2024年天津市南開區(qū)中考二模數學試題（解析版）

2023?2024學年度第二學期九年級質量監(jiān)測（二）

數學試卷

本監(jiān)測分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.監(jiān)測滿分120分.時間100分

鐘.

第I卷（選擇題共36分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的）

L計算（TH-5）的結果是（）

A.6B.4C.-4D.-6

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查了有理數的減法運算，熟練掌握減去一個數等于加上這個數的相反數是解答本題的關

鍵.根據減法法則計算即可.

【詳解】解：(-1)_(_5)=(_1)+(+5)=+(5_1)=4

故選：B.

2.如圖所示的幾何體是由5個大小相同的小正方體組成的，它的主視圖是（）

【解析】

【分析】根據主視圖是從正面看到的圖形進行求解即可.

【詳解】解：從正面看該幾何體，有三列，第一列有2層，第二和第三列都只有一層，如圖所示:

【點睛】本題主要考查了簡單幾何組合體的三視圖，熟知三視圖的定義是解題的關鍵.

3.下列無理數中，大小在3與4之間的是（）

A.幣B.272C.711D.加

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查無理數的估算，根據無理數的估算可得答案，熟練掌握無理數的估算方法是解題的關鍵

【詳解】解：V7<8<9<11<16<19,

:〈瓜〈囪〈后〈屈〈曬，即?<2忘<3<而<4<W，

故選：C.

4.我國民間，流傳著許多含有吉祥意義的文字圖案，表示對幸福生活的向往，良辰佳節(jié)的祝賀.比如下列

圖案分別表示“?！薄ⅰ暗摗?、“壽”、“喜”，其中是中心對稱圖形的是（）

①②③④

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】D

【解析】

【分析】根據中心對稱圖形的定義，結合選項所給圖形進行判斷即可.

【詳解】解：①不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

②是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

③不中心對稱圖形，故本選項不合題意；

④是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了中心對稱圖形的定義，熟悉掌握概念是解題的關鍵

5.根據聯通大數據，2024年清明假期3天，我市共接待游客710.21萬人次，單日游客接待量創(chuàng)今年新

高.其中數據“710.21萬”用科學記數法表示為（）

A.7.1021xl09B.7.1021xl08C.7.1021xl07D.7.1021xl06

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查了科學記數法，根據科學記數法的表示形式即可求解，熟練掌握科學記數法的表示形式：

“0X10”,其中。的范圍是l<a<10,w是正整數”是解題的關鍵.

【詳解】解：710.21萬=7102100=7.1021x106,

故選：D.

6.計算1—-2—的結果等于()

。+1

a-11a

A.OB.------C.------D.------

a+1a+1a+1

【答案】B

【解析】

【分析】本題主要考查了異分母分式減法計算，先通分，再把分子合并同類項即可得到答案.

【詳解】解:1———

。+1

〃+12

〃+1〃+1

a—1

〃+1’

故選：B.

7.51!145°(30560°—(30$45°的值等于()

AA/2A/2ry/6-2y/2A/6-4

4444

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了特殊角的三角函數值的計算，熟知特殊角的三角函數值是解題關鍵，先計算特殊角的三

角函數值，再進行二次根式計算即可求解.

【詳解】解：sin450cos60°-cos450

721V2

-2X22

_A/2V2

一^F

=_比

—4

故選：A

8.若點4（%,—2）,B（x,,-1）,。（項』）都在反比例函數丁=—七士的圖象上，則為，巧，吃的大小

X

關系是（）

A.xx<x3<x2B,xx<x2<x3C.x3<x2<\D.x3<xx<x2

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查反比例函數圖像上點的坐標特點，熟知反比例函數圖像上各點的坐標一定適合此函數的

解析式是解答此題的關鍵.先根據反比例函數的解析式判斷出函數圖像所在的象限，再根據反比例函數的

性質即可得出結論.

【詳解】解：?.?反比例函數y=—■中，一（左2+1）<0,

X-

函數圖像的兩個分支分別位于二、四象限，且在每一象限內，y隨x的增大而增大，

V-2<-1<0<1,

；.A、B兩點在第四象限，C點在第二象限，

X3<<X2.

故選D.

9.如果玉=m，々=〃是方程/+2%-4=0的兩根，則-----的值為（）

m+n

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查一元二次方程根與系數的關系.利用一元二次方程根與系數的關系即可解決問題.

