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文檔簡介
山東省淄博一中高三4月聯(lián)考新高考數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.拋物線y2=ax(a>0)的準(zhǔn)線與雙曲線C:x28A.8 B.6 C.4 D.22.設(shè),則()A. B. C. D.3.已知為拋物線的焦點,點在上,若直線與的另一個交點為,則()A. B. C. D.4.設(shè)a,b,c為正數(shù),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不修要條件5.是平面上的一定點,是平面上不共線的三點,動點滿足,,則動點的軌跡一定經(jīng)過的()A.重心 B.垂心 C.外心 D.內(nèi)心6.設(shè)實數(shù)x,y滿足條件x+y-2?02x-y+3?0x-y?0則A.1 B.2 C.3 D.47.如圖,在四邊形中,,,,,,則的長度為()A. B.C. D.8.已知點、.若點在函數(shù)的圖象上,則使得的面積為的點的個數(shù)為()A. B. C. D.9.已知雙曲線的右焦點為為坐標(biāo)原點,以為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點及點,則雙曲線的方程為()A. B. C. D.10.年部分省市將實行“”的新高考模式,即語文、數(shù)學(xué)、英語三科必選,物理、歷史二選一,化學(xué)、生物、政治、地理四選二,若甲同學(xué)選科沒有偏好,且不受其他因素影響,則甲同學(xué)同時選擇歷史和化學(xué)的概率為A. B.C. D.11.若的展開式中二項式系數(shù)和為256,則二項式展開式中有理項系數(shù)之和為()A.85 B.84 C.57 D.5612.設(shè)直線過點,且與圓:相切于點,那么()A. B.3 C. D.1二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)的最大值為3,的圖象與y軸的交點坐標(biāo)為,其相鄰兩條對稱軸間的距離為2,則14.實數(shù)滿足,則的最大值為_____.15.某班有學(xué)生52人,現(xiàn)將所有學(xué)生隨機編號,用系統(tǒng)抽樣方法,抽取一個容量為4的樣本,已知5號、31號、44號學(xué)生在樣本中,則樣本中還有一個學(xué)生的編號是__________.16.在棱長為的正方體中,是正方形的中心,為的中點,過的平面與直線垂直,則平面截正方體所得的截面面積為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)數(shù)列的前列項和為,已知.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求證:.18.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若,設(shè),證明:,,使.19.(12分)已知圓O經(jīng)過橢圓C:的兩個焦點以及兩個頂點,且點在橢圓C上.求橢圓C的方程;若直線l與圓O相切,與橢圓C交于M、N兩點,且,求直線l的傾斜角.20.(12分)下表是某公司2018年5~12月份研發(fā)費用(百萬元)和產(chǎn)品銷量(萬臺)的具體數(shù)據(jù):月份56789101112研發(fā)費用(百萬元)2361021131518產(chǎn)品銷量(萬臺)1122.563.53.54.5(Ⅰ)根據(jù)數(shù)據(jù)可知與之間存在線性相關(guān)關(guān)系,求出與的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01);(Ⅱ)該公司制定了如下獎勵制度:以(單位:萬臺)表示日銷售,當(dāng)時,不設(shè)獎;當(dāng)時,每位員工每日獎勵200元;當(dāng)時,每位員工每日獎勵300元;當(dāng)時,每位員工每日獎勵400元.現(xiàn)已知該公司某月份日銷售(萬臺)服從正態(tài)分布(其中是2018年5-12月產(chǎn)品銷售平均數(shù)的二十分之一),請你估計每位員工該月(按30天計算)獲得獎勵金額總數(shù)大約多少元.參考數(shù)據(jù):,,,,參考公式:相關(guān)系數(shù),其回歸直線中的,若隨機變量服從正態(tài)分布,則,.21.(12分)已知a>0,證明:1.22.(10分)分別為的內(nèi)角的對邊.已知.(1)若,求;(2)已知,當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時,求的周長.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
求得拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的漸近線方程,解得兩交點,由三角形的面積公式,計算即可得到所求值.【詳解】拋物線y2=ax(a>0)的準(zhǔn)線為x=-a4,雙曲線C:x28-y24【點睛】本題考查三角形的面積的求法,注意運用拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的漸近線方程,考查運算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】
結(jié)合指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可判斷出,,,即可選出答案.【詳解】由,即,又,即,,即,所以.故選:D.【點睛】本題考查了幾個數(shù)的大小比較,考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】
