江西省八所2024屆高三年級下冊4月聯(lián)考數(shù)學試卷（含答案與解析）

江西省八所重點中學2024屆高三下學期4月聯(lián)考

皿「，、憶\_rx▲

數(shù)學試卷

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑.如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷

上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡-并交回.

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.拋物線>=2》2的焦點坐標為()

A.區(qū)UD.(0,1)

7C27cII兀兀

2,已知集合A=j+Z<%<24兀+｝-,左￡Z卜集合Bj乂左兀+^<%<左兀+1,左￡Z卜貝(J

AB=()

2kjt+巳,2kn+1），，keZ

2kn+￡,2kjt+y

3.已知S”是正項等比數(shù)列｛%｝的前〃項和，且q+%=82,〃2〃4=81,則邑=()

4.復數(shù)Z在復平面內對應的點為O為坐標原點，將向量OZ繞點O逆時針旋轉9。。后得到

向量OZ；,點4對應復數(shù)為z一則z；=()

B.-1+i

5.函數(shù)/（%）=|2尤一訓一|ln%|有且只有一個零點，則加的取值可以是（）

A.2B.1C.3D.e

6.己知正四棱錐P-ABCD,現(xiàn)有五種顏色可供選擇，要求給每個頂點涂色，每個頂點只涂一種顏色，

且同一條棱上的兩個頂點不同色，則不同的涂色方法有（）

A.240B.420C.336D.120

7己知a,2（sin夕+sin2/?）=s「2月,則tan12a+/?+《］=（）

A.-73B.-走C.昱D.73

33

8.我國著名科幻作家劉慈欣的小說（三體“黑暗森林）中的“水滴”是三體文明使用新型材料一強互作用力

（S/M）材料所制成的宇宙探測器，其外形與水滴相似，某科研小組研發(fā)的新材料水滴角測試結果如圖所

示（水滴角可看作液、固、氣三相交點處氣一液兩相界面的切線與液一固兩相交線所成的角），圓法和橢

圓法是測量水滴角的常用方法，即將水滴軸截面看成圓或者橢圓（長軸平行于液一固兩者的相交線，橢圓

的短半軸長小于圓的半徑）的一部分，設圖中用圓法和橢圓法測量所得水滴角分別為4，%,則（）

22

附：橢圓工+2=1（?！?〉0）上一點（尤0,%）處的切線方程為岑+岑=L

abab

A.，＜02B.Ox-%

c.D.4和％的大小關系無法確定

二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題會出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分.若只有2個正確選項，每選對一個得3分；若

只有3個正確選項，每選對一個得2分.

9.已知隨機變量X、7,且V=3X+1,X分布列如下：

X12345

113

Pmn

105To

若E（y）=io,則（

317

A.m=——B.n=—C.E(X)=3D.n(y)=-

105

、

.*兀71

10.已知函數(shù)/(X)=2COS(G%+°)。<G<6,G￡N0,|;滿足：VxeR,/(%)-/<0

恒成立，且在上有且僅有2個零點，則（

A./（x）周期為兀

7171

B.函數(shù)〃元）在區(qū)間上單調遞增

6,3

TT

C.函數(shù)/（x）的一條對稱軸為1=—

3

函數(shù)/（X）對稱中心為（石+彳,01左eZ）

D.

11.在棱長為2的正方體ABCD—4月G］。中，點E,尸分別為棱。A，G2的中點，過點E的平面。

與平面5OG平行，點G為線段5G上的一點，則下列說法正確的是（

A.\G^BXD

B.若點。為平面a內任意一點，則QC+Q5的最小值為26

底面半徑為|且高為百的圓柱可以在該正方體ABCD-A4Goi內任意轉動

直線4G與平面BDCi所成角的正弦值的最大值為逑

D.

3

三、填空題：本題共3小題，每小題6分共16分.把答案填在答題卡中的橫線上.

12.^---\\展開式中犬項系數(shù)為

\BD\1

13.在三角形A5c中、BC=4,角A剛平分能AD交5C于點。，若伺方=§,則三角形ABC面積的

最大值為

r\X+\n-1

14.已知函數(shù)F(x)=ox0--1一。,存在實數(shù)看,々,?，天使得=七)成立，若正整數(shù)”的

2+2i=i

最大值為8,則正實數(shù)。的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，

tana,1+1=weN，

15.數(shù)列｛a“｝滿足q=看,1^],cosa,()-

(1)證明：數(shù)列｛tai?4｝為等差數(shù)列，并求數(shù)列｛tan%｝的通項公式；

(2)求正整數(shù)加，使得sinq?sin〃2-sin^

2兀

16.三棱柱ABC-A4cl中，ABJ.AC,AB=AC=2,側面為矩形，4鉆=三，三棱錐

G—ABC的體積為氈.

