2024年天津市南開區(qū)中考二模數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023?2024學(xué)年度第二學(xué)期九年級質(zhì)量監(jiān)測（二）

數(shù)學(xué)試卷

本監(jiān)測分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.監(jiān)測滿分120分.時(shí)間100分

鐘.

第I卷（選擇題共36分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的）

L計(jì)算（TH-5）的結(jié)果是（）

A.6B.4C.-4D.-6

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了有理數(shù)的減法運(yùn)算，熟練掌握減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)是解答本題的關(guān)

鍵.根據(jù)減法法則計(jì)算即可.

【詳解】解：(-1)_(_5)=(_1)+(+5)=+(5_1)=4

故選：B.

2.如圖所示的幾何體是由5個(gè)大小相同的小正方體組成的，它的主視圖是（）

【解析】

【分析】根據(jù)主視圖是從正面看到的圖形進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：從正面看該幾何體，有三列，第一列有2層，第二和第三列都只有一層，如圖所示:

【點(diǎn)睛】本題主要考查了簡單幾何組合體的三視圖，熟知三視圖的定義是解題的關(guān)鍵.

3.下列無理數(shù)中，大小在3與4之間的是（）

A.幣B.272C.711D.加

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查無理數(shù)的估算，根據(jù)無理數(shù)的估算可得答案，熟練掌握無理數(shù)的估算方法是解題的關(guān)鍵

【詳解】解：V7<8<9<11<16<19,

:〈瓜〈囪〈后〈屈〈曬，即?<2忘<3<而<4<W，

故選：C.

4.我國民間，流傳著許多含有吉祥意義的文字圖案，表示對幸福生活的向往，良辰佳節(jié)的祝賀.比如下列

圖案分別表示“?！薄ⅰ暗摗?、“壽”、“喜”，其中是中心對稱圖形的是（）

①②③④

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義，結(jié)合選項(xiàng)所給圖形進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：①不是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

②是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；

③不中心對稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；

④是中心對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了中心對稱圖形的定義，熟悉掌握概念是解題的關(guān)鍵

5.根據(jù)聯(lián)通大數(shù)據(jù)，2024年清明假期3天，我市共接待游客710.21萬人次，單日游客接待量創(chuàng)今年新

高.其中數(shù)據(jù)“710.21萬”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.7.1021xl09B.7.1021xl08C.7.1021xl07D.7.1021xl06

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式即可求解，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的表示形式：

“0X10”,其中。的范圍是l<a<10,w是正整數(shù)”是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：710.21萬=7102100=7.1021x106,

故選：D.

6.計(jì)算1—-2—的結(jié)果等于()

。+1

a-11a

A.OB.------C.------D.------

a+1a+1a+1

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了異分母分式減法計(jì)算，先通分，再把分子合并同類項(xiàng)即可得到答案.

【詳解】解:1———

。+1

〃+12

〃+1〃+1

a—1

〃+1’

故選：B.

7.51!145°(30560°—(30$45°的值等于()

AA/2A/2ry/6-2y/2A/6-4

4444

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算，熟知特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵，先計(jì)算特殊角的三

角函數(shù)值，再進(jìn)行二次根式計(jì)算即可求解.

【詳解】解：sin450cos60°-cos450

721V2

-2X22

_A/2V2

一^F

=_比

—4

故選：A

8.若點(diǎn)4（%,—2）,B（x,,-1）,。（項(xiàng)』）都在反比例函數(shù)丁=—七士的圖象上，則為，巧，吃的大小

X

關(guān)系是（）

A.xx<x3<x2B,xx<x2<x3C.x3<x2<\D.x3<xx<x2

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟知反比例函數(shù)圖像上各點(diǎn)的坐標(biāo)一定適合此函數(shù)的

解析式是解答此題的關(guān)鍵.先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)圖像所在的象限，再根據(jù)反比例函數(shù)的

性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：?.?反比例函數(shù)y=—■中，一（左2+1）<0,

X-

函數(shù)圖像的兩個(gè)分支分別位于二、四象限，且在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，

V-2<-1<0<1,

；.A、B兩點(diǎn)在第四象限，C點(diǎn)在第二象限，

X3<<X2.

故選D.

9.如果玉=m，々=〃是方程/+2%-4=0的兩根，則-----的值為（）

m+n

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可解決問題.

【詳解】解：尤|=機(jī)，々=〃是方程%2+2%-4=0的兩根，

.\m+n=—2,=T,

mn-4

----二—=2.

m+n—2

故選：C.

