2025屆內(nèi)蒙古自治區(qū)普通高中數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

2025屆內(nèi)蒙古自治區(qū)普通高中數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知,,則（）A． B． C． D．2．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值是（）A． B． C． D．3．下列函數(shù)中是偶函數(shù)且最小正周期為的是（）A． B．C． D．4．函數(shù)，若方程恰有三個(gè)不同的解，記為，則的取值范圍是()A． B． C． D．5．不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B．C． D．6．函數(shù)的最小正周期是（）A． B． C． D．7．甲、乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員的5次比賽成績(jī)（單位：環(huán)）如莖葉圖所示，若兩位運(yùn)動(dòng)員平均成績(jī)相同，則成績(jī)較穩(wěn)定（方差較小）的那位運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的方差為A．2 B．4 C．6 D．88．設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和,若,則A． B． C． D．9．圓心在(-1,0),半徑為的圓的方程為()A． B．C． D．10．等比數(shù)列中,,,則公比()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若則的最小值是__________．12．空間一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離是_______.13．若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則____________.14．方程在區(qū)間上的解為___________．15．如圖是函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的一個(gè)周期的圖象，則f(1)=__________.16．已知三個(gè)事件A，B，C兩兩互斥且，則P(A∪B∪C)=__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，．（1）求證：且；（2）設(shè)向量，，且，求實(shí)數(shù)的值．18．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，記M的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l交C于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，軸，垂足為H．連結(jié)QH并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)R．（i）設(shè)O到直線QH的距離為d．求d的取值范圍;（ii）求面積的最大值及此時(shí)直線l的方程．19．已知的三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，取最大值.（1）若關(guān)于的方程，有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，且，求的面積.20．已知數(shù)列中，．.（1）寫出、、；（2）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．21．已知直線l過點(diǎn)（1，3），且在y軸上的截距為1．

（1）求直線l的方程；

（2）若直線l與圓C：（x-a）2+（y+a）2=5相切，求實(shí)數(shù)a的值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】由題意可得，即，則，所以，即，也即，所以，應(yīng)選答案D．點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是借助題設(shè)中的條件獲得，進(jìn)而得到，求得，從而求出使得問題獲解．2、D【解析】

首先計(jì)算出，根據(jù)三角函數(shù)定義可求得正弦值和余弦值，從而得到結(jié)果.【詳解】由三角函數(shù)定義知：，，則：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查任意角三角函數(shù)的求解問題，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

本題首先可將四個(gè)選項(xiàng)都轉(zhuǎn)化為的形式，然后對(duì)四個(gè)選項(xiàng)的奇偶性以及周期性依次進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)果．【詳解】中，函數(shù)，是偶函數(shù)，周期為；中，函數(shù)是奇函數(shù)，周期；中，函數(shù)，是非奇非偶函數(shù)，周期；中，函數(shù)是偶函數(shù)，周期.綜上所述，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)三角函數(shù)的奇偶性以及周期性的判斷，考查三角恒等變換，偶函數(shù)滿足，對(duì)于函數(shù)，其最小正周期為，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．4、D【解析】

由方程恰有三個(gè)不同的解，作出的圖象，確定，的取值范圍，得到的對(duì)稱性，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【詳解】設(shè)

作出函數(shù)的圖象如圖：由

則當(dāng)

時(shí)

,,

即函數(shù)的一條對(duì)稱軸為

，要使方程恰有三個(gè)不同的解，則

,

此時(shí)

,

關(guān)于

對(duì)稱，則

當(dāng)

，即

，則

則

的取值范圍是，選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程與函數(shù)，數(shù)學(xué)結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，數(shù)學(xué)結(jié)合也是數(shù)學(xué)中比較重要的一種思想方法．5、C【解析】

不等式的解集為，為方程的兩根，則根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可得，.故選C.考點(diǎn)：一元二次不等式；根與系數(shù)關(guān)系.6、C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的周期公式，進(jìn)行計(jì)算，即可求解．【詳解】由角函數(shù)的周期公式，可得函數(shù)的周期，又由絕對(duì)值的周期減半，即為最小正周期為，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的周期的計(jì)算，其中解答中熟記余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解析】

根據(jù)平均數(shù)相同求出x的值，再根據(jù)方差的定義計(jì)算即可．【詳解】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知，甲、乙二人的平均成績(jī)相同，即×（87+89+90+91+93）=×（88+89+90+91+90+x），解得x=1，所以平均數(shù)為=90；根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知甲的成績(jī)波動(dòng)性小，較為穩(wěn)定（方差較?。约壮煽?jī)的方差為s1=×[（88﹣90）1+（89﹣90）1+（90﹣90）1+（91﹣90）1+（91﹣90）1]=1．故選A．【點(diǎn)睛】莖葉圖的優(yōu)點(diǎn)是保留了原始數(shù)據(jù)，便于記錄及表示，能反映數(shù)據(jù)在各段上的分布情況．莖葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過莖葉圖給出的數(shù)據(jù)求出數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，進(jìn)一步估計(jì)總體情況．8、A【解析】，，選A.9、A【解析】