求得點坐標(biāo),由此求得直線的方程,聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程,求得點坐標(biāo),進而求得【詳解】拋物線焦點為,令,,解得,不妨設(shè),則直線的方程為,由,解得,所以.故選:C【點睛】本小題主要考查拋物線的弦長的求法,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
根據(jù)不等式的性質(zhì),結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】解:,,為正數(shù),當(dāng),,時,滿足,但不成立,即充分性不成立,若,則,即,即,即,成立,即必要性成立,則“”是“”的必要不充分條件,故選:.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.5、B【解析】
解出,計算并化簡可得出結(jié)論.【詳解】λ(),∴,∴,即點P在BC邊的高上,即點P的軌跡經(jīng)過△ABC的垂心.故選B.【點睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運算在幾何中的應(yīng)用,根據(jù)條件中的角計算是關(guān)鍵.6、C【解析】
畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義平移得到答案.【詳解】如圖所示:畫出可行域和目標(biāo)函數(shù),z=x+y+1,即y=-x+z-1,z表示直線在y軸的截距加上1,根據(jù)圖像知,當(dāng)x+y=2時,且x∈-13,1時,故選:C.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題,畫出圖像是解題的關(guān)鍵.7、D【解析】
設(shè),在中,由余弦定理得,從而求得,再由由正弦定理得,求得,然后在中,用余弦定理求解.【詳解】設(shè),在中,由余弦定理得,則,從而,由正弦定理得,即,從而,在中,由余弦定理得:,則.故選:D【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力,屬于中檔題.8、C【解析】
設(shè)出點的坐標(biāo),以為底結(jié)合的面積計算出點到直線的距離,利用點到直線的距離公式可得出關(guān)于的方程,求出方程的解,即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為,直線的方程為,即,設(shè)點到直線的距離為,則,解得,另一方面,由點到直線的距離公式得,整理得或,,解得或或.綜上,滿足條件的點共有三個.故選:C.【點睛】本題考查三角形面積的計算,涉及點到直線的距離公式的應(yīng)用,考查運算求解能力,屬于中等題.9、C【解析】
根據(jù)雙曲線方程求出漸近線方程:,再將點代入可得,連接,根據(jù)圓的性質(zhì)可得,從而可求出,再由即可求解.【詳解】由雙曲線,則漸近線方程:,,連接,則,解得,所以,解得.故雙曲線方程為.故選:C【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì),需掌握雙曲線的漸近線求法,屬于中檔題.10、B【解析】
甲同學(xué)所有的選擇方案共有種,甲同學(xué)同時選擇歷史和化學(xué)后,只需在生物、政治、地理三科中再選擇一科即可,共有種選擇方案,根據(jù)古典概型的概率計算公式,可得甲同學(xué)同時選擇歷史和化學(xué)的概率,故選B.11、A【解析】
先求,再確定展開式中的有理項,最后求系數(shù)之和.【詳解】解:的展開式中二項式系數(shù)和為256故,要求展開式中的有理項,則則二項式展開式中有理項系數(shù)之和為:故選:A【點睛】考查二項式的二項式系數(shù)及展開式中有理項系數(shù)的確定,基礎(chǔ)題.12、B【解析】
過點的直線與圓:相切于點,可得.因此,即可得出.【詳解】由圓:配方為,,半徑.∵過點的直線與圓:相切于點,∴;∴;故選:B.【點睛】本小題主要考查向量數(shù)量積的計算,考查圓的方程,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】,由題意,得,解得,則的周期為4,且,所以.考點:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).14、.【解析】
畫出可行域,解出可行域的頂點坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值,比較大小得到目標(biāo)函數(shù)最值.【詳解】解:作出可行域,如圖所示,則當(dāng)直線過點時直線的截距最大,z取最大值.由同理,,取最大值.故答案為:.【點睛】本題考查線性規(guī)劃的線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解問題.線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一般在平面區(qū)域的頂點或邊界處取得,所以對于一般的線性規(guī)劃問題,若可行域是一個封閉的圖形,我們可以直接解出可行域的頂點,然后將坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出相應(yīng)的數(shù)值,從而確定目標(biāo)函數(shù)的最值;若可行域不是封閉圖形還是需要借助截距的幾何意義來求最值.15、18【解析】
