備戰(zhàn)2024高考數學藝體生一輪復習講義專題23復數經典問題

專題23復數經典問題【考點預測】一.基本概念（1）叫虛數單位，滿足，當時，.（2）形如的數叫復數，記作.=1\*GB3①復數與復平面上的點一一對應，叫z的實部，b叫z的虛部；Z點組成實軸；叫虛數；且，z叫純虛數，純虛數對應點組成虛軸（不包括原點）。兩個實部相等，虛部互為相反數的復數互為共軛復數.=2\*GB3②兩個復數相等（兩復數對應同一點）=3\*GB3③復數的模：復數的模，也就是向量的模，即有向線段的長度，其計算公式為，顯然，.二.基本性質1、復數運算（1）（2）其中，叫z的模；是的共軛復數.（3）.實數的全部運算律（加法和乘法的交換律、結合律、分配律及整數指數冪運算法則）都適用于復數.2、復數的幾何意義（1）復數對應平面內的點；（2）復數對應平面向量；（3）復平面內實軸上的點表示實數，除原點外虛軸上的點表示虛數，各象限內的點都表示復數.（4）復數的模表示復平面內的點到原點的距離.【典例例題】例1．（2023·河南·長葛市第一高級中學統(tǒng)考模擬預測）已知復數，則的實部為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，所以，所以的實部為.故選：A.例2．（2023春·廣東·高三統(tǒng)考開學考試）已知復數滿足，其中為虛數單位，則的實部為（

）A．1 B． C．0 D．【答案】C【解析】，所以，，的實部為0．故選：C例3．（2023春·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習）已知復平面內點對應的復數為z，則復數的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，則，其虛部為.故選：B例4．（2023·四川成都·高三成都七中?？茧A段練習）復數z滿足：（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設，則，由得，，解得，．故選：A．例5．（2023·全國·高三校聯考階段練習）已知i為虛數單位，復數z的共軛復數為，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，則，，則，，∴.故選：B.例6．（2023春·江蘇常州·高三校聯考開學考試）若復數是純虛數，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】為純虛數，，，故選：.例7．（2023春·河南新鄉(xiāng)·高三校聯考開學考試）已知，且為實數，則實數（

）A． B． C．1 D．2【答案】A【解析】因為為實數，所以.故選：A例8．（2023·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習）已知，若復數為純虛數，則復數在復平面內對應的點所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】復數是純虛數，，且，故，.故復數在復平面內對應的點在第一象限，故選：A.例9．（2023·浙江·高三期末）已知復數（其中i為虛數單位），若，則（

）A．1 B． C．1或 D．或5【答案】C【解析】由題意得，則，所以，解得或，故選：C例10．（2023·四川樂山·統(tǒng)考一模）設復數z滿足，z在復平面內對應的點為，則（

）A．

B． C． D．【答案】B【解析】復數z滿足,即，其幾何意義為復平面內的點到點和點的距離相等，即點的軌跡為和的垂直平分線，即z在復平面內對應的點在直線上，故，故選：B例11．（2023春·河北石家莊·高三石家莊二中?？奸_學考試）已知（是虛數單位）是關于的方程的一個根，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為是關于的方程的一個根,所以也是方程的根.根據根與系數的關系可得即得,所以故選:A.例12．（2023·高三課時練習）若且，則的最小值為_______．【答案】3【解析】表示圓心為，半徑為1的圓，而表示圓上的點到的距離，∴最小值為圓心到點的距離減1，即最小值為，如圖所示．故答案為：3．例13．（2023·高三課時練習）已知復數，則______．【答案】【解析】，∴，∴.故答案為：.【技能提升訓練】一、單選題1．（2023·江蘇揚州·高三校聯考期末）若i為虛數單位，復數z滿足，則z的實部為（

）．A． B．3 C． D．2【答案】D【解析】，則，則z的實部為.故選：D.2．（2023·湖南益陽·高三統(tǒng)考期末）設復數，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，則，∵，∴，即：，∴，∴∴.故選：D.3．（2023·山東德州·高三統(tǒng)考期末）已知復數z滿足3z－1＝（z＋2）i，則z＝（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設復數，代入，有，則，解得，∴.故選：D4．（2023·江蘇南京·高三南京師范大學附屬中學江寧分校校聯考期末）設a為實數，若存在實數t，使為實數(i為虛數單位)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，因為存在實數t，使為實數，a為實數，所以存在實數t，，故存在實數t，，所以，故選：A.5．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預測）已知為虛數單位，若復數為純虛數，則復數在復平面上對應的點所在的象限為（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】因為復數為純虛數，由，可知，所以，則，所以復數在復平面上對應的點為，位于第四象限.故選：D6．（2023·內蒙古赤峰·統(tǒng)考模擬預測）已知，（為虛數單位），則（

