率為:由直方圖可知的頻率為:由直方圖可知的頻率為:由直方圖可知的頻率為:∴估計需求量的平均數(shù)為:(2)當時,當時,∴(3)由(2)知當時,當時,得∴開學(xué)季利潤不少于4800元的需求量為由頻率分布直方圖可所求
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