【詳解】解：尤|=機，々=〃是方程%2+2%-4=0的兩根，

.\m+n=—2,=T,

mn-4

----二—=2.

m+n—2

故選：C.

10.如圖1,在RtAiABC中，ZABC=90°,BC=2,AB=5如圖2,按照如下尺規(guī)作圖的步驟進

行操作:

圖1圖2

①以點C為圓心，以2為半徑畫弧，交AC邊于點。，連接3￡）；

②以點B為圓心，以2為半徑畫砂，交CB延長線于點E,交AB邊于點B

③以E為圓心，以長為半徑畫弧，交郎'于點G；

④連接BG,EG,連接。G交A3于點"

則下列結論中正確的是（）

A.BG平分/ABEB.FH=DH

C.四邊形6DGE為菱形D.四邊形BCDG為菱形

【答案】D

【解析】

【分析】本題是基本作圖與四邊形綜合題，解題關鍵是清楚作圖的過程和結果.

由作法可知之△BEG,NGBE=ZACB,根據NCwNAw45°即可判定選項A不正確，判定四

邊形皮JGE為平行四邊形，四邊形BCDG為菱形，由勾股定理和解三角形求出EH、即可判定選項

BC錯誤，D正確.

【詳解】解：；NABC=90°,BC=2,AB=45.

：.NCwZAw45。，

由作法可知CD=BC=BE=BG=BF=2,EG=BD.

:.△CBD^ABEG，

；.NGBE=ZACBw45。,ZCBD=ZBEG,故A選項結論錯誤；

BD//EG,

四邊形BDGE為平行四邊形，

DG//BE,DG=BE,

；?四邊形BCDG為菱形，故選項D正確；

?/ZABC=90°,

?-ZAHD=90°,AC=ylBC2+AB-=3-

：.AD=AC-BD=1,

AH=ADcosZCAB=lx—,

33

22

DH=ADsinZCAB=lx-=-,

33

：.BH=AB-AH=-y[5,

3

2i-

?：FH=BF—BH=2——，5,

3

故FH￥DH，故B結論錯誤，

2

?/BD=y/BH2+DH2=^(|A/5)2+(1)=|^6>

：?BD于BE，故，5DGE不是菱形，故C選項結論錯誤.

故選D.

11.如圖，在直角坐標系中，點A,B的坐標分別為4(0,2),5(-1,0),將,A3O繞點。順時針旋轉得

到月O,若。用，A3,則下列結論中錯誤的是()

A.4與。的面積為1

B.O^//AB

C.被A4平分

D.點A到X軸的距離為|■石

【答案】C

【解析】

【分析】根據圖形旋轉的性質和三角形的面積公式可判斷A；根據同旁內角互補兩直線平行可判斷B；證明

。N=:A與，而A5=A3〉AO可判斷C；過點A作x軸的垂線，垂足為H,先求出sin/A5O=氈,

25

然后根據sinZA.OH=苛求出A"=警可判斷D.

【詳解】解：：點A坐標為(0,2),點8坐標為(—1,0),

/.04=2,05=1,

S^OAB=]Xlx2=L

由旋轉的性質可知，s450=SOAB=1.故A正確.

令。片與AB軸的交點為M,

Bqx

由旋轉可知，ZA1OB1=ZAOB=90°,

OB[1AB,

：.ZAMO^9Q0,

：.ZAMO+幺04=180。，

OA^//AB.故B正確.

令4片與y軸的交點為N,

NBOB]+ZAOBl=NBOB]+ZABO=90°,

NABO=ZAOB].

由旋轉可知，NABO=3,

NB[=NAOB],

NO=NB「

又Z4+ZB1=NAfiN+NB0N=90°,

：.N4=NAfiN,

/.A、N=ON.

即0N=w4耳，

A,5,=AB>AO,

/.ON^-AO,

則a耳未平分49.故C錯誤.

過點A1作x軸的垂線，垂足為”,

AB//A0,

N&OH=ZABO.

在RtAABO中，

AB712s=B

AsinZA.OH

在RtA^OH中,

即點4到尤軸的距離為岸.故D正確.

故選：C.

【點睛】本題考查坐標與圖形變化-旋轉，坐標與圖形的性質，平行線的判定，等角對等邊，勾股定理，解

直角三角形，熟知圖形旋轉的性質和銳角三角函數的知識是解題的關鍵.

