山東省濟(jì)南市考試聯(lián)盟2024屆高三年級(jí)下冊(cè)4月高考模擬數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

山東省濟(jì)南市名?？荚嚶?lián)盟2024屆高三下學(xué)期4月高考模擬數(shù)

學(xué)試題

學(xué)校：姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知隨機(jī)變量X--則p(X=2)=()

A.3311

B.-C.—D.一

4848

2.已知拋物線C:）/=4x的焦點(diǎn)為尸，該拋物線上一點(diǎn)尸至曦=-2的距離為4,則|尸產(chǎn)|=（）

A.1B.2C.3D.4

3.已知集合｛刈卜-/）（尤-1）=0｝的元素之和為1,則實(shí)數(shù)°所有取值的集合為（）

A.{0}B.{1}C.{-1,1}D.{0,-1,1}

4.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,若/（—）J（l+x）=〃l-x）,則/（2024）=（）

A.0B.1C.2D.3

5.已知圓C:x2+/=l,N（4,a）,8（4,-a）,若圓。上有且僅有一點(diǎn)尸使尸/，P8,則正實(shí)

數(shù)。的取值為（）

A.2或4B.2或3C.4或5D.3或5

6.設(shè)/,B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且尸（1）=；,尸（3）=g,P（NuB）=g,則

尸心[1]=（）

11_11

A.-B.—C.—D.—

43612

7.已知數(shù)歹―4對(duì)于任意的且〃”都有-1[%需，則”

（）

A.211B.2"一2C.210D.210-2

8.已知正三棱錐P-ABC的底面邊長為2拒,若半徑為1的球與該正三棱錐的各棱均相

切，則三棱錐P-ABC的體積為（）

A.2B.2V2C.3D.273

試卷第1頁，共4頁

二、多選題

9.若復(fù)數(shù)z滿足z（l+i）=2-i（i為虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（）

兒I#.

3

B.z的虛部為一小

2

C.z-z=—

2

D.若復(fù)數(shù)。滿足|o-2z|=l,則網(wǎng)的最大值為&6

10.如圖，在直角三角形4BC中，AB=BC=g，49=0C,點(diǎn)P是以/C為直徑的半圓

弧上的動(dòng)點(diǎn)，若=+｝友,貝（I（）

—?1—1—

A.BO=-BA+-BC

22

B.CBBO=1

C.而.就最大值為1+夜

D.B,O,P三點(diǎn)共線時(shí)x+y=2

11.已知數(shù)列｛氏｝滿足/a?+1=sin^,（?eN,）,記數(shù)列｛aJ的前〃項(xiàng)和為S”,

則對(duì)任意”eN*,下列結(jié)論正確的是（）

A.存在后eN*,使%=1B.數(shù)列｛?！埃龁握{(diào)遞增

31

C.?n+i~an+—D.2an+i<2ax+Sn

三、填空題

12.已知a=log23,4=3"，則/=.

13.現(xiàn)有4,B兩組數(shù)據(jù)，其中/組有4個(gè)數(shù)據(jù)，平均數(shù)為2,方差為6,5組有6個(gè)數(shù)據(jù),

試卷第2頁，共4頁

平均數(shù)為7,方差為1.若將這兩組數(shù)據(jù)混合成一組，則新的一組數(shù)據(jù)的方差為.

14.已知函數(shù)/(司=在1,若方程+石=〃有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)。的

取值范圍為.

四、解答題

15.如圖，在平面四邊形48CD中，BCLCD,AB=BC=?，N4BC=8,120°<0<180°.

⑴若。=120°,40=3,求N/DC的大小;

(2)若。=遙，求四邊形/BCD面積的最大值.

16.如圖，在四棱錐尸-/BCD中，四邊形/BCD為直角梯形，AB//CD,

ZDAB=ZPCB=60°,CD=l,AB=3,PC=2^,平面尸C8_L平面488,尸為線段BC1的中

點(diǎn)，E為線段PF上一點(diǎn).

