2024屆湖北宜荊荊高三五月高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

2024屆湖北宜荊荊高三五月高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題含答案

宜荊荊五月高考適應(yīng)性考試

數(shù)學(xué)試題

本試卷共2頁，共19題。滿分150分,考試用時(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：L答題前,考生務(wù)必將自己的姓名.準(zhǔn)考證號(hào)填在答題卡上.

2.選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡

皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào),答在試題卷上無效.

3.填空題和解答題答在答題卡上每題對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，答在試題卷上無效.

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符

合題目要求的.

1.若角a的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊在%軸的非負(fù)半軸上,終邊在直線y=V3%±,則角a的取值集

合是

A.|a—2/OT+g,/cEzj

B.{a|a=2kn+與,kez}

C{a[a=去兀+4,kGz}

D.{a|a=/ot+g,/cCz}

2.從一個(gè)容量為Tn(7n>3,meN)的總體中抽取一個(gè)容量為3的樣本,當(dāng)選取簡單隨機(jī)抽樣方

法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的可能性是*則選取分層隨機(jī)抽樣方法抽取樣本時(shí)，總

體中每個(gè)個(gè)體被抽中的可能性是

3.復(fù)數(shù)Z1，Z2在復(fù)平面內(nèi)分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)4B,Z1=3+4i,將點(diǎn)2繞原點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90。得到

點(diǎn)B則Z2=

A.3-4i

B.-4—3i

C.4-31

D.-3—4i

4.如果一個(gè)等差數(shù)列前10項(xiàng)的和為54,最后10項(xiàng)的和為146,且所有項(xiàng)的和為390,則這個(gè)數(shù)

列有

A.36項(xiàng)

B.37項(xiàng)

C.38項(xiàng)

D.39項(xiàng)

5.直線y=依與圓（久-1）2+（y-I）2=1交于M.N兩點(diǎn),。為坐標(biāo)原點(diǎn),則方而?ON-

A.工

1+k2

R1

'1+fc2

C.1

D.2

6.有三個(gè)房間需要粉刷,粉刷方案要求:每個(gè)房間只用一種顏色,且三個(gè)房間顏色各不相同.已

知三個(gè)房間的粉刷面積（單位:m2）分別為%,%z,且無>y>z,三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用（單位:

元/m2）分別為a,b,c,且a<c.在不同的方案中，最低的總費(fèi)用（單位:元）是

A.ax+by+cz

B.az+by+ex

C.ay+bz+ex

D.ay+bx+cz

7.互不相同的5盆菊花,其中2盆為白色,2盆為黃色,1盆為紅色,現(xiàn)要擺成一排，白色菊花不

相鄰,黃色菊花也不相鄰,共有擺放方法

A.24種

B.36種

C.42種

D.48種

8.設(shè)。=］（久一a）2+（〃一2v^）2+a+1,其中e-2.71828,則。的最小值為

A.V2

B,V2+1

C.V3

D.V3+1

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分.共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要

求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.

9.設(shè)u為全集，集合A、B、c滿足條件auB=auc,那么下列各式中不一定成立的是

A.BJA

B.CQA

c.an(CVB)=an(c“c)

D.(CM)cB=(小)nc

10.在aaBC中,4B、C所對(duì)的邊為a、b、c,設(shè)BC邊上的中點(diǎn)為M,△ABC的面積為S,其中

a—2^/3,b2+c2—24,下列選項(xiàng)正確的是

A.若4-p貝！Js-3A/3

B.S的最大值為3b

C.AM=3

D.角a的最小值為］

n.對(duì)于正整數(shù)律，卬(71)是小于或等于72的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的數(shù)目.函數(shù)8(71)以其首名研究

者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù),例如卬(9)=6(1,2,4,5,7,8與9互質(zhì))，則

A.若72為質(zhì)數(shù)，則卬(九)=71-1

B.數(shù)列WS)｝單調(diào)遞增

C.數(shù)列｛扁｝的最大值為I

D.數(shù)列修(3與｝為等比數(shù)列

三、填空題:本題共3小題,每小題5分.共15分.

