北京市通州區(qū)2020-2021學(xué)年高一年級下冊期末考試數(shù)學(xué)試卷-(含解析)

北京市通州區(qū)2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期末考試

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.）

1.設(shè)Z1=3—由,2=—2+,則4+z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.下列說法不正確的是（）

A.平行六面體的側(cè)面和底面均為平行四邊形

B.直棱柱的側(cè)棱長與高相等

C.斜棱柱的側(cè)棱長大于斜棱柱的高

D.直四棱柱是長方體

3.下列命題正確的是（）

A.三點確定一個平面

B.梯形確定一個平面

C.兩條直線確定一個平面

D.四邊形確定一個平面

4.已知點AG直線1,又AG平面a,貝1J（）

A.l//a

B.ZC\a=A

C.lua

D.la=A或Ica

5.先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，此試驗的樣本空間為

（）

A.正面，反面

B.｛正面，反面｝

C.｛（正面，正面），（反面，正面），（反面，反面）｝

D.｛（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）｝

6.給定空間中的直線I與平面a，則“直線I與平面a垂直”是“直線I垂直于a平面內(nèi)

無數(shù)條直線”的（）

A.充分非必要條件

B.必要非充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

7.已知P(A)=0.5,P(B)=0.3,如果P(AB)=0,那么P(AUB)等于()

A.0.8B.0.5C.0.3D.0.2

8.已知afp是平面，m、n是直線，則下列命題正確的是()

A.若m//a,m1n,貝Un//a

B.若m1a,m1p,則仇〃S

C.若m1a,a1p,則m//^

D.若m//a,n//a,則m//n

9.在AABC中,D為BC中點，點E為AD上靠近D點的一個三等分點，若BE=AAB+fiAC，

則a+〃=()

311

A.lB-C.--D.--

432

10.將邊長為1的正方形ABCD沿4寸角線AC折起，使得平面ADC上平面ABC,在折起后

形成的三棱錐D—ABC中，給出下列四個命題：?ACXBD；②BD與平面ABC所成的角

為￡；③ADBC是等邊三角形；④三棱錐D—ABC的體積是史.其中正確命題的個數(shù)有

44

()

A.1個B.2個C.3個D.4個

二、填空題(本題共6小題，每小題5分，共30分)

11.已知2(1+2])=4+3[,則2=.

12.袋子中有大小和質(zhì)地完全相同的4個球，其中2個紅球，2個白球，不放回地從中依次隨

機摸出2球，則2球顏色相同的概率等于.

13.已知半徑為R的球，其表面積為S,體積為V,若$=丫,則口=.

14.如圖，在正方體ABCD-AiBiQDi中，點P在面對角線AC上運動，給出下列四個命題:

①DiP〃平面AiBCi；②DiPJ_BD；③平面PDB」平面AIBCi；④三棱錐Ai-BPCi的體積

不變.則其中所有正確的命題的序號是.

TB

15.在一次文藝比賽中，12名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成一個評委小組，給參賽選手打

分，下面是兩組評委對同一選手的打分：

2

小組A424548465247495542514745

小組B553670667549466842625847

B小組的第75百分位數(shù)是；從評委打分相似性上看更像專業(yè)人士組成的小組是

16.已知點A(1,1),點B(5,3),將向量AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)］,得到向量AC，

則點C坐標(biāo)為；\BC\=.

三、解答題(本題共6小題，共80分

17.某公司入職筆試中有兩道必答題，某應(yīng)試者答對第一題的概率為0.9,答對第二題的概率

為0.8,假設(shè)每道題目是否答對是相互獨立的.

(1)求該應(yīng)試者兩道題都答對的概率；

(2)求該應(yīng)試者只答對一題的概率.

18.某校從參加高一年級期中考試的學(xué)生中抽取n名學(xué)生，統(tǒng)計了他們的某科成績(成績均

為整數(shù)，且滿分為100分)，繪制成頻率分布直方圖如圖所示，已知分?jǐn)?shù)在［40,50)的頻

數(shù)為2.