12.已知某商品每件的進價為40元，售價為每件60元，每星期可賣出該商品300件.根據市場調查反

映：商品的零售價每降價1元，則每星期可多賣出該商品20件.有下列結論：

①當降價為3元時，每星期可賣360件；

②每星期的利潤為6120元時，可以將該商品的零售價定為42元或者43元；

③每星期的最大利潤為6250元.

其中，正確結論的個數是（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】C

【解析】

【分析】設降價尤元，則售價為（60-x）元，每件的盈利（60-x-40）=（20-x）元，每天可售出

（300+20%）件，

①當降價為3元時，每星期可賣（300+20x）=360件；正確；

②根據題意，得（300+20x）（20—￡）=6120,整理，得5x+6=0，

解得石=2,%=3,每星期的利潤為6120元時，可以將該商品的零售價定為58元或者57元；錯誤；

③設每星期的利潤為y元，根據題意，得y=（300+20x）（20—x）=-20x+100x+6000

=-20（x-+6125,故每星期的最大利潤為6125元.判斷即可.

利用每天銷售獲得的總利潤=每件千克的銷售利潤x每天的銷售量，構造二次函數，根據拋物線的最值，

解之即可得出尤的值即可求得.

本題考查了一元二次方程的應用，二次函數的最值，最大利潤問題，熟練掌握一元二次方程的應用，二次

函數的最值是解題的關鍵.

【詳解】設降價X元，則售價為（60—x）元，每件的盈利（60—X—40）=（20—力元，每天可售出

（300+20%）件，

①當降價為3元時，每星期可賣（300+20%）=360件；

正確；

②根據題意，得（300+20x）（20—x）=6120,

整理，得J-5x+6=0，

解得％=2,%=3,

每星期的利潤為6120元時，可以將該商品的零售價定為58元或者57元；

錯誤；

③設每星期的利潤為y元，根據題意，得y=（300+20x）（20—x）=—20x+100x+6000

=—20（x—+6125，

故每星期的最大利潤為6125元.錯誤.

故選C.

第n卷（非選擇題共84分）

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分.請將答案直接填在答題紙中對應的橫

線上）

13.在一只不透明的口袋中放入只有顏色不同的白球7個，黑球5個，黃球〃個，攪勻后隨機從中摸取一

個恰好是黃球的概率為工，則放入的黃球總數“=.

3

【答案】6

【解析】

【分析】利用概率公式，將黃球個數除以所有球總個數即可得出隨機從中摸取一個恰好是黃球的概率.

【詳解】解：由題可知：

n_1

〃+7+53

解得：〃=6,經檢驗，符合題意；

故答案為：6.

【點睛】本題考查了隨機事件的概率，解題的關鍵是牢記概率公式，正確列出方程并求解.

14.計算（后-1）（后+1）的結果等于.

【答案】22

【解析】

【分析】直接利用平方差公式進行簡便運算即可.

【詳解】解：（后—1）（后+1）=（后『―F=23—1=22,

故答案為：22

【點睛】本題考查的是二次根式的乘法運算，熟練的利用平方差公式進行簡便運算是解本題的關鍵.

15.計算（三）2+x6-x5的結果為.

【答案】2/-x5##-x5+2x6

【解析】

【分析】本題考查幕的乘方與合并同類項.根據幕的乘方與合并同類項法則進行解題即可.

【詳解】解：九6一九5

=Xs+%6-X5

=2x6—x5■

故答案為：2%6—%5.

16.直線y=-4x+b不經過第一象限，則人的值可以為.（寫出一個即可）.

【答案】-1（答案不唯一）

【解析】

【分析】本題考查一次函數圖象與系數的關系，根據一次函數圖象所經過的象限，可確定一次項系數，常數

項的值的符號，從而確定字母女的取值范圍.由直線y=-4x+b不經過第一象限，，可知在范圍內

確定b的值即可.

【詳解】解：：直線y=-4x+b不經過第一象限，

：.b<0,

故答案為：-1（答案不唯一）.

17.如圖，△C45,_CD￡均為等腰直角三角形，其中AC=5C,DC=EC,點、A,E,。在同一直線，

AD與相交于點FG為AB的中點，連接EG.

c

D

(1)-4DB的度數為.

(2)若尸為BC的中點，且AB=10,則EG的長為.