12.若函數(shù)/(%)=ln(e2%-a)-x(xER)為偶函數(shù),則a=.

22

13.已知橢圓:今+y=l(a>V5),M(V3,V6),若對(duì)于橢圓上任意兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)

口1(久1，%)，口2(久2。2)，有MP；-MP；>1恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

14.祖晅原理也稱祖氏原理，是我國數(shù)學(xué)家祖眶提出的一個(gè)求體積的著名命題：”易勢既同，

則積不容異”，“易”是截面積，“勢”是幾何體的高，意思是兩個(gè)同高的立體，如在等高

處截面積相等，則體積相等.由曲線?—?=l,y=±^x,y=±4圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周

所得旋轉(zhuǎn)體的體積為匕則，=."

四、解答題:本題共5小題，共77分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本小題13分)

設(shè)｛即｝是正數(shù)組成的數(shù)列,其前幾項(xiàng)和為治,已知即與2的等差中項(xiàng)等于上與2的等比中項(xiàng).

⑴求數(shù)列｛33的通項(xiàng)公式；

⑵令%=(等i+至七)(nGN*),求｛.｝的前n項(xiàng)和.

16.(本小題15分)

如圖,在三棱錐P-2BC中，側(cè)面P4C1底面4BC,2C1BC,ZkP2C是邊長為2的正三角

形,BC=4,E,F分別是PC,PB的中點(diǎn),記平面2EF與平面4BC的交線為2.

⑴證明：直線，1平面P4C;

(2)設(shè)點(diǎn)Q在直線，上,直線PQ與平面2EF所成的角為出異面直線PQ與EF所成的角為仇求當(dāng)ZQ

為何值時(shí)a+。=￡

17.(本小題15分)

已知函數(shù)/(%)=ex-Inx-a,g(x)=ex-ln(x+a),,其中a為整數(shù)且a>1.記%0為f(%)的極

值點(diǎn),若/(%)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)%1，型(%1<%2)：

(1)求a的最小值；

⑵求證:gQn%D=g(ln%2)=0;

18.(本小題17分)

已知拋物線E:/=2py(p>0)的焦點(diǎn)為凡”為E上任意一點(diǎn),且|HF|的最小值為1.

(1)求拋物線E的方程；

(2)已知P為平面上一動(dòng)點(diǎn),且過P能向E作兩條切線,切點(diǎn)為,M.N,記直線PM,PN,PF的斜率分

別為磯k,k,且滿足三十三=『.

23用13億3

(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;

⑵試探究:是否存在一個(gè)圓心為Q(O,QQ>0),半徑為1的圓，使得過P可以作圓Q的兩條切線

h，12,切線匕,％分別交拋物線E于不同的兩點(diǎn)4(S1，t1),B(s2,12)和點(diǎn)C(S3,G)，O(S4,%)，且

S1S2s3s4為定值?若存在,求圓Q的方程,不存在,說明理由.

19.(本小題17分)

龍泉游泳館為給顧客更好的體驗(yàn),推出了A和B兩個(gè)套餐服務(wù),顧客可選擇A和B兩個(gè)套餐之一，

并在App平臺(tái)上推出了優(yōu)惠券活動(dòng)，下表是該游泳館在App平臺(tái)10天銷售優(yōu)惠券情況.

日期t12345678910

銷售量y(千張)1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4

經(jīng)計(jì)算可得:歹=g％=2.2,盛1%=118.73,型汨=385.