根據(jù)圓心和半徑可直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】圓心為(-1,0),半徑為，則圓的方程為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，屬于簡(jiǎn)單題.10、B【解析】

將與用首項(xiàng)和公比表示出來，解方程組即可.【詳解】因?yàn)?，且，故：，且，解得：，即，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查求解等比數(shù)列的基本量，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)對(duì)數(shù)相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求結(jié)果.【詳解】則，即由題意知，則，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求解和的最小值問題，關(guān)鍵是能夠利用對(duì)數(shù)相等得到的關(guān)系，從而構(gòu)造出符合基本不等式的形式.12、【解析】

直接運(yùn)用空間兩點(diǎn)間距離公式求解即可.【詳解】由空間兩點(diǎn)距離公式可得：.【點(diǎn)睛】本題考查了空間兩點(diǎn)間距離公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.13、【解析】

根據(jù)求平均數(shù)的公式，得到關(guān)于的方程，求得.【詳解】由題意得：，解得：，故填：.【點(diǎn)睛】本題考查求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，考查基本數(shù)據(jù)處理能力.14、【解析】試題分析：化簡(jiǎn)得：，所以，解得或（舍去），又，所以.【考點(diǎn)】二倍角公式及三角函數(shù)求值【名師點(diǎn)睛】已知三角函數(shù)值求角，基本思路是通過化簡(jiǎn)，得到角的某種三角函數(shù)值，結(jié)合角的范圍求解.本題難度不大，能較好地考查考生的邏輯推理能力、基本計(jì)算能力等.15、2【解析】

由三角函數(shù)圖象，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的解析式，即可求解的值，得到答案.【詳解】由三角函數(shù)圖象，可得，由，得，于是，又，即，解得，所以，則.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的部分圖象求解函數(shù)的解析式及其應(yīng)用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、0.9【解析】

先計(jì)算，再計(jì)算【詳解】故答案為0.9【點(diǎn)睛】本題考查了互斥事件的概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)求出向量模的方法以及向量的數(shù)量積即可求解.（2）根據(jù)向量垂直，可得數(shù)量積等于，進(jìn)而解方程即可求解.【詳解】（1）證明：，，所以，因?yàn)椋?；?）因?yàn)?，所以，由?）得：所以，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了向量坐標(biāo)求向量的模以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.18、(1)；(2)（i）（ii）面積最大值為，直線的方程為.【解析】

（1）根據(jù)題意列出方程求解即可（2）聯(lián)立直線與圓的方程，得出P、Q、H三點(diǎn)坐標(biāo)，表示出QH直線方程，采用點(diǎn)到直線距離公式求解；利用圓的幾何關(guān)系，表示出三角形的底和高，再結(jié)合函數(shù)最值問題進(jìn)行求解【詳解】（1）由及兩點(diǎn)距離公式，有，化簡(jiǎn)整理得，．所以曲線C的方程為；（2）（i）設(shè)直線l的方程為；將直線l的方程與圓C的方程聯(lián)立，消去y，得（，解得因此，，，所以直線QH的方程為．到直線QH的距離，當(dāng)時(shí)．，所以，（ii）過O作于D，則D為QR中點(diǎn)，且由（i）知，，，又由，故的面積，由，有，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，且此時(shí)由（i）有，即.綜上，的面積最大值為的面積最大值為，且當(dāng)面積最大時(shí)直線的方程為.【點(diǎn)睛】直線與圓的綜合類題型常采用點(diǎn)到直線距離公式、圓內(nèi)構(gòu)造的直角三角形，將代數(shù)問題與幾何問題進(jìn)行有效結(jié)合，可大大降低解題難度.19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用兩角和差的正弦公式整理可得：，再利用已知可得：（），結(jié)合已知可得：，求得：時(shí)，，問題得解.（2）利用正弦定理可得：，結(jié)合可得：，對(duì)邊利用余弦定理可得：，結(jié)合已知整理得：，再利用三角形面積公式計(jì)算得解.【詳解】解：（1）.因?yàn)樵谔幦〉米畲笾担裕?即.因?yàn)椋?，所?因?yàn)椋运?，因?yàn)殛P(guān)于的方程有解，所以的取值范圍為．（2）因?yàn)?，，由正弦定理，于是．又，所?由余弦定理得：，整理得：，即，所以，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和、差的正弦公式應(yīng)用，還考查了三角函數(shù)的性質(zhì)及方程與函數(shù)的關(guān)系，還考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用及三角形面積公式，考查計(jì)算能力及轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．20、（1），，；（2）猜想，證明見解析.【解析】

（1）利用遞推公式可計(jì)算出、、的值；（2）根據(jù)數(shù)列的前四項(xiàng)可猜想出，然后利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明出猜想成立.【詳解】（1），，則，，；（2）猜想，下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明.假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即，那么當(dāng)時(shí)，，這說明當(dāng)時(shí)，猜想也成立.由歸納原理可知，.【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)列遞推公式寫出數(shù)列中的項(xiàng)，同時(shí)也考查了利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列通項(xiàng)公式，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于中等題.21、（1）y=2x+1；（2）a=-2或【解析】

（1）求得直