3

(1)求側棱AA1的長；

(2)側棱CJ上是否存在點￡,使得直線AE與平面ABC所成角的正弦值為冷？若存在，求出線段

GE的長；若不存在，請說明理由.

17.在平面直角坐標系中，F(xiàn)(1,O),直線4：x=-1,動點M在直線乙上，過點M作直線乙的垂線，與線

段門必■的中垂線交于點尸.

(1)求點尸的軌跡C1的方程；

(2)經過曲線G上一點尸作一條傾斜角為45°直線心與曲線Cz：(x-4)2+y2=8交于兩個不同的點

Q,R,求|PQI-|PR|的取值范圍.

18.一次摸獎活動，選手在連續(xù)摸獎時，首次中獎得1分，并規(guī)定：若連續(xù)中獎，則第一次中獎得1分，

下一次中獎的得分是上一次得分的兩倍：若某次未中獎，則該次得。分，且下一次中獎得1分.已知某同學

連續(xù)摸獎〃次，總得分為X,每次中獎的概率為:，且每次摸獎相互獨立.

（1）當〃=5時，求X=3的概率；

（2）當〃=3時，求X的概率分布列和數(shù)學期望；

（3）當〃=30時，判斷X的數(shù)學期望與10的大小，并說明理由.

19.已知函數(shù)/(x)=ln(x+l)—ax,/(x)W0恒成立.

（1）求實數(shù)。的值；

（2）若關于彳的方程/（乃=!（加-3;<）在［2,4］上有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)加的取值范圍；

4

（3）數(shù)列｛4｝滿足：4+1=%+ln（p—4）,囚=：p2+y_2,若數(shù)列｛4｝中有無窮個不同項，求

整數(shù)。的值.

參考答案

一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.拋物線>=2必焦點坐標為（）

A.D.（0,1）

【答案】C

【解析】

【分析】

先將拋物線方程化為標準形式，再求焦點坐標.

【詳解】由丁=2必得好=!丁，所以拋物線為開口向上的拋物線，且°=工，

24

所以焦點坐標為,

故選：C

7C27cII兀兀?

2,已知集合A=乂2左兀+7<%<24兀+?-,左￡Z卜集合Bj乂左兀+］<%<左兀+§,左￡Z卜則

AB=()

C7兀C7兀7兀771

A.2kitH—,2kliH—,k￡ZB.kitH—,kitH—,kE7J

I43I43

一C7兀C7兀7兀7兀

C.2kitH—,247tH—,kE7aD.kitH—,kitH—,k￡Z

I63JI63；

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件把集合5寫成用2br+8(kwZ)形式表示的集合，再與集合A求交集即可.

57i4兀

【詳解】依題意，5=2kn+^<x<2kn+^,keZ卜卜I2kjt-\-----<x<2kitH------,keZ、,

43J

r兀27t?

而A=JX2far+—<x<2fat+—，左eZ)

x|2kn+；<x<2E+?，左eZ|=12kn+:,2kn+]

所以Ac3=keZ.

故選：A

3.已知S.是正項等比數(shù)列｛4｝的前幾項和，且q+4=82,a2a4=81，則S$=()

A.212B.168C.121D.163

【答案】C

【解析】

【分析】由條件結合等比數(shù)列性質求出a1,外，再列方程求出數(shù)列的公比心利用等比數(shù)列求和公式可求$5.

【詳解】設等比數(shù)列｛%,｝的公比為心

因為數(shù)列｛4｝為正項等比數(shù)列，所以4>0,

因為。2%=%05'又〃2a4=81,

所以。1%=81,因為q+。5=82,

q=81〃1—1

所以《1或<

%=1%=81

4二81a=811

若

41，解得〃i=81,q=-

%=1a{q=13

81x|1—-—

所以一I243

=121,

3

6Zi—1Cly—1

若憶=81’則I，解得4=1,q=3,

a^q4=81

5

^i(l-g)_1x(1-243)i2i

所以S5=

i—q1-3

所以S5=121,

故選：C.

