湖南省衡陽市2022-2023學年高二年級下冊7月期末聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高二數(shù)學試卷

注意事項：

1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1,已知集合A={M2T<1},8="215<0},貝,B=()

A.(1,5)B.(1,3)

c.(-5,1)D.(-3,1)

【答案】B

【解析】

【分析】計算并求解集合A，B,利用交集的定義求解AcB.

【詳解】2-x<l.解得x>l；x2+2%-15<0>解得一5<x<3,

所以集合4=5={x|-5<x<3},

所以AcB=(l,3).

故選：B

2.已知aeR,復數(shù)(a—2i)(3+i)是實數(shù)，則。=()

,22

A.—B.

33

C.6D.-6

【答案】C

【解析】

【分析】對已知化簡后，由虛部等于零可求得結(jié)果.

【詳解】因為(。一2。(3+。=3。+2+3-6萬為實數(shù)，

所以。一6=0,解得a=6.

故選：C

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式確定函數(shù)性質(zhì)，利用排除法去掉不符合的選項即可.

【詳解】/(X)定義域為R,

222

因為/(-X)+/(x)=XIn(J》?+1+x)+fin^Jx+\-xj=xIn+]++1-x)]=0,

所以/(x)是奇函數(shù)，排除C,D.

當x>0時，&+i<x+i,則6+1一%<1，-%)<0,所以/(x)<0,排除B.

故選：A.

4.某高?，F(xiàn)有400名教師，他們的學歷情況如圖所示，由于該高校今年學生人數(shù)急劇增長，所以今年計

劃招聘一批新教師，其中博士生80名，碩士生若干名，不再招聘本科生，且使得招聘后碩士生的比例下

降了4%,招聘后全校教師舉行植樹活動，樹苗共1500棵，若樹苗均按學歷的比例進行分配，則該高校

本科生教師共分得樹苗的棵數(shù)為（）

本科生10%

B.120

C.200D.240

【答案】B

【解析】

【分析】設招聘x名碩士生,然后根據(jù)題意結(jié)合扇形統(tǒng)計圖列方程可求出工的值，再根據(jù)比例可求得結(jié)果.

【詳解】設招聘X名碩士生，由題意可知，x+40()X0.4=(40()+80+x)x(0.4-0.04),

解得x=20，

40

所以本科生教師共分得樹苗x1500=120棵.

400+80+20

故選：B

7T

5.設0<x<2,貝“xcosxcl”是“％<1”的()

2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)分析判斷即可.

兀11

【詳解】若0<X<-，xcosxvl,則-----，而----->1,

2cosxcosx

所以“XCOS%V1”推不出“x<r；

TT

若x<l,又0cxe-，則0<cosx<l,

2

所以0<XCOSX<1,即"X<1”可以推出"XCOSX<1

所以“XCOSX<1”是“X<1”的必要不充分條件，

故選：B

6.若a=log3（）.3,6=sin一,c=5°/，則（）

A.b<a<cB.c<a<b

C.a<b<cD.a<c<h

【答案】C

【解析】

【分析】由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)可得4<0,Z?G（O,1）,C>1,即可得答案.

3兀

【詳解】因為a=log30-3<0,/J=sinyG（0,1）,c=5°」>l，所以a<6<c.

故選：C.

7.已知正三棱柱ABC-A4G的頂點都在球。的球面上，若正三棱柱ABC-44G的側(cè)面積為6,底

面積為K，則球o的表面積為（）

19兀77r

A.——B.—

33

C.2兀D.7兀

【答案】A

【解析】

【分析】設正三棱柱的底面邊長為。，高為〃，根據(jù)題意里程方程組求得。=2,力=1,設的外接

圓半徑為r,求得/?=區(qū)5,結(jié)合球的截面圓的性質(zhì)，列出方程求得球。的半徑為R,進而求得球的表

3

面積.

【詳解】由正三棱柱ABC-A4G是直三棱柱，設其高為〃，AC=5C=A5=a,

因為正三棱柱ABC-A4G的側(cè)面積為6,底面積為內(nèi)，

可得3ax/z=6,且且〃=百，解得。=2,〃=1,

4

2r——2、同

設一ABC的外接圓半徑為廣，則一.兀，解得r=￡巴，

sin—3

3）

設球。的半徑為R,則R2=/2+（—h）2=4—+—1=1」0，

23412

1919TI

所以球。的表面積為4兀、==上.