【答案】①.90。##90度②.75

【解析】

【分析】(1)先證-ACE名BCD,得，。05=/?！?=135°進而可求出—4巧的度數；

(2)作CHJ_A。于點H,則C"=EH=。"=工DE,可證明△CHF/4BDF，則CH=BD=AE=EH,

2

再由勾股定理求得AB=士叵，依據S~CF=；S"BC，解得紡=7w＞則DH=CH=BD=而，

22

HB=4DH?+BD?=2有，進而可求出EG的長?

【詳解】解：(1)vAC4B,CD￡均為等腰直角三角形，AC=BC,DC=EC,

：.ZACB=ZDCE=90°

：.NACE+NBCE=NBCE+/BCD,NDEC=NEDC=45°,

/.ZACE=/BCD,

:"ACEWBCD,

NCDB=NCEA=180°-45°=135°,

NADB=135°-45°=90°.

故答案為90。；

(2)作CT/LAD于點”，則石H=￡)H,NCHF=NBDF=9Q°,

：.CH=EH=DH=-DE,

2

為BC的中點，

：.CF=BF,

在.和VBD產中,

ZCHF=ZBDF

<ZCFH=ZBFD,

CF=BF

：.,CHFgBDF(AAS),

，CH=BD,

,:AE=BD,

：.AE=CH=EH,

,；G為AB的中點，

EG'FB,

2

VAB=10,

AC=BC=5A/2，

,,CF——BC------,

22

,/ZACF=90°,

???AF=A/AC2+CF2=，

2

??q—AQ

?°AACF_2，

.?.-X^^XCH=-X-X5V2X5A/2，

2222

,?CH—y/10,

???DH=CH=BD=屈,

HB=y/DH2+BD2=275，

EG=—x2V5=V5.

2

故答案為6-

【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質、全等三角形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊

的一半、勾股定理、三角形的中位線定理等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵.

18.如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，&A5C的頂點A,C均落在格點上，頂點8落在格線

上，。是cABC的外接圓.

（1）ABC的面積等于.

（2）請用無刻度的直尺，在如圖所示的網格中，畫出直徑5P，并在直徑8P上找到點。，使得△3CQ

的面積等于5.簡要說明點尸，Q的位置是如何找到的（不要求證明）

【答案】①.5②.如圖，取圓與格線的交點D,E,連接AE,CD,兩條線段交于點。；連接80

并延長，與圓交于點P；取格點F,G,并連接FG,交AC于點連接并延長交格線于點H,連

接HA，并延長交5P于點。點尸，。即為所求.

【解析】

【分析】本題主要考查了90度的圓周角所對的弦是直徑，相似三角形的性質與判定，矩形的性質，全等三

角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定等等：

（1）根據三角形面積計算公式結合網格的特點求解即可；

（2）如圖，取圓與格線的交點，E,連接AE,CD,兩條線段交于點O；連接80并延長，與圓交于點

P；取格點RG,并連接FG,交AC于點連接雨，并延長交格線于點H，連接HA，并延長交

BP于點、Q,點P，。即為所求.

【詳解】解：（1）由題意得，SABC=^X5X2=5,

故答案：5；

（2）如圖，取圓與格線的交點DE,連接AE,CD,兩條線段交于點0；連接80并延長，與圓交于點

P；取格點RG,并連接FG,交AC于點連接雨，并延長交格線于點H，連接HA，并延長交

BP于點Q,點P,。即為所求.

由90度的圓周角所得的弦是直徑，可得AE,CD的交點。，即為圓心，則5P即為直徑；

易知點M分別為AC、9的中點，則易證明A4?名△QWS,進而證明則由平行線的性

質可得S&BCQ=^AABC=5.

故答案為：如圖，取圓與格線的交點。，E,連接AE,CD,兩條線段交于點O；連接80并延長，與圓

交于點P;取格點F,G,并連接FG,交AC于點M,連接并延長交格線于點連接HA,并延

長HA交5P于點0,點、P,。即為所求.

三、解答題(本大題共6小題，共66分.解答應寫出文字說明、演算步驟或推理過程)

2(x+l)>x①

19.解不等式組。.,八臺，請按下列步驟完成解答.

(1)解不等式①，得；

(2)解不等式②，得；

(3)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來；

j?____?____?____?I____?___?_____?____?____?_?

-5-4-3-2-IOI2345

(4)原不等式組的解集為.