(1)證明：PF1AD；

(2)當(dāng)斯為何值時(shí)，直線3E與平面BID夾角的正弦值為

17.已知函數(shù)/(x)=a尤?-[nx-l,g(x)=xe*-ax2(aeR)?

⑴討論/(尤)的單調(diào)性；

(2)證明:/(x)+g(x)>x.

18.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，直線/與拋物線沙：產(chǎn)=2y相切于點(diǎn)/>,且與橢圓

2

C：L+/=1交于48兩點(diǎn).

2

(1)當(dāng)尸的坐標(biāo)為(2,2)時(shí)，求網(wǎng);

試卷第3頁，共4頁

(2)若點(diǎn)G滿足詼+?3+分=0,求△G/B面積的最大值.

19.隨機(jī)游走在空氣中的煙霧擴(kuò)散、股票市場(chǎng)的價(jià)格波動(dòng)等動(dòng)態(tài)隨機(jī)現(xiàn)象中有重要應(yīng)用.在

平面直角坐標(biāo)系中，粒子從原點(diǎn)出發(fā)，每秒向左、向右、向上或向下移動(dòng)一個(gè)單位，且向四

個(gè)方向移動(dòng)的概率均為:例如在1秒末，粒子會(huì)等可能地出現(xiàn)在(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)

四點(diǎn)處.

(1)設(shè)粒子在第2秒末移動(dòng)到點(diǎn)(X/),記x+y的取值為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)

學(xué)期望E(x)；

(2)記第〃秒末粒子回到原點(diǎn)的概率為4.

⑴已知t(C：)2=C“求2,“以及小”；

k=0

(ii)令6,=P2"，記s”為數(shù)列帆｝的前九項(xiàng)和，若對(duì)任意實(shí)數(shù)M>0,存在〃eN*,使得S,,>〃，

1

則稱粒子是常返的.已知后［〈加證明：該粒子是常返的.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.B

【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布直接求解即可.

【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X~B14,￡|,

所以尸"2)=嗯m

故選：B

2.C

【分析】設(shè)尸(%,%),%20,由題意可得X。=2,結(jié)合拋物線的定義運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可知：拋物線C:/=4x的準(zhǔn)線為x=-l,

設(shè)尸(%,%),%20,則%+2=4,解得分=2,

所以忸川=x0+l=3.

故選：C.

3.D

【分析】根據(jù)集合中元素和為1,確定一元二次方程的根，即可得出。的取值集合.

【詳解】因?yàn)榧喜穦1-*(1)=0｝的元素之和為1,

所以一元二次方程(x-/)(x-i)=o有等根時(shí)，可得x=/=i,即。=±1,

當(dāng)方程有兩不相等實(shí)根時(shí)，x=a2=0＞即4=0,

綜上，實(shí)數(shù)。所有取值的集合為｛0,『1｝.

故選：D

4.A

【分析】利用奇偶性和對(duì)稱性求得函數(shù)周期為4,然后由周期性和奇函數(shù)的性質(zhì)可得.

【詳解】因?yàn)?(l+x)=/(l-x),

所以f(+(+x))=/(_(l+x)),gp/(2+x)=/(-x),

又止力=-/(尤),函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,

所以，/(X)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),所以"0)=0,/(x)=-/(2+x),

答案第1頁，共16頁

所以，/（2+X）=-/（4+X）,故/（無）=一/（2+尤）=/（4+X）,

所以/（尤）是以4為周期的周期函數(shù)，

所以/（2024）=/（506x4+0）=〃0）=0.

故選：A

5.D

【分析】根據(jù)題意可知：點(diǎn)尸的軌跡為以的中點(diǎn)河（4,0）為圓心，半徑R=a的圓，結(jié)合

兩圓的位置關(guān)系分析求解.