(1)因?yàn)閮?yōu)惠券購買火爆,app平臺(tái)在第io天時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)異常,導(dǎo)致當(dāng)天顧客購買優(yōu)惠券數(shù)量

大幅減少，已知銷售量y和日期t呈線性關(guān)系,現(xiàn)剔除第10天數(shù)據(jù),求y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程

(結(jié)果中的數(shù)值用分?jǐn)?shù)表示)；

(2)若購買優(yōu)惠券的顧客選擇A套餐的概率為;,選擇B套餐的概率為并且A套餐可以用一

張優(yōu)惠券,B套餐可以用兩張優(yōu)惠券,記App平臺(tái)累計(jì)銷售優(yōu)惠券為n張的概率為匕,求匕；

(3)記(2)中所得概率分的值構(gòu)成數(shù)列｛4｝(>GN*).

(1)求心的最值：

⑵數(shù)列收斂的定義：已知數(shù)列｛即｝,若對(duì)于任意給定的正數(shù)當(dāng)總存在正整數(shù)時(shí),使得當(dāng)n>No

時(shí)，|與-a|<當(dāng)(a是一個(gè)確定的實(shí)數(shù))，則稱數(shù)列｛即｝收斂于a.根據(jù)數(shù)列收斂的定義證明數(shù)列

｛匕｝收斂

參考公式：.力(x,-7)(X-7)為物-前亍

b=J----;—=氣-------，a=y-bx.

力(芍-工)之力-我

/-I/-I

宜荊荊五月高考適應(yīng)性考試

數(shù)學(xué)試題

參考答案

1234567891011

DACDCADAABCABCACD

13.(石,2應(yīng)]14.3271

2

15.解(1)由題意，有等2=，整理得Sn=1(an+2)，

由此得S”+i+2)2，'勺+1=S〃+|-S,+2)2-@+2)2]2分

O

整理得(%“+%)(%+1-q-4)=0,

由題意知4“+|+勺*0,???。7一/=4,..........................................4分

即數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，其中4=2,公差4=4,

/.???=?!+(?-!)?/=2+4(n-1),即｛與｝通項(xiàng)公式為%=4〃-2.6分

("€2),令4="-1=；

⑵4=3+2+J,8分

4+1/

r.1t7-.I、111

則c?=-(z-^-+-^--2)=-(--?-1)+-?)=10分

2an%2L2n-12n-12n+I,

^bl+b2+-+b?-n=ci+c2+-+cn

=("?(H)+...+(I一七

??T=n+l———..........................................................................................................13分

"2/J+I

16.解：(1)證明：???￡?,/分別為PC,P3中點(diǎn)，

：.BC//EF,2分

又E/u平面￡B4,BCa平面￡E4,

.?.SC〃平面EE4.............................................................................................................3分

又8Cu平面48C,平面EE4c平面4SC=/,

:.I//BC,.4分

■：PA=PC=AC=2,

AEA.PC,

?：AC1BC,平面P/CJ■平面ABC,平面HCc平面48C=/C,BCu平面ABC,

,8CJ■平面P4C,

^11IBC6分

二直線/工平面刃C........................................................................................................7分

(2)如圖，

答案第I號(hào)

以C為原點(diǎn)，以C4C8所在直線為軸，過。作Cz_L平面4C8,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系：.......................................................................................8分

則C(0,0,0),4(2,0,0),F(g,2冷,尸。,0,白)，。(2,九0),

二荏=(1,0,6)為平面4f尸的法向量，而=(0,2,0)，

PQ=(1j，-G)...................................................10分

cos<CP,'pQ>=—-2,cos<PQ,而>=―>....................12分

2也+/77+42也+.2也+/

設(shè)直線尸。分別與平面NM、直線E尸所成的角分別為。，6,a+6=5，

sina=/1,cos。=,,sina=cos0,.........................................