4.復數(shù)Z在復平面內對應的點為Z,。為坐標原點，將向量0Z繞點。逆時針旋轉90。后得到

向量點4對應復數(shù)為z一則z；=(

A..——1+—相.1nB.-11+1.°C.--I---瓜1

2222

【答案】C

【解析】

【分析】先求出4=-工+/4,進而利用復數(shù)的乘方運算求出結果.

22

【詳解】由題意得設其與實軸正半軸夾角為夕，則tan6=#，

7T

故可設6=7，

6

JT2

設與實軸正半軸夾角為/，則/=6+5=3兀，

故cos/=—g,sin￡=，

\2

..173.(161V3.

故為=——+——1,則Z；=---1---1二烏+打-----1，

1222242422

7

、2

1^i+-i21技

z：=［一烏=—+---1---1,

742422

5_(1A/3，Y_1A3_16.

122J42422

故選：C

5.函數(shù)/(x)=|2x—機|—|ln尤|有且只有一個零點，則用的取值可以是()

A.2B.1C.3D.e

【答案】B

【解析】

【分析】由題意將原條件轉換為加=/z(x),7%=g(x)的根的個數(shù)之和為1,其中/i(x)=2x+lnx,

g(x)=2x-lnx,(x>0),從而只需畫出它們的圖象即可通過數(shù)形結合求解.

【詳解】f(x)=|2%-根|—|也了|=。07%-2%=111%或加一2%=—111%,

顯然/z(x)=2x+lnx單調遞增，令g(x)=2x—lnx,(x>0),

則g'(x)=2—L當0<x<；時，g'(x)<0,g(x)單調遞減，當時，g'(x)>0,g(x)單調遞

增，

所以g(x)mm=gfl+ln2,

注意到人(x)=g(x)的交點為(L2),而2>l+ln2，

所以在同一平面直角坐標系中作出〃(X),g(x)的圖象如圖所示，

由圖可知加=力(1),加=8(%)的根的個數(shù)之和為1,當且僅當加<1+1112，

對比選項可知加的取值可以是L

故選：B.

6.已知正四棱錐P-ABC。，現(xiàn)有五種顏色可供選擇，要求給每個頂點涂色，每個頂點只涂一種顏色,

且同一條棱上的兩個頂點不同色，則不同的涂色方法有（）

A.240B.420C.336D.120

【答案】B

【解析】

【分析】分三種情況，用三種顏色，四種顏色，五種顏色，求出每種情況數(shù)相加得到答案.

【詳解】當只用三種顏色時，AC同色且民。同色，

5種顏色選擇3種，且有A；=60種選擇，

當只用四種顏色時，AC同色或民。同色，

從5種顏色中選擇4種，再從A,C和我。中二選一，涂相同顏色，

故有C：C；A：=240種選擇，

當用五種顏色時，每個頂點用1種顏色，故有A：=120種選擇，

綜上，共有60+240+120=420種選擇.

故選：B

7.己知￡,2(sin/?+sin2/?)=s：n2.,則tan12a+〃+E]=()

A.-y/3B.-無C.息D.也

33

【答案】A

【解析】

【分析】由題意得2sin/?(sin夕+1)=2sm/?cos尸cosa,進一步

sina

71

cos~~a=sini=cosacos，—sinasin/?=cos(a+/?),根據(jù)余弦函數(shù)單調性得2a+，=],由此

即可得解.

【詳解】因為2(sin/+sin2/)=28,所以2sin/?(sin夕+1)=2s-qcos尸cosa

''tanasina

因為sin/?wO,所以sina+sinasin/=cosacos力,

71

從而cos~~a=sina=cosacos/一sinasin/?=cos(a+/),

注意到］—a,a+夕e（0,兀），而y=cosx在（0,兀）上單調遞減,

JTjr

從而5—a=a+q，即2a+4=萬,

(兀)2兀

所以tanI2a+y?+—I=tan=

故選：A.