123

故選：A.

8.弘揚國學經(jīng)典，傳承中華文化，國學乃我中華民族五千年留下的智慧精髓，其中“五經(jīng)”是國學經(jīng)典

著作，“五經(jīng)”指《詩經(jīng)》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》.小明準備學習“五經(jīng)”，現(xiàn)安排連續(xù)四天進

行學習且每天學習一種，每天學習的書都不一樣，其中《詩經(jīng)》與《禮記》不能安排在相鄰兩天學習，

《周易》不能安排在第一天學習，則不同安排的方式有()

A.32種B.48種

C.56種D.68種

【答案】D

【解析】

【分析】利用排列組合分別討論不排《周易》，排《周易》且《詩經(jīng)》與《禮記》都安排，排《周易》且

《詩經(jīng)》與《禮記》只安排一個，三種情況，再利用分類加法計數(shù)原理將所有情況相加即可.

【詳解】①若《周易》不排，先將《詩經(jīng)》與《禮記》以外的另外2種排列，

再將《詩經(jīng)》與《禮記》插空，則共有A；A；=12種安排方式.

②若排《周易》且《詩經(jīng)》與《禮記》都安排，

在《尚書》和《春秋》中先選1種，然后將《詩經(jīng)》與《禮記》以外的另外2種排列，

再將《詩經(jīng)》與《禮記》插空，減去將《周易》排在第一天的情況即可，

共有C；A；A；-C；A；=2()種安排方式；

③若排《周易》且《詩經(jīng)》與《禮記》只安排一個，

先在《詩經(jīng)》與《禮記》中選1種，然后將《周易》排在后三天的一天，

最后將剩下的3種書全排列即可，

共有C；C；A；=36種安排方式.

所以共有12+20+36=68種安排方式.

故選：D

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知直線/：4x+3y+6=0與圓C：(x—+V=9相交于E,F兩點,貝U()

A.圓心C到直線/的距離為1B.圓心C到直線/的距離為2

C.|EF|=V5D.|EF|=2A/5

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)點到直線的距離公式計算可知A錯誤，B正確；利用幾何法求出弦長可知C錯誤，D正確.

【詳解】因為圓心C（1,O）到直線/的距離〃=一產(chǎn)=2,所以A錯誤，B正確.

因為1=2,9-22=2#>,所以C錯誤,D正確.

故選：BD

1（Q

10.已知函數(shù)/（無）=；；sin2x--,下列說法正確是（）

2\6）

TT

A.f（x）的最小正周期為一

2

B./（X）的極值點為x=]+—（?€Z）

1Ji

C./（x）的圖象可由函數(shù)y=gsin2x的圖象向右平移五個單位長度得到

D.若毛）=/（%2），則X=X2+E（%GZ）

【答案】BC

【解析】

【分析】由正弦函數(shù)的最小正周期的計算公式可判斷A；對Ax）求導，令/'（x）=O可判斷B；由三角函數(shù)

27r

的平移變換可判斷C；由/（玉）=/（w）,求出％=%+也（左€2）或玉=3■-工2+E（左€2）可判斷口.

27c

【詳解】/（X）的最小正周期為7=1=兀，所以A錯誤；

由/'（X）=cos（2x-y]=0,得彳=二+蛆（ZGZ）,

I6；32

由三角函數(shù)的性質(zhì)可驗證/（X）的極值點為X=^+與（&eZ）,所以B正確；

將y=gsin2x的圖象向右平移三個單位長度得到=gsin（2x-2]的圖象，所以c正確；

若/&）=/（馬），則小11（2%-看）=小11（2工2-胃，

所以sin（2X[-看）=sin2々一巳），則一季=2々一《+2E（keZ）或

兀71

2%|---F2X—=兀+2kli（kwZ）

6~969

則%=%+kn(k€Z)或％=三一%2+kn(kGZ),所以D錯誤.

