北京市北方交大附中2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

北京市北方交大附中2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如果a＜b＜0，則下列不等式成立的是（）A． B．a(chǎn)2＜b2 C．a(chǎn)3＜b3 D．a(chǎn)c2＜bc22．已知圓M:x2+y2-2ay=0a>0截直線x+y=0A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離3．在正方體中，直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．4．等差數(shù)列{an}中，若S1=1A．2019 B．1 C．1009 D．10105．光線自點(diǎn)M（2，3）射到N（1，0）后被x軸反射，則反射光線所在的直線方程為（）A． B．C． D．6．的值（）A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不小于07．已知函數(shù)的零點(diǎn)是和（均為銳角），則（）A． B． C． D．8．法國“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”皮埃爾·德·費(fèi)馬在1936年發(fā)現(xiàn)的定理：若x是一個不能被質(zhì)數(shù)p整除的整數(shù)，則必能被p整除，后來人們稱為費(fèi)馬小定理.按照該定理若在集合中任取兩個數(shù)，其中一個作為x，另一個作為p，則所取的兩個數(shù)符合費(fèi)馬小定理的概率為（）A． B． C． D．9．若長方體三個面的面積分別為2，3，6，則此長方體的外接球的表面積等于（）A． B． C． D．10．有一塔形幾何體由若干個正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn)．已知最底層正方體的棱長為2，且該塔形的表面積(含最底層正方體的底面面積)超過39，則該塔形中正方體的個數(shù)至少是A．4 B．5 C．6 D．7二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知在中，，則____________.12．不等式的解集為_________________；13．已知，，，則的最小值為__________．14．已知，，則______，______.15．某四棱錐的三視圖如圖所示，如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，那么該四棱錐最長棱的棱長為．16．已知三棱錐外接球的表面積為，面，則該三棱錐體積的最大值為____。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，且,記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)若，求序數(shù)的值；(2)若數(shù)列的公差，求數(shù)列的公比及.18．已知的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且.(1)若,求的值;(2)若,求b,c的值.19．已知、、是銳角中、、的對邊，是的面積，若，，．（1）求；（2）求邊長的長度．20．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四邊形BFED為矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.(1)求證：AD⊥平面BFED；(2)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動，設(shè)平面PAB與平面ADE所成銳二面角為θ，試求θ的最小值．21．已知向量的夾角為60°，且.（1）求與的值；（2）求與的夾角.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

根據(jù)a、b的范圍，取特殊值帶入判斷即可．【詳解】∵a＜b＜0，不妨令a＝﹣2，b＝﹣1，則，a2>b2所以A、B不成立，當(dāng)c=0時，ac2=bc2所以D不成立，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的性質(zhì)，考查特殊值法進(jìn)行排除的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解析】化簡圓M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r3、C【解析】

由題，連接，設(shè)其交平面于點(diǎn)易知平面，即（或其補(bǔ)角）為與平面所成的角，再利用等體積法求得AO的長度，即可求得的長度，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)正方體的邊長為1，如圖，連接，設(shè)其交平面于點(diǎn)，則易知，，又，所以平面，即得平面.在三棱錐中，由等體積法知，，即，解得，所以.連接，則（或其補(bǔ)角）為與平面所成的角.在中，.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中線面角的求法，作出線面角是解題的關(guān)鍵，求高的長度會用到等體積法，屬于中檔題.4、D【解析】

由等差數(shù)列{an}中，S1=1，S【詳解】∵等差數(shù)列{an}中，S∴S即15=5+10d，解得d=1，∴S故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解析】試題分析：點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，則反射光線即在直線上，由，∴，故選B.考點(diǎn)：直線方程的幾種形式.6、A【解析】

確定各個角的范圍，由三角函數(shù)定義可確定正負(fù)．【詳解】∵，∴，，，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查各象限角三角函數(shù)的符號，掌握三角函數(shù)定義是解題關(guān)鍵．7、B【解析】

將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化的解，利用韋達(dá)定理和差公式得到，得到答案.【詳解】的零點(diǎn)是方程的解即均為銳角故答案為B【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)，韋達(dá)定理，和差公式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.8、A【解析】

用列舉法結(jié)合古典概型概率公式計算即可得出答案.【詳解】用表示抽取的兩個數(shù)，其中第一個為，第二個為總的基本事件分別為：，，，共12種其中所取的兩個數(shù)符合費(fèi)馬小定理的基本事件分別為：，，共8種則所取的兩個數(shù)符合費(fèi)馬小定理的概率故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用古典概型概率公式計算概率，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

設(shè)長方體過一個頂點(diǎn)的三條棱長分別為，，，由已知面積求得，，的值，得到長方體對角線長，進(jìn)一步得到外接球的半徑，則答案可求．【詳解】設(shè)長方體過一個頂點(diǎn)的三條棱長分別為，，，則，解得，，．長方體的對角線長為．則長方體的外接球的半徑為，此長方體的外接球的表面積等于．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查長方體外接球表面積的求法，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力，求解時注意長方體的對角線長為長方體外接球的直徑.10、C【解析】