【詳解】由題意可知：圓C:f+V=i的圓心為。（o,o）,半徑廠=1,且。＞0,

因?yàn)榭芍c(diǎn)尸的軌跡為以線段N8的中點(diǎn)M（4,0）為圓心，半徑R=a的圓，

又因?yàn)辄c(diǎn)尸在圓C:x2+j?=i上,

可知圓C與圓M有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，貝！j|CM=r+R或|CM|=|一火

即4=l+a或4=|1-解得。=3或0=5.

故選：D.

6.B

【分析】根據(jù)概率的性質(zhì)解得尸（/8）=:,結(jié)合尸（5）=P（/8）+P（75）可得P（［5）=；,

代入條件概率公式分析求解.

【詳解】因?yàn)槭?口8）=尸（*）+尸（8）—尸（/3）,即:=：+：-尸（/2）,解得P（/8）=1,

又因?yàn)槭?）=尸（/8）+P（）8）,即；=；+尸（否），解得尸（右）=；,

1_q

且尸（?）="可得尸（1）=1-尸（/）="

/-、1

/一、P（AB\71

所以P⑷司=年

4

故選：B.

7.B

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系，寫出數(shù)列前幾項(xiàng)，歸納出通項(xiàng)即可得解.

答案第2頁，共16頁

【詳解】依題意，設(shè)?=%.，

貝Ubx=a2=2q=2=4—2,

CI3=a2+1=3,b?—Q4—2。3=6=8—2,

%=。4+1=7,b3=a6=2a5=14=16—2,

%=4+1=15,Z74=6z8=2a7=30=32—2,

n+ln+l

可歸納得：bn=2-2fa2n=bn=2-2f

所以?0=仇o=2"-2.

故選：B

8.A

【分析】作出圖形，根據(jù)題意可得棱切球的球心即為底面正三角形的中點(diǎn)O,再求出三棱錐

的高，最后根據(jù)三棱錐的體積公式，即可求解.

【詳解】因?yàn)榍蚺c該正三棱錐的各棱均相切，

所以該球的球心在過截面圓圓心且與平面垂直的直線上，

又因?yàn)榈酌孢呴L為2月，

所以底面正三角形的內(nèi)切圓的半徑為/=tan30O-』/86=1,

23

又因?yàn)榍虻陌霃絩=l,IPr'=r,

所以棱切球的球心即為底面正三角形的中心點(diǎn)。，

如圖，過球心。作我的垂線交融于“，則”為棱切球在我上的垂足，

答案第3頁，共16頁

n73CHi

又因?yàn)椤?=A=正=2,所以34°//=市=5，

V

因?yàn)橐?O〃e（0,7t）,所以乙4OH=60。，

又由題意可知，尸。/平面Z6C,所以尸。，。4,

所以NPOa=30。

P0rOH_1=2"

所以一嬴赤一正一不一，

T

所以/4BC=-x-x2V3x2^-x—x^^=2.

P-ABC3223

故選：A.

9.AC

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出z,利用復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算可判斷A；由虛部概念可判斷

B；由共粗復(fù)數(shù)概念和復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算可判斷C；根據(jù)復(fù)數(shù)的減法的幾何意義求解可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)閦（l+i）=2-i,

__2-1_(2-1)(1-1)_13

所以z-------------------———1.

1+i(l+i)(l-i)22

3

對(duì)于B,由上可知，z的虛部為-故B錯(cuò)誤，

對(duì)于c,因?yàn)樗詚與mm）故c正確；

對(duì)于D,記復(fù)數(shù)。對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為/（。）），復(fù)數(shù)2z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為3（1,-3）,

則由弧-2z卜1可得"_西=網(wǎng)=1,即點(diǎn)A在以8為圓心，1為半徑的圓上,

所以，|珂的最大值為|西+1=廂+1,即網(wǎng)的最大值為&U+1,D錯(cuò)誤.