故選：BC.

22

11.已知雙曲線c：\-1=1（。>02>0）的右焦點招（g,o）到漸近線的距離為i,p為c上一點，下

列說法正確的是（）

A.C的離心率為理

2

B.|尸周的最小值為交

C.若A,8為C的左、右頂點，P與A,8不重合，則直線R4，尸3的斜率之積為；

D.設C的左焦點為《，若△「耳用的面積為坐，則

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)題意列關(guān)于8c的等式，從而可得雙曲線的方程，計算離心率，|桃|的最小值，結(jié)合動點

2

P滿足的方程手-公=1,列式計算原八?即8,在焦點三角形鳥中，由雙曲線的定義，余弦定理以

及三角形面積公式列式即可計算出/耳2居.

L\cb\L

【詳解】由已知可得C=J5，/1=b=\,所以a=0,

yla2+b2

則C的方程為工—V=i,離心率為卓=逅，A正確；

2722

因為的最小值為c-a=G-四，所以B錯誤；

2

設/伍，幾）,則/_y：=i,A（-V2,o）,B（V2,0）

2日-1

卜卜一約y。_2__L，所以c正確；

|附HP-=2a

設N6P6=e,由.恒用2=歸耳『+歸名「—2|pf；||p周cose

S"=:?||PKkin。

S_?_1一百

可得0~一7一號，得tan—=>/3,

tan—tan—2

22

則N￡P(guān)居=二三，所以D正確.

3

故選：ACD

12.已知函數(shù)/(x)=e'T—x,若Vxe(0,+?o),/(幻之。#一x-xlnx),則實數(shù)”的取值可能為

()

A.2B.-e

C.yD.1

【答案】BCD

【解析】

【分析】對已知不等式進行變形，利用換元法，構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)的性質(zhì)判斷其單調(diào)性，再利用單調(diào)

性進行求解判斷即可.

【詳解】因為x>0,

pXT

所以/(x)>"(x?-x-xlnx)=>-------1>a(x-l-lnx)=>et-l-lnx-1>a(x-l-ln.r).

設f=x-l-lnx(x>0),則有r'=l-L

x

當x>l時，f'>0,函數(shù)f=x—1—Inx單調(diào)遞增，

當0<x<l時，t'<0,函數(shù)f=x-l-lnx單調(diào)遞減，所以f(X)min=f(D=。，

所以原問題轉(zhuǎn)化為當Vze[0,+oo),e'一1N成恒成立，

由e'—1Na,=e'—1一勿20，設g(7)=e'—>0),

g'(f)=e'—a,因為「20,所以e'Nl，

當aVl時,gV)>0,函數(shù)g(f)=e'—l-at單調(diào)遞增,

所以有g(shù)(f)min=g(°)=0，顯然Vre[0,+8),e'-INa，恒成立;

當。>1時，當，>lna時，函數(shù)g(f)=e'-l-af單調(diào)遞增，當OWtvlna時，g(f)=e'-1一必單調(diào)遞減,

因此有g(shù)⑺<g(0)ngQ)<0,所以VpO,+oo),不恒成立,

綜上所述：a<\,故選項BCD符合題意，

故選：BCD

【點睛】關(guān)健點睛：對不等式進行變形，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

13已知向量。=(1,2),6=(1,2機-4),若a//。，則m=.

3

【答案】一##1.5

2

【解析】

【分析】由平行向量的坐標運算求解即可.

3

【詳解】因為a//b，所以2加-4=2(1-加)，解得根=］.

3

故答案為：一.

2

2

14.已知sin則cosf2at+y

3

【答案】—

【解析】

分析】利用誘導公式及倍角公式變形計算cos(2a+5)即可.

［詳解］cos|2aH—|—cosI2aH----兀］=_cos|2a----|=2sin~|cc—|_1

故答案為：-A

9

15.如圖，某圓柱與圓錐共底等高，圓柱側(cè)面的展開圖恰好為正方形，則圓柱母線與圓錐母線所成角的正

切值為

因為M到x軸的距離為6,所以|MN|=6+4=10.

由拋物線的定義知^\AF\,\BD\=怛目，

所以2|MV|=|Aq+|叫=|A月+忸F|=20.