根據(jù)相鄰正方體的關(guān)系得出個正方體的棱長為等比數(shù)列，求出塔形表面積的通項(xiàng)公式，令，即可得出的范圍．【詳解】設(shè)從最底層開始的第層的正方體棱長為，則是以2為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.∴是以4為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列∴塔形的表面積為.令，解得.∴塔形正方體最少為6個.故選C.【點(diǎn)睛】此題考查了立體圖形的表面積問題以及等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用．解決本題的關(guān)鍵是得到上下正方體的棱長之間的關(guān)系，從而即可得出依次排列的正方體的一個面的面積，這里還要注意把最下面的正方體看做是6個面之外，上面的正方體都是露出了4個面．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)可得，根據(jù)商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系可解得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋郧?，又，所以，所以，因?yàn)椋?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的符號法則，考查了同角公式中的商數(shù)關(guān)系和平方關(guān)系式，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

根據(jù)絕對值定義去掉絕對值符號后再解不等式．【詳解】時，原不等式可化為，，∴；時，原不等式可化為，，∴．綜上原不等式的解為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查解絕對值不等式，解絕對值不等式的常用方法是根據(jù)絕對值定義去掉絕對值符號，然后求解．13、8【解析】由題意可得：則的最小值為.當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.點(diǎn)睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項(xiàng)均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．14、【解析】

由的值，可求出的值，再判斷角的范圍，可判斷出，進(jìn)而將平方，可求出答案.【詳解】由題意，，因?yàn)?，所以，即；又因?yàn)椋?，即，而，由于，可知，所以，則，即.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，考查二倍角公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于中檔題.15、【解析】

先通過拔高法還原三視圖為一個四棱錐，再根據(jù)圖像找到最長棱計算即可?！驹斀狻扛鶕?jù)拔高法還原三視圖，可得斜棱長最長，所以斜棱長為?！军c(diǎn)睛】此題考查簡單三視圖還原，關(guān)鍵點(diǎn)通過拔高法將三視圖還原易求解，屬于較易題目。16、【解析】

根據(jù)球的表面積計算出球的半徑.利用勾股定理計算出三角形外接圓的半徑，根據(jù)正弦定理求得的長，再根據(jù)圓內(nèi)三角形面積的最大值求得三角形面積的最大值，由此求得三棱錐體積的最大值.【詳解】畫出圖像如下圖所示，其中是外接球的球心，是底面三角形的外心，.設(shè)球的半徑為，三角形外接圓的半徑為，則，故在中，.在三角形中，由正弦定理得.故三角形為等邊三角形，其高為.由于為定值，而三角形的高等于時，三角形的面積取得最大值，由于為定值，故三棱錐的體積最大值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查外接球有關(guān)計算，考查三棱錐體積的最大值的計算，屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2），.【解析】

（1）先設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中條件，求出公差，再由通項(xiàng)公式，得到，即可求出結(jié)果；（2）先由題意求出，得到等比數(shù)列的公比，再由等比數(shù)列的求和公式，即可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以，解得：；又，所以，即，解得：；?）因?yàn)閿?shù)列的公差，，所以；因此等比數(shù)列的公比為，所以其前項(xiàng)和為.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，熟記通項(xiàng)公式與求和公式即可，屬于?？碱}型.18、(1);(2)【解析】

(1)先求出，再利用正弦定理可得結(jié)果；(2)由求出，再利用余弦定理解三角形.【詳解】(1)∵,且，∴，由正弦定理得，∴；(2)∵，∴，∴，由余弦定理得，∴.【點(diǎn)睛】本題考查正弦余弦定理解三角形，是基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）.【解析】

（1）利用三角形的面積公式結(jié)合為銳角可求出的值；（2）利用余弦定理可求出邊長的長度．【詳解】（1）由三角形的面積公式可得，得.為銳角，因此，；（2）由余弦定理得，因此，.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角形的面積公式求角，同時也考查了利用余弦定理求三角形的邊長，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）證明見解析（2）θ最小值為60°【解析】

（1）在梯形ABCD中，利用勾股定理，得到AD⊥BD，再結(jié)合面面垂直的判定，證得DE⊥平面ABCD，即可證得AD⊥平面BFED；（2）以D為原點(diǎn)，直線DA，DB，DE分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求得平面PAB與平面ADE法向量，利用向量的夾角公式，即可求解?！驹斀狻浚?）證明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，∴AB＝2.∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos60°＝3.∴AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥BD.∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD＝BD，DE?平面BFED，DE⊥DB，∴DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AD，又DE∩BD＝D，∴AD⊥平面BFED.（1）由(1)知，直線AD，BD，ED兩兩垂直，故以D為原點(diǎn)，直線DA，DB，DE分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令EP＝λ(0≤λ≤)，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，，0)，P(0，λ，1)，所以＝(－1，，0)，＝(0，λ－，1)．設(shè)n1＝(x，y，z)為平面PAB的法向量，由得，取y＝1，則n1＝(，1，－λ)．因?yàn)閚2＝(0,1,0)是平面ADE的一個法向量，所以cosθ＝＝＝.因?yàn)?≤λ≤，所以當(dāng)λ＝時，cosθ有最大值，所以θ的最小值為60°.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