答案第4頁，共16頁

o23x

-1

-2

故選:AC

10.ACD

【分析】依題意可得。為ZC的中點(diǎn)，根據(jù)平面向量加法的平行四邊形法則判斷A,建立平

7T37r

面直角坐標(biāo)系，求出圓。的方程，設(shè)尸事+cose，￥+sin。，-y,利用坐標(biāo)法

判斷B、C,由三點(diǎn)共線得到旃〃詼，即可求出。，從而求出x,九即可判斷D.

【詳解】因?yàn)?O=OC,即。為NC的中點(diǎn)，所以麗=!第+'就，故A正確;

22

如圖建立平面直角坐標(biāo)，則見(拒),(V2V2

0,0),c(Ao),/0,0nT'T

7

X

V2V2x"+0x^=—l，故B錯(cuò)誤;

,BO=-—,則赤質(zhì)=-亞

2722

又二2，

(⑹22

6=1,

所以圓。的方程為IX-2---J-+y-T

71371

設(shè)尸+cos6,+sin0,

I22J4'T

/j/y、

則5尸二+cosa^-+sin6,

7

、

正+cosj+0x—V2+sin<9

所以麗,灰=6=1+V2COS9,

2

1277

「、r八兀3兀I八AV/2

因?yàn)镺e-"了，所以-三」，

2

所以收COS6E[-1,逝],

答案第5頁，共16頁

所以BP-BCe[o,l+后],故而.前^最大值為1+亞，故C正確;

因?yàn)锽,O,P三點(diǎn)共線，所以加〃團(tuán)，

一（亞正、一（五V2）

又30=—,—,BP=—+cos0,—+sin0,

2222

匚5V2(41.?&/q+cos<9,即sin6?=cos(9,

x—+sm6>二-------X

所以工-J2

2.2)

7T

所以。），

所以麗=卜反,亞）,又?jǐn)?shù)=（亞,0）,麗=僅閻,

且加=工強(qiáng)+了就，即（也,后）=尤（0,五）+夕（60）=（回,&x）,

■\[2x=y/2[x=1

所以ILL,所以<1）所以x+y=2,故D正確.

[6y=6卜=1

TTTT31713

【分析】利用導(dǎo)數(shù)證明小及產(chǎn)/即小寧，均成立,從而可得BCD

正確.假設(shè)A選項(xiàng)存在火eN*,使/=1,則&“=歿=1,與B選項(xiàng)中數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增矛

盾，可判斷A.

【詳解】對(duì)于B,要證數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增，只需要證sin^^>%,

令/(x)=sin-x-x,xG則/"(MqcosTx-l,

/''（x）在上單調(diào)遞減，因?yàn)?《）=￥-1>0/（1）=-1<0,

故/'（x）在上存在唯一的零點(diǎn)看,

答案第6頁，共16頁

當(dāng)xe時(shí)，/(x)>0,當(dāng)xe(x(),l)時(shí)，/(x)<0,

所以/(x)=sinTx-x在xe為增函數(shù)，在xe伉,1)上為減函數(shù)，

因?yàn)?J(1)=0,所以當(dāng)xe51)時(shí)，有/(x)>0即sin]x>x,

兀

令X=%,則有sin5a“>a“，故B正確；

對(duì)于A,假設(shè)存在keN*,使得%=1,則az=sin^=sin]=l,

所以。丘+1=1,所以。尢+1=%=1，

與B選項(xiàng)中數(shù)列｛%｝單調(diào)遞增矛盾，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于C,要證%+izta”+；,只需證sin|?a“21■%+；,

1兀713

令g(x)=si吟X———cos—X——

4i4224

g'(x)在上單調(diào)遞減，因?yàn)間[3=苧-：>0,(1)=-*<0,

故g'(x)在小]上存在唯一的零點(diǎn)為，

當(dāng)xeg,xj時(shí)，g,(x)>0,當(dāng)丁€(為,1)時(shí)，g'(x)<0,

所以g(x)=sin]x-《x-；在為增函數(shù)，在(%,1)上為減函數(shù)，

因?yàn)間[g)=g(l)=0，所以當(dāng)xeg，lj時(shí)，有g(shù)(x)20即sin]x>；x+；,

兀31

令％=%,則有sin,%>[〃〃+],故C正確;