10.如圖1,在RtAiABC中，ZABC=90°,BC=2,AB=5如圖2,按照如下尺規(guī)作圖的步驟進(jìn)

行操作:

圖1圖2

①以點(diǎn)C為圓心，以2為半徑畫弧，交AC邊于點(diǎn)。，連接3￡）；

②以點(diǎn)B為圓心，以2為半徑畫砂，交CB延長線于點(diǎn)E,交AB邊于點(diǎn)B

③以E為圓心，以長為半徑畫弧，交郎'于點(diǎn)G；

④連接BG,EG,連接。G交A3于點(diǎn)"

則下列結(jié)論中正確的是（）

A.BG平分/ABEB.FH=DH

C.四邊形6DGE為菱形D.四邊形BCDG為菱形

【答案】D

【解析】

【分析】本題是基本作圖與四邊形綜合題，解題關(guān)鍵是清楚作圖的過程和結(jié)果.

由作法可知之△BEG,NGBE=ZACB,根據(jù)NCwNAw45°即可判定選項(xiàng)A不正確，判定四

邊形皮JGE為平行四邊形，四邊形BCDG為菱形，由勾股定理和解三角形求出EH、即可判定選項(xiàng)

BC錯(cuò)誤，D正確.

【詳解】解：；NABC=90°,BC=2,AB=45.

：.NCwZAw45。，

由作法可知CD=BC=BE=BG=BF=2,EG=BD.

:.△CBD^ABEG，

；.NGBE=ZACBw45。,ZCBD=ZBEG,故A選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤；

BD//EG,

四邊形BDGE為平行四邊形，

DG//BE,DG=BE,

；?四邊形BCDG為菱形，故選項(xiàng)D正確；

?/ZABC=90°,

?-ZAHD=90°,AC=ylBC2+AB-=3-

：.AD=AC-BD=1,

AH=ADcosZCAB=lx—,

33

22

DH=ADsinZCAB=lx-=-,

33

：.BH=AB-AH=-y[5,

3

2i-

?：FH=BF—BH=2——，5,

3

故FH￥DH，故B結(jié)論錯(cuò)誤，

2

?/BD=y/BH2+DH2=^(|A/5)2+(1)=|^6>

：?BD于BE，故，5DGE不是菱形，故C選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤.

故選D.

11.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為4(0,2),5(-1,0),將,A3O繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得

到月O,若。用，A3,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

A.4與。的面積為1

B.O^//AB

C.被A4平分

D.點(diǎn)A到X軸的距離為|■石

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形的面積公式可判斷A；根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行可判斷B；證明

。N=:A與，而A5=A3〉A(chǔ)O可判斷C；過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為H,先求出sin/A5O=氈,

25

然后根據(jù)sinZA.OH=苛求出A"=警可判斷D.

【詳解】解：：點(diǎn)A坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn)8坐標(biāo)為(—1,0),

/.04=2,05=1,

S^OAB=]Xlx2=L

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，s450=SOAB=1.故A正確.

令。片與AB軸的交點(diǎn)為M,

Bqx

由旋轉(zhuǎn)可知，ZA1OB1=ZAOB=90°,

OB[1AB,

：.ZAMO^9Q0,

：.ZAMO+幺04=180。，

OA^//AB.故B正確.

令4片與y軸的交點(diǎn)為N,

NBOB]+ZAOBl=NBOB]+ZABO=90°,

NABO=ZAOB].

由旋轉(zhuǎn)可知，NABO=3,

NB[=NAOB],

NO=NB「

又Z4+ZB1=NAfiN+NB0N=90°,

：.N4=NAfiN,

/.A、N=ON.

即0N=w4耳，

A,5,=AB>AO,

/.ON^-AO,

則a耳未平分49.故C錯(cuò)誤.

過點(diǎn)A1作x軸的垂線，垂足為”,

AB//A0,

N&OH=ZABO.

在RtAABO中，

AB712s=B

AsinZA.OH

在RtA^OH中,

即點(diǎn)4到尤軸的距離為岸.故D正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，平行線的判定，等角對等邊，勾股定理，解

直角三角形，熟知圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的知識是解題的關(guān)鍵.

12.已知某商品每件的進(jìn)價(jià)為40元，售價(jià)為每件60元，每星期可賣出該商品300件.根據(jù)市場調(diào)查反

映：商品的零售價(jià)每降價(jià)1元，則每星期可多賣出該商品20件.有下列結(jié)論：

①當(dāng)降價(jià)為3元時(shí)，每星期可賣360件；

②每星期的利潤為6120元時(shí)，可以將該商品的零售價(jià)定為42元或者43元；

③每星期的最大利潤為6250元.

