廣東省汕頭市2024屆高三教學(xué)質(zhì)量測評試題(數(shù)學(xué)理)(2024汕頭二模)

廣東省汕頭市2024屆高三教學(xué)質(zhì)量測評試題（二）（數(shù)學(xué)理）（2024

汕頭二模）

參考公式：假如事務(wù)A、B互斥，那么P（4+B）=P（4）+P（8）.

假如事務(wù)4、8相互獨(dú)立，那么P（4B）=P（A）?P（B）.

一.選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分。每小題只有一個正確答案）

1.函數(shù)y=＜二斤的定義域是（）

A.（-oo,l）B.（-oo,l]C.（l,+oo）D.[l,+oo）

2.已知命,題R,2'＞0;命題sinx0=2;,則（）

A.p\/q為真B.為真C.「pv夕為真D.為真

3.分類變量X和丫的列聯(lián)表如下：

X乃總計

a

芭ba+b

Cdc+d

X2

總計a+ch+da+b+c+d

則下列說法中正確的是（）

A.加一歷越小，說明x與y關(guān)系越弱；B.-歷越大，說明x與y關(guān)系越強(qiáng)；

c.|加一兒|越大，說明x與丫關(guān)系越強(qiáng)；D.|〃/一慶|越接近于o,說明x與y關(guān)

系越強(qiáng)；

4.已知兩條不同的直線/、機(jī)和兩個不同的平面。、夕，則下列命題中為假命題的是（）

A.若a〃夕，/ua,則/〃￡B.若a"夕，/"La，貝U_L4

C.若a_L￡,aD￡=/,〃？ua機(jī)_L/,則加_L￡D.若/〃a,mua,貝U〃加

5.已知ABC￡＞為平行四邊形，則“|48+4。|=|48-40|”是“438為矩形”的（）.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

6.右圖是某籃球運(yùn)動員在一個賽季的30場競賽中得分的莖

089

葉圖，則得分的中位數(shù)與眾數(shù)分別為（）112346789

20113335788

A.3與3B.23與3

301223489

C.3與23D.23與3401

7.下列四個命題中，正確的是（）

euIT

A.已知函數(shù)/（〃）=:sinxdx,則/"（上）］=1—cosl

Jo2

B.設(shè)回來直線方程為y=2-2.5x,當(dāng)變量x增加一個單位時，y平均增加2個單位

C.已知J聽從正態(tài)分布N（0Q2）,且P（-2<4<0）=0.4,則PC>2）=0.2

D.對于命題〃：*）￡R,x；+工0+1<0；則-?p:VxuR,/+/+1>0

logi—+D”［OJ）

8.定義在R上的奇函數(shù)/（x）,當(dāng)五之。時，/（x）=<2,則關(guān)于x的函

l-|x-3|,xep,-Ko）

數(shù)，

尸（力=/（X）-。（0<a<D的所有零點(diǎn)之和為（）狀元源4-'

A.2fl-lB.2^-1C.D.1-2、

二.填空題〈本大題共7小題，只做6小題。每小題5分，滿分30分）

9.設(shè)亞數(shù)z滿意反=2-&?為虛數(shù)單位）,則復(fù)數(shù)z的模|z|=_______.

abx-12

10.定義運(yùn)算=ad-bc,函？盟f（x）=圖像的頂點(diǎn)是（也〃），且

cd-xx+3

k、小r成等差數(shù)列，則A+r=_______（起先）

11.直線%-丁+1=0交圓加：/+9=1于A8兩點(diǎn)，則否

線段AB的垂直平分線的方程為，二1尸"1

p<3,/輸1b/

12.已知實(shí)數(shù)滿意：-1Wx+yW4且2Wx-.、<3>千

則z=2x-3y的最大值是______j（結(jié)束）

［LEH13

13.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的b值為16,

則圖中推斷框內(nèi)“？”處應(yīng)填的數(shù)為_________1a=a+\1

選做題：（二選一）

A

14.在極坐標(biāo)系中，曲線夕=-4sin夕與夕cos6=1相交于點(diǎn)A,8,則代

\AB\=___________.