8.我國著名科幻作家劉慈欣的小說（三體〃?黑暗森林）中的“水滴”是三體文明使用新型材料一強互作用力

（S/M）材料所制成的宇宙探測器，其外形與水滴相似，某科研小組研發(fā)的新材料水滴角測試結果如圖所

示（水滴角可看作液、固、氣三相交點處氣一液兩相界面的切線與液一固兩相交線所成的角），圓法和橢

圓法是測量水滴角的常用方法，即將水滴軸截面看成圓或者橢圓（長軸平行于液一固兩者的相交線，橢圓

的短半軸長小于圓的半徑）的一部分，設圖中用圓法和橢圓法測量所得水滴角分別為4,%,則（）

21

?體村“

22

附：橢圓=+當=1g〉6〉0）上一點（/，為）處的切線方程為￥+岑=1.

abab

A.?i<?2B,，=%

c.D.4和％的大小關系無法確定

【答案】A

【解析】

【分析】理解題意，根據(jù)測量水滴角的圓法和橢圓法，以及運用圓和橢圓的切線方程的表示即可得出結論.

【詳解】由題意知，圓法和橢圓法是測量水滴角的常用方法，

即將水滴軸截面看成圓或者橢圓的一部分.

設圓法和橢圓法測量所得水滴角分別為4,4；

由題意可知，若將水滴軸截面看成圓的一部分，圓的半徑為R,如圖1,

則有R2=(R—1)2+4,解得7?=|,

24

所以tan^=--=-；

若將水滴軸截面看成橢圓的一部分，如圖2,

切點坐標為(一2,/?—1),

則橢圓二+，=1上一點(―23—1)處的切線方程為二=1,

2b2

此時橢圓的切線方程的斜率設為&，則&=tan%=

a1(/?-1)

將切點坐標為(—21—1)代入切線方程號+】［7=1可得巴+(b—0=i,

aba2b1

解得咚=2b-1,

a

2從

所以tan%=[MD

a1(Z?-1)b-1

因為短半軸=*,

2

所以tan%2+-^-|>|=tan<91

即tan02>tanOx,

所以

故選：A.

222

【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵在于先求出tan4=-再求出橢圓=+3=1上一點（—21—1）處

R-lab

的切線方程，由此表示出tan%=g12+4],結合6<R=g,即可得出答案.

二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題會出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分.若只有2個正確選項，每選對一個得3分；若

只有3個正確選項，每選對一個得2分.

9.已知隨機變量X、匕且y=3X+l,X的分布列如下：

X12345

113

Pmn

105To

若石⑺=10,則()

317

A.m=——B.n=—C.E(X)=3D.D(F)=—

1053

【答案】AC

【解析】

【分析】由分布列性質和期望公式求出牡〃可判斷ABC；由方差公式可判斷D.

1132

【詳解】由----1--\-n-\--=1可得：m+n=-@,

105105

又因為E（y）=E（3X+l）=3E（X）+l=10,解得：E（X）=3,故C正確.

所以E（X）="+2x—+3x-+4zi+5x—=3

10510

713

則機+4"=—②，所以由①②可得：n=一,m=一，故A正確，B錯誤；

101010

D（X）=（1-3）2X^+（2-3）2X^+（3-3）2X|+（4-3）2X^+（5-3）2X^

=4x----i-lx----i-lx----i-4x——二——,

101010105

13117

D(y)=D(3X+l)=9D(X)=9xy,故D錯誤.

故選：AC.

10.已知函數(shù)/(x)=2cos(0x+0)O<0<6,0eN*,°e[o,]]；滿足：VxeR,/(x)-/^^<0

恒成立，且在，胃]上有且僅有2個零點，則()

A.A%)周期為兀

(7171]

B.函數(shù),3在區(qū)間上單調遞增

TT

C.函數(shù)/⑺的一條對稱軸為x=—

3

(兀kjL]

D.函數(shù)/(丈)的對稱中心為[4+§,0J(左eZ)

【答案】BCD

【解析】

【分析】由f(x)-/^j<0可得"X)的最大值為/(g),則得0=—10+2也次eZ,再由/(x)在［o,1J

3兀7i5JT

上有且僅有2個零點，可得一<—0+04——，再結合例0的范圍可出。，。的值，從而可求出/(x)的解

232

析式，然后逐個分析判斷即可.