13分

V/+4|V/+4|

即1=3,求解y=±l,存在。(2,1,0)或。(2,T,0),

即當(dāng)，。=1時(shí)，ay..................................................................15分

17.解：(1)/?)=/-g(x>0),廣口)=/+3>0,故八%)在(0,+8)上調(diào)遞增，.......2分

尸(g)=G2V0,r⑴=e-l>0,.....................................................3分

由零點(diǎn)存在性定理知，存在唯一的X。6(1,1),使得/'(X°)=0,即/》=」-,

2X。

/(x)在(0,%)上單調(diào)遞減，在(%，+8)上單調(diào)遞增..........................................5分

Xo

當(dāng)/(x)min=f(x0)=e-lnx0-a=x0+--a,.............................................7分

X。

若/(x)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則?/'(Xo)VO，即X?！?-----。<0,。>玉)"1---,

由玉,w(；,1)知X。+Je(2,g)，所以a的最小值為3.........................................9分

(2)由題意/(再)=/(々)=0，即a=e*—lnX[=e*—Inx2,...............................12分

x

故g(lnxj=須一ln(lnX]+e'-lnx()=x}-xt=0,同理gOnx?)=0.

g(lnx1)=g(lwx2)=0....................................................................15分

:,共2頁

18?解：（1）設(shè)拋物線E的準(zhǔn)線/：y=一^,〃為拋物線上任意一點(diǎn)過〃作J■/于點(diǎn)M，

由拋物線的定義得：\HF\=\HHt\,

所以當(dāng)，與原點(diǎn)。重合時(shí)，|“總京=5=1，所以〃=2,

所以拋物線E的方程為/=4y..........................................................................................................................4分

（2）設(shè)P（%〃）,過點(diǎn)P且斜率存在的直線/：y=〃（x-優(yōu)）+”,

聯(lián)立，*=4y，消去y,整理得：x2-4kx+4km-4n=0.（*）

y=k（x-m）+n

由題可知A=16芯-4（4hw-4〃）=0,即《2一加4+〃=0,

勺，左2是該方程的兩個(gè)不等實(shí)根，由韋達(dá)定理，?'+?2=W....................................5分

I桃2=〃

又?.?尸（0,l）,..&=T,mx0，

m

由工+，=2,有AdA=2,.,.%=生，.................................................7分

k}k2k、kJ?k3n/i-l

因?yàn)?加W0,??=2〃,.\n=-b

所以點(diǎn)尸的軌跡方程為y=-l（x工0）（沒有寫范圍的扣1分）.....................................9分

（1）由（2）知P（用,-1）,

設(shè)4:夕=女式》一機(jī)）一1,，2-y=ni）-\,tn^±^mwO

所以（*）式即為/-4%》+4《"+4=0.

又4（s"1）,BQ2冉）C3冉），，幻，

由韋達(dá)定理，5島=4k4m+4,s3s4=4AsM+4,

所以SR2s3s4=（4后衲+4）（4&/?+4）=1644Asm2+16m（/c4+々）+16...............................................................11分

又因?yàn)?和以圓心為。（0M）U>0）,泮徑為1的圓相切。

所以|勺（0二切）~1-4=J即（用2_］氏2+2m（A+1）e+萬+24=0.

71777

2

同理（加2-1*；+2機(jī)（九+1）%+A+2A=0.....................................................................................................13分

所以％的分別是方程（評(píng)-1*+2團(tuán)q+1）%+；12+2/1=0的兩個(gè)根，

所以由韋達(dá)定理，，

,,22+22

k"=2?

m-1

所以S|S253s4=16%內(nèi)蘇+16"；（幻+與）+16=^^~（；12+2/1—2；1—2）+16=^^~（；12-2）+16...............15分

"1-1tn-1

若S|S2s3s4為定值，則A2-2=0,X1.,2>0,.,.2=應(yīng)。

所以圓。的方程是：X2+（^-V2）2=1..............................................................................................................17分

答案第2：

19.解：(1)剔除第10天數(shù)據(jù)的(刃新=g&,=22xl；-04=2.4,

必67342207斫以-6732207

故4=2.4-----x5=-----?丹］以、=----/+.....5分

6000120060001200

（2）由題意可知E=；2T+；2.2（〃A3），.