.713713

對(duì)于D,令力(%)=sin—x----x,xG則〃(x)=(COS——X—

2222

“(X)在上單調(diào)遞減，因?yàn)?[]=苧_：<04(1)=_：<0,

故〃(x)在g/上為減函數(shù)，

因?yàn)椤╗j=0,所以當(dāng)xe(0,^[時(shí)，總有=0即sin^xV^x，

7133

所以sin^%，即巴

整理得到：a?+1-a?<|??,其中“=1,2,3,…，

答案第7頁，共16頁

41

故的—%W5al

1

a3~a2--^2，

aaa

n+X~n^~n

累加后可得。用-qV3工即＜2%+Sn,故D正確.

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：數(shù)列的單調(diào)性的判斷需根據(jù)相鄰兩項(xiàng)差的符號(hào)來判斷，但對(duì)于較為復(fù)雜

的數(shù)列（甚至是以遞推關(guān)系給出的數(shù)列），其單調(diào)性、與該數(shù)列相關(guān)的不等式的證明需依靠

導(dǎo)數(shù)來證明，在該題中，數(shù)列的通項(xiàng)的范圍依據(jù)數(shù)學(xué)歸納法才能得到.

12.2

【分析】將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，然后利用換底公式可得.

【詳解】因?yàn)?=3J所以6=log34,

所以M=bg23xlog34=粵x誓^=2.

1g21g3

故答案為：2

13.9

【分析】根據(jù)題意，由分層抽樣中數(shù)據(jù)方差的計(jì)算公式計(jì)算可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2,方差為6,乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7,方差為1,

則兩組數(shù)據(jù)混合后，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)工=N=5,

則新數(shù)據(jù)的方差S2=\X[6+（2_5）2]+.X[1+（7_5）2]=9

故答案為：9

【分析】對(duì)/'（x）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性和最值，令f=/（x）,整理得可得

/+（1_4+1_。=0,構(gòu)建8?）=/+（1_力+1_a,結(jié)合/卜）的圖象分析8?）的零點(diǎn)分布,

結(jié)合二次函數(shù)列式求解即可.

【詳解】由題意可知:〃尤）的定義域?yàn)镽,則/'（x）=（l-x）e「"

答案第8頁，共16頁

當(dāng)x<i時(shí)，r（x）>o；當(dāng)x>i時(shí)，r（x）<o；

可知/（無）在（-8,1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1,+8）內(nèi)單調(diào)遞增，可得/'（x）V/■⑴=1,

且當(dāng)X趨近于-00時(shí)，/（尤）趨近于-8；當(dāng)X趨近于+8時(shí)，/（尤）趨近于0；

作出了（無）的圖象，如圖所示,

對(duì)于關(guān)于X的方程f(x)+〃力1=a,

令/=/(x)w-1,可得--y=a,整理得『+(1-a*+l-a=0,

且-1不為方程r+(1-。/+1-。=0的根，

可知方程T=a等價(jià)于「+(\-a)t+\-a=0,

1

若方程f（x）+?。?1=a有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,

可知廠+（l-a）t+l-a=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根f"%，"<’2>

且4<0<%2<1或0<%<1=%2或%=0<%2<1，

構(gòu)建g(%)=/+(l_Q)/+l_Q,

g（0）=l-a<03

若4<0氣<1,則不.今八，解得；

g（l）=3—2a>02

若。<-1,貝ijg⑴=3_2a=0,解得

此時(shí)方程為=解得。=-1耳=1，不合題意;

若4=0<4<1,貝!lg（0）=l—Q=0,角率得a=l,

此時(shí)方程為r=0,解得4=。=0,不合題意；

綜上所述：實(shí)數(shù)0的取值范圍為卜,|].