【詳解】因為VxeR,/(x)—恒成立，所以/⑴的最大值為/(1),

7171

所以1口+O=2kn,keZ,即/=一1@+2左兀,左￡Z,

，兀)(71)

當xe0,—時，69%+^e(p.—CD+(p,

因為/(x)在上有且僅有2個零點，所以〈與，

3冗717TSjT371SjT

所以一<—。一一O+2E〈一，左eZ,即一<2版《—,左eZ,得％=1,

233222

71

所以/=—g+2兀，

因為O<0<6,tyeN*,°e[o,3J,所以0=5,夕=]，

7T

所以/'（x）=2cos（5x+§）,

對于A,Ax）的周期為——，左wZ,若——=兀,左eZ,則左=—eZ,所以A錯誤，

552

，十?！?2E4兀//2bi7i,”

對于B,由2kn—兀K5xH—42ATI次eZ,侍--------Kx<------------，左eZ,

3515515

所以/（x）的遞增區(qū)間為（keZ）,

當上=1時，/（X）的遞增區(qū)間為，而是的真子集，

_153J3J|_153_

（7171）

所以函數(shù)“X）在區(qū)間§上單調遞增，所以B正確，

JTATTITKTTTT

對于C,令5x+—=E，4eZ,則%=-------，左wZ,所以/（九）的對稱軸為%=-------,keZ,

3515515

TT

當左=2時，的一條對稱軸為％=—,所以C正確，

3

T,-7L7L._/071%兀,_

對1于D,由5%~\———\-k7u,keZ,得x=-----1-----，左eZ,

32305

（兀kjt]

所以函數(shù)/（尤）的對稱中心為五+彳,0（左eZ）,所以D正確，

故選：BCD.

11.在棱長為2正方體ABCD-A耳OR中，點E,F分別為棱DD{,CR的中點，過點E的平面?

與平面3DG平行，點G為線段BG上的一點，則下列說法正確的是（）

A.AG工BQ

B.若點。為平面c內任意一點，則QC+Q5的最小值為2m

C.底面半徑為,且高為目的圓柱可以在該正方體ABC。-內任意轉動

D,直線4G與平面BDC1所成角的正弦值的最大值為空

3

【答案】ACD

【解析】

【分析】對A,可證4。，平面ARG，可得對B,平面。截正方體的截面為如圖正六邊

形，點4,C關于平面a對稱，。。+。3最小轉化為求。4+。3即為48；對C,只要圓柱的外接球半

徑小于等于正方體的內切球半徑即可滿足題意；對D,當4G最小時，直線4G與平面5DC1所成角的正

弦值最大，此時點G是BG的中點，得解.

【詳解】對于A,如圖，與2,4G，又。平面A4GD，所以與A，又口。,耳，是平

面內兩條相交直線，

所以4G，平面。所以耳。人AG-同理可證

而4G，BC1U平面45C1,所以用。，平面ABC］，因為AGu平面

所以4￡＞，AG,故A正確；

對于B,如圖，平面a截正方體的截面為正六邊形，點A，C關于平面a對稱，

所以QC+Qfinaj+QB'ABnZg，故B錯誤；

對于C,底面半徑為高為正的圓柱的外接球的半徑為R=l,又正方體棱長為2,所以圓柱可以在正

方體內任意轉動，故C正確；

對于D,由題，點人到平面BOG的距離為定值，所以當AG最小時，直線4G與平面BDC1所成角的

正弦值最大,

此時點G是BC,的中點，直線A.G與平面BDC｝所成角即ZA,GD,

在中，AG=DG=娓,4。=2夜，cosN4GD=2：￡^=g'

所以sin/AGD=￥^.故D正確.

故選：ACD.

【點睛】思路點睛：選項B,確定平面e截正方體的截面為正六邊形，由此確定點A，C關于平面戊對

稱，將球QC+Q3最小轉化為求QA+Q3；選項C,圓柱可以在正方體內任意轉動，只要圓柱的外接球

半徑小于等于正方體的內切球半徑即可；選項D,直線AG與平面所成角的正弦值最大，即4G最

小時，此時點G是BG的中點，直線4G與平面3DG所成角即NAG。.

三、填空題：本題共3小題，每小題6分共16分.把答案填在答題卡中的橫線上.

］展開式中好項系數(shù)為

12.

【答案】-115

【解析】

-15

\轉化為

【分析】可將-1，然后再利用二項式定理展開求解.

X

55

2

【詳解】由題意得X---11可化簡為-1

XX

5-k

犬―

且其展開式為/+1=C；2I(-If

X

5-k

2-l

其中對于x?的展開式為1+I=C1L代廠,2)?廠=1(-2)3。-"

X

當左=1/=2時，此時10—2左一3廠=2,則-的系數(shù)為—120,

當左=4,r=0時，此時10—2左一度=2,則/的系數(shù)為5,

所以/項系數(shù)為—120+5=—115.