【答案】(1)x>-2；

(2)x<-l；(3)見詳解；

(4)-2<x<-l

【解析】

【分析】本題考查的是解一元一次不等式組及在數軸上表示不等式組的解集，熟知“同大取大；同小取小;

大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解題的關鍵.

(1)求出各不等式①的解集；

(2)求出各不等式②的解集；

(3)把不等式①和②的解集在數軸上表示出來即可；

(4)求出原不等式組的解集即可.

【小問1詳解】

解不等式①，得x>-2,

故答案為：x>-2；

【小問2詳解】

解不等式②，得x<-l,

故答案為：x<—l；

【小問3詳解】

把不等式①和②的解集在數軸上表示出來；

,,,1I.......................................r［小問4詳解］

-S-4-3-|ot2J45^

原不等式組的解集為：—2<xW—1,

故答案為：—2<x<—1.

20.在一次中學生田徑運動會上，根據參加男子跳高初賽的。名運動員的成績(單位：m),繪制出了如下

的統(tǒng)計圖①和圖②，請根據相關信息，解答下列問題：

(2)求統(tǒng)計的這組男子跳高初賽運動員成績的數據的平均數、眾數和中位數.

【答案】⑴15,20；

(2)這組數據的平均數為1.68,眾數為1.70,中位數為1.70

【解析】

【分析】本題考查了眾數、平均數和中位數定義.

(1)將各組人數相加即可求出。的值，用1.75組的人數除以總數即可求出a；

(2)根據平均數、眾數和中位數的定義分別進行解答即可；

【小問1詳解】

解：0=1+2+3+5+3+1=15,

加％=3+15=20%,

故答案為：15,20；

【小問2詳解】

_1.50x1+1.60x2+1.65x3+1.70x5+1.75x3+1.80x1

解：x=---------------------------------------------------=1.6

1+2+3+5+3+1

這組數據的平均數為1.68,

???這組數據中，1.70出現了5次，出現次數最多，

，這組數據的眾數為1.70,

:將這15個數據按從小到大的順序排列，其中處于中間位置的數是1.70,

這組數據的中位數為1.70.

21.已知，O的半徑為5.在ABC中，NACB=90。，AC=BC=8,點A在C。上.

圖1圖2

（1）如圖1,ABC的頂點。在,。上，AB,分別交（。于E兩點,連接AE,DE.求

ZDEB的大小和DE的長；

（2）如圖2,ABC的頂點C在：?。外，且邊與「。相切于點M,AC邊與。相交于點N,連

接AO,BO,求AN和02的長.

【答案】（1）ZDEB=45°,DE=-J1-

（2）4V=6；OB=y[^i-

【解析】

【分析】（1）由等腰三角形及三角形的內角和定理得，NC43=/B=45。，點。在CO上，且

ZACB=90°,在RtaAEC中，由勾股定理得：CE=6,從而得EB=2；然后利用圓內接四邊形的性質

及解直角三角形即可求解；

（2）如圖，連接過點。作OH,AC于點〃，由切線性質得OM_L5c于點即

ZOMC=90°,證四邊形為矩形，得OAf=CH=5,OH=CM,即AH=3,又由垂徑定理

得AH=HN=3,即AN=6；從而利用勾股定理即可得解.

【小問1詳解】

解：VZACB=90°,AC=BC^S,

■■ZCAB=ZB=45°,

:點。在O上，且NACB=90。，

為直徑，即AE=10,

..在Rt^AEC中，ZACB=90°,AE=10,AC=8,

由勾股定理得：CE=yjAE2-AC2=A/102-82=6-

EB=BC—CE=8—6=2；

:四邊形ADEC內接于圓，且/ACB=90。，

NAZ汨=90。，

..ZEDB=90°,ZDEB=900-ZB=45°,

A/2

DE=EB?sinNB=2xV=四;

【小問2詳解】

解：如圖，連接31,過點。作于點”,

???8C切；。于點M,且切為半徑，

OM±BC于點M,即ZOMC=90°,

ZC=ZOHC=ZOMC=90°,

，四邊形為矩形，

OM=CH=5,OH=CM,

AH=3,

VOH1AC,且OH為半徑，

AH=HN=3,即AN-6；

在RtaAOT/中，由勾股定理得：OH=yjAO2-AH2=y/52-32=4-

：OH=CM=4,可知族=5。-0/=8-4=4；

在RtAOBM中，由勾股定理得：OB=y/OM2+MB2=752+42=屈■

【點睛】本題主要考查了勾股定理，圓內接四邊形的性質，圓周角定理，解直角三角形以及切線的性質定

理和矩形的判定及性質，熟練掌握解直角三角形以及切線的性質定理和矩形的判定及性質是解題的關鍵.