15.（幾何證明選講）如圖，在四邊形A8CD中,EF//BC,FG//AD,/\\/

EFFG

則nil---+----=________

BCADC

三.解答題：（本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫

出文字說明、證明過程或演算步驟）

16"（本小題滿分12分）已知函數(shù)f（x）=3cos（8-1）+cos（Gx+;r）（?>0）圖像的相鄰兩

條對稱軸之間的距離等于萬。

（1）求f（x）的表達(dá)式；（要寫出推導(dǎo)過程）

（2）若8是直角三角形ABC的內(nèi)角，求/（8）的值域。

17.（本小題滿分12分）

某中學(xué)號召學(xué)生在今年暑假期間至少參與一次社會公益活動（以下簡稱活動）。該校學(xué)生會共

有100名學(xué)生，他們參與活動的次數(shù)統(tǒng)計如下表：

次數(shù)123

人數(shù)104050

用分層抽樣的方法從中抽取10人作為樣本，將這個樣本作為總體。

（1）從樣本隨意選兩名學(xué)生，求至少有一個參與了2次活動的概率：

（2）從樣本隨意選一名學(xué)生，若抽到的學(xué)生參與了2次活動，則抽取結(jié)束，若不是，則放回

重聚，求恰好在第4次抽取后結(jié)束的概率。

18.（本小題滿分14分）

如圖，沿等腰直角三角形ABC的中位線力E,將平面40石折起（轉(zhuǎn)動肯定角度），得到

四棱錐A—8C￡）E,設(shè)CO、BE.AE,的中點(diǎn)分別為M、N、P、。，平面ADE

_L平面BCDEo

（1）求證：平面ABC_L平面AC。：

（2）求證：M、N、P、。四點(diǎn)共面；

（3）求異面直線3石與MQ全部的角。

19.（本小題滿分14分）某廠家擬在2024年實(shí)行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量

2

（即該廠的年產(chǎn)量），萬件與年促銷費(fèi)用x萬元（xNa,。為一個正常數(shù)）滿意，=3------,

x+1

已知2024年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品須要再投入6萬元，廠家

將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定和再投入兩部分

資金）。

（1）將2024年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用x萬元的函數(shù);

（注：利潤=銷售收入一總成本）

（2）該廠家2024年投入的促銷費(fèi)用為多少萬元時，廠家的利潤最大?

20.（本小題滿分14分）已知摘員的C兩個焦點(diǎn)分別為6（0,7）,瑪（OR，離心率P

2

是桶圓C在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，且|F用尸用|=1?

（1）求精圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；"

（2）求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；一

（3）若點(diǎn)。是橢圓C上不同于F的另一點(diǎn)，問是否存在以產(chǎn)。為直徑的圓G過點(diǎn)瑪？若存

在，求出圓G的方程，若不存在，說明理由。/

21.（本題滿分14分）數(shù)列｛（｝是首項(xiàng)為片，公差為d的等差數(shù)列，若數(shù)列｛凡｝中隨意不同

的兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列的一項(xiàng)，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”

（1）試寫出一個不號“封閉數(shù)列”的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，并說明理由；

（2）求證：數(shù)列｛q｝為''封閉數(shù)列”的充分必要條件是存在整數(shù)機(jī)2-1,使“二〃以。

絕密★啟用前試卷類型：A

汕頭市2024年一般中學(xué)高三教學(xué)質(zhì)量測評試題

數(shù)學(xué)(理科)參考答案與初步評分標(biāo)準(zhǔn)

一、選擇題：BACD,CDAD

二、填空題：

9.答石；10.答一9;11.答x-y=O；12.答：8：13.答4；14.答2行；15.答：1.

解答：

1.解：v1-x>0,x<1,.?.選B.

2.解：???「真，4假，pvq為真，.,.選A.

(〃+b+c+d)(ad-be)2

3.解:,Bod-be|越大，則&2越大,

(a+h)(c+d)(a+c)(b+d)

???X與Y關(guān)系越強(qiáng)，.?.選C.

4.解：二,/〃。，，〃<=1時/與7?可以異面，「.選口.

5.解：???|赤+詬|=|族-而Io|而+而『=|礪一而茄?而=一2赤.而

=A8-AD=0<=>A8_LAD,又ABCD為平行四邊形，ABCD為矩形，.?.選C.

法二：|AB+4O|=|A8-AD|=|ACR8QI，對角線相等的平行四邊形為矩形。

6.解：???23出現(xiàn)3次，為最多，.?.眾數(shù)23

,比23大的數(shù)有14個，比23小的數(shù)有13個，，中位數(shù)為23,.,.選D.

7.解：丁/(“)=『sin犬dr=(—cosxjl=1—cosa

/(1-)=1,/(1)=1-COS1,即/=.?.選A.