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)降價(jià)尤元，則售價(jià)為（60-x）元，每件的盈利（60-x-40）=（20-x）元，每天可售出

（300+20%）件，

①當(dāng)降價(jià)為3元時(shí)，每星期可賣（300+20x）=360件；正確；

②根據(jù)題意，得（300+20x）（20—￡）=6120,整理，得5x+6=0，

解得石=2,%=3,每星期的利潤為6120元時(shí)，可以將該商品的零售價(jià)定為58元或者57元；錯(cuò)誤；

③設(shè)每星期的利潤為y元，根據(jù)題意，得y=（300+20x）（20—x）=-20x+100x+6000

=-20（x-+6125,故每星期的最大利潤為6125元.判斷即可.

利用每天銷售獲得的總利潤=每件千克的銷售利潤x每天的銷售量，構(gòu)造二次函數(shù)，根據(jù)拋物線的最值，

解之即可得出尤的值即可求得.

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的最值，最大利潤問題，熟練掌握一元二次方程的應(yīng)用，二次

函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵.

【詳解】設(shè)降價(jià)X元，則售價(jià)為（60—x）元，每件的盈利（60—X—40）=（20—力元，每天可售出

（300+20%）件，

①當(dāng)降價(jià)為3元時(shí)，每星期可賣（300+20%）=360件；

正確；

②根據(jù)題意，得（300+20x）（20—x）=6120,

整理，得J-5x+6=0，

解得％=2,%=3,

每星期的利潤為6120元時(shí)，可以將該商品的零售價(jià)定為58元或者57元；

錯(cuò)誤；

③設(shè)每星期的利潤為y元，根據(jù)題意，得y=（300+20x）（20—x）=—20x+100x+6000

=—20（x—+6125，

故每星期的最大利潤為6125元.錯(cuò)誤.

故選C.

第n卷（非選擇題共84分）

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分.請將答案直接填在答題紙中對應(yīng)的橫

線上）

13.在一只不透明的口袋中放入只有顏色不同的白球7個(gè)，黑球5個(gè)，黃球〃個(gè)，攪勻后隨機(jī)從中摸取一

個(gè)恰好是黃球的概率為工，則放入的黃球總數(shù)“=.

3

【答案】6

【解析】

【分析】利用概率公式，將黃球個(gè)數(shù)除以所有球總個(gè)數(shù)即可得出隨機(jī)從中摸取一個(gè)恰好是黃球的概率.

【詳解】解：由題可知：

n_1

〃+7+53

解得：〃=6,經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意；

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查了隨機(jī)事件的概率，解題的關(guān)鍵是牢記概率公式，正確列出方程并求解.

14.計(jì)算（后-1）（后+1）的結(jié)果等于.

【答案】22

【解析】

【分析】直接利用平方差公式進(jìn)行簡便運(yùn)算即可.

【詳解】解：（后—1）（后+1）=（后『―F=23—1=22,

故答案為：22

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的乘法運(yùn)算，熟練的利用平方差公式進(jìn)行簡便運(yùn)算是解本題的關(guān)鍵.

15.計(jì)算（三）2+x6-x5的結(jié)果為.

【答案】2/-x5##-x5+2x6

【解析】

【分析】本題考查幕的乘方與合并同類項(xiàng).根據(jù)幕的乘方與合并同類項(xiàng)法則進(jìn)行解題即可.

【詳解】解：九6一九5

=Xs+%6-X5

=2x6—x5■

故答案為：2%6—%5.

16.直線y=-4x+b不經(jīng)過第一象限，則人的值可以為.（寫出一個(gè)即可）.

【答案】-1（答案不唯一）

【解析】

【分析】本題考查一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)一次函數(shù)圖象所經(jīng)過的象限，可確定一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)

項(xiàng)的值的符號，從而確定字母女的取值范圍.由直線y=-4x+b不經(jīng)過第一象限，，可知在范圍內(nèi)

確定b的值即可.

【詳解】解：：直線y=-4x+b不經(jīng)過第一象限，

：.b<0,

故答案為：-1（答案不唯一）.

17.如圖，△C45,_CD￡均為等腰直角三角形，其中AC=5C,DC=EC,點(diǎn)、A,E,。在同一直線，

AD與相交于點(diǎn)FG為AB的中點(diǎn)，連接EG.

c

D

(1)-4DB的度數(shù)為.

(2)若尸為BC的中點(diǎn)，且AB=10,則EG的長為.

【答案】①.90。##90度②.75

【解析】

【分析】(1)先證-ACE名BCD,得，。05=/。￡4=135°進(jìn)而可求出—4巧的度數(shù)；

(2)作CHJ_A。于點(diǎn)H,則C"=EH=。"=工DE,可證明△CHF/4BDF，則CH=BD=AE=EH,

2

再由勾股定理求得AB=士叵，依據(jù)S~CF=；S"BC，解得紡=7w＞則DH=CH=BD=而，

22

HB=4DH?+BD?=2有，進(jìn)而可求出EG的長?