22.校慶期間，小南同學從家到學校瞻仰張伯苓校長的雕塑，聆聽學校的辦校故事.他從家出發(fā)后，導航

給出兩條線路，如圖：①AfM；②AfCf經勘測，點E在點A的北偏西

45°方向1200米處，點。在點E的正北方向，點M在點。的正東方向90米處，點B在點E的正東方

向，且在點A的北偏東30°方向；點C在點〃的正東方向406米處，且在點8的北偏西37°方向.

D

r

E5南

\：30/

17

A

（1）求EB的長度；（結果保留根號）

（2）由于時間原因，小南決定選擇一條較短路線到達張伯苓校長的雕塑前，請計算說明他應該選擇哪條

路線距離更短（參考數據：^2?1.41?6=1.73，sin370取0.6,cos370取0.8,tan37°^0.75）.

【答案】⑴EB的長度為（120+406）米；

（2）選擇路線②距離短，見解析

【解析】

【分析】本題考查的是解直角三角形的實際應用，矩形的判定與性質，作出合適的輔助線是解本題的關鍵；

（1）過點A作APLEB,于點P,分別在RtEAP,RtZXBAP中，利用三角函數求解/，石，AP,BP

即可得到答案；

（2）過點B作垂足為。，證明四邊形。EQB為矩形，求解CQ=30；在Rt^CQB中，

在RtZXBAP中進一步求解即可得到答案.

【小問1詳解】

解：過點A作于點P，

A

由題意得：N￡AP=45°,ZB4P=30°,ZEPA=ZBPA=90°,9=120近米.

:在Rt-EAP中，ZEAP=45°,EA=12OJ2>

EP=AE?sin45°=—x12072=120，

2

同理AP=AE?cos450=120；

:在RtA/MP中,NB4P=30°,AP=120,

■■■^P=BP-tanSO0=—X120=40A/3-

3

EB=EP+BP=120+40存

即EB的長度為（120+40⑹米.

【小問2詳解】

過點8作BQ，。。，垂足為。，

由題意得：NDEB=ND=NDQB=90°,

.?.四邊形。EQB為矩形，

DE-QB,DQ=EB,

DQ=DC+CQ=90+40^3+CQ,

且助=120+40石，

90+4073+CQ=120+4073

.-.CQ=30；

?.?在RtZ\CQ3中，ZCBQ=37°,CQ=30,

tanZCBQ=—,sinZCBQ=空，

BQ2BC

DE=QB=40

:在RtA8Ap中，ZB4P=30°,AP=120,cosZPAB=—,

AB

=80A/3:

cosNPABcos30°

路線①的長為AE+DE+DM=120V2+90+40=130+12072工299.2（米），

而路線②的長為AB+BC+CM=50+120石a257.6（米），

顯然257.6<299.2,

，選擇路線②距離短.

23.甲、乙兩輛滿載水果的運輸車同時從A地出發(fā)前往8地，甲車勻速行駛4h至距離A地160km的C地

時發(fā)生故障原地維修，2.4h后維修完畢，于是甲車勻速行駛1.6h到達8地.乙車勻速行駛4〃到達距離A

4

地240km的8地，接著花費一h卸載水果，然后立即原路勻速返回A地，結果乙車回到A地時恰好甲車

3

到達8地.在兩車行駛的過程中，甲、乙兩車距離A地的距離y（單位：km）與它們離開A地的時間尤

（單位：/I）之間的函數圖象如圖所示.

y（km）4

請結合圖象信息，解答下列問題:

（1）填表:

甲車離開A地的時間（單位:

甲車離A地的距離（單位:

km)

（2）請直接寫出乙車行駛的全過程中y與x的函數關系式.

（3）填空：

①圖中6的值為;

②當x=(h)時，甲、乙兩車相距60km.

【答案】(1)40；160；240；

(2)當0WxW4時，y=60x；

當4<x<3時，y=240；

3

當時，y=—90X+720；

5047

(3)①144；②3；——；一

97

【解析】

【分析】本題考查了一次函數的應用，解題的關鍵是：

(1)根據圖象直接求解即可求解；

(2)待定系數法求一次函數解析式；

(3)①把％=6.4代入y=—90%+720,即可求解；

②分0<xK4,4<x<y,y<x<6|,6|<xV8四種情況討論即可.