）A． B．1 C． D．3【答案】A【解析】由題意知，，則.故選：A.7．（2023春·山東濟南·高三統(tǒng)考開學考試）已知復數，其中i是虛數單位，則在復平面內所對應的點在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】因為，所以，所以，故在復平面內所對應的點的坐標為，在第三象限.故選：C.8．（2023·全國·高三專題練習）若復數在復平面對應點在第三象限，則a，b滿足（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵，又因為復數在復平面對應點在第三象限，所以，解得.故選：D.9．（2023·浙江杭州·高三期末）若復數（其中i為虛數單位），則（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【解析】因為，則.故選：C．10．（2023春·河南濮陽·高三統(tǒng)考開學考試）已知復數，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】復數，故，所以，故選：C11．（2023·浙江嘉興·高三統(tǒng)考期末）若復數滿足（為虛數單位），則（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【解析】，，.故選：A.12．（2023·浙江紹興·高三期末）已知復數z滿足，則（

）A． B．0 C．4 D．5【答案】D【解析】由，則有，所以.故選:D．13．（2023·山西長治·高三校聯考階段練習）已知復數的共軛復數為，且，則的值為（

）A． B．1 C．或1 D．或2【答案】C【解析】或故選：C.14．（2023·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學校考期末）已知為虛數單位，復數z滿足，則的虛部為（

）A．－1 B．－2 C．1 D．2【答案】A【解析】設，則，解得：，故的虛部為-1.故選：A．15．（2023春·江西·高三校聯考階段練習）已知復數z滿足，則z的虛部是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設，由，由，故選：D16．（2023春·湖南長沙·高三長郡中學?？茧A段練習）若復數z滿足，則的實部為（）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】設復數，則，則由可得且，解得，故，其實部為.故選：C.17．（2023·江蘇·高三統(tǒng)考期末）若復數滿足，則復數在復平面內對應點組成圖形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在復平面對應的點是半徑為2的圓及圓內所有點，，故選：D.18．（2023春·江西·高三校聯考階段練習）已知i是虛數單位，復數，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，∴.故選：D19．（2023·河北保定·高三統(tǒng)考期末）若，則等于（

）A．2 B．6 C． D．【答案】B【解析】,所以.故選：B20．（2023春·河南·高三商丘市回民中學校聯考開學考試）設復數，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以.故選：A.21．（2023春·甘肅天水·高三?？奸_學考試）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意．故選：C．22．（2023春·浙江紹興·高三統(tǒng)考開學考試）若（是虛數單位），則（

）A． B．0 C．1 D．3【答案】A【解析】因為,所以,則,所以,故選：A.23．（2023春·河南·高三洛陽市第三中學校聯考開學考試）復數的共軛復數是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以復數的共軛復數是.故選：A.24．（2023·山東·濰坊一中校聯考模擬預測）已知復數在復平面內的對應點為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為復數在復平面內的對應點為，所以，所以故選：D25．（2023·高三課時練習）若關于x的實系數方程有一個復數根是，則另一個復數根是（

）A． B． C． D．無法確定【答案】A【解析】若關于x的實系數方程有兩個復數根，則兩復數根互為共軛復數，故該方程的另一個復數根是.故選：A.26．（2023春·福建泉州·高三校聯考階段練習）已知復數是關于的方程的一個根，則（

）A．4 B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得，即，所以，所以，解得，所以，故選：C27．（2023·四川成都·高三石室中學校考階段練習）若復數z滿足，則z的共軛復數在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】由已知，則z的共軛復數為，其在復平面內對應的點為，位于第四象限.故選：D.28．（2023·全國·高三專題練習）已知復數滿足，則的虛部為A．-4 B．C．4 D．【答案】D【解析】設∴，解得考點：本題考查復數運算及復數的概念點評：解決本題的關鍵是正確計算復數，要掌握復數的相關概念二、多選題29．（2023·河北唐山·高三統(tǒng)考期末）已知為虛數單位，復數，下列結論正確的有（

）A．B．C．若，則D．若，則【答案】AC【解析】A選項，，A選項正確.B選項，，B選項錯誤.C選項，，，若，則，解得，所以C選項正確.D選項，當時，，所以D選項錯誤.故選：AC30．（2023·全國·高三專題練習）已知復數，則下列各項正確的為（

）A．復數的虛部為 B．復數為純虛數C．復數的共軛復數對應點在第四象限 D．復數的模為5【答案】BC【解析】∵，則可得：復數的虛部為1，A錯誤；為純虛數，B正確；復數的共軛復數為，其對應點為，在第四象限，C正確；復數的模為，D錯誤；故選：BC．三、填空題31．（2023·高三課時練習）復數的虛部是______．【答案】【解析】，∴的虛部為.故答案為：.32．（2023·天津南開·高三崇化中學校考期末）已知為虛數單位，若復數，則實數的值為__________．【答案】-2【解析】，由，所以復數為實數，則，，此時，滿足.故答案為：-233．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）已知復數（為虛數單位）在復平面內對應的點位于第二象限，則實數的取值范圍是____________．【答案】【解析】，∴復數在復平面內對應的點為，由已知，在第二象限，∴，解得.綜上所述，實