【詳解】解：(1)vAC4B,CD￡均為等腰直角三角形，AC=BC,DC=EC,

：.ZACB=ZDCE=90°

：.NACE+NBCE=NBCE+/BCD,NDEC=NEDC=45°,

/.ZACE=/BCD,

:"ACEWBCD,

NCDB=NCEA=180°-45°=135°,

NADB=135°-45°=90°.

故答案為90。；

(2)作CT/LAD于點(diǎn)”，則石H=￡)H,NCHF=NBDF=9Q°,

：.CH=EH=DH=-DE,

2

為BC的中點(diǎn)，

：.CF=BF,

在.和VBD產(chǎn)中,

ZCHF=ZBDF

<ZCFH=ZBFD,

CF=BF

：.,CHFgBDF(AAS),

，CH=BD,

,:AE=BD,

：.AE=CH=EH,

,；G為AB的中點(diǎn)，

EG'FB,

2

VAB=10,

AC=BC=5A/2，

,,CF——BC------,

22

,/ZACF=90°,

???AF=A/AC2+CF2=，

2

??q—AQ

?°AACF_2，

.?.-X^^XCH=-X-X5V2X5A/2，

2222

,?CH—y/10,

???DH=CH=BD=屈,

HB=y/DH2+BD2=275，

EG=—x2V5=V5.

2

故答案為6-

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊

的一半、勾股定理、三角形的中位線定理等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，&A5C的頂點(diǎn)A,C均落在格點(diǎn)上，頂點(diǎn)8落在格線

上，。是cABC的外接圓.

（1）ABC的面積等于.

（2）請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出直徑5P，并在直徑8P上找到點(diǎn)。，使得△3CQ

的面積等于5.簡要說明點(diǎn)尸，Q的位置是如何找到的（不要求證明）

【答案】①.5②.如圖，取圓與格線的交點(diǎn)D,E,連接AE,CD,兩條線段交于點(diǎn)。；連接80

并延長，與圓交于點(diǎn)P；取格點(diǎn)F,G,并連接FG,交AC于點(diǎn)連接并延長交格線于點(diǎn)H,連

接HA，并延長交5P于點(diǎn)。點(diǎn)尸，。即為所求.

【解析】

【分析】本題主要考查了90度的圓周角所對的弦是直徑，相似三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，全等三

角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定等等：

（1）根據(jù)三角形面積計(jì)算公式結(jié)合網(wǎng)格的特點(diǎn)求解即可；

（2）如圖，取圓與格線的交點(diǎn)，E,連接AE,CD,兩條線段交于點(diǎn)O；連接80并延長，與圓交于點(diǎn)

P；取格點(diǎn)RG,并連接FG,交AC于點(diǎn)連接雨，并延長交格線于點(diǎn)H，連接HA，并延長交

BP于點(diǎn)、Q,點(diǎn)P，。即為所求.

【詳解】解：（1）由題意得，SABC=^X5X2=5,

故答案：5；

（2）如圖，取圓與格線的交點(diǎn)DE,連接AE,CD,兩條線段交于點(diǎn)0；連接80并延長，與圓交于點(diǎn)

P；取格點(diǎn)RG,并連接FG,交AC于點(diǎn)連接雨，并延長交格線于點(diǎn)H，連接HA，并延長交

BP于點(diǎn)Q,點(diǎn)P,。即為所求.

由90度的圓周角所得的弦是直徑，可得AE,CD的交點(diǎn)。，即為圓心，則5P即為直徑；

易知點(diǎn)M分別為AC、9的中點(diǎn)，則易證明A4?名△QWS,進(jìn)而證明則由平行線的性

質(zhì)可得S&BCQ=^AABC=5.

故答案為：如圖，取圓與格線的交點(diǎn)。，E,連接AE,CD,兩條線段交于點(diǎn)O；連接80并延長，與圓

交于點(diǎn)P;取格點(diǎn)F,G,并連接FG,交AC于點(diǎn)M,連接并延長交格線于點(diǎn)連接HA,并延

長HA交5P于點(diǎn)0,點(diǎn)、P,。即為所求.

三、解答題(本大題共6小題，共66分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程)

2(x+l)>x①

19.解不等式組。.,八臺，請按下列步驟完成解答.

(1)解不等式①，得；

(2)解不等式②，得；

(3)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來；

j?____?____?____?I____?___?_____?____?____?_?

-5-4-3-2-IOI2345

(4)原不等式組的解集為.

【答案】(1)x>-2；

(2)x<-l；(3)見詳解；

(4)-2<x<-l

【解析】

【分析】本題考查的是解一元一次不等式組及在數(shù)軸上表示不等式組的解集，熟知“同大取大；同小取小;

大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解題的關(guān)鍵.