【小問1詳解】

解：：甲車勻速行駛4h至距離A地:160km的C地，

甲車的速度為160+4=40km/h,

當x=l時，y=lx40=40,

由圖象可知，當x=6.4時，y=160；,當％=8時，y=24。，

故答案為:40,160,240；

【小問2詳解】

解：當0<九44時，設y與x的函數關系式為丁=區(qū)，

把x=4,y=240,代入得240=4無，

解得上=60,

/.y=60x；

416

當4<x<4+—,即4<x<、時，y=240；

33

當:<x<8時，設y與x的函數關系式為丁=g+〃，

—m+n=240

把x=y=240；_x=8,y=。，代入，得＜3

3

8m+n=0

m=-9Q

解得《

〃二720

y=-90x+720；

綜上：當0<x<4時，y=60x；

當4<%<3時，y=240；

3

當時，y=—90尤+720；

【小問3詳解】

解：①把x=6.4,y=6代入y=-90x+720,

^=-90x6.4+720=144,

故答案為：144；

②當0<xW4時，

:乙車勻速行駛4/2到達距離A地240km的8地,

/.乙車速度為240+4=60km/h

根據題意，得60x—40x=60,

解得x=3；

當時，兩車相遇240—160=80km,故不符合題意，舍去;

3

把y=160代入y=-90%+720,得160=-90%+720,

2

解得x=6§<6.4

當”<xW62時，

39

根據題意，得—90x+720—160=60,

解得x=—,

9

2

當63cxW8時，

設甲車行駛中y與尤的函數關系式為y=ox+b,

把尤=6.4,y=160；%=8,y=24。代入,

[6Aa+b-160

得V

[8〃+b=240

a=50

解得《

b=-16Q

y=50%—160,

根據題意，得50x—16。一（一9。%+72。）=6。,

解得力巖47

綜上，x=3；y；y（h）Bt,甲、乙兩車相距60km,

5047

故答案為：3；

~9；~1'

24.如圖1,將一個矩形紙片Q4BC放置在平面直角坐標系中,點0(0,0),點A(36,o),點0(0,6),

點。在邊OC上（點。不與點O,C重合），折疊該紙片，使折痕所在的直線經過點。，并與直線AB相

交于點R且NCZ)E=60°,點c的對應點為c'.設。=九

圖1圖2圖3

(1)如圖2,當折痕經過點3時，求/的值和點C的坐標;

（2）若折疊后的圖形為四邊形，點8的對應點為"，3'C’與A3邊相交于點G,CD,B'C'分別與x

軸相交于點8，/,設折疊后四邊形DEB'C'與矩形Q46c重合部分的面積為S.

①如圖3,當折疊后四邊形DEB'C'與矩形Q4BC重合部分為五邊形時，試用含有r的式子表示S,并直

接寫出f的取值范圍；

717

②當一＜/＜一時，直接寫出S的取值范圍.

23

【答案】（1）/=3；點C'的坐標為百

（2）①S=—2舟+18后-33/;（4<Z<5）；■布<S*6.

【解析】

【分析】（1）在Rt_5CD中，利用正切定義求出CD即可，過C作C7/LOC于H,在RtHCZ>中，利

用余弦定義求出DH即可，利用勾股定理求出C'H,即可求解；

（2）①解直角三角形，分別用才表示出OH,FG,AG,〃，然后S=S梯形2必6-5。附-5//求解即

可；

717

②分一</W4：4<r<5；5wr<q三種情況討論，利用二次函數的性質求解即可.

