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文檔簡介

達(dá)朗貝爾公式的推導(dǎo)2.1一維波動方程的建立常微分方程在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，并且應(yīng)用到物理學(xué)科中更具有重要意義，比如在物理學(xué)中的電學(xué)中的電壓電阻和動力學(xué)中的物體移動位置大小都是關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)。如上這些物理量的變化特征就需要用到常微分方程。例如，一個(gè)物體掛在有彈性的掛勾上，那么它在多種力的共同作用下，它的運(yùn)動方程表達(dá)式未知的函數(shù)。在物理學(xué)科中有很多物理量，這些物理量位移的變化不僅僅與時(shí)間有關(guān)，也與空間距離(x.y.z)有很大關(guān)系。比如在周圍環(huán)境發(fā)生變化時(shí)電場強(qiáng)度的變化、物體內(nèi)各點(diǎn)的溫度分布等一些現(xiàn)象，為了研究這些物理量的變化特征，我們在計(jì)算中就會得到式中含偏微分方程的公式，也就是函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)，也可以稱為數(shù)學(xué)物理方程。要解決實(shí)際問題就需要從物理模型入手，抓住關(guān)鍵特征，利用相關(guān)物理知識，例如各種定律來導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理方程。以下是建立弦的微小橫振動偏微比如在小提琴彈奏時(shí)，弓在弦上來回拉動，只有一小段接觸而發(fā)出聲音，但是小提琴的弦是繃緊的，在弦與弦之間有一種相互作用力，在力學(xué)上它的名字叫張力?，F(xiàn)假設(shè)弦是軟的，則張力順著切線的方向發(fā)生作用。在這種情況下，便可以知道每一根線之間都是相互作用的，即一根弦的振動會影響相鄰弦的振動，這種振動的傳播現(xiàn)象即稱為波?，F(xiàn)在我們來研究弦的微小橫振動，如圖2-1所示。令弦的平衡位置方向?yàn)閤軸，在一個(gè)平面內(nèi)，弦上的各點(diǎn)振動都稱為橫振動，而且與x軸方向垂直。u=u(x,t)表示橫坐標(biāo)為x的點(diǎn)在t時(shí)刻離開平衡位置的位移。第一步取弦上AB段分析其中AB為任意一段由于dx極小，所以AB段的重量可忽略不計(jì)。AB段在x軸方向沒有運(yùn)動，即可得出由于我們需要考慮的是微小橫振動，且每一小段的弦緊繃且很短，所以可以由此可得出，在上述這種情形下，|u,|與1二者相比較，我們便能夠得出，它幾牛頓第二定律便能得到橫向的運(yùn)動方程式上式里p為線密度。由式(2.1)得T=T2,在前面由于每一小段的弦長沒有變化，可得到ds≈dx,從虎克定律得到T與t沒有關(guān)系，所以張力T可視為常數(shù)，記為有

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