故答案為：—115.

BD\1

13.在三角形ABC中、BC=4,角A剛平分能A。交5c于點。，若謂=§,則三角形A5C面積的

最大值為.

【答案】3

【解析】

AB\1

【分析】先根據(jù)正弦定理可得-回-j,再建立平面直角坐標系求解A的軌跡方程，進而可得.ABC面積

的最大值.

【詳解】忐除即

sinZBADsinZADCsinZCAD

、\AB\_sinZADB\AC\sinZADC

所以聞一sinN5Ao'\DC\~sinZCAD

因為NAP8=180°—NADC,

所以sinZADB=sin(l80°-ZADC)=sinZADC,

因為角A的平分線A￡＞交BC于點。,

AB\AC\

所以NB4D=NC4D,所以不=焉，

BD\DC

斫以網-四1

所以|AC|\DC\以。為坐標原點建立如圖平面直角坐標系,

\BDI，所以5(—1,0),C(3,0),

因為3c=4,

\DC

J(x+1)2+91

設A(x,y),則

3

3Q

所以f+3x+y?=0,所以（%+—）2+y2—~,

33

故點A（匹y）的軌跡是以（一耳,。）為圓心，,為半徑的圓（除去（—3,0）和（0,0））,

3313

故當A縱坐標最大，即時面積取最大值為SABC=-X4X-=3.

故答案為：3.

2x+ln-\

14.已知函數(shù)/(尤)=-1-a,存在實數(shù)看,々，［X”使得=成立，若正整數(shù)九的

2工+2一、Z=1

最大值為8,則正實數(shù)〃的取值范圍是

94

【答案】—<—

73

【解析】

2%+i

［分析］設g(x)=2'+2r得到—1—a＜g(x)—a＜l—。，然后分類討論。的范圍，解出即可.

QX+10

--Z____1-I_____z__

【詳解】設2工+2一工(2X)2+1,又因為(2,)2>0,(2工)2+1〉1,所以—l<g(x)<l,

則—1—a<g(x)—〃<1—a,當0<Q<1時，—1—a4—1,041—

n-\

則0</(X)<a+l,顯然存在任意正整數(shù)n使得?@)=/(%?)成立；

i=l

當a>l時，一l-a<l-a<0,a—l<f(%)<a+\,

7(a—1)＜a+194

要使得正整數(shù)〃的最大值為8,貝I。，，、，，解得一＜a＜一,

［8(a-l)?a+l73

94

則實數(shù)。的取值范圍是一Ka＜一.

73

94

故答案為：Ya＜一.

73

【點睛】關鍵點點睛：本題考查了分段函數(shù)值域的求法，解題的關鍵是分類討論求出函數(shù)人幻的值域，然

后根據(jù)題意列不等式求解.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟，

15.數(shù)列｛a“｝滿足q=6,an-tana“+］=cosa，(〃eN)

（1）證明：數(shù)列｛tan?%｝為等差數(shù)列，并求數(shù)列｛tan%｝的通項公式;

（2）求正整數(shù)加，使得sinq-sin%-sin^

3n-2

【答案】（1）證明見解析,tanan=

(2)m=3333

【解析】

71

【分析】（）推出l+tai?4,從而得到｛tan?aj是以1為公差的等差數(shù)列，求出通

1tan-az2

cosan

3n-2

項公式，得到tana”=

1.tanCL

（2）利用同角三角函數(shù)關系結合tana,------得到求

n+\sina.?sina.2?--------

cosan--------------------tana,"+i3m+l

出答案.

【小問1詳解】

由已知條件可知，由于cosq,〉0,

?22

2

el0,^j,tan?,1sman+cosan2

故％%+1-2=1+tanan,

cosan

22

則tanan+l-tanan=lf

故數(shù)列｛tai?%｝是以1為公差等差數(shù)列，且首項為tan2q=tan261

3

,,2113rL—2

故tany=〃-1+§=^—,

3n—2

即tanan=

【小問2詳解】

sinax?sina2??sinam=tanaxcosaxtana2cosa2?tanamcosam

_tanqtan%tana機

tan%tan/tanam+i

tanq1

tan%+i3m+1

,得加=3333.

3m+1100

16.三棱柱A5C-aqG中，AB1AC,A5=AC=2,側面^ACG為矩形，”48=三~，三棱錐

￡一ABC的體積為氈.