【小問1詳解】

解：由題意，得NCOS=60°,

:矩形紙片。4BC放置在平面直角坐標系中，點0（0,0）,點A（3g,0）,點C（0,6）,

；.OC=AB=6OA=BC=3f，ZAOC=ZOCB=ZABC=ABC=90°,OC//AB,

在Rt_5CD中，t=———=色晝=3,

tanZBDCtan60°

過C作C'”_LOC于X,

:.C'D=CD=3,NBDC=ZBDC=3。,

：.ZHDC'=60°,

3

在RtHC'D中,DH-CD-cosZC'DH=：3xcos60°=-,

2

/--------------3l3

C'H^yJCD2-DH2=-V3,OH^OC-CD-DH=-,

22

...點c'坐標為

【小問2詳解】

解：①過/作EK_LOC于K,

則四邊形AOK",CKFB都是矩形,

FK=OA=3有，

在Rtz\DEK中，DK=———=2^=3,

tanZKDFtan60°

:.CK=BF=t—3,

???OC//AB,

：.ZBFD=1800-ZCDF=120°,ZDFG=ZCDF=60°,

..?折疊，

ADC=DC'=t,PF=BF=t—3,ZBFD=ZB'FD=120°,

ZB'FG=6O°,

：.ZB'GF=ZAGT=30°,

在中，OD=6-t,NOL>H=60。,

/.OH=ODtanNODH=同6-1),

在RtB'FG中，B'F=t—3,NB'FG=60°,

B'F

FG==263),

cos/B'FG

/.AG=AB-BF=FG=15-3t,B'G=>JFG2-B'G2=百(/一3)，

在Rt^AGZ中，AG=15-3t,ZAGT=30°,

AT=AGtanNAG/=

S=S梯形。OAG-SODH—S,AG/

=1(6-?+6-?+3)xV3-1(6-Z)x^(6-Z)-1(15-3?)x^

=-2后+18囚-33百，

折疊后3'C'與AB邊相交于點G,CD,3'C'分別與x軸相交于點H,/,

百(6-。+三(15-30<3百

15-3Z>O

4<Z<5,

S=-2后+18后-33百(4</<5)；

=S梯形5CDF—SB'FG

=一爭2+6每一9/

=—爭—6)2+9/

當/<6時，S隨/的增大而增大，

.?.當r=:時，s有最小值為

28

當才=4時，S有最大值為7百；

當4</<5時，S=—2技2+18技—336=—2若［—g)+yV3-

拋物線開口向下，點到對稱軸的距離越大，函數值越小，

V4<Z<5,

當r=2時，s有最大值為"G，

22

-471s91

2222

當/=4或/=5時，S有最小值為76，

=1（6-Z+6-Z+3）x3^-1（6-Z）xV3（6-?）

一走一+38+2省

22

=-^（?-3）2+9A/3，

當f>3時，S隨/的增大而減少，

l1749l

...當/=5時，S有最大值為76，當/=了時，S有最小值為勺6,

,71749/-15/-

綜上，當一</<—時，—V3<SV—A/3.

2392

【點睛】本題考查了矩形與折疊，解直角三角形，勾股定理，二次函數的性質等知識，理解重疊圖形的變

化規(guī)律是解題的關鍵.

25.已知拋物線y=ox?+6x+c（其中a,b,c為常數，a<0,cwO）與無軸交于A,B兩點（其中點A

在點2的左側），與y軸相交于點C,且點A坐標為（3-c,0）.點。（3,c）在拋物線上，連接AD,過拋物

線的頂點E作直線EP〃A￡）,石P交拋物線于點P,設點尸的橫坐標為加.

（1）若c=6時，求拋物線的解析式及點￡的坐標；

(2)若c=—10a,求a,m的值；

(3)過點P作尸。〃x軸交直線AD于點。連接3Q,恰有8?！溯S，求。，機的值(直接寫出結果即

可).

【答案】(1)拋物線解析式為y=——+彳■，點后的坐標為I?，彳｝

(2)a=—，m的值為---;

22

6-3^2

⑶…迪m=---------

34

【解析】

【分析】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式、二次函數的性質、定系數法求一次函數的解析式等知

識，解題的關鍵是:

(1)把A、。的坐標代入y=。%2+加；+6求解即可；

(2)把A、Z)的坐標代入)=以2+法—10〃，求出〃，匕的值，然后利用待定系數法求出直線AD解析式，

進而求出直線AD解析式，然后聯立方程組求解即可；

3^-1

(3)把。的坐標代入y=。%2+法+。，求出Z?=-3a,把A的坐標代入y=ax?一3〃%+。，求出c=------,

a

則y=?2—3ax+%」，Af-,o\D(3,網二］,求出頂點'礦—4］,利用待定系數法

a\aJaJ(24a)

1—9a26〃—A

求出加解析式為y=結合小〃皿可求出PE解析式為y=x聯立方程組

-9a2+6〃一4

y_JQ_|_______________

4a，求出乜?],山=到2,結合尸?！溯S，求出。的橫坐標為

2.3a-l12a4)2a

y-ax-5ax-\--------

a