根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個個體的編號成等差數(shù)列,故可根據(jù)其中三個個體的編號求出另一個個體的編號.【詳解】解:根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法,所抽取的4個個體的編號成等差數(shù)列,已知其中三個個體的編號為5,31,44,故還有一個抽取的個體的編號為18,故答案為:18【點睛】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的定義和方法,屬于簡單題.16、【解析】
確定平面即為平面,四邊形是菱形,計算面積得到答案.【詳解】如圖,在正方體中,記的中點為,連接,則平面即為平面.證明如下:由正方體的性質(zhì)可知,,則,四點共面,記的中點為,連接,易證.連接,則,所以平面,則.同理可證,,,則平面,所以平面即平面,且四邊形即平面截正方體所得的截面.因為正方體的棱長為,易知四邊形是菱形,其對角線,,所以其面積.故答案為:【點睛】本題考查了正方體的截面面積,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)由已知可得,構(gòu)造等比數(shù)列即可求出通項公式;(2)當(dāng)時,由,可求,時,由,可證,驗證時,不等式也成立,即可得證.【詳解】(1)由可得,,即,所以,解得,(2)當(dāng)時,,,當(dāng)時,,綜上,由可得遞增,,時;所以,綜上:故.【點睛】本題主要考查了遞推數(shù)列求通項公式,利用放縮法證明不等式,涉及等比數(shù)列的求和公式,屬于難題.18、(1)見解析;(2)證明見解析.【解析】
(1),分,,,四種情況討論即可;(2)問題轉(zhuǎn)化為,利用導(dǎo)數(shù)找到與即可證明.【詳解】(1).①當(dāng)時,恒成立,當(dāng)時,;當(dāng)時,,所以,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).②當(dāng)時,,.當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,,所以,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).③當(dāng)時,,則在上是減函數(shù).④當(dāng)時,,當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,,所以,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).(2)由題意,得.由(1)知,當(dāng),時,,.令,,故在上是減函數(shù),有,所以,從而.,,則,令,顯然在上是增函數(shù),且,,所以存在使,且在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),,所以,所以,命題成立.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及證明不等式的問題,考查學(xué)生邏輯推理能力,是一道較難的題.19、(1);(2)或【解析】
(1)先由題意得出,可得出與的等量關(guān)系,然后將點的坐標(biāo)代入橢圓的方程,可求出與的值,從而得出橢圓的方程;(2)對直線的斜率是否存在進行分類討論,當(dāng)直線的斜率不存在時,可求出,然后進行檢驗;當(dāng)直線的斜率存在時,可設(shè)直線的方程為,設(shè)點,先由直線與圓相切得出與之間的關(guān)系,再將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,由韋達定理,利用弦長公式并結(jié)合條件得出的值,從而求出直線的傾斜角.【詳解】(1)由題可知圓只能經(jīng)過橢圓的上下頂點,所以橢圓焦距等于短軸長,可得,又點在橢圓上,所以,解得,即橢圓的方程為.(2)圓的方程為,當(dāng)直線不存在斜率時,解得,不符合題意;當(dāng)直線存在斜率時,設(shè)其方程為,因為直線與圓相切,所以,即.將直線與橢圓的方程聯(lián)立,得:,判別式,即,設(shè),則,所以,解得,所以直線的傾斜角為或.【點睛】求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法一般為待定系數(shù)法,根據(jù)條件確定關(guān)于的方程組,解出,從而寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題,其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元、化簡,然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程,解決相關(guān)問題.涉及弦中點的問題常常用“點差法”解決,往往會更簡單.20、(Ⅰ)(Ⅱ)7839.3元【解析】
(Ⅰ)由題意計算x、y的平均值,進而由公式求出回歸系數(shù)b和a,即可寫出回歸直線方程;(Ⅱ)由題意計算平均數(shù)μ,得出z~N(μ,),求出日銷量z∈[0.13,0.15)、[0.15,0.16)和[0.16,+∞)的概率,計算獎金總數(shù)是多少.【詳解】(Ⅰ)因為,,因為,所以,所以;(Ⅱ)因為,所以,故即,日銷量的概率為,日銷量的概率為,日銷量的概率為,所以獎金總數(shù)大約為:(元).【點睛】本題考查利用最小二乘法求回歸直線方程,還考查了利用正態(tài)分布計算概率,進而估計總體情況,屬于中檔題.21、證明見解析【解析】
利用分析法,證明a即可.【詳解】證明:∵a>0,∴a1,∴a1≥0,∴要證明1,只要證明a1(a)1﹣4(a)+4,只要證明:a,∵a1,∴
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