(1)求a,n的值；

(2)抽取n名學(xué)生中，甲同學(xué)期中該科成績?yōu)?5分，乙同學(xué)期中該科成績?yōu)?3分.若從

［40,50)內(nèi)的兩名同學(xué)中選一人，從［90,100］中選出兩名同學(xué)組成學(xué)習(xí)小組，求甲、乙兩

同學(xué)恰好在該小組的概率；

(3)假設(shè)［40,50)內(nèi)的兩名同學(xué)在期末考試中，甲同學(xué)該科考了68分，另一名考了72分,

樣本中其他學(xué)生該科期末成績不變，試比較n名學(xué)生期中成績方差si與期末成績方差si

的大小、(結(jié)論不要求證明)

3

19.如圖，EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=2DC,AC=BC,F是BE中點.

(1)求證：DC〃平面AEB；

(2)求證：DF_L平面AEB.

20.已知向量m=(y,cos0),n=(l,-2sin0),0e[0,TT].

(1)求向量m的模的取值范圍；

(2)從條件①：S//n，②：mln這兩個條件中選擇一個作為條件，求向量a=

(cos仇sin。)與n夾角的余弦值.(注：如果選擇兩個條件分別解答，按第一個解答計分)

21.在AABC中，已知AB=2,NBAC=巴,cos/ACB=""，D為AC中點.

319

(1)求BC的長；

(2)求BD的長及ABCD的面積.

22.如圖，在四棱錐P—ABCD中，ABCD是正方形，PDL平面ABCD,PD=AB=2,點E,

F分別是PD,BC的中點.

(1)求證：平面PBC_L平面PDC；

(2)在線段PC上確定一點G,使平面EFG〃平面PAB,并給出證明;

(3)求二面角P—AC—D的正弦值，并求出D到平面PAC的距離.

4

北京市通州區(qū)2020-2021學(xué)年高一下學(xué)期期末考試

數(shù)學(xué)試卷答案解析

一、單選題

1.設(shè)Z1=3—肉,2=—2+,則Z1+Z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【考點】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算

【解析】【解答】Zi=3—4pz2=—2+,貝!]Z]+z2=3—4—2+=1+i.

故復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于一象限.

故答案為：A.

【分析】首先由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算性質(zhì)整理，再結(jié)合復(fù)數(shù)代數(shù)形式的幾何意義即可得出

答案。

2.下列說法不正確的是（）

A.平行六面體的側(cè)面和底面均為平行四邊形B.直棱柱的側(cè)棱長與高相等

C.斜棱柱的側(cè)棱長大于斜棱柱的高D.直四棱柱是長方體

【答案】D

【考點】棱柱的結(jié)構(gòu)特征

【解析】【解答】根據(jù)平行多面體的定義知：平行六面體的側(cè)面和底面均為平行四邊形，A

正確，不符合題意；

直棱柱的側(cè)棱長與底面垂直，故與高相等，B正確，不符合題意；

斜棱柱的側(cè)棱與高可構(gòu)成以側(cè)棱為斜邊，高為直角邊的直角三角形，斜邊大于直角邊，C正

確，不符合題意；

當(dāng)直四棱柱的底面不是長方形時不是長方體，D錯誤，符合題意.

故答案為：D.

【分析】由棱柱的幾何性質(zhì)對選項逐一判斷即可得出答案。

3.下列命題正確的是（）

A.三點確定一個平面B.梯形確定一個平面

C.兩條直線確定一個平面D.四邊形確定一個平面

【答案】B

【考點】平面的基本性質(zhì)及推論

【解析】【解答】當(dāng)三點共線時不能確定一個平面，A不符合題意；

5

梯形上底和下底平行，能確定一個平面，B符合題意；

兩條直線異面時不能確定一個平面，C不符合題意；

空間四邊形不能確定一個平面，D不符合題意.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)題意由確定平面的定理對選項逐一判斷即可得出答案。

4.已知點A?直線1,又Ad平面a,貝!］（）

A〃/aB.lC\a=A

C.lcaDIna=4或1ua

【答案】D

【考點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

【解析】【解答】點AG直線1,又AG平面a,則/與平面a至少有一個公共點，所

以IC\a—A或Ica.

故答案為：D.