8.解：—14%v0=>12-x>0,xK—10—xNl,又f(x)為奇函數(shù)

共有5個交點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)從左到右分別為司,々，七，與，與，則

5rt

再+電-―3,%+'=3,ffi]-log](-x3+1)=a=>log2(1-x3)=?=>x3=1-2,

222

可得的+%+“3+工4+匕=1-2",.,.選D.

9.解：vz==-1z1=7(-1)2+(-2)2=V5.

i

x-[2

10.解：f(x)='=(x-l)(x+3)-2(-x)=x2+4x-3=(x+2)2-7

-x,x+3

tn=—2,n=-7,/.A+r=m+〃=-9.

11.解：?.?線段AB的垂直平分線過圓心（0,0）,且斜率為—1.?.方程為y=—x.

x+y>-\

x+y<4

12.解：畫出滿意不等式組＜的可行區(qū)域，在可行域內(nèi)平移直線z=2x-3y,當(dāng)直

x-y>2

x-y<3

線經(jīng)過x+y=-l與x-y=3的交點(diǎn)A（l,-2）時，目標(biāo)函數(shù)有最大值z=2xl+3x2=8.

13.解：依據(jù)，程序框圖中的當(dāng)型循環(huán)，設(shè)“？”處填?？芍?/p>

若i=l,則第一次運(yùn)行即退出循環(huán)，則輸出的的值為1,不合;

若/=2,則其次次運(yùn)行即退出循環(huán)，則輸出的的值為2,不合;

若i=3,則第三次運(yùn)行即退出循環(huán)，則輸出的的值為4,不合;

若i=4,則第四次運(yùn)行即退出循環(huán)，則輸出的的值為16,符合；.?.i=4.

14.解：化為直角坐標(biāo)方程即圓C：/+/+4丁=0和直線/：工=1,圓心c（0,—2）到直線

的距離為1,圓的半徑為2,

|AB\=A/22-12=V3?\|AB\=26.

22

法二：在極坐標(biāo)系中干脆作出該圓和直線,:.-\AB\=72-1=瓜AB\=243.

2

EFFGAFFC

15.解:--------1------------------H-----------

BCADACAC

三.解答題：

16.解：(1)f(x)=>/3cos(aw-y)+cos(ai￥+^)=V3sincax-coscox2分

(每個誘導(dǎo)公式1分)

=2(—sincox--coscox)---------3分

7T

=2sin(m——)---------4分

6

由條件有4丁=二T=2凡----------5分

2

—=2乃,fW=1一6分

CD

rr

/(x)=2sin(x---)一7分

6

(2)由條件0<B0工T分

2

冗n冗冗冗冗

：.——<B——<---------=—-2分

66263

1.%,百

/.—<sinZ(BD——)<——一3分

262

-4分

的值域是（-1,行］.----------5分

17.解：（L）因參與活動1次、2次、3次的人數(shù)比例為10：40：50,即1：4：5；一1分

故樣本中參與活動1次、2次、3次的人數(shù)分別為1人、4人、5人----------2分

記事務(wù)A為“恰有一人參與了2次活動”，事務(wù)B為“恰有兩人參與了2次活動”，則A與B

互斥。----------3分

故P…等咤

4分

6

P5分

45

...P(A+5)=P⑷+9)/+盤十號

答：至少有一人參與了2次活動的概率為2.----------6分

3

（2）記事務(wù)C為“恰好在第4次抽取后結(jié)束”