(1)求出各不等式①的解集；

(2)求出各不等式②的解集；

(3)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來即可；

(4)求出原不等式組的解集即可.

【小問1詳解】

解不等式①，得x>-2,

故答案為：x>-2；

【小問2詳解】

解不等式②，得x<-l,

故答案為：x<—l；

【小問3詳解】

把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來；

,,,1I.......................................r［小問4詳解］

-S-4-3-|ot2J45^

原不等式組的解集為：—2<xW—1,

故答案為：—2<x<—1.

20.在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，根據(jù)參加男子跳高初賽的。名運(yùn)動(dòng)員的成績(單位：m),繪制出了如下

的統(tǒng)計(jì)圖①和圖②，請根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問題：

(2)求統(tǒng)計(jì)的這組男子跳高初賽運(yùn)動(dòng)員成績的數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù).

【答案】⑴15,20；

(2)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1.68,眾數(shù)為1.70,中位數(shù)為1.70

【解析】

【分析】本題考查了眾數(shù)、平均數(shù)和中位數(shù)定義.

(1)將各組人數(shù)相加即可求出。的值，用1.75組的人數(shù)除以總數(shù)即可求出a；

(2)根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的定義分別進(jìn)行解答即可；

【小問1詳解】

解：0=1+2+3+5+3+1=15,

加％=3+15=20%,

故答案為：15,20；

【小問2詳解】

_1.50x1+1.60x2+1.65x3+1.70x5+1.75x3+1.80x1

解：x=---------------------------------------------------=1.6

1+2+3+5+3+1

這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1.68,

???這組數(shù)據(jù)中，1.70出現(xiàn)了5次，出現(xiàn)次數(shù)最多，

，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1.70,

:將這15個(gè)數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，其中處于中間位置的數(shù)是1.70,

這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為1.70.

21.已知，O的半徑為5.在ABC中，NACB=90。，AC=BC=8,點(diǎn)A在C。上.

圖1圖2

（1）如圖1,ABC的頂點(diǎn)。在,。上，AB,分別交（。于E兩點(diǎn),連接AE,DE.求

ZDEB的大小和DE的長；

（2）如圖2,ABC的頂點(diǎn)C在：?。外，且邊與「。相切于點(diǎn)M,AC邊與。相交于點(diǎn)N,連

接AO,BO,求AN和02的長.

【答案】（1）ZDEB=45°,DE=-J1-

（2）4V=6；OB=y[^i-

【解析】

【分析】（1）由等腰三角形及三角形的內(nèi)角和定理得，NC43=/B=45。，點(diǎn)。在CO上，且

ZACB=90°,在RtaAEC中，由勾股定理得：CE=6,從而得EB=2；然后利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

及解直角三角形即可求解；

（2）如圖，連接過點(diǎn)。作OH,AC于點(diǎn)〃，由切線性質(zhì)得OM_L5c于點(diǎn)即

ZOMC=90°,證四邊形為矩形，得OAf=CH=5,OH=CM,即AH=3,又由垂徑定理

得AH=HN=3,即AN=6；從而利用勾股定理即可得解.

【小問1詳解】

解：VZACB=90°,AC=BC^S,

■■ZCAB=ZB=45°,

:點(diǎn)。在O上，且NACB=90。，

為直徑，即AE=10,

..在Rt^AEC中，ZACB=90°,AE=10,AC=8,

由勾股定理得：CE=yjAE2-AC2=A/102-82=6-

EB=BC—CE=8—6=2；

:四邊形ADEC內(nèi)接于圓，且/ACB=90。，

NAZ汨=90。，

..ZEDB=90°,ZDEB=900-ZB=45°,

A/2

DE=EB?sinNB=2xV=四;

【小問2詳解】

解：如圖，連接31,過點(diǎn)。作于點(diǎn)”,

???8C切；。于點(diǎn)M,且切為半徑，

OM±BC于點(diǎn)M,即ZOMC=90°,

ZC=ZOHC=ZOMC=90°,

，四邊形為矩形，

OM=CH=5,OH=CM,

AH=3,

VOH1AC,且OH為半徑，

AH=HN=3,即AN-6；

在RtaAOT/中，由勾股定理得：OH=yjAO2-AH2=y/52-32=4-

：OH=CM=4,可知族=5。-0/=8-4=4；

在RtAOBM中，由勾股定理得：OB=y/OM2+MB2=752+42=屈■

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形以及切線的性質(zhì)定

理和矩形的判定及性質(zhì)，熟練掌握解直角三角形以及切線的性質(zhì)定理和矩形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.校慶期間，小南同學(xué)從家到學(xué)校瞻仰張伯苓校長的雕塑，聆聽學(xué)校的辦校故事.他從家出發(fā)后，導(dǎo)航

給出兩條線路，如圖：①AfM；②AfCf經(jīng)勘測，點(diǎn)E在點(diǎn)A的北偏西

45°方向1200米處，點(diǎn)。在點(diǎn)E的正北方向，點(diǎn)M在點(diǎn)。的正東方向90米處，點(diǎn)B在點(diǎn)E的正東方

向，且在點(diǎn)A的北偏東30°方向；點(diǎn)C在點(diǎn)〃的正東方向406米處，且在點(diǎn)8的北偏西37°方向.