【分析】由直線與平面的位置關(guān)系對選項逐一判斷即可得出答案。

5.先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，此試驗的樣本空間為

（）

A.正面，反面

B.｛正面，反面｝

C.｛（正面，正面），（反面，正面），（反面，反面）｝

D.｛（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）｝

【答案】D

【考點】事件與基本事件空間

【解析】【解答】解：先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，此

試驗的樣本空間為

｛（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）｝

故答案為：D

【分析】由基本事件的定義，列舉出即可。

6.給定空間中的直線I與平面a，則“直線I與平面a垂直”是“直線I垂直于a平面內(nèi)

無數(shù)條直線''的（）

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷，空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

6

【解析】【解答】由題意，若“直線I與平面a垂直”則“直線I垂直于a平面內(nèi)無數(shù)條

直線”成立的，所以充分性是成立的；

若“直線I垂直于a平面內(nèi)無數(shù)條直線”則直線“直線I不一定平面a垂直”，所以必要性

不成立，

所以“直線I與平面a垂直”是“直線I垂直于a平面內(nèi)無數(shù)條直線”成立的充分不必要

條件.

故答案為：A.

【分析】由直線與平面的位置關(guān)系結(jié)合充分和必要條件的定義即可得出答案。

7.已知P(A)=0.5,P(B)=0.3,如果P(AB)=0,那么P(AuB)等于()

A.0.8B.0.5C.0.3D.0.2

【答案】A

【考點】互斥事件的概率加法公式，相互獨立事件的概率乘法公式

【解析】【解答】PQ4UB)=PQ4)+P(B)-P(AB)=0.3+0.5-0=0.8.

故答案為：A.

【分析】由概率的計算公式計算出結(jié)果即可。

8.已知a,/?是平面，m、n是直線，則下列命題正確的是()

A.若m//a,m1n,則n//aB.若m1a,m10,貝1ja〃夕

C.若m1a,a1/7,則m///?D若m//a,n//a,則mlIn

【答案】B

【考點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

【解析】【解答】若m//a,m1n,則n//a或nua或ri與a相交，A不符合題意;

若m1a,m1P,則a//p,B符合題意；

若m_La,aJ.3,則m/或mu夕,C不符合題意；

若m//a,n//a,則m//n或m,n相交或m,n異面，D不符合題意.

故答案為：B.

【分析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系對選項逐一判斷即可得出答案。

9.在AABC中,D為BC中點，點E為AD上靠近D點的一個三等分點，若BE=AAB+fiAC,

則4+〃=()

311

A.1B,-C.--D--

【答案】C

【考點】向量加減混合運算及其幾何意義，向量的線性運算性質(zhì)及幾何意義

【解析】【解答】BE=5X+4E=BX+|AD=B4+|X1(XB+XC)=-|AB+|ZC.

故,,A-+,ll=--2+,-1=-1-.

7

故答案為：c.

【分析】首先由向量加減的運算性質(zhì)整理已知條件即可得出品=-26+3介，由此

33

即可得出答案。

10.將邊長為1的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得平面ADC，平面ABC,在折起后

形成的三棱錐D—ABC中，給出下列四個命題：①ACLBD；②BD與平面ABC所成的角

為；③^DBC是等邊三角形；④三棱錐D—ABC的體積是更.其中正確命題的個數(shù)有

44

()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積，直線與平面所成的角

【解析】【解答】如圖所示：E為AC中點，連接DE.BE，則DE，"，BE1AC,

DEnBE=E,

D

/E.；:r/

A''''N

B

故AC1平面BDE,BDu平面BDE,故AC1BD,①正確；

平面ADCJ_平面ABC,DEVAC,故DE1平面ABC,乙DBE即BD與平面ABC所

成的角，正方形邊長為1,故DE=BE=立，故tan/DBE=l,^DBEe[0,^],故

22

乙DBE=與,②正確；

4

在直角△DEB中，DE=BE=立，故DB=yjDE2+BE2=1,BC=CD=1,故4

2

DBC是等邊三角形，③正確；

S^ABC=；xlxl=；,DE1平面ABC,故VD_ABC=工*在義工=在，④錯誤.

22u8幾32212

故答案為：C.

【分析】結(jié)合折起后形成的三棱錐D-ABC進行分析，取AC中點O,連接OB、OD.通過

證明AC,平面OBD,可判斷①；可證得BD與平面ABC所成的角為/DBO可判斷②；

在Rt/XBOD中可求得BD長，可判斷③；三棱錐D-ABC的底面為RtZ\ABC、高為OD,

計算其體積可判斷④.，由此得出答案。

二、填空題

8

11.已知z(l+2p=4+3j,貝Iz=.