42

每一次抽到參與了2次活動的學(xué)生的概率均為一即一，----------1分

105

抽到參與了1次或3次活動的學(xué)生的概率為巳3，----------2分

依題即前3次均取到參與了1次或3次活動的學(xué)生，第4次取到參與了2次活動的學(xué)生

3分

37

?"遙七-4分

_54

5分

-625

答：恰好在第4次抽取后結(jié)束的概率為急.6分

18.（1）證明:由等腰直角三角形4BC有AOJ_OE,CD1DE,DE〃BC1分

又AOcCD=O,/.面ACD,2分

又DE/7BC

..BC1平面ACD,BCu平面ABC,一3分

平面A8CJ_平面ACO。-----------------4分

⑵由條件有PQ為AAOE的中位線，MN為梯形BCDE的中位線1分

Z.PQ/ZDE,MN/7DE~2分

/.PQ〃MNT分

/.M、N、P、Q四點(diǎn)共面.4分

⑶解法一：?.?平面平面5cOE,交線為DE,AD_LDE

ADlffiBCDE1分

」.AD、DC、DE兩兩相互垂直

可以以D為原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，2分

設(shè)AD-2(K度單位)，則DC-2,BC-4,

則C(2,0,0),A(0,0,2),E(0,2,0),

B(2,4,0)3分

BE=(-2-2,0),AC=(2,0-2)4分

設(shè)異面直線BE與MQ所成的角為0,?..MQ〃BC,

cos6=|cos<BE,AC>|

BE?AC

5分

\BE\\AC\4

v0<^<-,:.0=-

23

???異面直線BE與MQ所成的角大小為--6分

解法二：設(shè)AD=1（長度單位），則DC=1,BC=2,

延長ED到R,使DR=ED,連結(jié)RC—1分

則ER=BC,ERIIBC,故BCRE為平行四邊形“2分

ARCIIEB,XACIIQM

??.NACR為異面直線BE與QM所成的角0（或刀的補(bǔ)角）

3分

D.

「DA=DC二DR,且三線兩兩相互垂直,?M

:,由勾股定理得AC=AR=RC=V2,4分RC

「.△ACR為正三角形，NACR=^------5分

3

/.異面直線BE與QM所成的角大小為工——6分

3

解法三：設(shè)AD=2（長度單位），則DC=2,BC=4,

取BC中點(diǎn)K,再取CK中點(diǎn)H,連結(jié)MH,則在梯形BCDE中可得MH〃BE

為異面直線BE與MQ所成的角夕

（或。的補(bǔ)角）------1分

且MH=^BE,CH=-BC=1,又CM=1,

24

R/ACHM中，可得MH=Ji

又RtAMDQ中可得QM=V2,

-------------2分

又RfADCH中可得DK=有，

RfAQDH中可得QH==y/QD2^DH2=yjQD2+DC2+CH2=屈-------------3分

??.cos*gsNQM”|W2+"H2-Q/

2QMxMH

,(V2)2+(V2)2-(V6)2,1一

=1------------7=-7=----------1=-----------------------5夕

2V2xV22

-/0<^<—,:.O--

23

/.異面直線BE與MQ所成的角大小為-------6分

3

19.解：(1)?/r=3---------.

x+\

每件產(chǎn)品的銷售價格為1.5x任曳(元),----------1分

I

???2024年的利潤y=r(1.5x的也)_(8+⑹+/)---------------3分

t

=4+8z-x=4+8(3--—)-x

x+l

即y=28———~x[x>a)---------------5分(定義域占1分)

x+1

2分

由y=0解得X=3（舍去-5）3分

令y，>0得Ovxv3xe（0,3）時，y為增函數(shù),4分

令y'<0得x>3,xw（3,+8）時，y為減函數(shù)-----------5分

???當(dāng)a>3時，y在［a,+8）上為減函數(shù)，x=〃時，y最大----------6分

當(dāng)aK3時，y在［43）上為增函數(shù)，在［3,+8）上為減函數(shù)，

x=3時，y最大---------8分

綜上所述，.當(dāng)a>3時，該廠家2024年投入的促銷費(fèi)用。萬元時，廠家的利潤最大，

當(dāng)時，該廠家2024年投入的促銷費(fèi)用3萬元時，廠家的利潤最大。-------9分

22

20.解：（1）依題可設(shè)橢圓方程為當(dāng)+餐\(a>b>0)

ab“

把y=l代入乙+二=1得X=3或工二一3（舍去）

4322

3

/.P（-4）-------------------4分

2

法二：由|PK|-1PB1=1得點(diǎn)P在以耳（0-1）,「2（°』）為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為1的雙曲線的上支

上，-------------------1分

22

雙曲線的方程為〒_『=1-------------------2分

44

22Q

聯(lián)立2vL+-=1得/=_2=]-----------------3分

434

因P在第一象限內(nèi)，故x=3,y=l

2

/.P(-,l)------------------4分

2

(3)設(shè)存在滿意條件的圓，則p尸2,QE，設(shè)Q(s,f)，則

(一|,0)?(一5,17)=0------------------1分

3

得己s+0x(l-z)=0

2

得s=0------------------2分

t2s2

又二十二二1,r=±2------------------3分

43

.?.。(0,2)或。(0,—2)------------------4分

J13J13

2「二|「。|=三,..，==，

3