D

r

E5南

\：30/

17

A

（1）求EB的長度；（結(jié)果保留根號）

（2）由于時(shí)間原因，小南決定選擇一條較短路線到達(dá)張伯苓校長的雕塑前，請計(jì)算說明他應(yīng)該選擇哪條

路線距離更短（參考數(shù)據(jù)：^2?1.41?6=1.73，sin370取0.6,cos370取0.8,tan37°^0.75）.

【答案】⑴EB的長度為（120+406）米；

（2）選擇路線②距離短，見解析

【解析】

【分析】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵；

（1）過點(diǎn)A作APLEB,于點(diǎn)P,分別在RtEAP,RtZXBAP中，利用三角函數(shù)求解/，石，AP,BP

即可得到答案；

（2）過點(diǎn)B作垂足為。，證明四邊形。EQB為矩形，求解CQ=30；在Rt^CQB中，

在RtZXBAP中進(jìn)一步求解即可得到答案.

【小問1詳解】

解：過點(diǎn)A作于點(diǎn)P，

A

由題意得：N￡AP=45°,ZB4P=30°,ZEPA=ZBPA=90°,9=120近米.

:在Rt-EAP中，ZEAP=45°,EA=12OJ2>

EP=AE?sin45°=—x12072=120，

2

同理AP=AE?cos450=120；

:在RtA/MP中,NB4P=30°,AP=120,

■■■^P=BP-tanSO0=—X120=40A/3-

3

EB=EP+BP=120+40存

即EB的長度為（120+40⑹米.

【小問2詳解】

過點(diǎn)8作BQ，。。，垂足為。，

由題意得：NDEB=ND=NDQB=90°,

.?.四邊形。EQB為矩形，

DE-QB,DQ=EB,

DQ=DC+CQ=90+40^3+CQ,

且助=120+40石，

90+4073+CQ=120+4073

.-.CQ=30；

?.?在RtZ\CQ3中，ZCBQ=37°,CQ=30,

tanZCBQ=—,sinZCBQ=空，

BQ2BC

DE=QB=40

:在RtA8Ap中，ZB4P=30°,AP=120,cosZPAB=—,

AB

=80A/3:

cosNPABcos30°

路線①的長為AE+DE+DM=120V2+90+40=130+12072工299.2（米），

而路線②的長為AB+BC+CM=50+120石a257.6（米），

顯然257.6<299.2,

，選擇路線②距離短.

23.甲、乙兩輛滿載水果的運(yùn)輸車同時(shí)從A地出發(fā)前往8地，甲車勻速行駛4h至距離A地160km的C地

時(shí)發(fā)生故障原地維修，2.4h后維修完畢，于是甲車勻速行駛1.6h到達(dá)8地.乙車勻速行駛4〃到達(dá)距離A

4

地240km的8地，接著花費(fèi)一h卸載水果，然后立即原路勻速返回A地，結(jié)果乙車回到A地時(shí)恰好甲車

3

到達(dá)8地.在兩車行駛的過程中，甲、乙兩車距離A地的距離y（單位：km）與它們離開A地的時(shí)間尤

（單位：/I）之間的函數(shù)圖象如圖所示.

y（km）4

請結(jié)合圖象信息，解答下列問題:

（1）填表:

甲車離開A地的時(shí)間（單位:

甲車離A地的距離（單位:

km)

（2）請直接寫出乙車行駛的全過程中y與x的函數(shù)關(guān)系式.

（3）填空：

①圖中6的值為;

②當(dāng)x=(h)時(shí)，甲、乙兩車相距60km.

【答案】(1)40；160；240；

(2)當(dāng)0WxW4時(shí)，y=60x；

當(dāng)4<x<3時(shí)，y=240；

3

當(dāng)時(shí)，y=—90X+720；

5047

(3)①144；②3；——；一

97

【解析】

【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：

(1)根據(jù)圖象直接求解即可求解；

(2)待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；

(3)①把％=6.4代入y=—90%+720,即可求解；

②分0<xK4,4<x<y,y<x<6|,6|<xV8四種情況討論即可.