因為|A同+忸月當點尸在線段AB上時等號成立，

所以|AB|W20,即1481的最大值為20.

故答案為：20.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在等比數(shù)列｛%｝中，q=3,且3%是4和%的等差中項.

(1)求｛q｝的通項公式；

⑵若勺＞0,2=號，求數(shù)列｛么｝前〃項和S..

【答案】(1)答案見解析

(2)5“=(〃-1)x2"+1

【解析】

【分析】(1)根據(jù)等比數(shù)列的通項公式和等差中項的含義即可得到關(guān)于9的方程，解出即可；

(2)分析計算得以=〃X2"T,利用錯位相減法即可得到答案.

【小問1詳解】

設｛4｝的公比為4，＜7^0,因為3%是為和牝的等差中項，

22

所以6a,=4+%,則6%q=atq+q/,

化簡得42+4—6=0,解得g=2或q=-3,

當4=2時，a“=qq"T=3x2"T,

當4=—3時，??=%q"T=3x(-3)e=-(一3)".

【小問2詳解】

因為%＞0,所以勺=3x2"T,=〃X2"T,

S?=1X2°+2X2'+3X22+L+nx2n-1,①

則2s.=1x2/2x22+3x23++〃x2",②

則①一②得—S“=2°+2i+22++2"T——〃x2"=(l-〃)x2"—1.

"1-2

故S“=(〃—l)x2"+l.

18.已知6ABe的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，b,c.

3

(1)若a=10,c=3,tan6=—,求_A8C的面積；

4

(2)若/二伏人+3，證明：A=2B.

【答案】(1)9(2)證明見解析

【解析】

3

【分析】(D先由tan5=-求出sinB,然后利用三角形面積公式求解即可；

4

(2)由已知條件結(jié)合余弦定理可得c=b(l+2cosA),再利用正弦定理統(tǒng)一成角的形式，化簡后可證得結(jié)

論.

【小問1詳解】

因為tan6=』，所以1n巨=3,即4sinB=3cosB,

4cosB4

因為sin?3+cos?8=1，8e(0,7t)

3

所以解得sinB=1.

113

所以ABC的面積S=—acsinB=—xl0x3x—=9.

~225

【小問2詳解】

證明：因為q2=8S+c),片=/+C2-28CCOSA，

所以》2+c?-2bccosA=b2+be化簡得。=仇1+2cosA),

所以sinC=sinB(1+2cosA),

即sin(A+3)=sin8+2sinBcosA,

所以sinAcosB+cosAsinB-sinB+2sinBcosA,

所以sin(A-B)=sinB.

因為A-BG(0,TI),Be(0,2,

所以A—3=3或4-3=兀一3（舍去），

所以A=23.

19.某單位準備從8名報名者（其中男性5人，女性3人）中選4人參加4個副主任職位競選.

（1）設所選4人中女性人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望；

（2）若選出的4名副主任分配到A，B,C,。這4個科室上任，一個科室分配1名副主任，且每名副

主任只能到一個科室，求A科室任職的是女性的情況下，B科室任職的是男性的概率.

3

【答案】（1）分布列見解析，￡（X）=-

2

⑵-

7

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意得X的可能取值為0，I,2,3,求出X取每個值的概率可得分布列，由期望公式

可得期望：

（2）根據(jù)條件概率公式可求出結(jié)果.

【小問1詳解】

依題意，X的可能取值為0，1,2,3,

c41c'c33

所以P（X=0）=W=五，P（x=\）=-j^=-,

X_xri1fct/

c?3P(X=3)=詈=1

P(X=2)=中:

C：7c；14

X的分布列為

X0123

1331

p

147714

3313

所以E(X)=lx=+2x—+3x—=二.

77142

【小問2詳解】

設加="A科室任職的是女性"，N="B科室任職的是男性”，

P(MN)1585

所以P(NIM)______=__x_=_

P(M)-563-7

20.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的菱形，A4￡>為等邊三角形.

(1)若PC_LA￡>,證明：AC^CD.