故答案為：

答案第9頁，共16頁

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)值或取值范圍的方法

（1）利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解.

（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域（最值）問題求解.

（3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.

15.（1）N/DC=45。

（2）6+2

【分析】（1）在“8C中，利用余弦定理可得/C=&,由等腰三角形可得4C4=30。,

然后在入〃）。中利用正弦定理即可求解；

（2）利用勾股定理求得8。=2啦，然后四邊形面積分成SaBe+Sjm即可求解.

【詳解】（1）在AA8C中，AB=BC=O,9=120°,所以/SC4=30°,

由余弦定理可得，/C?=（&（后j_2x逝*逝,即/C=&,

又BCLCD,所以乙4。=60。，

在八⑺。中，由正弦定理可得」—=—如—,得sin/NDC=正，

sin60°sinZADC2

因?yàn)?C＜4D,所以0。＜乙4。。＜60。，所以/4DC=45。.

（2）在RQBCD中,BC=&CD=4^,所以5D=2后，

所以，四邊形的面積』〈X亞x^+gx后X2痔mN的

=6+2sinNABD,

當(dāng)D48D=90°時(shí)，5max=V3+2,即四邊形/BCD面積的最大值為百+2.

16.（1）證明見解析

⑵2

【分析】（1）過。作DM垂足為分析可知APBC為等邊三角形，可得尸尸，BC,

結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得尸F(xiàn)_L平面48CD,即可得結(jié)果；

（2）取線段4D的中點(diǎn)N,連接NF,建系，設(shè)￡（0,0,。）,。目0,3],求平面BID的法向量,

利用空間向量處理線面夾角的問題.

答案第10頁，共16頁

【詳解】（1）過。作垂足為

由題意知：為矩形，nTWAM=2,BC=DM=-^―=273,

tan60°

由PC=2jJ,/PC5=60。，則AP8C為等邊三角形，且尸為線段3c的中點(diǎn)，則尸尸，8C,

又因?yàn)槠矫媸珻BJ■平面4BCD,平面尸CBc平面48co=BC,PFu平面尸CB,

可得尸尸_L平面ABCD,且NDu平面ABCD,

所以P尸_L/。.

（2）由（1）可知：ABCD,

取線段的中點(diǎn)N,連接NF,則FN〃48,FN=2,

又因?yàn)?B_L3C,可知NF_LBC,

以尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，，尸尸分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則4（3,瘋0）,0（1,-6,0）,網(wǎng)0,0,3，40q，9,

因?yàn)椤隇榫€段尸尸上一點(diǎn)，設(shè)E（0,0,a）,ae[0,3],

可得a=（2,2后0）,而=卜1,63）礪=勺,一Ga）,

n-DA=2x+26y=0

設(shè)平面P/O的法向量萬=（x/,z）,則

n-DP=-x+下＞y+3z=0

令x=—3,貝!Jy=百,z=—2,可得元=（一3,君,一2）,

n-BE\_|23|V7

由題意可得："sm阮;-一?一廠,f—l+--“，

11\n\-\BE\4xj3+/4

整理得/_4〃+4=0,解得a=2,

所以當(dāng)斯=2,直線3E與平面夾角的正弦值為立.

4

17.（1）答案見詳解

答案第11頁，共16頁

（2）證明見詳解

【分析】（1）求導(dǎo)可得/'（可=上尸，分和。>0兩種情況，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷

原函數(shù)單調(diào)性；

（2）構(gòu)建尸（x）=/（尤）+g（x）-x,x>0,力（x）=e=：,x>0,根據(jù)單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定

理分析M》）的零點(diǎn)和符號(hào)，進(jìn)而可得尸（x）的單調(diào)性和最值，結(jié)合零點(diǎn)代換分析證明.