【小問1詳解】

解：：甲車勻速行駛4h至距離A地:160km的C地，

甲車的速度為160+4=40km/h,

當(dāng)x=l時(shí)，y=lx40=40,

由圖象可知，當(dāng)x=6.4時(shí)，y=160；,當(dāng)％=8時(shí)，y=24。，

故答案為:40,160,240；

【小問2詳解】

解：當(dāng)0<九44時(shí)，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為丁=區(qū)，

把x=4,y=240,代入得240=4無，

解得上=60,

/.y=60x；

416

當(dāng)4<x<4+—,即4<x<、時(shí)，y=240；

33

當(dāng):<x<8時(shí)，設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為丁=g+〃，

—m+n=240

把x=y=240；_x=8,y=。，代入，得＜3

3

8m+n=0

m=-9Q

解得《

〃二720

y=-90x+720；

綜上：當(dāng)0<x<4時(shí)，y=60x；

當(dāng)4<%<3時(shí)，y=240；

3

當(dāng)時(shí)，y=—90尤+720；

【小問3詳解】

解：①把x=6.4,y=6代入y=-90x+720,

^=-90x6.4+720=144,

故答案為：144；

②當(dāng)0<xW4時(shí)，

:乙車勻速行駛4/2到達(dá)距離A地240km的8地,

/.乙車速度為240+4=60km/h

根據(jù)題意，得60x—40x=60,

解得x=3；

當(dāng)時(shí)，兩車相遇240—160=80km,故不符合題意，舍去;

3

把y=160代入y=-90%+720,得160=-90%+720,

2

解得x=6§<6.4

當(dāng)”<xW62時(shí)，

39

根據(jù)題意，得—90x+720—160=60,

解得x=—,

9

2

當(dāng)63cxW8時(shí)，

設(shè)甲車行駛中y與尤的函數(shù)關(guān)系式為y=ox+b,

把尤=6.4,y=160；%=8,y=24。代入,

[6Aa+b-160

得V

[8〃+b=240

a=50

解得《

b=-16Q

y=50%—160,

根據(jù)題意，得50x—16。一（一9。%+72。）=6。,

解得力巖47

綜上，x=3；y；y（h）Bt,甲、乙兩車相距60km,

5047

故答案為：3；

~9；~1'

24.如圖1,將一個(gè)矩形紙片Q4BC放置在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)0(0,0),點(diǎn)A(36,o),點(diǎn)0(0,6),

點(diǎn)。在邊OC上（點(diǎn)。不與點(diǎn)O,C重合），折疊該紙片，使折痕所在的直線經(jīng)過點(diǎn)。，并與直線AB相

交于點(diǎn)R且NCZ)E=60°,點(diǎn)c的對應(yīng)點(diǎn)為c'.設(shè)。=九

圖1圖2圖3

(1)如圖2,當(dāng)折痕經(jīng)過點(diǎn)3時(shí)，求/的值和點(diǎn)C的坐標(biāo);

（2）若折疊后的圖形為四邊形，點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)為"，3'C’與A3邊相交于點(diǎn)G,CD,B'C'分別與x

軸相交于點(diǎn)8，/,設(shè)折疊后四邊形DEB'C'與矩形Q46c重合部分的面積為S.

①如圖3,當(dāng)折疊后四邊形DEB'C'與矩形Q4BC重合部分為五邊形時(shí)，試用含有r的式子表示S,并直

接寫出f的取值范圍；

717

②當(dāng)一＜/＜一時(shí)，直接寫出S的取值范圍.

23

【答案】（1）/=3；點(diǎn)C'的坐標(biāo)為百

（2）①S=—2舟+18后-33/;（4<Z<5）；■布<S*6.

【解析】

【分析】（1）在Rt_5CD中，利用正切定義求出CD即可，過C作C7/LOC于H,在RtHCZ>中，利

用余弦定義求出DH即可，利用勾股定理求出C'H,即可求解；

（2）①解直角三角形，分別用才表示出OH,FG,AG,〃，然后S=S梯形2必6-5。附-5//求解即

可；

717

②分一</W4：4<r<5；5wr<q三種情況討論，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【小問1詳解】

解：由題意，得NCOS=60°,

:矩形紙片。4BC放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0（0,0）,點(diǎn)A（3g,0）,點(diǎn)C（0,6）,