3

(1)求側棱A4的長；

(2)側棱cq上是否存在點E，使得直線AE與平面ABC所成角的正弦值為冷？若存在，求出線段

。1后的長；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)A4]=2

(2)C[E=2

【解析】

【分析】(1)證明平面ABC,結合題目條件，先計算出A。的值，然后即可以求得側棱A4的長;

(2)建立空間直角坐標系，設未知數(shù)2,結合題目條件，列出方程求解，即可得到本題答案.

【小問1詳解】

在平面內過A作垂足為。，

因為側面AACC]為矩形，所以CA，M，

又C4LAB,ABoAA^^A,AB,A4,u平面9片呂，

所以C4_L平面A41與3,

又。Lu平面ABC,所以平面平面ABC,

易得A￡>u面9耳3,平面A&3內0平面ABC=A3,

所以平面ABC,

因為匕ABC=-S4Rr-AD=-x-x2x2AD=—，所以AD=Q，

Cj—ADC3ADC323、

因為NAAB=g,ZA^AD=^,所以A4j=2；

【小問2詳解】

存在點E滿足題意，C[E=2,理由如下：

如圖，以A為坐標原點，以A5,AC,AD所在直線分別為蒼％z軸建立空間直角坐標系,

則A(T0,我,5(2,0,0),C(0,2,0)<(-1,2,6),

設GE=XGC；le[0,l],則E(/l—1,2,括一G%),

故AE=(4-1,2,6-后)，48=(3,0,-?4。=(1，2,-百)

設平面\BC的法向量為m=(x,y,z)

m-AB=0f3x-y/3z=0廣

則即《廣，令z=J^，則》=y=i,

m-AXC=0[x+2y-\j3z=0

故平面\BC的一個法向量m=(1,1,有)，

設直線AE與平面\BC所成角為。,

AE-m\口-川=g，解得2=1,

則sin8=

|AE|.|m|V22-22+2-75

故存在點E滿足題意，所以￡E=2.

17.在平面直角坐標系中，尸(1,0),直線4：x=-1,動點M在直線乙上，過點”作直線乙的垂線，與線

段月0的中垂線交于點尸.

(1)求點尸的軌跡G的方程；

(2)經過曲線G上一點P作一條傾斜角為45°的直線6，與曲線G：(x-4>+y2=8交于兩個不同的點

Q,R,求1尸?！币?的取值范圍.

【答案】(1)/=4x

(2)[4,8)O(8,200)

【解析】

【分析】(1)利用線段的中垂線的性質得出|PM|=|PF|,根據(jù)拋物線的定義即得方程；

(2)設尸(廣,2"，則直線4的方程為y=x+2r-/，將直線方程與曲線C2方程聯(lián)立，由A>0可得f的取

值范圍，設Q,尺的橫坐標分別為玉,與，結合4的傾斜角為45°，結合弦長公式可將歸。卜|網|表示為關于

r的函數(shù)，從而求得其取值范圍.

【小問1詳解】

由圖可得||=|竹|,所以點尸的軌跡C是以F(1,O)為焦點的拋物線，

故點P的軌跡C的方程為>2=4%；

設尸”2,2小則直線4的方程為y=x+2-/，代入曲線的方程得，(x—4『+(x+2—2)2=8.

化簡可得：2/—2(/—2/+4)x+(r-+8=0①，

由于，2與02交于兩個不同的點，故關于X的方程①的判別式△為正，計算得，

2=_2/+4)2—2((/-2?)2+8)=(r-2/)2_8,2_2。+16_2,2_2)_16

=—(?_2/1+8(?—2)=—(?—2/)(?_2/_8)=—2)(/+2)(/—4),

因此有此(-2,0)(2,4),②

設0,R的橫坐標分別為七，

由①知，X]+々=廣—2f+4,=5((/—2。+8)，

因此，結合乙的傾斜角為45°可知，

|P2|-|P7?|=后(七—產)?夜—/)=2七七一2/(西+無?)+2/

=(?_Ze]+8—2』(『一2。+4)+2t4=r—4N+4f2+8-2?+4r-8/+2?

=〃-4/+8=(/-2『+4,③

由②可知，t2-2s(-2,2)(2,14),故(r—2)2e[0,4)D(4,196),

從而由③得：\PQ\-|PR|=(?_2了+4e[4,8)0(8,200).

【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：

(1)幾何法，若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；

(2)代數(shù)法，若題目的條