（2）在（1）條件下，若尸。=3，AC=2,求平面RS與平面P4O夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵叵

13

【解析】

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的三線合一性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理，可得答案;

（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，求得兩平面的法向量，結(jié)合夾角的求解公式，可得答案.

【小問1詳解】

證明：取AD的中點。，連接OP,OC.

因為Q4Z）為等邊三角形，所以POLAD.

又PC_LAO,POPC=P,PO,PCu平面POC,

所以AT>J_平面PCO,因為COu平面尸OC,

所以ADJ_CO,即OC是線段的中垂線，

所以AC=C￡）.

【小問2詳解】

由（1）知POJ.A。，又AC=C￡>=2,所以COLAO,且ADJ_平面PCO.

以。為坐標原點，分別以OC，的方向為x,V軸的正方向，建立空間直角坐標系,

則A(0,—l,0),C(V3,0,0),D(0,1,0).

在△POC中，P0=0C=6PC=3,由余弦定理易得/POC為120。,

所以點P的坐標為一—-,0,—,

（22）

TN

所以A3=OC=(6,一1,0),AP,AD=(0,2,0).

22/

下)x-y=0,

設〃=（x,y,z）是平面Q鉆的法向量，可得〈733令y=3,得〃=(百

-------x+y+—z=0,

2-2

r2乂=0,

設12=（玉,%，4）是平面P4￡）的法向量，可得，63令Z|=l,得〃2=(6,0,1).

--相看+y+產(chǎn)=0,

設平面Q43與平面？A￡>所成的二面角為。,

\n-m\_V13

則Icos0\=

\n\\m\13

22

21.已知4-2,0）是橢圓。：與+技=13">0）的左頂點，過點0（1,0）的直線/與橢圓。交于P,。兩

點（異于點A）,當直線/的斜率不存在時，|PQ|=3.

（1）求橢圓C的方程;

（2）求△4PQ面積的取值范圍.

22

【答案】（1）工+匕=1;

43

⑵*-

【解析】

3

【分析】（1）根據(jù)給定條件，確定橢圓C過點（1,^）,再代入求解作答.

（2）設出直線/的方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理求出4人尸。面積的函數(shù)關(guān)系，再利用對勾

函數(shù)的性質(zhì)求解作答.

小問1詳解】

31Q

依題意，4=2,當直線/的斜率不存在時，由歸。=3,得直線/過點（1，5）,于是1+正=1,解得62=3,

22

所以橢圓。的方程為土+匕=1.

43

【小問2詳解】

依題意，直線/不垂直于y軸，設直線/的方程為x=(y+l,P(x，x),Q(X2，%)，

x=ty+\

由＜爐2消去x整理得(3『+4))，+6/＞-9=0,則乂+%=，乂必=，

—+—=13/+43r+4

43

△4PQ的面積S-JAO||＞「必1=濁+為『-外出

_18，1+)_18____

—3戶+4—er.―21，令“=J1+戶21，對勾函數(shù)y=3"+—在[1,48)上單調(diào)遞增,

Vi+7

89

1O

12<-<-

4從

而

即>

-->4+/*+-12

123+當且僅當f=0時取等號,

〃1+ZVF

動點的橫(縱)坐標為變量，建立函數(shù)關(guān)系求解作答.

22.己知函數(shù)+cx(aHO),且6a+〃=0,/(l)=4a.

(1)討論/(幻的單調(diào)性；

(2)若xe[0,3],函數(shù)F(x)=/(x)-xef'有三個零點X1,巧，W，且王＜工2＜工3，試比較

%+W與2的大小，并說明理由.

【答案】(1)答案見解析

(2)xt+x2+x3<2,理由見解析

【解析】

【分析】（1）分類討論。＞0與。＜0,結(jié)合導數(shù)與函數(shù)的關(guān)系即可得解;

(2)觀察式子先確定芭=0,再利用轉(zhuǎn)化法與換元法得到21nf2—2皿4=。2-4,進而利用雙變量處理方

法得到J+G—4=2(巴+1)瓜什4(“-1),利用導數(shù)證得/,+4-4>0,從而得解.

u-1

【小問1詳解】

由/(1)=4。，得3a—〃一c=0,