；.OC=AB=6OA=BC=3f，ZAOC=ZOCB=ZABC=ABC=90°,OC//AB,

在Rt_5CD中，t=———=色晝=3,

tanZBDCtan60°

過C作C'”_LOC于X,

:.C'D=CD=3,NBDC=ZBDC=3。,

：.ZHDC'=60°,

3

在RtHC'D中,DH-CD-cosZC'DH=：3xcos60°=-,

2

/--------------3l3

C'H^yJCD2-DH2=-V3,OH^OC-CD-DH=-,

22

...點(diǎn)c'坐標(biāo)為

【小問2詳解】

解：①過/作EK_LOC于K,

則四邊形AOK",CKFB都是矩形,

FK=OA=3有，

在Rtz\DEK中，DK=———=2^=3,

tanZKDFtan60°

:.CK=BF=t—3,

???OC//AB,

：.ZBFD=1800-ZCDF=120°,ZDFG=ZCDF=60°,

..?折疊，

ADC=DC'=t,PF=BF=t—3,ZBFD=ZB'FD=120°,

ZB'FG=6O°,

：.ZB'GF=ZAGT=30°,

在中，OD=6-t,NOL>H=60。,

/.OH=ODtanNODH=同6-1),

在RtB'FG中，B'F=t—3,NB'FG=60°,

B'F

FG==263),

cos/B'FG

/.AG=AB-BF=FG=15-3t,B'G=>JFG2-B'G2=百(/一3)，

在Rt^AGZ中，AG=15-3t,ZAGT=30°,

AT=AGtanNAG/=

S=S梯形。OAG-SODH—S,AG/

=1(6-?+6-?+3)xV3-1(6-Z)x^(6-Z)-1(15-3?)x^

=-2后+18囚-33百，

折疊后3'C'與AB邊相交于點(diǎn)G,CD,3'C'分別與x軸相交于點(diǎn)H,/,

百(6-。+三(15-30<3百

15-3Z>O

4<Z<5,

S=-2后+18后-33百(4</<5)；

=S梯形5CDF—SB'FG

=一爭2+6每一9/

=—爭—6)2+9/

當(dāng)/<6時(shí)，S隨/的增大而增大，

.?.當(dāng)r=:時(shí)，s有最小值為

28

當(dāng)才=4時(shí)，S有最大值為7百；

當(dāng)4</<5時(shí)，S=—2技2+18技—336=—2若［—g)+yV3-

拋物線開口向下，點(diǎn)到對稱軸的距離越大，函數(shù)值越小，

V4<Z<5,

當(dāng)r=2時(shí)，s有最大值為"G，

22

-471s91

2222

當(dāng)/=4或/=5時(shí)，S有最小值為76，

=1（6-Z+6-Z+3）x3^-1（6-Z）xV3（6-?）

一走一+38+2省

22

=-^（?-3）2+9A/3，

當(dāng)f>3時(shí)，S隨/的增大而減少，

l1749l

...當(dāng)/=5時(shí)，S有最大值為76，當(dāng)/=了時(shí)，S有最小值為勺6,

,71749/-15/-

綜上，當(dāng)一</<—時(shí)，—V3<SV—A/3.

2392

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊，解直角三角形，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，理解重疊圖形的變

化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

25.已知拋物線y=ox?+6x+c（其中a,b,c為常數(shù)，a<0,cwO）與無軸交于A,B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A

在點(diǎn)2的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C,且點(diǎn)A坐標(biāo)為（3-c,0）.點(diǎn)。（3,c）在拋物線上，連接AD,過拋物

線的頂點(diǎn)E作直線EP〃A￡）,石P交拋物線于點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為加.

（1）若c=6時(shí)，求拋物線的解析式及點(diǎn)￡的坐標(biāo)；

(2)若c=—10a,求a,m的值；

(3)過點(diǎn)P作尸。〃x軸交直線AD于點(diǎn)。連接3Q,恰有8?！溯S，求。，機(jī)的值(直接寫出結(jié)果即

可).

【答案】(1)拋物線解析式為y=——+彳■，點(diǎn)后的坐標(biāo)為I?，彳｝

(2)a=—，m的值為---;

22

6-3^2

⑶…迪m=---------

34

【解析】

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知

識，解題的關(guān)鍵是:

(1)把A、。的坐標(biāo)代入y=。%2+加；+6求解即可；

(2)把A、Z)的坐標(biāo)代入)=以2+法—10〃，求出〃，匕的值，然后利用待定系數(shù)法求出直線AD解析式，

進(jìn)而求出直線AD解析式，然后聯(lián)立方程組求解即可；

3^-1

(3)把。的坐標(biāo)代入y=。%2+法+。，求出Z?=-3a,把A的坐標(biāo)代入y=ax?一3〃%+。，求出c=------,

a

則y=?2—3ax+%」，Af-,o\D(3,網(wǎng)二］,求出頂點(diǎn)'礦—4］,利用待定系數(shù)法

a\aJaJ(24a)

1—9a26〃—A

求出加解析式為y=結(jié)合小〃皿可求出PE解析式為y=x聯(lián)立方程組

-9a2+6〃一4

y_JQ_|_______________

4a，求出乜?],山=到2,結(jié)合尸?！溯S，求出。的橫坐標(biāo)為

2.3a-l12a4)2a

y-ax-5ax-\--------

a