【答案】2-i

【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算

【解析】【解答】由已知z=巖=舁黑言=匕臂堂=2—i.

1+4(1+卬(1-21)51

故答案為：2—i.

【分析】首先由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算性質(zhì)整理即可得出答案。

12.袋子中有大小和質(zhì)地完全相同的4個球，其中2個紅球，2個白球，不放回地從中依次隨

機摸出2球，則2球顏色相同的概率等于.

【答案】

【考點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率

【解析】【解答】2個紅球編號為4B,2個白球編號為a,b,則依次取2球的基本事件

有：43,41,4),3￡1,<8瓦仍共6個，其中2球顏色相同的事件有AB,ab共2個，

所求概率為P=l=l.

OJ

故答案為：I.

【分析】根據(jù)題意首先求出總的事件個數(shù)再由題意求出基本事件的個數(shù)，再把數(shù)值代入到

概率的個數(shù)計算出結(jié)果即可。

13.已知半徑為R的球，其表面積為S,體積為V,若$=丫，則口=.

【答案】3

【考點】球的體積和表面積

【解析】【解答】S=4兀/?2,U=)R3,s=U,故軌R2=>R3,解得R=3.

故答案為：3.

【分析】根據(jù)題意由球的表面積公式和體積公式結(jié)合已知條件整理計算出結(jié)果即可。

14.如圖，在正方體ABCD-AiBiQDi中，點P在面對角線AC上運動，給出下列四個命題:

①DiP〃平面AiBCi；②DiPJ_BD；③平面PDBi_L平面AIBCi；④三棱錐Ai-BPCi的體積

不變.則其中所有正確的命題的序號是.

Si

4B

【答案】①③④

9

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積，空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，直線與平面平行的

判定，平面與平面垂直的判定

【解析】【解答】①：在正方體中，D1A/7BC1,D1C/7BA1,且DiACDCi=Di,：.

平面DiAC〃平面A1BC1；在面對角線AC上運動，；.DiP〃平面AiBCi；.*.①正確.

②當(dāng)P位于AC的中點時，DiPLBD不成立，，②錯誤；

③：AiCi_L平面BDDiBi；.,.AiCiXBiD,同理AiB_LBQ,；.BiD_L平面A1BC1,...平

ffiBDDiBXffiACDi,平面PDBi_L平面A1BC1；.?.③正確.

____-1

④三棱錐Ai-BPCi的體積等于B-AiPCi的體積，△AiPCi的面積為定值5AiCi?AAi,B

到平面AiPCi的高為BP為定值，，三棱錐Ai-BPCi的體積不變，，④正確.

故答案為：①③④.

【分析】利用正方體的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合已知條件，用線面平行的判定定理、線線垂直的判斷

方法、面面垂直的判定定理、三棱錐的體積公式，從而找出正確命題的序號。

15.在一次文藝比賽中，12名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成一個評委小組，給參賽選手打

分，下面是兩組評委對同一選手的打分：

小組A424548465247495542514745

小組B553670667549466842625847

B小組的第75百分位數(shù)是；從評委打分相似性上看更像專業(yè)人士組成的小組是

【答案】67；A

【考點】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差

【解析】【解答】將小組B的數(shù)據(jù)進行排序得到：36,42,46,47,49,55,58,62,66,68,70,75,

12X75%=9,B小組的第75百分位數(shù)是等=67.

瓦屋(42+45+48+46+52+47+49+55+42+51+47+45)=47,

SA2=2[(42-47/+(45-47)2+…+(45-47)2]?17.08.

_1

XB=適(55+36+70+66+75+49+46+68+42+62+58+47)=56

SB2屋[(55-56產(chǎn)+(36—56)2+…+(47-56)2]?139.

22

SA<SB,A小組更像專業(yè)人士組成的小組.

故答案為：67；A.

【分析】根據(jù)題意將B小組的分?jǐn)?shù)進行升序排序，取第9個和第10個的平均值，即為小

組的第75百分位數(shù)，分別求出A,B兩組的方差，即可確定那組評委為專業(yè)人士組成，即

可求解.

10

16.已知點A(1,1),點B(5,3),將向量AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)］,得到向量AC，

則點C坐標(biāo)為；\BC\=.