【詳解】（1）由題意可得：/（x）的定義域?yàn)椋?,+司，_f（x）=2ax-L=即』，

XX

當(dāng)時(shí)，則2"2_1<。在（0,+的內(nèi)恒成立，

可知/（x）在（0,+s）內(nèi)單調(diào)遞減;

當(dāng)。>0時(shí)，令*（x）>0,解得x>;令/'(x)<0,解得0

2a

可知“X）在。，已

內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增;

綜上所述：當(dāng)aWO時(shí)，/（X）在（0,+/）內(nèi)單調(diào)遞減;

在電

當(dāng)Q〉0時(shí),內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增.

(2)構(gòu)建/(%)=/(-^)+(x)--xqX-lnx-x-l,x>0,

則產(chǎn)(x)=(x+l)e"_L_l=(x+l)[e%-L

X

由x>0可知x+l〉0,

構(gòu)建力（x）=e*-—,x>0,

因?yàn)榘薳*,y=」在（0,+功內(nèi)單調(diào)遞增,則為x）在（0,+e）內(nèi)單調(diào)遞增,

且O=G2<0,〃（l）=e-l>0,

可知〃（x）在（0,+s）內(nèi)存在唯一零點(diǎn)/,

當(dāng)0<x<Xo,則/z(x)<0,即O<x)<0；

當(dāng)x>x0,則〃(x)>0,即9(x)>0；

答案第12頁，共16頁

可知尸（X）在（0,x0）內(nèi)單調(diào)遞減，在伉,+⑹內(nèi)單調(diào)遞增,

則尸（x）WF（Xo）=Xoe演-In%-%-1,

又因?yàn)閑頻-工=0,則招」,與=「。，/犯,1],

X。尤0（2）

-x

■pf^F（xo）=xox---lne°-x0-1=0,

%

即/（x）20,所以“x）+g（x）Wx.

18.⑴迎1

9

（2）g

o

【分析】（1）設(shè)尸根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程為y=x。x-；x：,

與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求|/同，代入/=2即可得結(jié)果;

（2）根據(jù)題意可知：點(diǎn)G為AO/3的重心，進(jìn)而可得

結(jié)合基本不等式求其最大值.

【詳解】（1）由爐=2了可得y=g/,"=x,

設(shè)尸卜可知直線/的斜率左=%,

可知切線方程為y-gx；=x0（尤-/）,即＞=/苫一；片,

y=xQx—x0

聯(lián)立方程22，消去y得（2X；+1）X2-2X；X+:X；-2=0,

X21'

可知△=4x；-4（2x；+l）f—XQ-2]=-2（X：-8X；-4）〉0,解得-，4+2/<x0<飛4+2加，

14_

X2?

設(shè)，（石，弘），8（x2，y2），則Y+Y_2xl_2°

?Aq-T一2x：+1'用馬-2x^+1

J]+焉Q-x；+8x；+4

2尤:+1

若P的坐標(biāo)為（2,2）,即q=2,

答案第13頁，共16頁

V2xVl+22x7-24+8X22+410也

所以|48|=

2X22+19

1

1、—x,2

(2)因?yàn)辄c(diǎn)。到直線-的距離/一一。n

1+x：

由題意可知：點(diǎn)G為AO/3的重心，且一”+2若<%<"+2加，

l2

11=—x乜2x0

可知=-X—d?\AB

r1

3232l+W2XQA

,2

x

_o—y

12

2

3J-x：+8x；+4

122+1J6

當(dāng)且僅當(dāng)，即X。=±也+而時(shí)，等號(hào)成AL,

所以△G/B面積的最大值為

6

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1.與圓錐曲線有關(guān)的最值問題的兩種解法

(1)數(shù)形結(jié)合法：根據(jù)待求值的幾何意義，充分利用平面圖形的幾何性質(zhì)求解.

(2)構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量，構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其最值，常用基本不

等式或?qū)?shù)法求最值(注意:有時(shí)需先換元后再求最值).

19.(1)見解析