【答案】(—1,5)；2V10

【考點】向量的模，平面向量的坐標(biāo)運算

【解析】【解答】解：設(shè)點C的坐標(biāo)為(x,y),

因為點A(1,1),點B(5,3),所以湎=(4,2),4=(x-l,y-1),

因為向量AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)；，得到向量AC,

所以荏?而=0,\AB\=\AC\,

所以4(x-1)+2(y-1)=0,且(x-I)2+(y-I)2=20,

解得或&：］，

因為逆時針旋轉(zhuǎn)，所以點C的坐標(biāo)為(-1,5),

所以甌=(-6,2),

所以|也=7(-6)2+22=2V10,

故答案為：(—1,5),2V10

【分析】由于向量荏不繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)］，得到向量左，結(jié)合旋轉(zhuǎn)后兩個向量互

相垂直，以及向量的模相等，可得點C坐標(biāo)，再結(jié)合向量的模長公式，即可求解。

三、解答題

17.某公司入職筆試中有兩道必答題，某應(yīng)試者答對第一題的概率為0.9,答對第二題的概率

為0.8,假設(shè)每道題目是否答對是相互獨立的.

(1)求該應(yīng)試者兩道題都答對的概率；

(2)求該應(yīng)試者只答對一題的概率.

【答案】(1)設(shè)應(yīng)試者兩道題都答對的事件為A,則P(4)=0,9X0.8=0.72.

(2)設(shè)應(yīng)試者答對一題的事件為B,

貝ijP(B)=0,9X(1-0.8)+0.8X(1-0.9)=0.18+0.08=0.26.

【考點】互斥事件的概率加法公式，等可能事件的概率，相互獨立事件的概率乘法公式

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由概率乘法公式代入數(shù)值計算出結(jié)果即可。

(2)由對立事件和概率加法公式結(jié)合已知條件計算出結(jié)果即可。

18.某校從參加高一年級期中考試的學(xué)生中抽取n名學(xué)生，統(tǒng)計了他們的某科成績(成績均

為整數(shù)，且滿分為100分)，繪制成頻率分布直方圖如圖所示，已知分?jǐn)?shù)在［40,50)的頻

數(shù)為2.

11

（1）求a,n的值；

（2）抽取n名學(xué)生中，甲同學(xué)期中該科成績?yōu)?5分，乙同學(xué)期中該科成績?yōu)?3分.若從

[40,50）內(nèi)的兩名同學(xué)中選一人，從[90,100]中選出兩名同學(xué)組成學(xué)習(xí)小組，求甲、乙兩

同學(xué)恰好在該小組的概率；

（3）假設(shè)[40,50）內(nèi)的兩名同學(xué)在期末考試中，甲同學(xué)該科考了68分，另一名考了72分,

樣本中其他學(xué)生該科期末成績不變，試比較n名學(xué)生期中成績方差si與期末成績方差

的大小、（結(jié)論不要求證明）

【答案】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)知：（0.004+0.006+a+0.024+0.028+

0.030）X10=1,

解得a=0.008.

[40,50）的頻率為0.004X10=0.04,故n=2+0.04=50.

（2）[40,50）中有2人，記作A,B,[90,100]中有50x0.008x10=4人，記作a,b,c,d,

甲同學(xué)為A,另外一個同學(xué)為a,

故共有Aab,Aac,Aad,Abe,Abd,Acd,Bab,Bae,Bad,Bbc,Bbd,Bed共12種情況，

P=-=-.

124

（3）期中平均成績?yōu)椋?/p>

0.04X45+0.06X55+0.28X65+0.3X75+0.24X85+0.08X95=73.8.

其他同學(xué)成績不變的情況下，期末成績更接近平均值，故方差更小，即sl>sl.

【考點】頻率分布直方圖，眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差，列舉法計算基本

事件數(shù)及事件發(fā)生的概率

【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，計算出結(jié)果即可。

（2）根據(jù)題意首先求出總的事件個數(shù)再由題意求出基本事件的個數(shù)，再把數(shù)值代入到概率的

個數(shù)計算出結(jié)果即可。

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(3)根據(jù)題意由平均數(shù)公式代入數(shù)值計算出結(jié)果，再由方差公式計算出結(jié)果然后再與標(biāo)準(zhǔn)值

進行比較即可得出結(jié)論。

19.如圖，EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=2DC,AC=BC,F是BE中點.

...J"

(1)求證：DC〃平面AEB；

(2)求證：DF_L平面AEB.

【答案】(1)證明：EA和DC都垂直于平面ABC,故DCII4E,DC電平面AEB,

AEu平面AEB,

DC〃平面AEB.

(2)證明：G為AB中點，連接FG,CG,F是BE中點，G為AB中點，

DI

......\A

1/o

則『Gil泊，

DC||AE,EA=2DC,故"011，故四邊形DCFG為平行四邊形，DF||CG,

AC=BC,G為AB中點，故CG_L4B,

EA1平面ABC,CGu平面ABC，故CG1AE,AEnAB=A,故CG1平面

ABE,

DF||CG,故DF1平面ABE.

【考點】直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，直線與平面垂直的性質(zhì)

【解析】【分析】(1)由題意即可得出線線平行，再由線面平行的判定定理即可得證出結(jié)論。

(2)由已知條件作出輔助線，結(jié)合中點的性質(zhì)得出線線平行，由此得出四邊形DCFG為平

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行四邊形，從而得出線線平行，然后由線面垂直的判定定理即可得證出結(jié)論。

20.已知向量m=(y,cos0),n=(l,-2sin0),0G[0,n].

(1)求向量m的模的取值范圍；

(2)從條件①：fi//n，②：mln這兩個條件中選擇一個作為條件，求向量2=

(cos。,sin。)與n夾角的余弦值.(注：如果選擇兩個條件分別解答，按第一個解答計分)

【答案】(1)萬=(今cos。)，則\m\=J(-y)2+COS20=+COS20,。e[0,兀],

故COS26(G[0,1]，故師I=J|+COS20e[y,y].

(2)若選擇條件①：m=(y,cos0),n=(1,-2sin0),0e[0,TT]>fl//0,

則?x(—2sin0)=1xcos0,即cos。=—\/3sin0,即tan。=—g，。e[0,兀],

故。=%

o

d=(—今3，Hl)，故cos優(yōu)力=器=石=_當(dāng)_亨.

若選擇條件②：m=(Y，cos0),n=(1,—2sin0),0G[O,TT],mln,

則m-n=-yx1+cos3x(—2sin0)=0,即sin20=當(dāng),8W[0,捫，29E[0,2n],

故26=g或?，故e=￡或

D3oo

當(dāng)6=公時，五=(?])，元=(L-1)，故cos(d,n)=蒿g==--—?

622\'|a|-|n|lxV244

__1_3

當(dāng)8屋時，d=Cr，元=(1,一次)，故cos值力=品=2=W.

乙乙ILlI|IL|[八4L.

綜上所述：當(dāng)記1元時，cos(a,n)=^-^或一J.

【考點】向量的模，平面向量的坐標(biāo)運算，平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角，數(shù)量積

表示兩個向量的夾角

【解析】【分析】(1)根據(jù)題意由向量模的坐標(biāo)公式，計算出同=J(m2+cos2J=

J；+COS2?再由余弦函數(shù)的性質(zhì)即可得出向量模的取值范圍。

(2)若選擇條件①由共線向量的坐標(biāo)公式代入數(shù)值計算出tan。=-日,由此得出角。=

?然后再由夾角的數(shù)量積坐標(biāo)公式計算出結(jié)果即可。若選擇條件②，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公

O

式代入數(shù)值計算出

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sin2B=如由此得到角的大小再由夾角的數(shù)量積公式計算出結(jié)果即可。

2

21.在AABC中，已知AB=2,NBAC=二cos/ACB="竺，D為AC中點.

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(1)求BC的長；

(2)求BD的長及ABCD的面積.

【答案】(1)coszXCB=—,e(0,兀),貝」sinZTlCB=>1—COS2N4CB=迫,

19k719

ADBC2____

根據(jù)正弦定理：￡=-^―,即福=可，解得BC=g.

s\nAsmz.ACB—3-

(2)在AABC中：根據(jù)余弦定理，BC2=AB2+AC2-2AB-AC-coszBXC,

即19=4+AC2-2AC,解得AC=5(舍去負(fù)值)，故AD=|.

在△4BD中，根據(jù)余弦定理：

BD2=AB2+AD2-2AB-AD-cosAC=4+—-5=—,故BD=—.

442

S.D=~BC-CD-sin乙4cB=-xV19x-x—=—.

△以〃2221